精品解析：江西省赣州市上犹大余崇义三县联考2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

上犹大余崇义三县联考高二上学期10月月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.训练范围：北师大版选择性必修第一册第一章直线与圆+第二章（椭圆第一节）． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式求解. 【详解】圆的圆心到直线的距离 . 故选：A 3. 椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义可得a，根据焦点坐标可得c，然后由求出即可得方程. 【详解】由椭圆定义可知，，得， 又椭圆的两个焦点是和， 所以椭圆焦点在x轴上，且，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为. 故选：C 4. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆上，直线与圆相切 B. 点在圆内，直线与圆相交 C. 点在圆外，直线与圆相切 D. 点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】圆的圆心，半径， 又，所以点在圆上， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：A 5. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，然后由勾股定理求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为． 故选：B. 6. 已知命题，方程不能表示圆；命题，方程表示圆或椭圆．则（ ） A. 和都是假命题 B. 和都是假命题 C. 和都是假命题 D. 和都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】由圆、椭圆方程的结构特点判断即可. 【详解】对于，配方可得：， 当，即或时，表示圆， 所以当时，方程不能表示圆，故为真命题；为假命题， 对于，当时，方程不能表示圆或椭圆，故为假命题，为真命题， 故选：B 7. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出圆的方程，当水面下降1米后，设水面所在直线与圆的交点为，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得到答案． 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r， 则圆的方程为， ∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点， ∴，∴， ∴圆的方程为， 当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，∴， ∴当水面下降1米后，水面宽度为． 故选：C． 8. 已知圆，点在直线上，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出与相离，根据圆的性质以及勾股定理，设点的坐标为，从而得到不等式，求出答案. 【详解】由题意可得圆心，到的距离为， 故与相离， 根据圆上存在两点使得，即三点共线， 且，其中最大值为圆的直径2，故的最大值为1， 过作， 设，则， 故, 由于，故 设点的坐标为，则有， 求得. 故选：D． 二、多选题：每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分．（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（　　） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用直线平行求出参数再应用平行线间距离计算判断A，根据垂直得出参数再结合充分不必要条件定义判断B，应用直线的定点结合垂直计算求参判断C，数形结合得出有交点时的斜率范围判断D. 【详解】对于A，直线与直线平行，则，解得， 直线，即， 则与的距离为，选项A正确； 对于B，由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误； 对于C，将直线方程变形为，由得， 则直线过定点，斜率为， 当直线与垂直时，点到直线的距离最大， 因为，所以，选项C正确； 对于D，如图，， 由图可知，当或时，直线与线段有交点，故选项D正确. 故选：ACD． 10. 已知点在圆上，点，则（ ） A. 点到直线AB的距离最小值为 B. 在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，确定圆心坐标与半径，结合直线与圆的位置关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心，半径， 且，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以点到直线AB的距离最小值为，故A错误； 在中，， 当最小时，则最小，由选项A可知，的最小值为， 则，故B正确； 如图所示，当直线与圆相切时，取到最大值和最小值， 此时，切线长， 其中，则，故C错误，D正确； 故选：BD 11. 已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C. 若圆和圆共有2条公切线，则 D. 当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D. 【详解】对于A，由圆，， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则， 解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆关于直线对称，则 __________． 【答案】3 【解析】 【分析】由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可． 【详解】由题意得直线过圆心，代入直线方程有， 解得， 故答案为：3． 13. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的结构特征，结合焦点在轴上可得. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以，得. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，过点向直线l：（λ为任意实数）作垂线，垂足为H，若为定值，则定点D的坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求直线所过定点坐标，再由条件求点的轨迹，由此确定定点D的坐标. 【详解】方程可化为， 由，可得， 所以直线l过定点， 设，因为， 所以为直角三角形，为直角， 设的中点为，则， ， 所以点的轨迹方程为， 因为为定值， 所以点与点重合，即定点D的坐标为， 故答案为：. 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15. 已知直线过点，______． 在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，③直线过点，且.这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题． （1）求的方程； （2）若与在轴上的截距相等，且的斜率为3，求在轴上的截距． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）选择①，求出直线斜率，由点斜式得直线方程；选择②，设直线的截距式方程，代入已知点坐标求解；选择③，由两点间距离公式求得点坐标，再由两点式得直线方程； （2）选择①②③后都是一样：求出直线在轴上截距，由点斜式得直线方程． 【小问1详解】 选择①． 由题意可设直线的方程为，又直线的斜率是直线的斜率的2倍， 所以． 所以直线的方程为，即． 选择②． 由题意可设直线的方程为，又直线过点， 所以，解得． 所以直线的方程为，即． 选择③． 因为，所以，结合，可得． 直线过点，且过点，所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 由（1）可知直线的方程为，令，可得， 所以直线在轴上的截距为，所以直线在轴上的截距为． 又因为直线的斜率为3，所以直线的方程为，即． 因此直线在轴上的截距为6． 16. 已知圆C：． （1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程； （2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值； （2）确定直线与圆相离，由切线长公式最小即可，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值． 【小问1详解】 若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为． 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得， 所以切线l的方程为，即． 综上，切线l的方程为或． 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离， 因为，所以当最小时，有最小值． 当时，最小，最小值为， 所以的最小值为． 17. 已知两直线，． （1）求直线与的交点的坐标； （2）求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （3）若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标； （2）在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为和不为两种情况讨论即可； （3）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可. 【小问1详解】 由题意得，，解得，点的坐标为． 【小问2详解】 设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即； （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 【小问3详解】 （ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 18. 如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． （1）求圆C的方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】（1） （2）该船没有触礁的危险． 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，代入圆上三点的坐标，即可求解； （2）首先求船行驶的直线方程，再判断直线与圆的位置关系，即可判断危险性. 【小问1详解】 依题意，因岛在岛的北偏东方向距岛千米处，则点, 又岛在岛的正东方向距岛2千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则,解得， 所以圆C的方程为． 【小问2详解】 因船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，则， 而船D沿着北偏东方向行驶， 则船D的航线所在直线l的斜率为，直线的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离，则， 所以该船没有触礁的危险． 19. 已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）求圆与圆公切线段的长度； （3）过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解. 【小问1详解】 由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． 【小问3详解】 圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上犹大余崇义三县联考高二上学期10月月考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.训练范围：北师大版选择性必修第一册第一章直线与圆+第二章（椭圆第一节）． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：每个小题只有一个选项符合要求（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 2. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 3. 椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆上，直线与圆相切 B. 点在圆内，直线与圆相交 C. 点在圆外，直线与圆相切 D. 点在圆上，直线与圆相交 5. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题，方程不能表示圆；命题，方程表示圆或椭圆．则（ ） A. 和都是假命题 B. 和都是假命题 C. 和都是假命题 D. 和都是假命题 7. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知圆，点在直线上，若圆上存在两点，使得，则点的横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：每个小题至少有两个选项符合要求，全选对得全部分，部分选对得部分分，有选错的得0分．（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（　　） A. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 10. 已知点在圆上，点，则（ ） A. 点到直线AB的距离最小值为 B. 在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则 C. 当最小时， D. 当最大时， 11. 已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C. 若圆和圆共有2条公切线，则 D. 当时，圆与圆相交弦的弦长为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆关于直线对称，则 __________． 13. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 14. 在平面直角坐标系中，过点向直线l：（λ为任意实数）作垂线，垂足为H，若为定值，则定点D的坐标为________． 四、解答题，写出必要的过程与步骤（共5小题，共77分） 15. 已知直线过点，______． 在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，③直线过点，且.这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题． （1）求的方程； （2）若与在轴上的截距相等，且的斜率为3，求在轴上的截距． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 已知圆C：． （1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程； （2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值． 17. 已知两直线，． （1）求直线与的交点的坐标； （2）求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （3）若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 18. 如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O，A，B三点． （1）求圆C的方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛4千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 19. 已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． （1）求圆的方程； （2）求圆与圆公切线段的长度； （3）过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $