精品解析：重庆市永川中学校2026-2027学年高一上学期第一次调研检测数学试题

高2026级高一上第一次调研检测·数学学科 试题卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 若不等式的解集为，则等于（ ） A. -18 B. 8 C. -13 D. 1 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 若，则成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若为单元素集合，则m=（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知行列式的计算公式为，若，对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b（，），这两年的平均增长率为x，则（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集,集合M、N的关系如图所示,则下列结论中正确的（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “，”的否定是“，” D. 命题“，”是假命题 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则的最大值为 B. 若，则的最小值为4 C. 已知，，，则的最小值是 D. 若，，，则的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围为_______． 13. 已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合_______． 14. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于x的最大整数，如，，．那么使不等式成立的x的范围是_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知集合，. （1）求集合M、N； （2）求及. 16. 已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． （1）求集合； （2）设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数的取值范围． 18. 某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 19. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. （1）证明：是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； （3）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026级高一上第一次调研检测·数学学科 试题卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题集合可得集合， 集合的真子集个数为，故的真子集个数为. 2. 若不等式的解集为，则等于（ ） A. -18 B. 8 C. -13 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得为方程的两根，代入列方程解出即可. 【详解】不等式的解集为， 为方程的两根， 则根据根与系数关系可得， ，则. 故选：C 【点睛】本题主要考查二次不等式和二次方程的关系，是基础题. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，作差即可判断；对于B，由不等式的可加性即可判断B；对于C，易知时，即可判断C；对于D，易知若，则． 【详解】若，则，所以A选项错误； 根据不等式的性质可知，若，则，所以B选项正确； 当时，，所以C选项错误； 因为，所以，，由可知，所以D选项错误. 故选：B． 4. 若，则成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到成立的解集，由充分必要条件的判断得到结果. 【详解】因为，即，所以， “”是“”的充分不必要条件，A选项正确； “”是“”的充分必要条件，B选项错误； “”是“”的不充分不必要条件，C选项错误； “”是“”的必要不充分条件，D选项错误. 5. 若为单元素集合，则m=（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 6. 已知行列式的计算公式为，若，对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，根据可得结果. 【详解】由题意得，， ∵对任意的都有恒成立， ∴在上恒成立， ∴，解得. 故选：B. 7. 某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b（，），这两年的平均增长率为x，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合基本不等式，即可得到答案. 【详解】根据题意，这两年的平均增长率为， 可得，所以， 因为，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，所以. 8. 设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合、的“长度”，根据它们都是的子集，且“长度”最小，所以集合、应该在集合的两端，可求“长度”的最小值. 【详解】易得：集合的“长度”为， 集合的 “长度”为. 因为它们都是的子集，要使“长度”最小， 集合、应该在的两端. 若集合在左，集合在右，则，， 此时，，， 所以的 “长度”为：. 若集合在左，集合在右，则，， 此时，，， 所以的“长度”为：. 综上可知，“长度”的最小值为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集,集合M、N的关系如图所示,则下列结论中正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据韦恩图可得，由反例判断AC，根据反证法判断B，根据集合彼此包含判断D. 【详解】由韦恩图可得. 对于A，取，， 则，故，故A错误； 对于C，，故， 而，， ，故C错误； 对于B，若，设，则， 故，而，故，矛盾，故， 故B正确； 对于D，，则有，故， 故，故，故； ，则有，故， 故，故，故， 故，故D正确. 故选：BD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “，”的否定是“，” D. 命题“，”是假命题 【答案】ABD 【解析】 【分析】从充分不必要条件的定义可判断AB；利用全称量词命题的否定可判断C；利用一元二次方程判别式以及存在量词命题的真假性可判断D. 【详解】对于A选项：若，则必有，充分性成立； 反之，若，不一定有（例如且），必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B选项：若，则，不等式两边同乘以，得，即，充分性成立； 反之，取，满足，但不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对于C选项：全称量词命题“”的否定为“”，C错误； 对于D选项：方程的判别式，无实数根， 故命题“”为假，D正确. 故选：ABD 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则的最大值为 B. 若，则的最小值为4 C. 已知，，，则的最小值是 D. 若，，，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项变形计算可判断选项的正确性. 【详解】对于A，，解得，平方得， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故A错误； 对于B，， 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为4，故B正确； 对于C，由，可得，得， 则， 当且仅当，即，故等号不成立，故C错误； 对于D， ， 当且仅当，即时取等号， 所认的最小值为，故D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 所以. 13. 已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由的符号，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求解. 【详解】当都为正数时，可得； 当都为负数时，可得； 当两正一负时，可得； 当一正两负时，可得； 所以集合. 14. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于x的最大整数，如，，．那么使不等式成立的x的范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得不等式的解集为，得到，结合取整的定义，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 解得，所以 因为表示不大于x的最大整数，所以，所以x的范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知集合，. （1）求集合M、N； （2）求及. 【答案】（1），或； （2），. 【解析】 【分析】（1）解出和即可得解； （2）利用补集的定义求出，利用并集的运算求解. 【小问1详解】 由得1<x<2， 由可得，解得x<0或x>1， ∴或. 【小问2详解】 由（1）得，或， ， 由补集的定义可得或，. 16. 已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． （1）求集合； （2）设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据判别式求解出为真命题时的范围，再根据补集思想求得结果； （2）分析条件得到⫋，列出不等式组求解出结果. 【小问1详解】 当为真命题时，即“，”为真命题， 所以，所以或， 所以若为假命题，则的范围是， 所以. 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以⫋， 因为时，若⫋，只需，解得， 经检验，和时满足条件， 综上所述，的取值范围是. 17. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）代入可得，因式分解解一元二次不等式即可； （2）当时，解得，当时，因式分解可得：，分类讨论最高次项系数和两根大小解不等式即可； （3）参变分离可得，根据恒成立问题结合一元二次函数最值运算求解即可. 【小问1详解】 当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为． 【小问2详解】 当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为； 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为； 若，即时，不等式解集为； 若，即时，不等式解集为空集； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【小问3详解】 因为恒成立，所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，开口向上，对称轴为 因为，所以当时，二次函数有最小值 因此的最大值为，即， 所以实数的取值范围为. 18. 某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）50 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意得到不等式，求出答案； （2）由两个条件得到不等式，结合基本不等式求出答案 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； 【小问2详解】 假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 19. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. （1）证明：是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； （3）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】（1） 设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. （2），或. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义证明即可； （2）根据“乘法封闭集”的定义进行讨论即可； （3）根据“完美元素”的定义，得到m和n的关系，进行讨论排除即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. 【小问3详解】 因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $