高一数学上学期期中分层模拟·巩固培优（人教B版必修第一册：集合与常用逻辑用语+等式与不等式+函数）

2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学•参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D B C D D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB AD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．或 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）由，…………………（2分） 则或，而，………………………………（3分） 则.………………………………（5分） （2）由，得，而，………………………………（6分） 当时，，即；………………………………（8分） 当时，有，解得.………………………………（11分） 综上所述，的取值范围为.………………………………（13分） 16．（15分） 【详解】（1）因为在上是偶函数， 所以当时，，所以，………………………………（2分） 即时的解析式为， 综上，.………………………………（4分） （2）当时，，单调递增， 所以，即，………………………………（6分） 因为为偶函数， 所以在上的值域为.………………………………（9分） （3）当时，，单调递减， 当时，，单调递增，………………………………（11分） 根据为偶函数，图象关于y轴对称， 作出在上的图象如下，………………………………（13分）   ………………………………（15分） 17．（15分） 【详解】（1）当时，，则. 因为函数为奇函数，所以，………………………………（2分） 即当时，的解析式为.………………………………（4分） （2）在上单调递增.………………………………（5分） 证明如下： 任取，且，则，………………………………（7分） 因为，且，所以， 则，即，………………………………（8分） 所以在上单调递增.………………………………（10分） （3）在上单调递增，且函数为上的奇函数， 故为上的增函数.………………………………（11分） 由， 得，………………………………（12分） 于是，解得，………………………………（14分） 即实数的取值范围为.………………………………（15分） 18．（17分） 【详解】（1）根据题意知，…………………（3分） 整理得；………………………………（6分） （2）当时，， 由一元二次函数图象可知在时取得最大值，………………………………（9分） 当时， ………………………………（12分） ，…………………（13分） 当且仅当，即时等号成立，………………………………（15分） ∴，∴的最大值是，………………………………（16分） ∴当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元.…………………………（17分） 19．（17分） 【详解】（1）令，得．………………………………（3分） （2）①因为，且，………………………………（4分） 所以 ．………………………………（8分） ②因为的图象在R上连续不断，所以的图象在R上连续不断，………………………………（9分） 又，结合题目条件可知，．………………………………（11分） 又，所以．………………………………（12分） 从而．………………………………（13分） 的对称轴为． 当时，在上单调递减， 所以，当时，；………………………………（15分） 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，；………………………………（16分） 综上，当时，取最小值，当时，取最小值．…………………………（17分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，，所以，则.故选：A. 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题“，”为全称量词命题，该命题的否定为“，”.故选：B. 3．已知的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的定义域是，可得，令，解得，所以的定义域是.故选：D. 4．已知，，则“”的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：取，，满足，但不成立，A错误；选项B：由对数函数的定义域和单调性可知若，则；若，可能无意义，所以是的充分不必要条件，B正确；选项C：取，，满足，但不成立，C错误；选项D：由指数函数的单调性可得若，则；若，则，所以是的充要条件，D错误；故选：B 5．下列函数在其定义域上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，定义域为，且在单调递减，在定义域上不是减函数，A错，定义域域为，在单调递增，B错，，定义域为，因为在单调递增，所以在单调递减，即在其定义域上是减函数，C对，定义域为，在区间单调递增，在定义域上不是减函数，D错，故选：C 6．关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】D 【详解】由不等式的解集为，可得和是方程的两个实数根，所以，解得且，所以A错误；由不等式，即为，即，解得，即不等式的解集为，所以B错误； 因为不等式的解集为，令，可得，所以C错误； 因为，不等式，即为，可得，解得或，即不等式的解集为，所以D正确. 故选：D. 7．已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，作出函数的图象如下图所示： 设，当时，，由图象可知，，则，可得，由于二次函数的图象的对称轴为直线，所以，因此，.故选：D. 8．定义，若函数，且在区间上的值域为，记，则的最大值为（　　） A．0.9 B．2.38 C．1.62 D．1.9 【答案】D 【详解】，画出和的图象如下： 令，解得或.由于，所以的图象如下图所示： 令，解得或（舍去），令，解得，依题意，在区间上的值域为，结合图象可知，若，存在负值，不符合题意.若，则，.若，则，.若，则.综上所述，的最大值为.故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若,下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A:因为在上单调递增，且,故,即,故A正确；对于B:因为在上单调递减，且,故,即,故B正确；对于C:若,则,故C错误；对于D:若,则,故D错误.故选：AB. 10．已知，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】AD 【详解】对于A，因为且，所以，当且仅当，即时等号成立，故A正确；对于B，，故，当且仅当，即时等号成立，故B错误；对于C，由得，则，当时等号成立，故C错误；对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确.故选：AD. 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过的最大整数.例如: .已知函数则下列说法中正确的是（   ） A．是奇函数 B．在R上是增函数 C．是偶函数 D．的值域是 【答案】ABD 【详解】由得，由定义域为得是奇函数，故A正确.，因为在上是增函数，且，所以在上是减函数，故在上是增函数，B正确.由于，故，∴，∴，当时，，当时，，∴不是偶函数，的值域是，故C不正确，D正确．故选：ABD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集为_____. 【答案】 【详解】因为所以 所以不等式的解集为. 故答案为：. 13．函数的零点为___________． 【答案】或 【详解】由函数，令，可得，解得或，所以函数的零点为或.故答案为：或. 14．对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为D上的“精彩函数”，为函数的“精彩区间”.若函数是“精彩函数”，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意知的定义域为，且在定义域上单调递增，又函数是“精彩函数”，故有两个不等实数根，即有两个不等实数根，设两根为，且，令，则，即，解得， 故实数m的取值范围为，故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【详解】（1）由， 则或，而， 则. （2）由，得，而， 当时，，即； 当时，有，解得. 综上所述，的取值范围为. 16．（15分）已知函数在上是偶函数，且当时，.    (1)求在上的解析式； (2)求在上的值域； (3)作出在上的图象. 【详解】（1）因为在上是偶函数， 所以当时，，所以， 即时的解析式为， 综上，. （2）当时，，单调递增， 所以，即， 因为为偶函数， 所以在上的值域为. （3）当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 根据为偶函数，图象关于y轴对称， 作出在上的图象如下，    17．（15分）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则. 因为函数为奇函数，所以， 即当时，的解析式为. （2）在上单调递增. 证明如下： 任取，且，则， 因为，且，所以， 则，即， 所以在上单调递增. （3）在上单调递增，且函数为上的奇函数， 故为上的增函数. 由， 得， 于是，解得， 即实数的取值范围为. 18．（17分）根据当地气候、土质等条件，发现某果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工费等费用）为元，已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式 (2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）根据题意知， 整理得； （2）当时，， 由一元二次函数图象可知在时取得最大值， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴，∴的最大值是， ∴当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元. 19．（17分）已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足． (1)证明：； (2)著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，，，．设． ①证明：； ②已知，求在上的最小值． 【详解】（1）令，得． （2）①因为，且， 所以 ． ②因为的图象在R上连续不断，所以的图象在R上连续不断， 又，结合题目条件可知，． 又，所以． 从而． 的对称轴为． 当时，在上单调递减， 所以，当时，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，； 综上，当时，取最小值，当时，取最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版必修第一册（集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数）． 5．难度系数：0.70． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则“”的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 5．下列函数在其定义域上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 6．关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 7．已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．定义，若函数，且在区间上的值域为，记，则的最大值为（　　） A．0.9 B．2.38 C．1.62 D．1.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若,下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 10．已知，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过的最大整数.例如: .已知函数则下列说法中正确的是（   ） A．是奇函数 B．在R上是增函数 C．是偶函数 D．的值域是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集为_____. 13．函数的零点为___________． 14．对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为D上的“精彩函数”，为函数的“精彩区间”.若函数是“精彩函数”，则实数m的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 16．（15分）已知函数在上是偶函数，且当时，.    (1)求在上的解析式； (2)求在上的值域； (3)作出在上的图象. 17．（15分）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 18．（17分）根据当地气候、土质等条件，发现某果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工费等费用）为元，已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式 (2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 19．（17分）已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足． (1)证明：； (2)著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，，，．设． ①证明：； ②已知，求在上的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版必修第一册（集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数）． 5．难度系数：0.70． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则“”的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 5．下列函数在其定义域上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 6．关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 7．已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．定义，若函数，且在区间上的值域为，记，则的最大值为（　　） A．0.9 B．2.38 C．1.62 D．1.9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若,下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 10．已知，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过的最大整数.例如: .已知函数则下列说法中正确的是（   ） A．是奇函数 B．在R上是增函数 C．是偶函数 D．的值域是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集为_____. 13．函数的零点为___________． 14．对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为D上的“精彩函数”，为函数的“精彩区间”.若函数是“精彩函数”，则实数m的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 16．（15分）已知函数在上是偶函数，且当时，.    (1)求在上的解析式； (2)求在上的值域； (3)作出在上的图象. 17．（15分）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 18．（17分）根据当地气候、土质等条件，发现某果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工费等费用）为元，已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）. (1)求函数的解析式 (2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 19．（17分）已知函数的定义域为R，且对任意的实数x，y，满足． (1)证明：； (2)著名数学家柯西在十九世纪上半叶研究过上述函数的性质，且证明了当该函数的图象在R上连续不断时，．若函数的图象在R上连续不断，对任意x，，，．设． ①证明：； ②已知，求在上的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $