专题06 期中重难点压轴（有理数+代数式+整式加减）（期中专项训练）七年级数学上学期新教材青岛版

专题01 期中重难点压轴专项 （有理数 + 代数式 + 整式加减） 提升·进阶突破 题型1. 有理数概念辨析与多结论判断题 题型2. 数轴动点与距离综合题 题型3. 绝对值化简（含分类讨论）压轴题 题型4. 有理数混合运算新定义题型 题型5. 代数式求值之整体代入题型 题型6. 整式加减与不含某项、与字母无关问题 题型7. 规律探究（数字、图形类）压轴题 题型8. 代数式/整式加减阅读理解综合题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 提升·进阶突破 题型1 有理数概念辨析与多结论判断题 【模型】结合有理数、数轴、相反数、绝对值等知识点设置多个结论，判断正误的多选 / 多结论题型。 【步骤】逐个拆解每个结论，依据定义验证，举出反例判定错误结论。 【易错】忽略 0、正负分类、特殊值，凭主观感觉判断而非定义推导。 1．对于下列说法： ①若、互为相反数，则； ②如果，则； ③若表示一个有理数，则的最小值为7； ④若，，则的值为． 其中一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、有理数的加法法则，绝对值的意义，有理数的乘除法则等知识，熟知相关知识并根据题意逐项判断是解题关键． 【详解】解：∵0的相反数是0， ∴当时，则无意义，故①结论错误，不符合题意； ∵， ∴、同号或至少一个为0时， ∴，故②结论正确，符合题意； 如图，设点P表示有理数x，由绝对值的意义得， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最小值为7， ∴③结论正确，符合题意； ∵，， ∴中必然为两个正数，一个负数， 设， 则， ∴④结论错误，不合题意． 故选：B 2．如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的特征和应用以及绝对值的含义和求法，有理数的加法和乘法，解题的关键是掌握相关的知识的灵活运用．根据数轴得：，故可判断②，再根据有理数的乘法即可判断①，根据有理数的加法即可判断③，根据绝对值的性质即可判断④，根据绝对值的几何意义即可判断⑤． 【详解】解：根据数轴得：，故②正确； ， ，故①正确； ②， ， ，故③正确； ，， ， ，故④不正确； 当时，的值最小，即， ，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤，共4个， 故选：． 3．如图，数轴上顺次有A、B、D、E、P、C六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，下列说法：①若，则D是原点；②若，则原点在B、D之间；③若，则；④若原点在D、E之间，则，其中正确的结论有（    ）    A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】设相邻两点之间的距离为x，则，，①原式变形可得，①正确；②由数轴知，，，若，则原点在B、A之间；故②错误；③若，则，③正确；④若原点在D、E之间，则，可得，，可判断.即取值不一定小于0，故④错误； 【详解】解：设相邻两点之间的距离为x，则，， ①若，则， ∴，即点D是原点，①正确； ②若，由数轴知，， ∴，， 若，则原点在B、A之间；故②错误； ③若，则，， ∴，故③正确； ④若原点在D、E之间，则， ， ∴. ∴ ∴.可知取值不一定小于0， ∴不一定成立，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查数轴比较实数大小，数轴表示数，绝对值的化简，不等式的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 4．下列等式或不等式中：①；②；③；④，表示a、b异号的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据有理数的加法、乘法、绝对值运算、除法逐个判断即可得． 【详解】①当时，，但同号； ②，则异号； ③当时，，但同号； ④因为， 所以分以下四种情况： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 则只有当异号时，； 综上，表示异号的个数有2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法、乘法、绝对值运算、除法，较难的是题④，正确分四种情况讨论是解题关键． 5．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＜|b|，下列各式中正确的个数是（　　） ①a+b＜0；②b﹣a＞0；③ ；④3a﹣b＞0；⑤﹣a﹣b＞0．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数．原点左边的数为负数，原点右边的数为正数．从图中可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据有理数的运算法则判断即可． 【详解】根据数轴上a，b两点的位置可知，b＜0＜a，|b|＞|a|， ①根据有理数的加法法则，可知a+b＜0，故正确； ②∵b＜a，∴b-a＜0，故错误； ③∵|a|＜|b|， ∴ ∵<0,，， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小 ∴，故正确； ④3a﹣b=3a+（- b） ∵3a>0,-b>0 ∴3a﹣b>0，故正确； ⑤∵﹣a>b ∴- a﹣b>0. 故①③④⑤正确，选C. 【点睛】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，本部分的题主要根据，数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小，及有理数的运算规律来判断式子的大小. 题型2 数轴动点与距离综合题 【模型】数轴上点伴随移动，结合两点距离公式，列式子求解点的位置、运动时间的综合题。 【步骤】设时间参数，表示动点对应数，利用距离公式列等式，分类讨论去掉绝对值求解。 【易错】漏分类讨论、距离公式混淆左右方向，忽略动点运动范围与时间取值限制。 1．在数轴上，点表示1，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于30，那么的最小值是（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】先根据数轴的定义求出的值，再归纳总结出一般规律，然后根据“点与原点的距离不小于30”列出不等式求解即可． 【详解】由题意得：表示的数为，点与原点的距离为 表示的数为，点与原点的距离为 表示的数为，点与原点的距离为 表示的数为，点与原点的距离为 表示的数为，点与原点的距离为 归纳类推得：当移动次数为奇数时，点与原点的距离；当移动次数为偶数时，点与原点的距离为（其中，n表示移动次数，n为正整数） （1）当移动次数为奇数时 由题意得： 解得 则此时n的最小值为 （2）当移动次数为偶数时 由题意得： 解得 则此时n的最小值为 综上，n的最小值为 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴的应用、一元一次不等式的应用，掌握理解数轴的定义，并归纳类推出规律是解题关键． 2．如图，在数轴上有一动点P，将点P沿数轴做如下移动：第一次将点P向右移动2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达点，第三次将点向右移动6个单位长度到达点，⋯⋯按照这种规律移动下去，第n次移动到点，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若点，表示的数互为相反数，则点P表示0； 乙：若点P表示，点到原点的距离为9，则． 丙：当n为奇数时，； 对于三人的观点，以下说法正确的是（   ） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律，一元一次方程的应用，根据题意分别求出表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，表示的数，找出规律逐一判断即可，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题的关键． 【详解】解：甲：设点表示， 则表示的数为，表示的数为， 、互为相反数， ∴，解得：， ∴点表示，故甲说法正确； 乙：∵点表示； ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∵点到原点的距离为， ∴或，故乙说法错误； 丙：设点表示， ∴表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； 表示的数为； ； ∴当为奇数时，；当为偶数时，； ∴，故丙说法错误； 综上可知：甲对，乙、丙不对． 3．如图，数轴上有M，N两点和一条线段，规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段“中线对称”． （注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点） 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段“中线对称”，则x的最大值为________． 【答案】12 【分析】根据“中线对称”的定义，求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可知，当点A与点C关于线段“中线对称”，点B为的中点时，x的值最大， ∵点A表示的数为，点B表示的数为4， ∴， ∴， ∴点C表示的数为， ∴x的最大值为12． 4．如图所示，点，，是数轴上三点，点，分别表示有理数，，且 ，点表示．现有一圆从点出发以2个单位长度的速度沿数轴按顺时针方向滚动（圆与数轴的接触点为圆的最低点），动点从点出发以个单位长度的速度沿数轴向右运动．已知圆的周长为个单位长度，点，和分别是圆的三等分点，开始时，点为最低点且与数轴上的点重合． (1)点表示数______，点表示数______，当圆滚动时，圆的最低点在数轴上对应的数为______； (2)若点在圆滚动后开始运动，当到达数轴上38对应的点时，立刻以原速返回（向左运动）．问：点运动多少时，它与圆的最低点重合？并通过计算说明此时点，，是否与点重合． (3)动点从点出发以个单位长度的速度沿数轴向左运动，点和圆分别从点，同时出发．若点到圆的最低点间的距离记为，点，间的距离记为，则的最小值是多少？请直接写出答案． 【答案】(1)，， (2)点运动或时，它与圆的最低点重合；当点运动时，点与点重合 (3) 【分析】（1）由平方和绝对值的非负性，可得，，即为点，表示的数，由点表示的数，结合圆的运动过程，即可得当圆滚动时，圆的最低点在数轴上对应的数； （2）根据题意可得圆滚动一周需要，点，，相邻两点到达最低点需要经过，当圆滚动时，点开始运动，点到达最低点，可得点到达数轴上对应的点所需时间，分类讨论计算即可； （3）设运动时间为，根据题意可得点，，圆的最低点在数轴上对应的数，可得的表达式，根据绝对值的几何意义，即可得的最小值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴点表示数，点表示数， ， ∴当圆滚动时，圆的最低点在数轴上对应的数为． 故答案为：，，． （2）解：，， ∴圆滚动一周需要，点，，相邻两点到达最低点需要经过， ， ∴当圆滚动时，点开始运动，点到达最低点， 设点运动时间为， 点到达数轴上对应的点所需时间为， 当时，， 解得， （圈）， ∴当点运动时，它与圆的最低点重合，此时点与点重合． 当时，， 解得， ∴当点运动时，它与圆的最低点重合，此时点，，不与点重合． ∴点运动或时，它与圆的最低点重合；当点运动时，点与点重合． （3）解：设运动时间为， 点在数轴上对应的数为， 点在数轴上对应的数为， 圆的最低点在数轴上对应的数为， ∴， ∴ ， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查绝对值的非负性，平方的非负性，数轴，一元一次方程的应用，绝对值的几何意义． 5．数轴上依次有A，B，C三个点，对应的数分别为a，b，c．已知点A表示的数是，，．点P以每秒3个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时，点Q以每秒2个单位的速度从点C出发沿数轴向左运动，当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为． (1)直接写出b，c的值：_________，_________； (2)若点K是线段AP的中点，当t为何值时，； (3)若数轴上另外两个动点M，N分别随着P，Q一起运动，且始终保持，（点M在点P右边，点N在点Q左边），当点P运动到C点时，线段立即以原速度的倍返回向左运动，在整个运动过程中，是否存在使和两条线段重叠部分为的三分之一的情况，若存在，请求出t的值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，3 (2) (3)或或． 【分析】（1）先求解，，，从而可得答案； （2）表示运动中点Q表示的数为，点P表示的数为，可得K表示的数为，结合，再建立方程求解即可； （3）分当点P向右运动时和当点P向左运动时两种情况求解即可 【详解】（1）解：∵点A表示的数是，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴最长运动时间． ∵点Q以每秒2个单位的速度从点C出发沿数轴向左运动， ∴点Q表示的数为， ∵点P以每秒3个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动， ∴点P表示的数为， ∵点K是线段的中点， ∴K表示的数为， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或（舍去）． 综上：． （3）解：∵（点M在点P右边，点N在点Q左边）， ∴M表示，N表示， 当点P向右运动时： 当M与N重合时， ∴， 解得：， ∵和两条线段重叠部分为的三分之一， ∴M在N的右边或Q在P的右边， ∴或， ∴或， 解得：或， 或 当点P向左运动时， 当点P运动到C点时，则， 解得：， 此时Q表示，N表示，M表示， 此后线段立即以原速度的倍返回向左运动， ∴P表示，M表示， 当P在Q的左边时，此时， ∴， 解得：，符合题意， 当N在M的左边时，此时， ∴， 解得：，不符合题意舍去． 综上：或或． 题型3 绝对值化简（含分类讨论）压轴题 【模型】给出数轴上点的位置或变量范围，判断绝对值内式子正负，分段去绝对值化简代数式。 【步骤】找零点划分取值区间，判断绝对值内部符号，去掉绝对值符号再合并化简。 【易错】找不全零点、符号判断出错，分类讨论区间端点重复或遗漏。 1．已知是有理数，，，则（     ）． A．3 B．或 C． D．1 【答案】D 【分析】利用将原式分子替换为对应字母的相反数，结合判断，，的正负个数，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴原式， ∵， ∴，，中负数的个数为或， ∵， ∴，，不可能全为正数或全为负数， ∴，，中有个负数，个正数， ∴， ∴原式． 2．已知a，b，c为有理数，且，，，，则______． 【答案】 【分析】由题意可得a，b，c中有两个负数，一个正数，不妨设，则，，由得出，，，再结合绝对值的性质求出、的值，即可得出结果． 【详解】解：∵a，b，c为有理数，且，， ∴a，b，c中有两个负数，一个正数， 不妨设，则，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴． 3．我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为__________．的最小值为__________； (2)①当__________时，的值最小，最小值为__________． ②的最大值为__________； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区，，和市民广场，居民区，，分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．居民区有居民1千人，居民区有居民2千人，居民区有居民3千人．现因防疫需要，需要在该公路上建流感检测实验室，用于接收这3个小区的全员流感样本，若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)或1；4 (2)①，7；②4 (3)实验室建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】（1）的几何意义是指数轴上点P到表示的点的距离为6，分点P在表示的点的左侧和右侧两种情况求出x的值．的几何意义是点P到表示的点与到表示1的点的距离之和，分点P在表示的点的左边，点P在表示的点和表示1的点之间，点P在表示1的点的右边三种情况讨论，从而求出最小值； （2）①的几何意义是数轴上点P到表示的点，点P到表示的点，与点P到表示1的距离之和，同（1）的思路结合数轴求解即可； ②的几何意义是数轴上点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差，同（1）思路求解即可； （3）要使总运输和包装成本最低，即求的最小值，同（2）思路求解即可． 【详解】（1）解：的几何意义是指数轴上点P到表示的点的距离为6， 若点P在表示的点的左侧，则； 若点P在表示的点的右侧，则； 因此若，则的值为或1． 的几何意义是点P到表示的点与到表示1的点的距离之和，由于表示的点与到表示1的点的距离为， 当点P在表示的点的左边时，点P到表示的点与到表示1的点的距离之和大于4； 当点P在表示的点和表示1的点之间时，点P到表示的点与到表示1的点的距离之和等于4； 当点P在表示1的点的右边时，点P到表示的点与到表示1的点的距离之和大于4； 因此点P到表示的点与到表示1的点的距离之和最小值为4，即的最小值为4． （2）解：①的几何意义是数轴上点P到表示的点，点P到表示的点，与点P到表示1的距离之和， 所以点P应该在与1之间的线段上，且点P与表示的点重合时，所求距离之和最小，最小值为表示的点到表示1的点的距离，为， 所以当时，的值最小，最小值为7． ②的几何意义是数轴上点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差． 当点P在表示1的点的右侧时，点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差等于表示的点与表示1的点的距离，为； 当点P在表示1的点的左侧时，点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差小于表示的点与表示1的点的距离4； 所以点P到表示的点与点P到表示1的点之间的距离之差最大值为4，即的最大值为4． （3）解：由题意得，点A、B、C在数轴上分别表示，1，3，P表示x， 要使总运输和包装成本最低，即求的最小值， ， 由（2）同理可得，当点P在表示1的点B与表示3的点C之间，即时，取得最小值， 此时 总运输和包装成本为（元） 所以实验室建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 4．点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上1和的两点之间的距离可以表示为______． (2)若x表示一个有理数，则的最小值______． (3)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和为______． (4)若满足时，则x的值是______． (5)若x表示一个有理数，当x为______时，式子有最小值为______． 【答案】(1)5 (2)5 (3)5 (4) (5)3，6 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式求解； （2）根据绝对值的几何意义，利用数轴求解； （3）根据绝对值的几何意义，利用数轴得出所有满足条件的x的值，求和即可； （4）根据绝对值的几何意义，利用数轴求解，注意分情况讨论； （5）可看作是数轴上表示x的点到、3、4三点的距离之和，据此即可求解． 【详解】（1）解：数轴上1和的两点之间的距离可以表示为：； （2）解：可看作是数轴上表示x的点到1、两点距离之和， 当表示x的点在表示1、的两点之间时，取最小值，最小值为：； （3）解：，， 满足条件的所有整数x为：，0，1，2，3， 满足条件的所有整数x的和为：； （4）解：数轴上表示2、两点的距离为， 当表示x的点在2的右侧时， 由得：， 解得， 当表示x的点在的左侧时， 由得：， 解得， x的值是； （5）解：可看作是数轴上表示x的点到、3、4三点的距离之和， 当时，取最小值：， 当时，取最小值0， 当x为3时，式子有最小值为6． 5．已知与互为相反数，试求：的值． 【答案】 【分析】先根据相反数的性质和绝对值的非负性求出和的值，再将原式拆分变形，通过抵消合并计算出最终结果，用裂项相消的方法完成求和． 【详解】解：根据题意得，， ∵，， ， ， 解得 ， 将，代入原式得 ： ． 题型4 有理数混合运算新定义题型 【模型】自定义新运算规则，套用有理数运算法则进行求值、比较大小的创新题型。 【步骤】读懂新定义，把式子替换成常规有理数运算，按运算顺序计算。 【易错】混淆新运算符号与原有运算优先级，代入数值时符号出错。 1．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 2．对于任意的有理数、，定义一种新运算：，例如：，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了新定义，含乘方的有理数混合运算等知识，根据新运算的定义，先计算括号内的运算 ，再计算外层运算 ． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：4． 3．阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 小明写出了一些按照（加乘）运算法则进行运算的式子： ；；；；； (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行（加乘）运算时，同号得________，异号得________，并把绝对值________；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于________________； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若，直接写出的值． 【答案】(1)正 负 相加 这个数的绝对值 (2) (3)3或1 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算法则． （1）根据题目中的例子可以总结出（加乘）运算的运算法则； （2）根据（1）中的结论可以解答本题； （3）根据（1）中的结论和分类讨论的方法可以解答本题． 【详解】（1）解：两数进行（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于这个数的绝对值， 故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值； （2） ； （3）， ， 当时，， 得， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为3或1． 4．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是___________（请填序号）． ①，； ②，． (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，理解新运算，把新运算转化为熟悉的运算是解题的关键． （1）直接按新运算计算后判定即可； （2）先按新运算计算，再算加减法； （3）根据，把原式转化为分数加减法，由互为相反数相加为零，据此求解． 【详解】（1）解：①， ， ， ∵， ∴和是“隔一数对”； ②， ， ∵， ∴和不是“隔一数对”； 故答案为：①； （2）解： ； （3）解：∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴，，，，， ∴ ． 5．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”，一般地，把（）记作，读作“a的下n次方”．直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 除方幂的形式 （1）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：________． （2）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】计算：． 【答案】概念学习：；；深入探究：（1）；（2）；结论应用： 【分析】本题考查有理数的新定义运算，解题的关键是理解除方的定义，将除方运算转化为乘方运算． 概念学习：根据除方的定义直接进行除法运算； 深入探究：（1）仿照示例将除方运算转化为乘方运算；（2）推导非零有理数的下次方可转化的乘方形式； 结论应用：将除方运算转化为乘方运算后，再进行有理数的混合运算． 【详解】解： 概念学习 根据除方的定义： ， ， 故答案为：；； 深入探究 （1）， （2）（共个），即， 故答案为：，； 结论应用： ． 题型5 代数式求值之整体代入题型 【模型】不单独求字母值，将已知代数式看作整体，变形后代入求值。 【步骤】观察所求式与已知式关系，对式子变形，整体替换计算。 【易错】变形时漏乘常数项、符号处理失误，强行单独求字母的值。 1．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 【答案】（1）11；（2）；（3）2022；（4）19 【分析】本题考查了整体代入求值，准确计算是解题的关键． （1）原式整理成，再整体代入，即可求解； （2）先将代入得出，再将代入得到，整体代入，即可求解； （3）由当，时得到，再整体代入，即可求解； （4）先求得，再将原式整理成，再整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：11； （2）解：把代入，得 ， ， 当时， ； （3）解：当，时， ， 当，即时， ∴原式； （4）解：∵的值为最大负整数， ∴， ∵， ∴    ． 2．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如表所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以．所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为10，求当时，代数式的值． 【答案】(1)21 (2) 【分析】本题考查了用整体代换法求代数式的值，熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）将化为，整体代入即可求解； （2）把代入得，整体代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ∴． ∴ ； （2）解：∵当时，代数式的值为10， ∴， ∴， 当时， ． 3．有这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少?” 爱动脑筋的小安同学解题过程如下： 原式． 小安同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法． 请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）若，则 ； （2）若，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）2026；（2）19；（3）11 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． （1）把原式化为，然后整体代入计算即可； （2）先把原式去括号，合并同类，再化为，然后整体代入计算即可； （3）把原式化为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴原式， 故答案为：2026． （2）∵， ∴原式 ． （3） ． 当，时， 原式． 4．同学遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中和的值不能单独求出来，于是他想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程： 原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，则的值为__________； (2)已知，则的值为__________； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，整式的加减混合运算，将所给代数式进行适当变形，利用整体思想代入是解题关键． （1）根据即可求解； （2）将化简可得，再整体代入即可求解； （3）根据，再整体代入即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：， ， 故答案为：； （3）解：， ． 题型6 整式加减与不含某项、与字母无关问题 【模型】整式合并同类项后，令指定项系数为 0，求解参数的值。 【步骤】去括号合并同类项，根据题意令对应项系数等于 0，解方程求参数。 【易错】合并同类项符号出错，分不清是哪一项的系数，常数项误当作含字母项。 1．我们在分析解决某些数学问题时经常用“作差法”来比较两个代数式的大小．所谓“作差法”就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要求出它们的差，若，则：若，则：若，则． 例如：比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)比较：______； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示： ①比较：______；（填“”，“”或“”） ②若，，比较代数式与的大小； (3)已知，，若的值与无关，比较代数式与的大小． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）利用作差法得到，计算出结果即可得出答案； （2）①利用作差法得到，再根据即可得到答案； ②，再根据，，即可得出； （3）代入计算得到，根据无关型求得，得到，，再利用作差法，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：① ， 根据数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴ ， 根据数轴可知：，， ∴， ∴； ∴； （3）解：∵，， ∴ ， ∵的值与无关， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 2．有理数在数轴上的位置如图所示． (1) ， ， ， ； （填或） (2)若关于的代数式的值与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，以及整式的加减等知识，利用绝对值的性质化简是解题关键． ()根据绝对值的性质，可得答案； ()根据绝对值的性质，化简绝对值得，结合整式的加减运算法则，得出，再根据代数式的值与字母的取值无关，得出，最后求出的值即可． 【详解】（1）解：从数轴上的位置可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由图可知：， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ∵代数式的值与字母的取值无关， ∴， 解得：． 3．已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)若的值与a无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减以及整式加减中的无关型问题，掌握运算法则并正确计算是解题的关键 （1）由的结果为得：，利用整式减法进行计算即可； （2）先化简求出，的值与a无关，可列，然后解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵的值与a无关， ∴， ∴． 4．已知，． (1)若，求的值； (2)若代数式的值与字母x的取值无关，求y的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了非负数的性质，整式的加减运算，整式的加减运算中与某字母的值无关，掌握“去括号的法则，合并同类项，与某字母的值无关的含义”是解题的关键． （1）将代入并化简可得结果为，再由，求解和的值，再整体代入求值即可； （2）先将去括号化简为，再将代入化简，把含x的同类项合并，由代数式的值与字母x的取值无关可得，由此求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，即， ，即， 则原式 ； （2） ， ，， ， 由于代数式的值与字母x的取值无关， ， 解得， 则y的值为． 5．有序数对表示从左到右依次排列的两个数，把变换成称为次“伴随运算”．如：经过1次“伴随运算”变成，即为． (1)把数对经过1次“伴随运算”变成_______； (2)把数对经过次“伴随运算”变成，求的值； (3)若数对经过次（为正整数）“伴随运算”所得的个数对中，右边所有数的和与的取值无关，则的取值可能为_______．（填序号） ①    ②    ③    ④ 【答案】(1) (2) (3)②③④ 【分析】本题主要考查了数字的规律探索，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意的“伴随运算”计算即可求解． （2）根据题意的“伴随运算”计算发现四次一循环，据此即可得出，，故可得的值． （3）由（2）可得右边所有数的和为，设多个循环的数为， ∴时，右边所有的数的和与的取值无关，则应是的倍数和是的倍数加，根据，，，，可得数对经过，，次 “伴随运算”所得数对中，右边所有数的和与的取值无关，即可得的取值． 【详解】（1）解：根据题意可得：把数对经过次“伴随运算”变成， 即， 故答案为：． （2）解：根据题意可得：把数对经过次“伴随运算”变成； 经过次“伴随运算”变成，即； 经过次“伴随运算”变成，即； 经过次“伴随运算”变成，即； ； 发现规律，经过“伴随运算”所得结果为上面四个结果依次循环出现， 又∵被整除， ∴把数对经过次“伴随运算”变成， ∴即为， ∴，， ∴． （3）解：∵数对经过“伴随运算”所得结果为，，，依次出现，即四个数对一循环， ∵， ∴一个循环内右边所有数的和为，与、的取值无关， 设多个循环的数为， ∴，，， ∴要使右边所有的数的和与的取值无关，则应是的倍数或是的倍数加， ∵，，，， ∴数对经过，，次 “伴随运算”所得数对中，右边所有数的和与的取值无关， ∴的取值为，，， 故答案为：②③④． 题型7 规律探究（数字、图形类）压轴题 【模型】给出一组数字或图形序列，寻找变化规律，推导通项式子或求指定项。 【步骤】列举前几项，找出序号和结果的对应关系，归纳规律并验证。 【易错】只看局部规律，未代入验证，符号、项数序号对应出错。 1．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（     ） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】首先计算出1到6这六个数的总和；然后分析三条边的和与总和的关系，理解三角形三个顶点的数在计算三条边的和时都被计算了两次；确定S的最大值，当三个顶点上的数字之和最大时，S取得最大值；最后进行验证即可． 【详解】解：这六个数字的总和为：． 三角形有3条边，每条边上有3个圆圈，当我们把三条边上的数字之和相加时，三个顶点  （角）上的数字都被计算了两次（因为每个顶点同时属于两条边），而中间的数字只被计算了一次．因此，三条边的数字总和=1到6这六个数的总和+三个顶点上的数字之和． 设每条边上的三个数的和为S，则三条边的总和为． 根据上述分析可得等量关系：三个顶点上的数字之和． 要使S最大，那么“三个顶点上的数字之和”必须尽可能大，在1到6这六个数字中，最大的三个数字是4、5、6． 假设三个顶点上的数字分别是4、5、6，那么三个顶点的数字之和为：，此时，三条边的总和为：，因为三条边的和相等，所以每条边的和S为：． 验证当时，是否真的能填出符合条件的数字： 顶点填4、5、6， 第一条边（连接4和5）：中间数，则中间数为； 第二条边（连接5和6）：中间数，则中间数为； 第三条边（连接4和6）：中间数，则中间数为． 填入的数字为1、2、3、4、5、6，且没有重复，符合题意． 所以，S的最大值是12． 2．观察下列各式： ①； ②； ③； ④； 根据规律，下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从已知等式归纳首项与末项、平方底数的数量关系，代入首项进行计算，即可求解． 【详解】解：根据①； ②； ③； ④； 可得出，； 即首项为的连续整数相加，若末项为，则和为． 故首项时，若末项为，则和为， 即，只有C选项运算正确． 3．观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 【答案】C 【分析】观察可知第2个图在第1个图的基础上增加3个白色三角形，第3个图在第2个图的基础上增加个三角形，第4个图在第3个图的基础上增加个三角形，，第n个图在第个图的基础上增加个三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个大三角形中白色三角形有个， 第②个大三角形中白色三角形有个， 第③个大三角形中白色三角形有个， ， 以此类推可知，第个大三角形中白色三角形有个， ∴第⑥个大三角形中白色的三角形有个． 4．如图1，连接等边三角形三边中点构成的小三角形，称为“中点等边三角形”（阴影部分），显然图1中有1个“中点等边三角形”；如图2，在图1中三个空白等边三角形中继续做“中点等边三角形”，可得图2中有4个“中点等边三角形”；如图3，在图2中9个空白等边三角形中继续做“中点等边三角形”，可知图3中有13个“中点等边三角形”，，依次类推，第5个图形中“中点等边三角形”的个数为（     ） A．120 B．121 C．122 D．123 【答案】B 【分析】根据给出的图形找出规律：第2个图形比第1个图形多3个；第3个图形比第2个图形多个，第4个图形比第3个图形多个；第5个图形比第4个图形多个，从而得出答案即可． 【详解】解：∵图1中有1个“中点等边三角形”， 图2中有个“中点等边三角形”， 图3中有个“中点等边三角形”， 图4中有个“中点等边三角形”， 图5中的 “中点等边三角形”个数为：（个）． 5．从六边形X移动到六边形Y．她只能从一个六边形移动到与它有公共边的另一个六边形．从X 到Y，恰好穿过七个白色六边形各一次的不同路线有多少条？（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 E．6 【答案】D 【分析】考虑进入中间正六边形只有5条边可选，之后剩下的走法必唯一，因此共有5种不同的路线． 【详解】解：如图， 能看到只能依此顺序走到Y，但中间可穿插一次经过中间的六边形，可穿插的位置有1~5任意一个六边形之后，一共有五组， 所以会有5种不同路线． 题型8 代数式/整式加减阅读理解综合题 【模型】给出新概念或材料，结合整式加减运算，完成理解、推理与计算。 【步骤】读懂材料定义，提取规则，转化为整式运算，代入求解。 【易错】误解材料中新概念，去括号、合并同类项时符号出错。 1．阅读材料，完成下列任务． 素 材 一 在学习代数式求值时，发现了一类有趣的现象：当与时，代数式 的值都等于4；当与时，代数式的值分别为8和，它们互为相反数．定义如下：“若关于的代数式，当取任意一对互为相反数的数与时，若代数式的值相等，则称之为偶代数式；若代数式的值互为相反数，则称之为奇代数式．” 素 材 二 观察发现得到以下结论： 结论1：当一个关于的代数式是偶代数式时，它只含的偶次幂的项和常数项； 结论2：当一个关于的代数式是奇代数式时，它只含的奇次幂的项； 结论3：任意一个多项式可以表示为偶代数式与奇代数式的和． 任 务 一 根据以上素材，在多项式和中，判断哪个是“奇代数式”？（请直接写出答案） 任 务 二 对于多项式，设，其中为偶代数式，为奇代数式． ①求和（用含的代数式表示）； ②当时，多项式的值可记为；当时，多项式的值可记为．请通过计算说明“”是否成立； ③利用上述规律，当分别取，，，，，，，，时，求这9个多项式A值的和． 【答案】任务一： 是奇代数式； 任务二： ①；； ②∵，， ∴， ， ； ∴ ∴； ③487 【分析】本题主要考查偶代数式和奇代数式，理解偶代数式和奇代数式的定义是解答本题的关键． 任务一：直接运用偶代数式和奇代数式的定义进行解答即可； 任务二：①根据结论偶代数式只含偶次项和常数项，奇代数式只含奇次项进行判断即可； ②把和代入计算即可； ③根据代入计算即可． 【详解】解：任务一：对于，当时，； 当时，； 所以二者互为相反数， 故是奇代数式； 对于，当时，； 当时，； 所以二者相等， 故是偶代数式； 任务二：①根据题意得偶代数式只含偶次项和常数项，奇代数式只含奇次项， 在中， ∴；； ②略 ③∵ 当与时，； 当与时，； 当与时，； 当与时，； 当时，； ∴． 2．【阅读中思考】 设是不为和的有理数，我们把与的倒数的差，即称为的倒数差， 如：的倒数差是的倒数差是． 【探索中理解】 若是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算的算式，再求出它们的值． （2）求的值． 【应用拓展】 设，，都是不为和的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得数组第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 第一次变换后得到的数组为_______； 的值为_______．（直接写出答案） 【答案】（1），，；  （2）   （3）     【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字规律等知识，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律是解答本题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可； （2）先根据“倒数差”的定义列式计算，，，然后求和即可； （3）根据“倒数差”的定义列式计算即可； 先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运用规律解答即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ； （3）数组确定为， 第一次变换后， ， ，即变换后得到的数组为， 故答案为：； 第次变换后， ， ，即变换后得到的数组为； 第次变换后， ， ，即变换后得到的数组为； 同理可得：，，， ，，， ，，， ，， ， ， ， ， ， ． 3．【阅读材料】：在小学， 我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3 整除． 先来看两位数的情形： 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是 显然 能被整除，因此，如果能被3整除，那么就能被整除，即能被3整除． 【初步应用】： （1）已知一个三位数，百位为，十位为，个位为，请用代数式表示 ； （2）如果三位数满足能被3整除，请说明能被整除； 【迁移应用】： （3）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为如果，那么我们把这个四位正整数叫做“对头数”．例如四位正整数2947，因为，所以2947叫做“对头数”． ①判断3456，4875是“对头数”的是 ； ②已知m是一个“对头数”，个位上的数字是5，百位上的数字是3，且m能被7整除，则= ． 【答案】（1） （2）证明：根据题意可知 又能被3整除，这个三位数也能被3整除． （3）①4875 ②8365 【分析】本题主要考查了整式的加减和数的整除，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得出三位数为百位数字十位数字个位数字，进而得解． （2）仿照题干材料将分解为，再分别分析即可求解． （3）①将千位数字和百位数字、十位数字和个位数字分别相加，观察结果是否相等即可求解；②先将千位数设为b，个位数设为a，根据m是个“对头数”，找到a和b之间的关系，然后用含有a的式子将表示出来，通过m能被7整除，将a分析出来，即可求解． 【详解】解：（1）由题意可知，三位数为百位数字十位数字个位数字，则． （2）略 （3）①，不符合题目要求，不是“对头数”， ，符合题目要求，是“对头数”； ②设m这个四位数千位上的数为b，十位上的数为a，， 是一个“对头数”，，即， 这个四位数， ， ， 又能被7整除，必须是7的倍数， 当时，得，不符合题目要求， 当时，得，不符合题目要求， 当时，得，符合题目要求，此时， 当时，得，不符合题目要求． 综上所述，这个四位数为8365，即． 4．用一根绳子留成一个长，宽的长方形： 【基础设问】 （1）下列说法可以用表示的是_______． A．a的2倍与b的和    B．a与b的2倍的和    C．a与b的和的2倍    D．2与a的乘积与b的和 （2）在围成的长方形中，分别以它的两个顶点为圆心，b为半径作两个不重叠的四分之一圆，如图1①用代数式表示阴影部分的面积S； ②当时，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【能力设问】 （3）若有理数a，b在数轴上的位置如图2所示，且c为最大的负整数．化简：_______． （4）若，则用绳子围成的是正方形，图3图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个正方形，第②个图形中一共有12个正方形，第③个图形中一共有21个正方形…按此规律排列，则第⑧个图形中正方形的个数为_______． 【拓展设问】 （5）若a，b，m组成一个三位数，阅读下列材料，判断三位数能否被7整除． 割尾法：三位数割掉末位数字m得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除． 【推理验证】已知三位数． ②请用含a，b，m的代数式表示“割尾法”后所得的差； ③现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析．分析：要说明能被7整除，需把表示成7的倍数．已知（i）．因为是7的倍数，可设①中的代数式（k为整数）（ii）．只需把（ii）式变形代入（i）式即可．请根据上述分析写出推理过程． 【答案】（1）C； （2）①，；②； （3）； （4）96； （5）①455能被7整除； ②； ③（i）． 因为是7的倍数， 设（k为整数） 所以（ii）． 把（ii）式变形代入（i）式， 得， ∴能被7整除． 【分析】（1）根据代数式的意义解答即可； （2）①用长方形的面积减去两个四分之一圆的面积求解即可； ②把a，b的值代入计算即可； （3）先判断出，，然后化简绝对值，最后根据整式的加减计算即可； （4）根据题意可得第①个图形中一共有个正方形，第②个图形中一共有个正方形，第③个图形中一共有个正方形，……由此发现规律，即可求解； （5）①根据“割尾法”判断即可； ②根据题意表示出，即可求解； ③设（k为整数）把表示为，即可证明． 【详解】解：（1）表示的是a与b的和的2倍， 故选：C； （2）①阴影部分的面积为； ②当，时，； （3）∵c为最大的负整数， ∴， 由数轴知：，， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （4）第①个图形中一共有个正方形， 第②个图形中一共有个正方形， 第③个图形中一共有个正方形， …… 第n个图形中一共有个正方形， 当时，第⑧个图形中正方形的个数为个正方形， 故答案为：96； （5）①对于三位数455，割掉末位数字5得45，， 因为35是7的倍数， 所以455能被7整除； ②对于三位数，割掉末位数字m得， ∴； ③略 【点睛】本题考查了列代数式，图形的规律，整式的加减等，准确理解题意是解题的关键． $专题01 期中重难点压轴专项 （有理数 + 代数式 + 整式加减） 提升·进阶突破 题型1. 有理数概念辨析与多结论判断题 题型2. 数轴动点与距离综合题 题型3. 绝对值化简（含分类讨论）压轴题 题型4. 有理数混合运算新定义题型 题型5. 代数式求值之整体代入题型 题型6. 整式加减与不含某项、与字母无关问题 题型7. 规律探究（数字、图形类）压轴题 题型8. 代数式/整式加减阅读理解综合题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 提升·进阶突破 题型1 有理数概念辨析与多结论判断题 【模型】结合有理数、数轴、相反数、绝对值等知识点设置多个结论，判断正误的多选 / 多结论题型。 【步骤】逐个拆解每个结论，依据定义验证，举出反例判定错误结论。 【易错】忽略 0、正负分类、特殊值，凭主观感觉判断而非定义推导。 1．对于下列说法： ①若、互为相反数，则； ②如果，则； ③若表示一个有理数，则的最小值为7； ④若，，则的值为． 其中一定正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 3．如图，数轴上顺次有A、B、D、E、P、C六个点，且任意相邻两点之间的距离都相等，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，下列说法：①若，则D是原点；②若，则原点在B、D之间；③若，则；④若原点在D、E之间，则，其中正确的结论有（    ）    A．①②③ B．①③ C．③④ D．①③④ 4．下列等式或不等式中：①；②；③；④，表示a、b异号的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＜|b|，下列各式中正确的个数是（　　） ①a+b＜0；②b﹣a＞0；③ ；④3a﹣b＞0；⑤﹣a﹣b＞0．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型2 数轴动点与距离综合题 【模型】数轴上点伴随移动，结合两点距离公式，列式子求解点的位置、运动时间的综合题。 【步骤】设时间参数，表示动点对应数，利用距离公式列等式，分类讨论去掉绝对值求解。 【易错】漏分类讨论、距离公式混淆左右方向，忽略动点运动范围与时间取值限制。 1．在数轴上，点表示1，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离不小于30，那么的最小值是（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 2．如图，在数轴上有一动点P，将点P沿数轴做如下移动：第一次将点P向右移动2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达点，第三次将点向右移动6个单位长度到达点，⋯⋯按照这种规律移动下去，第n次移动到点，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若点，表示的数互为相反数，则点P表示0； 乙：若点P表示，点到原点的距离为9，则． 丙：当n为奇数时，； 对于三人的观点，以下说法正确的是（   ） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对 3．如图，数轴上有M，N两点和一条线段，规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段“中线对称”． （注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点） 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段“中线对称”，则x的最大值为________． 4．如图所示，点，，是数轴上三点，点，分别表示有理数，，且 ，点表示．现有一圆从点出发以2个单位长度的速度沿数轴按顺时针方向滚动（圆与数轴的接触点为圆的最低点），动点从点出发以个单位长度的速度沿数轴向右运动．已知圆的周长为个单位长度，点，和分别是圆的三等分点，开始时，点为最低点且与数轴上的点重合． (1)点表示数______，点表示数______，当圆滚动时，圆的最低点在数轴上对应的数为______； (2)若点在圆滚动后开始运动，当到达数轴上38对应的点时，立刻以原速返回（向左运动）．问：点运动多少时，它与圆的最低点重合？并通过计算说明此时点，，是否与点重合． (3)动点从点出发以个单位长度的速度沿数轴向左运动，点和圆分别从点，同时出发．若点到圆的最低点间的距离记为，点，间的距离记为，则的最小值是多少？请直接写出答案． 5．数轴上依次有A，B，C三个点，对应的数分别为a，b，c．已知点A表示的数是，，．点P以每秒3个单位的速度从点A出发沿数轴向右运动，同时，点Q以每秒2个单位的速度从点C出发沿数轴向左运动，当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为． (1)直接写出b，c的值：_________，_________； (2)若点K是线段AP的中点，当t为何值时，； (3)若数轴上另外两个动点M，N分别随着P，Q一起运动，且始终保持，（点M在点P右边，点N在点Q左边），当点P运动到C点时，线段立即以原速度的倍返回向左运动，在整个运动过程中，是否存在使和两条线段重叠部分为的三分之一的情况，若存在，请求出t的值．若不存在，请说明理由． 题型3 绝对值化简（含分类讨论）压轴题 【模型】给出数轴上点的位置或变量范围，判断绝对值内式子正负，分段去绝对值化简代数式。 【步骤】找零点划分取值区间，判断绝对值内部符号，去掉绝对值符号再合并化简。 【易错】找不全零点、符号判断出错，分类讨论区间端点重复或遗漏。 1．已知是有理数，，，则（     ）． A．3 B．或 C． D．1 2．已知a，b，c为有理数，且，，，，则______． 3．我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为__________．的最小值为__________； (2)①当__________时，的值最小，最小值为__________． ②的最大值为__________； (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区，，和市民广场，居民区，，分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．居民区有居民1千人，居民区有居民2千人，居民区有居民3千人．现因防疫需要，需要在该公路上建流感检测实验室，用于接收这3个小区的全员流感样本，若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 4．点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上1和的两点之间的距离可以表示为______． (2)若x表示一个有理数，则的最小值______． (3)若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和为______． (4)若满足时，则x的值是______． (5)若x表示一个有理数，当x为______时，式子有最小值为______． 5．已知与互为相反数，试求：的值． 题型4 有理数混合运算新定义题型 【模型】自定义新运算规则，套用有理数运算法则进行求值、比较大小的创新题型。 【步骤】读懂新定义，把式子替换成常规有理数运算，按运算顺序计算。 【易错】混淆新运算符号与原有运算优先级，代入数值时符号出错。 1．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 2．对于任意的有理数、，定义一种新运算：，例如：，则的值为_____． 3．阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 小明写出了一些按照（加乘）运算法则进行运算的式子： ；；；；； (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行（加乘）运算时，同号得________，异号得________，并把绝对值________；特别是0和任何数进行（加乘）运算时都等于________________； (2)计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若，直接写出的值． 4．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是___________（请填序号）． ①，； ②，． (2)计算：； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 5．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”，一般地，把（）记作，读作“a的下n次方”．直接写出计算结果：________，________． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： 除方幂的形式 （1）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：________． （2）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：________． 【结论应用】计算：． 题型5 代数式求值之整体代入题型 【模型】不单独求字母值，将已知代数式看作整体，变形后代入求值。 【步骤】观察所求式与已知式关系，对式子变形，整体替换计算。 【易错】变形时漏乘常数项、符号处理失误，强行单独求字母的值。 1．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 2．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如表所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以．所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为10，求当时，代数式的值． 3．有这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少?” 爱动脑筋的小安同学解题过程如下： 原式． 小安同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法． 请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）若，则 ； （2）若，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 4．同学遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中和的值不能单独求出来，于是他想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程： 原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，则的值为__________； (2)已知，则的值为__________； (3)已知，求的值． 题型6 整式加减与不含某项、与字母无关问题 【模型】整式合并同类项后，令指定项系数为 0，求解参数的值。 【步骤】去括号合并同类项，根据题意令对应项系数等于 0，解方程求参数。 【易错】合并同类项符号出错，分不清是哪一项的系数，常数项误当作含字母项。 1．我们在分析解决某些数学问题时经常用“作差法”来比较两个代数式的大小．所谓“作差法”就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要求出它们的差，若，则：若，则：若，则． 例如：比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)比较：______； (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示： ①比较：______；（填“”，“”或“”） ②若，，比较代数式与的大小； (3)已知，，若的值与无关，比较代数式与的大小． 2．有理数在数轴上的位置如图所示． (1) ， ， ， ； （填或） (2)若关于的代数式的值与字母的取值无关，求的值． 3．已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)若的值与a无关，求b的值． 4．已知，． (1)若，求的值； (2)若代数式的值与字母x的取值无关，求y的值． 5．有序数对表示从左到右依次排列的两个数，把变换成称为次“伴随运算”．如：经过1次“伴随运算”变成，即为． (1)把数对经过1次“伴随运算”变成_______； (2)把数对经过次“伴随运算”变成，求的值； (3)若数对经过次（为正整数）“伴随运算”所得的个数对中，右边所有数的和与的取值无关，则的取值可能为_______．（填序号） ①    ②    ③    ④ 题型7 规律探究（数字、图形类）压轴题 【模型】给出一组数字或图形序列，寻找变化规律，推导通项式子或求指定项。 【步骤】列举前几项，找出序号和结果的对应关系，归纳规律并验证。 【易错】只看局部规律，未代入验证，符号、项数序号对应出错。 1．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把1到6这6个数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（     ） A．10 B．12 C．13 D．14 2．观察下列各式： ①； ②； ③； ④； 根据规律，下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 4．如图1，连接等边三角形三边中点构成的小三角形，称为“中点等边三角形”（阴影部分），显然图1中有1个“中点等边三角形”；如图2，在图1中三个空白等边三角形中继续做“中点等边三角形”，可得图2中有4个“中点等边三角形”；如图3，在图2中9个空白等边三角形中继续做“中点等边三角形”，可知图3中有13个“中点等边三角形”，，依次类推，第5个图形中“中点等边三角形”的个数为（     ） A．120 B．121 C．122 D．123 5．从六边形X移动到六边形Y．她只能从一个六边形移动到与它有公共边的另一个六边形．从X 到Y，恰好穿过七个白色六边形各一次的不同路线有多少条？（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 E．6 题型8 代数式/整式加减阅读理解综合题 【模型】给出新概念或材料，结合整式加减运算，完成理解、推理与计算。 【步骤】读懂材料定义，提取规则，转化为整式运算，代入求解。 【易错】误解材料中新概念，去括号、合并同类项时符号出错。 1．阅读材料，完成下列任务． 素 材 一 在学习代数式求值时，发现了一类有趣的现象：当与时，代数式 的值都等于4；当与时，代数式的值分别为8和，它们互为相反数．定义如下：“若关于的代数式，当取任意一对互为相反数的数与时，若代数式的值相等，则称之为偶代数式；若代数式的值互为相反数，则称之为奇代数式．” 素 材 二 观察发现得到以下结论： 结论1：当一个关于的代数式是偶代数式时，它只含的偶次幂的项和常数项； 结论2：当一个关于的代数式是奇代数式时，它只含的奇次幂的项； 结论3：任意一个多项式可以表示为偶代数式与奇代数式的和． 任 务 一 根据以上素材，在多项式和中，判断哪个是“奇代数式”？（请直接写出答案） 任 务 二 对于多项式，设，其中为偶代数式，为奇代数式． ①求和（用含的代数式表示）； ②当时，多项式的值可记为；当时，多项式的值可记为．请通过计算说明“”是否成立； ③利用上述规律，当分别取，，，，，，，，时，求这9个多项式A值的和． 2．【阅读中思考】 设是不为和的有理数，我们把与的倒数的差，即称为的倒数差， 如：的倒数差是的倒数差是． 【探索中理解】 若是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算的算式，再求出它们的值． （2）求的值． 【应用拓展】 设，，都是不为和的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得数组第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 第一次变换后得到的数组为_______； 的值为_______．（直接写出答案） 3．【阅读材料】：在小学， 我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3 整除． 先来看两位数的情形： 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是 显然 能被整除，因此，如果能被3整除，那么就能被整除，即能被3整除． 【初步应用】： （1）已知一个三位数，百位为，十位为，个位为，请用代数式表示 ； （2）如果三位数满足能被3整除，请说明能被整除； 【迁移应用】： （3）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为如果，那么我们把这个四位正整数叫做“对头数”．例如四位正整数2947，因为，所以2947叫做“对头数”． ①判断3456，4875是“对头数”的是 ； ②已知m是一个“对头数”，个位上的数字是5，百位上的数字是3，且m能被7整除，则= ． 4．用一根绳子留成一个长，宽的长方形： 【基础设问】 （1）下列说法可以用表示的是_______． A．a的2倍与b的和    B．a与b的2倍的和    C．a与b的和的2倍    D．2与a的乘积与b的和 （2）在围成的长方形中，分别以它的两个顶点为圆心，b为半径作两个不重叠的四分之一圆，如图1①用代数式表示阴影部分的面积S； ②当时，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【能力设问】 （3）若有理数a，b在数轴上的位置如图2所示，且c为最大的负整数．化简：_______． （4）若，则用绳子围成的是正方形，图3图形都是由同样大小的正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个正方形，第②个图形中一共有12个正方形，第③个图形中一共有21个正方形…按此规律排列，则第⑧个图形中正方形的个数为_______． 【拓展设问】 （5）若a，b，m组成一个三位数，阅读下列材料，判断三位数能否被7整除． 割尾法：三位数割掉末位数字m得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】尝试用“割尾法”判断455能否被7整除． 【推理验证】已知三位数． ②请用含a，b，m的代数式表示“割尾法”后所得的差； ③现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证，下面是思路分析．分析：要说明能被7整除，需把表示成7的倍数．已知（i）．因为是7的倍数，可设①中的代数式（k为整数）（ii）．只需把（ii）式变形代入（i）式即可．请根据上述分析写出推理过程． $