专题05 整式及其运算题型汇总（期中专项训练）七年级数学上学期新教材青岛版

专题01 整式及其运算题型汇总 基础·固本强基 题型1. 同类项判断 题型2. 合并同类项基础计算 题型3. 去括号基础运算 题型4.添括号基础运算 题型5. 整式加减运算 提升·进阶突破 题型6. 利用同类项概念求字母参数 题型7. 整式化简后代入求值 题型8. 整式加减中的无关型问题 题型9. 整式加减实际应用 题型10. 整式运算规律探究 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 同类项判断 【模型】两相同模型：所含字母相同，相同字母的指数也相同。 【步骤】先找式子中所有字母，再核对相同字母的指数，忽略系数与字母顺序。 【易错】只看字母不看指数、把字母顺序或系数大小当成判断依据。 1．下列各组式子中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 3．下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 4．请写出不同于的一个同类项______． 5．写出一个与同类项为__________． 题型2 合并同类项基础计算 【模型】同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 【步骤】找出同类项，交换位置分组，系数相加，字母部分原样抄写。 【易错】合并时错误改变字母和字母指数，非同类项强行合并。 1．下列运算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果等于________． 5.计算：___________． 题型3 去括号基础运算 【模型】括号前是正号，括号内不变号；括号前是负号，括号内各项都变号。 【步骤】看清括号前符号，逐项判断是否变号，去掉括号，整理各项。 【易错】注括号前为负号时只改变第一项符号，漏乘、漏变号。 1．下列去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 3．解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 4．_______． 5．计算___________． 题型4 添括号基础运算 【模型】添括号，括号前是正号，括号内各项不变号；括号前是负号，括号内各项都变号。 【步骤】确定括号前符号，选定要括入的项，按符号要求统一变号，补上括号。 【易错】括号前为负号时，只改变首项符号，其余项忘记变号。 1．在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 4．在下列各式的括号内填入适当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )( )． 5．添括号：（______） 题型5 整式加减运算 【模型】整式加减本质是去括号后合并同类项，最终化为最简整式。 【步骤】先去括号，再找出同类项，合并同类项，整理多项式。 【易错】去括号时负号漏变号，混淆同类项，合并错误改动字母指数。 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．化简的结果是________． 3．计算 (1) (2) (3) 4．化简： (1) (2) (3) 5．化简： (1) (2) 提升·进阶突破 题型6 利用同类项概念求字母参数 【模型】两个单项式为同类项，则所含字母相同，对应字母的指数相等，据此列等式求参数。 【步骤】根据同类项定义，令相同字母指数相等，解方程求出参数值。 【易错】混淆指数关系，忽略参数不能使字母指数无意义的隐含条件。 1．若与是同类项，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么___________ . 4．已知单项式与的和为单项式，则________． 5．已知 a ， b 为常数，且三个单项式相加得到的和仍然是单项式．那么 a 和b 的值可能是多少？说明你的理由． 题型7 整式化简后代入求值 【模型】先化简整式，再把字母数值代入化简后的式子计算结果。 【步骤】去括号合并同类项化简，将字母的值代入最简式，按运算顺序计算。 【易错】直接代入原式计算量大易出错，负数或分数代入时忘记添加括号。 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值． ，其中． 3．先化简，再求值：，其中，． 4．先化简，再求值：，其中． 5．按要求解答问题： (1)化简： (2)化简求值：，其中 题型8整式加减中的无关型问题 【模型】代数式的值与某个字母无关，则化简后该字母的系数等于 0。 【步骤】先化简整式，合并含目标字母的项，令该项系数为 0，求解参数。 【易错】化简不彻底，误把常数项当成含字母项，忽略系数为 0 的条件。 1．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 2．当=______时，关于的多项式中不含有项． 3．已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 4．已知，是关于，的多项式，当，时，试判断的值与的取值有无关系，并说明理由． 5．若整式与的和的值与所取的值无关，求的值． 题型9 整式加减实际应用 【模型】根据题意列整式，利用整式加减化简，得到数量关系并作答。 【步骤】读懂题意，用字母表示量，列出整式，化简，代入求值写出答案 【易错】列式时漏括号，混淆题目中的数量关系，单位与答句遗漏。 1．长方形的周长为 ，一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 2．为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会；某班有47名同学分成三组进行列队表演，第一组有人，第二组比第一组的2倍少6人，求第三组的人数为________（用含m，n的式子表示）． 3．如图，用三种大小不同的六个正方形和三个长方形（阴影部分）拼成大长方形，其中，最小的正方形的边长为． (1)用含的代数式表示：线段_____，线段_____； (2)求长方形的周长；（用含的代数式表示） (3)当时，求长方形的周长的值． 4．如果整式与整式的和为有理数，那么我们称，为数的“关联整式”．例如：和为数1的“关联整式”；和为数7的“关联整式”． (1)和为数________的“关联整式”； (2)若和为数1的“关联整式”，，求整式． 5．某超市在“国庆—中秋”双节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠方法 少于200元 不予优惠 200元元 全部九折优惠 超过500元 500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，他实际付款多少元？ (2)若某位顾客在该超市一次性购物元，请根据的范围求他的实际付款为多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购买物品的价格（优惠前）合计为550元，第一次购买物品的价格为元（超过50元，少于200元）． ①求王老师这两次购物实际付款多少元？（用含的代数式表示） ②在中秋节当天，超市又推出了双节期间可合计一次性付款优惠，当元时，王老师两次购物合计一次性付款比分两次付款共节省了多少元？ 题型10整式运算规律探究 【模型】观察式子结构，对比序号与对应代数式，归纳通用整式表达式。 【步骤】列举前几项，寻找不变部分和随序号变化的部分，写出规律并验证。 【易错】只看表面数字，忽略项与序号的对应关系，不验证直接写规律。 1．观察下列等式： 第一层   第二层   第三层   第四层   …… 在上述的数字宝塔中，从上往下数，2021在第（     ）层． A．42 B．43 C．44 D．45 2．探索规律：根据图中箭头指向的规律，从到再到，箭头的方向是（     ） A． B． C． D． 3．下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成……那么第10个图案由___________个基本图形组成，第n个图案由___________个基本图形组成． 4．正方形在数轴上的位置如图所示，点所对应的数分别为0和-1，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，则连续翻转次后，数轴上的数所对应的点是___________． 5．在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来． (1)如图1，为了计算的值，我们构造以下图形共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有 个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有个点，由此可得 ，用此方法，可求得 ______； (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①， ， ， 则______，______， ② ______（用含的代数式表示）； (3)如图4是一个边长为1的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果） $专题01 整式及其运算题型汇总 基础·固本强基 题型1. 同类项判断 题型2. 合并同类项基础计算 题型3. 去括号基础运算 题型4.添括号基础运算 题型5. 整式加减运算 提升·进阶突破 题型6. 利用同类项概念求字母参数 题型7. 整式化简后代入求值 题型8. 整式加减中的无关型问题 题型9. 整式加减实际应用 题型10. 整式运算规律探究 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 同类项判断 【模型】两相同模型：所含字母相同，相同字母的指数也相同。 【步骤】先找式子中所有字母，再核对相同字母的指数，忽略系数与字母顺序。 【易错】只看字母不看指数、把字母顺序或系数大小当成判断依据。 1．下列各组式子中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项． 【详解】解：A选项，与中相同字母的指数不同，不是同类项； B选项，与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项； C选项，与中所含字母的指数不同，不是同类项； D选项，与中所含字母不同，不是同类项． 2．下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 3．下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意． 4．请写出不同于的一个同类项______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】明确同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，根据同类项定义求解即可． 【详解】解：根据同类项定义，与的同类项需满足字母为x，y，且的指数为，的指数为，例如（或等，答案不唯一）． 5．写出一个与同类项为__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查同类项的定义，同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项． 根据同类项的定义写出符合条件的项即可． 【详解】解：与是同类项的式子可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 题型2 合并同类项基础计算 【模型】同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 【步骤】找出同类项，交换位置分组，系数相加，字母部分原样抄写。 【易错】合并时错误改变字母和字母指数，非同类项强行合并。 1．下列运算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项计算并判断即可． 【详解】解：A选项，，运算错误.； B选项，与不是同类项，无法合并，运算错误； C选项，，运算错误； D选项，，运算正确． 2．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：∵与所含字母不同，不是同类项，不能合并，∴A错误． B选项：∵与中相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，∴B错误． C选项：∵与是同类项，合并同类项时系数相减，字母及指数不变， ∴，∴C错误． D选项：∵与是同类项，合并同类项得，计算正确，∴D正确． 3．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 4．计算的结果等于________． 【答案】 【详解】解：． 5.计算：___________． 【答案】/ 【分析】利用合并同类项法则求解即可． 【详解】解：． 题型3 去括号基础运算 【模型】括号前是正号，括号内不变号；括号前是负号，括号内各项都变号。 【步骤】看清括号前符号，逐项判断是否变号，去掉括号，整理各项。 【易错】注括号前为负号时只改变第一项符号，漏乘、漏变号。 1．下列去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号法则，括号前为正号去括号后各项不改变符号，括号前为负号去括号后各项改变符号，逐一计算判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意， B．，故该选项错误，不符合题意， C．，故该选项正确，符合题意， D．，故该选项错误，不符合题意． 2．下列各式中，去括号后得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号的法则依次进行运算，即可得到答案． 【详解】解：选项A：，选项A符合题意； 选项B：，选项B不符合题意； 选项C：，选项C不符合题意； 选项D：，选项D不符合题意． 3．解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用乘法分配律计算，括号前是负号时，去括号后括号内各项要改变符号，据此即可判断正确结果． 【详解】解：∵ 对原方程去括号，需将乘括号内的每一项， ∴ 乘得，乘得， 因此去括号后结果为． 4．_______． 【答案】/ 【分析】先去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】解： ． 5．计算___________． 【答案】 【详解】解： ． 题型4 添括号基础运算 【模型】添括号，括号前是正号，括号内各项不变号；括号前是负号，括号内各项都变号。 【步骤】确定括号前符号，选定要括入的项，按符号要求统一变号，补上括号。 【易错】括号前为负号时，只改变首项符号，其余项忘记变号。 1．在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据添括号法则对原式两个因式分别变形，即可得到括号内的代数式，添括号时括号前是正号，括入项符号不变；括号前是负号，括入项符号都改变． 【详解】解：对第一个因式变形：， 第一个括号内应填； 对第二个因式变形：， 第二个括号内应填； 综上所述，括号内依次填入和． 2．下列各式中添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号法则与提公因式，根据添括号法则，即添括号时，括号前为负号，括号里的各项都改变符号，括号前为正号，各项不变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C错误； 选项D、根据添括号法则可得，变形符合规则，则D正确 故选：D． 3．下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添括号的法则：括号前是“”时，括号内各项符号不变；括号前是“”时，括号内各项符号改变，由此逐项分析即可得出结果，熟练掌握添括号的法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项添括号错误，不符合题意； B、，故原选项添括号正确，符合题意； C、，故原选项添括号错误，不符合题意； D、，故原选项添括号错误，不符合题意； 故选：B． 4．在下列各式的括号内填入适当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )( )． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】 根据添括号法则，括号前为负号时，添括号后括号内各项改变符号，依次计算各空即可． 【详解】解：（1）对等式变形得， 因此括号内填； （2）对等式变形得， 因此括号内填； （3）对等式变形得， 因此两个括号依次填（答案不唯一）和（答案不唯一）． 5．添括号：（______） 【答案】 【分析】本题考查了添括号法则，根据添括号法则得括号前面添“”，括号内各项都变号，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 题型5 整式加减运算 【模型】整式加减本质是去括号后合并同类项，最终化为最简整式。 【步骤】先去括号，再找出同类项，合并同类项，整理多项式。 【易错】去括号时负号漏变号，混淆同类项，合并错误改动字母指数。 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据同类项定义排除不能合并的错误选项，再计算剩余选项验证结果． 【详解】解：A．、不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项错误，不符合题意； C．、不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意． 2．化简的结果是________． 【答案】 【详解】解：原式． 3．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)9 (2) (3)10 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 4．化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 5．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 提升·进阶突破 题型6 利用同类项概念求字母参数 【模型】两个单项式为同类项，则所含字母相同，对应字母的指数相等，据此列等式求参数。 【步骤】根据同类项定义，令相同字母指数相等，解方程求出参数值。 【易错】混淆指数关系，忽略参数不能使字母指数无意义的隐含条件。 1．若与是同类项，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同类项．根据同类项的定义，两个单项式是同类项需满足相同字母的指数分别相等，列出关于和的方程并求解即可． 【详解】解：与是同类项， ，， 解得，． 2．若与是同类项，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据同类项的定义求出，，代入即可求出答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， 解得， ∴． 3．如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么___________ . 【答案】13 【分析】根据题意可知两个单项式为同类项，根据同类项的定义，得 和 ，求得，再代入求解即可． 【详解】解：由题意，得单项式 与 是同类项， ∴，， 解得， ∴． 4．已知单项式与的和为单项式，则________． 【答案】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明二者是同类项，根据同类项定义得到相同字母的指数相等，列方程求解和，再计算即可. 【详解】解：∵单项式与的和为单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， ∴，解得：， ∴. 5．已知 a ， b 为常数，且三个单项式相加得到的和仍然是单项式．那么 a 和b 的值可能是多少？说明你的理由． 【答案】或，理由见解析 【分析】根据题意，三个单项式的和仍是单项式，可知其中必有两个是同类项，且这两个同类项的和为0，剩下第三个单项式，据此分情况讨论求出的值即可。． 【详解】解：或， 理由：∵单项式，，相加得到的和仍然是单项式， ∴其中必有两个单项式是同类项，且这两个同类项的和为0， ∴，是同类项相加等于零或，是同类项相加等于零， ∴或． 题型7 整式化简后代入求值 【模型】先化简整式，再把字母数值代入化简后的式子计算结果。 【步骤】去括号合并同类项化简，将字母的值代入最简式，按运算顺序计算。 【易错】直接代入原式计算量大易出错，负数或分数代入时忘记添加括号。 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ；20 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 2．先化简，再求值． ，其中． 【答案】； 【详解】先根据式子，去括号，再合并同类项，最后代值即可． ； ∵，， ∴原式． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简，再将x和y的值代入进行计算即可． 【详解】解： 将，代入，原式． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先去括号，然后进行整式的加减运算，最后代入求解即可． 【详解】解： ， 当时，． 5．按要求解答问题： (1)化简： (2)化简求值：，其中 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 代入，得：原式． 题型8整式加减中的无关型问题 【模型】代数式的值与某个字母无关，则化简后该字母的系数等于 0。 【步骤】先化简整式，合并含目标字母的项，令该项系数为 0，求解参数。 【易错】化简不彻底，误把常数项当成含字母项，忽略系数为 0 的条件。 1．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】根据不含项即该项系数为0，先合并同类项再列方程求解． 【详解】解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 2．当=______时，关于的多项式中不含有项． 【答案】 【分析】当多项式不含某一项时，该项合并同类项后的系数为，先合并多项式中的同类项，再令项的系数为，即可求解的值。 【详解】解：对多项式合并同类项得： ， 多项式不含有项， 项的系数为，即， 解得． 3．已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，代入，的表达式，合并同类项化简； （2）先计算并合并同类项，根据值与无关可得含项的系数为，求出，后代入代数式计算，即可解答． 【详解】（1）解：当，时， ，， ∴ ． （2）解： ； ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，， ∴． 4．已知，是关于，的多项式，当，时，试判断的值与的取值有无关系，并说明理由． 【答案】的值与的取值无关．理由如下： 当，时， ， 所以的值与的取值无关． 【分析】当，时，化简得出结果为，即可得出结论． 【详解】略 5．若整式与的和的值与所取的值无关，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握合并同类项法则等知识．先化简代数式，根据题意可知含项的系数为，进而求得的值，再代入即可求解． 【详解】解： ∵整式与的和的值与所取的值无关， ∴， ∴， ∴． 题型9 整式加减实际应用 【模型】根据题意列整式，利用整式加减化简，得到数量关系并作答。 【步骤】读懂题意，用字母表示量，列出整式，化简，代入求值写出答案 【易错】列式时漏括号，混淆题目中的数量关系，单位与答句遗漏。 1．长方形的周长为 ，一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得一组邻边的和为，再列式计算即可求解． 【详解】解：∵长方形周长为， ∴一组邻边的和为， ∵一边长为， ∴另一边长为． 2．为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会；某班有47名同学分成三组进行列队表演，第一组有人，第二组比第一组的2倍少6人，求第三组的人数为________（用含m，n的式子表示）． 【答案】 【分析】先根据第一组人数表示出第二组人数，再用总人数减去第一组和第二组的人数，化简即可得到第三组人数. 【详解】解：∵第二组人数为人， 第三组人数为 ； ∴第三组人数为人. 3．如图，用三种大小不同的六个正方形和三个长方形（阴影部分）拼成大长方形，其中，最小的正方形的边长为． (1)用含的代数式表示：线段_____，线段_____； (2)求长方形的周长；（用含的代数式表示） (3)当时，求长方形的周长的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）数形结合列代数式表示即可得到答案； （2）由图可知长方形的长与宽，再由长方形周长公式及整式加法运算法则化简即可得到答案； （3）由（2）中可知， ，将代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由图可知， ， 长方形的周长为： ； （3）解：由（2）知， ， 当时， ． 4．如果整式与整式的和为有理数，那么我们称，为数的“关联整式”．例如：和为数1的“关联整式”；和为数7的“关联整式”． (1)和为数________的“关联整式”； (2)若和为数1的“关联整式”，，求整式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两代数式相加即可求解题目； （2）因为和为数1的“关联整式”，由题意，则，代入求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵和为数1的“关联整式”， ∴ ∴ ． 5．某超市在“国庆—中秋”双节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠方法 少于200元 不予优惠 200元元 全部九折优惠 超过500元 500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，他实际付款多少元？ (2)若某位顾客在该超市一次性购物元，请根据的范围求他的实际付款为多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购买物品的价格（优惠前）合计为550元，第一次购买物品的价格为元（超过50元，少于200元）． ①求王老师这两次购物实际付款多少元？（用含的代数式表示） ②在中秋节当天，超市又推出了双节期间可合计一次性付款优惠，当元时，王老师两次购物合计一次性付款比分两次付款共节省了多少元？ 【答案】(1)270元 (2)当时，实际付款为元；当时，实际付款为元；当时，实际付款为元 (3)①元；②元 【分析】（1）先判断300元在200元元之间，所以全部享受九折优惠，代入即可求出； （2）将分三种情况讨论，即，和，然后根据题目中的优惠方式，分别用含有的式子表示出实际付款金额即可； （3）① 根据优惠前第一次购买物品的价格为元可知，第二次购买物品的价格为元，则 ，然后再根据两次的购买价格选择优惠方式进行计算求出实际付款金额并用含有的式子表示，最后两次相加即可；② 当元时，先代入① 中已求的代数式中求出分两次付款的付款金额，再根据购买价格合计为550元选择相应的优惠方式求出合计一次性付款的付款金额，最后两者相减即可． 【详解】（1）解： ， 实际付款金额为（元）， 王老师实际付款了270元； （2）解：由题意得，当时，实际付款为元； 当时，实际付款为元； 当时，实际付款为元； （3）解：①， 第一次实际付款金额为元， 两次购买物品的价格（优惠前）合计为550元， 第二次购买物品的价格（优惠前）为元，则， 第二次实际付款金额为元， 两次购物实际付款为元； ② 由① 得，分两次付款的付款金额用含有的式子表示为元， 当元时，分两次付款的付款金额为 （元）， ， 两次购物合计一次性付款的付款金额为（元）， 节省了（元）， 两次购物合计一次性付款比分两次付款共节省了元． 题型10整式运算规律探究 【模型】观察式子结构，对比序号与对应代数式，归纳通用整式表达式。 【步骤】列举前几项，寻找不变部分和随序号变化的部分，写出规律并验证。 【易错】只看表面数字，忽略项与序号的对应关系，不验证直接写规律。 1．观察下列等式： 第一层   第二层   第三层   第四层   …… 在上述的数字宝塔中，从上往下数，2021在第（     ）层． A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】C 【分析】从每层的第一个数和最后一个数的特征入手探究规律，即可求解． 【详解】解：观察前面4层的式子可得，第层第一个数为，最后一个数为， ∵，， ∴第44层最后一个数为， ∵， ∴ 2021在第44层． 2．探索规律：根据图中箭头指向的规律，从到再到，箭头的方向是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意找到方向的变化规律，根据变化规律进行解答即可． 【详解】解：由图形可知：0、4、8、12、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 1、5、9、13、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 2、6、10、14、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 3、7、11、15、…每个点到对应的下一个点的方向相同． ，到的方向与1到2的方向相同，到的方向与2到3的方向相同．由图形可知1到2的方向向右，2到3的方向向下，则到的方向向右，到的方向向下． 3．下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成……那么第10个图案由___________个基本图形组成，第n个图案由___________个基本图形组成． 【答案】 31 / 【分析】观察图形可知基本图形数量依次为4，7，10……，后一个图案比前一个多3个，据此总结规律即可． 【详解】解：观察图形可知：第1个图案由4个基本图形组成，； 第2个图案由7个基本图形组成，； 第3个图案由10个基本图形组成，； ∴第10个图案由个基本图形组成； ∴第n个图案由个基本图形组成． 4．正方形在数轴上的位置如图所示，点所对应的数分别为0和-1，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，则连续翻转次后，数轴上的数所对应的点是___________． 【答案】 【分析】根据题意可得出每4次翻转为一个循环组依次循环，用，根据是否整除，可得出数轴上数所对应的点的位置． 【详解】解：由题意可知，字母按照B，C，D，A的循环顺序，在数轴上对应着1，2，3，4…等数字，且翻转的次数与数轴上对应的数字相同， ……2， 则连续翻转次后，数轴上的数所对应的点是． 5．在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来． (1)如图1，为了计算的值，我们构造以下图形共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有 个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有个点，由此可得 ，用此方法，可求得 ______； (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①， ， ， 则______，______， ② ______（用含的代数式表示）； (3)如图4是一个边长为1的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果） 【答案】(1) (2)①，② (3)， 【分析】（1）根据图1图2的计算方法找到规律求解即可； （2）①根据前三项的规律求解即可；②根据①的规律求解即可． （3）把正方形按分为和两部分，依次类推分割求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ， ，， ②由① 可得； （3）解：由题意画出图形如下： 第一次将正方形分割为和两部分， 第二次将正方形的部分分割为和两部分， 第三次将正方形的部分分割为和两部分， 第四次将正方形的部分分割为和两部分， 由分割图形可知． $