专题03 有理数的混合运算全题型汇总（期中专项训练）七年级数学上学期新教材青岛版

专题01 有理数的混合运算全题型汇总 基础·固本强基 题型1. 有理数加减直接运算 题型2. 有理数乘除基础计算 题型3. 简单乘方运算 题型4. 有理数基础混合运算 题型5. 符号判断类基础题 提升·进阶突破 题型6. 有理数加减简便运算（交换律结合律） 题型7. 乘法分配律的运用 题型8. 含绝对值的混合运算 题型9. 定义新运算基础型 题型10.程序流程图计算 拔高·压轴破难 题型11.复杂定义新运算 题型12.阅读理解型有理数运算 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 有理数加减直接运算 【模型】两数、多数直接进行有理数加减的纯计算题型。 【步骤】先把减法统一成加法，再确定结果符号，计算绝对值。 【易错】减法运算漏变号，混淆正负符号直接做算术加减。 1．不改变原式的值，将变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原式中的减法运算转化为加法运算，再省略加号和括号即可． 【详解】解： ． 2．把写成省略括号和加号的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 3．_______ 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据去括号法则化简原式，再利用有理数加减法则计算即可得到结果． 【详解】解： 原式 ． 4．_______ 【答案】 【分析】按照从左到右的运算顺序，结合有理数加法法则计算即可． 【详解】解：． 5．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 题型2 有理数乘除基础计算 【模型】两个或多个有理数直接相乘、相除的基础计算题。 【步骤】先判断结果符号，再把除法转化为乘法，计算绝对值。 【易错】负因数个数数错，除法不转乘法直接约分导致符号出错。 1．计算：结果是（   ） A． B．4 C．1 D．64 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据有理数乘除混合运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 2．计算：的结果是 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，需按照从左到右的顺序计算，并注意负号的处理．乘除为同级运算，应依次进行．按照从左至右的顺序计算即可． 【详解】解： ， ． ∴ 最终结果为 9． 故选： D． 3．计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解：． 4．_______． 【答案】 【分析】根据有理数除法法则将除法转化为乘法，再按照从左到右的同级运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 5．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型3 简单乘方运算 【模型】单个有理数进行低次乘方的基础计算题 【步骤】分清底数与指数，先确定幂的符号，再计算绝对值乘方结果 【易错】误把指数与底数相乘。 1．下列各组数中，两数不相等的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方运算法则计算出各选项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A、与，两数不相等，故此选项符合题意； B、与，两数相等，故此选项不符合题意； C、与，两数相等，故此选项不符合题意； D、与，两数相等，故此选项不符合题意． 2．对乘积记法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘方的意义即可解决． 【详解】解：根据乘方的意义可知． 3．用分数表示：_______． 【答案】 【分析】先将化成分数，再根据乘方定义计算出结果． 【详解】解：． 4．计算： ______． 【答案】4 【分析】先算乘方，再算加减即可解答． 【详解】 解： ． 5．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】按照有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 题型4 有理数基础混合运算 【模型】包含加减乘除乘方的简单有理数综合计算题。 【步骤】遵循先乘方，再乘除，最后加减的顺序逐步运算。 【易错】运算顺序混乱，跳步计算，符号处理出现失误。 1．计算：的结果是（     ） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【详解】解： ． 2．计算：________． 【答案】0 【分析】按照先算乘方，再算除法，最后算加法的顺序计算即可． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)16 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）利用有理数的乘法分配律求解即可； （3）先计算乘方和绝对值，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型5 符号判断类基础题 【模型】依据有理数运算法则判断式子结果正负性的基础题型。 【步骤】观察负号、负因数个数，结合运算法则判定结果符号。 【易错】忽略 0 的特殊情况，乘方类混淆括号对符号带来的影响。 1．如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法中的符号问题， 根据负数的特点结合有理数加法法则即可得出答案． 【详解】解∶只有两个负数相加和才小于这两个加数． 故选：B． 2．如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，根据题目条件分析出a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，且， ∴， 故选：B． 3．对乘积记法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘方的意义即可解决． 【详解】解：根据乘方的意义可知． 4．______． 【答案】 【分析】本题考查了指数幂的运算，解决本题的关键是正确计算正负号． 根据指数运算法则和有理数乘法法则，分别计算各部分的符号和指数，再合并相乘． 【详解】解：． 故答案为：． 5．的符号取___________号，的符号取___________号，的符号取___________号． 【答案】 负/- 正/+ 负/- 【分析】根据加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：的符号取负号，的符号取正号，的符号取负号， 故答案为：负，正，负 【点睛】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 提升·进阶突破 题型6 有理数加减简便运算 【模型】多个有理数加减，利用运算律简化计算的题型。 【步骤】运用加法交换律、结合律分组凑整，再分别求和计算。 【易错】移动数字时遗漏连带前面的符号，分组搭配出错。 1．是应用了（     ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵等式左侧的加数与、交换了位置， ∴应用了加法交换律 ∵等式右侧将与结合、三个负加数结合分别优先运算 ∴应用了加法结合律． 2．在计算■时，若该题能用简便方法进行计算，则■表示的数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加减中的简便运算，熟练掌握有理数加减中的简便运算应遵循的基本原则是解题的关键． 寻找能与前两个分数中的一个凑成整数的数，简化运算即可． 【详解】解：原式为 选项A：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项B：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项C：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项D：若■表示的数为，则原式为，能用简便方法进行计算，符合题意； 故选：． 3．计算的结果是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算， 先将分数化成小数，再根据有理数的加减法法则计算即可. 【详解】解：原式 . 4．计算：________． 【答案】 【分析】根据有理数加减的运算法则求解即可． 【详解】 ． 【点睛】本题主要考查有理数的加减运算及简便算法，牢记有理数加减的运算性质是解题的关键． 5．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型7 乘法分配律的运用 【模型】一个数乘几个数的和或差，正向、逆用分配律的计算题。 【步骤】用乘数分别乘括号内每一项，再做加减，逆用时提取公共因数。 【易错】漏乘括号内某一项，去括号时符号处理错误。 1．下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 该算式运用了乘法的交换律，因此A选项不正确； B． 该算式运用了乘法的分配律，因此B选项正确； C． 该算式没有运用乘法的分配律，因此C选项不正确； D． 该算式没有运用乘法的分配律，因此D选项不正确． 2．运用了（    ）律进行计算． A．乘法交换 B．乘法结合 C．乘法分配 【答案】C 【分析】本题考查了乘法运算律的认识，熟练掌握乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律是解题的关键．利用乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律的定义判断即可． 【详解】解：， 运用了乘法分配律进行计算， 故选：C． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算题 (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8含绝对值的混合运算 【模型】算式中带有绝对值符号的有理数加减乘除混合计算题。 【步骤】先化简去掉绝对值（判断绝对值内式子正负），再按顺序计算。 【易错】去绝对值时不判断内部正负，直接去掉绝对值符号造成错误。 1．计算（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，原式先计算乘方、再计算乘法、最后进行加减运算即可. 【详解】解： ． 故选：C． 2．计算：________． 【答案】 【分析】根据有理数乘方法则、绝对值的性质、有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ． 题型9 定义新运算基础型 【模型】给定陌生运算规则，代入有理数数值求解的基础题型。 【步骤】读懂新运算定义，把对应数字代入公式，转化为常规有理数运算。 【易错】混淆新运算符号与常规运算，代入数值时符号抄写出错。 1．定义新运算“⊕”：，则的值为（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：由，得. 2．定义一种新运算：，则的结果为（   ） A．6 B．-6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算．根据新运算的定义，直接代入数值计算即可． 【详解】∵ ， ∴ 故选：． 3．定义的运算为，则________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，先判断每组运算中两个数的大小关系，代入对应公式计算出每一项的结果，再求和即可． 【详解】解：∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∴ 原式. 4．定义新运算，则______________． 【答案】 【分析】根据题中新定义的运算规则，结合有理数混合运算法则计算即可求出值． 【详解】解： ． 5．定义一种运算符号“”：，如：，那么：___________． 【答案】 14 【分析】根据给定的新运算规则，代入对应数值计算即可． 【详解】解： ． 题型10程序流程图计算 【模型】按照流程图给定运算程序，代入数值分步计算结果的题型。 【步骤】读懂流程走向，按框图顺序依次代入数值，循环则反复运算。 【易错】看错流程分支条件，循环运算漏代符号，跳过其中运算步骤。 1．按如图所示的程序输入进行计算，请写出输出结果（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据程序框图的运算顺序，依次代入数值计算，判断结果是否大于2，若不大于则继续循环，直到大于2输出结果． 【详解】解：输入，，不输出； 输入0，，不输出； 输入2，，输出4． 2．如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（     ） A． B． C．12 D．14 【答案】D 【分析】将代入图中，然后按照有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：， 观察图可知， ， ， 最后输出的结果是14． 3．某编程兴趣小组设计了一个数值转换的小程序，运行规则如图所示，当输入的数为时，输出的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照程序流程图，结合有理数混合运算的法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵输入的数为， ∴，， ∴当输入的数为时，输出的数是． 4．有一个数值转换器，其工作原理如图．若输入的x值为23，则输出的结果是___________ 【答案】6 【分析】先将代入数值转换器计算，得到结果为，则需要再将代入数值转换器计算，得到的结果为6，即可解答． 【详解】解：当时，则， ∵， ∴当时，则， ∵， ∴输出的结果是6． 5．按下列程序图，若输入的数，则输出结果为________． 【答案】 【分析】根据运算程序算出第一次运算结果为，由第二次运算结果为，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴第一次运算结果为， ∵，为负数， ∴， ∴第二次运算结果为； ∵， ∴输出结果为4． 拔高·压轴破难 题型11复杂定义新运算 【模型】嵌套括号、多步骤或带条件约束的高阶定义新运算计算题。 【步骤】拆解运算层级，分清运算顺序，逐一代入转化为有理数运算求解。 【易错】多层运算代换错位，忽略括号优先级，负数代入漏加括号出错。 1．定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空：① ；② ； (2)已知，求的值； (3)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①2②4 (2)64 (3)猜想：．理由： 设，，则，， ∴， 由定义得：， ∴ 【分析】（1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）首先推导出，结合解答即可； （3）设，，则，，可得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ②∵， ∴； （2）解：根据题意得：，； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）略 2．探究规律，完成相关题目，定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 （填“正”或“负”），并把两数的 相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的 ． (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 正；负；平方；平方 (2) (3) 存在，， 【分析】 （1）根据题干信息进行总结； （2）按照题干的运算法则，先计算的结果，结果为4，再根据同样的运算法则计算即可； （3）两个数的平方和为0，则这两个数都为0，即可计算出m，n的值． 【详解】（1） 解：略 （2） ； （3） 存在有理数m，n，使得； ； ， ，； 解得：，． 3．研究新定义的有理数运算“☆”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；；． (1)【归纳法则】补全“☆”运算的运算法则： ①同号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值； ②异号两数进行“☆”运算，结果为_______； ③特别地，0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果为________． (2)【应用法则】计算：． (3)【拓展延伸】探究结合律是否成立？_______． A．成立     B．不成立 【答案】(1)两数差的绝对值的相反数（答案不唯一）；仍为这个数； (2)； (3)B 【分析】（1）根据所给算式总结即可； （2）根据（1）中的运算法则计算即可； （3）可通过举反例来判断； 本题主要考查了新定义，有理数的混合运算，根据所给算式总结出运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）解：②观察归纳得异号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值的相反数； ③0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果仍为这个数． 故答案为：两数差的绝对值的相反数（答案不唯一）；仍为这个数． （2） ． （3）假设 则 ， ， 此时，则结合律不成立； 故选：B． 4．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把写作读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________； （2）①1的圈次方等于________； ②比较大小________（填“”“”或“”）； 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算同样可以转化为乘方运算，如下所示： 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：________； （4）计算：． 【答案】（1）1，；（2）①1；②；（3）；（4）12 【分析】本题考查了有理数的除法、含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据除方的定义列式，计算有理数的除法即可得； （2）①根据除方的定义列式，计算有理数的除法即可得； ②根据除方的定义列式，计算有理数的除法，再比较大小即可得； （3）根据除方的定义列式，再将除法转化为乘法，然后根据乘方的定义即可得； （4）根据除方的定义、（3）的结论进行转化，再计算除法与乘方，最后计算减法即可得． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：1，． （2）①， 故答案为：1． ② ， ， ∵， ∴， 故答案为：． （3） ， 故答案为：． （4） ． 题型12阅读理解型有理数运算 【模型】阅读材料获取运算法则或解题方法，完成对应有理数运算的题型。 【步骤】读懂材料提炼规则，模仿范例，套用新知识完成计算求解。 【易错】抓不准材料核心规则，照搬旧知识解题，审题漏看限制条件。 1．阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以得： ②， ②①，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ， ， ； （2）设， ， ∴， ， ． 2．（1）计算： （2）请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先拆项，再利用加法结合律进行简便计算即可； （2）表示出原式的倒数，先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律求出值，进而确定出所求即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式的倒数 ． ∴原式． 3．综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 【答案】(1)， (2) ①二进制如下： ∵……1； ……0； ……0； ……1； ……1； ……0； ……1； ∴从下往上读取余数，得到； ②八进制如下： ∵……1； ……3； ……1； ∴从下往上读取余数，得到． (3)84，见解析 【分析】本题主要考查了单位进制的转化运算，根据单位制转换，含乘方的有理数混合运算即可得解，熟练掌握单位制换算是解题的关键． （1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可； （2）①根据题干十进制数转换为二进制数的方法计算即可；②仿照题干的转化方法把十进制数转换为八进制数即可； （3）二进制数转化成十进制数，八进制数转化成十进制数后相加． 【详解】（1）解： ． （2）略 （3）解：解法1（分步计算）： ∵， ， ∴， 方法：运用转化与化归的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题．     解法2（整体计算）： 原式 （或）（或84）， 方法：运用转化与化归的思想方法，将不同进位制数统一成十进制数之后，按十进制数的方式方法解决问题． 4．阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． (2)的个位数字为________． 【答案】(1)的个位数字为3，的个位数为2. (2)7. 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． 【详解】（1），，，，，， 7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为3． ，，，，，， 8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2． （2）与（1）同理可得，2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为7， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为8， ， 的个位数字是. 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律及尾数特征，能通过计算发现，，，的正整数幂的个位数字变化规律是解题的关键． $专题01 有理数的混合运算全题型汇总 基础·固本强基 题型1. 有理数加减直接运算 题型2. 有理数乘除基础计算 题型3. 简单乘方运算 题型4. 有理数基础混合运算 题型5. 符号判断类基础题 提升·进阶突破 题型6. 有理数加减简便运算（交换律结合律） 题型7. 乘法分配律的运用 题型8. 含绝对值的混合运算 题型9. 定义新运算基础型 题型10.程序流程图计算 拔高·压轴破难 题型11.复杂定义新运算 题型12.阅读理解型有理数运算 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 有理数加减直接运算 【模型】两数、多数直接进行有理数加减的纯计算题型。 【步骤】先把减法统一成加法，再确定结果符号，计算绝对值。 【易错】减法运算漏变号，混淆正负符号直接做算术加减。 1．不改变原式的值，将变形正确的是（     ） A． B． C． D． 2．把写成省略括号和加号的形式，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．_______ 4．_______ 5．计算：． 题型2 有理数乘除基础计算 【模型】两个或多个有理数直接相乘、相除的基础计算题。 【步骤】先判断结果符号，再把除法转化为乘法，计算绝对值。 【易错】负因数个数数错，除法不转乘法直接约分导致符号出错。 1．计算：结果是（   ） A． B．4 C．1 D．64 2．计算：的结果是 （  ） A． B． C． D． 3．计算：_____． 4．_______． 5．计算：． 题型3 简单乘方运算 【模型】单个有理数进行低次乘方的基础计算题 【步骤】分清底数与指数，先确定幂的符号，再计算绝对值乘方结果 【易错】误把指数与底数相乘。 1．下列各组数中，两数不相等的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．对乘积记法正确的是（ ） A． B． C． D． 3．用分数表示：_______． 4．计算： ______． 5．计算： (1)； (2)； (3)． 题型4 有理数基础混合运算 【模型】包含加减乘除乘方的简单有理数综合计算题。 【步骤】遵循先乘方，再乘除，最后加减的顺序逐步运算。 【易错】运算顺序混乱，跳步计算，符号处理出现失误。 1．计算：的结果是（     ） A．1 B． C．0 D． 2．计算：________． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)； (3) 题型5 符号判断类基础题 【模型】依据有理数运算法则判断式子结果正负性的基础题型。 【步骤】观察负号、负因数个数，结合运算法则判定结果符号。 【易错】忽略 0 的特殊情况，乘方类混淆括号对符号带来的影响。 1．如果两数相加的和小于每一个加数，那么下列判断正确的是（   ） A．这两个加数一定有一个数是0 B．这两个加数一定都是负数 C．这两个加数一正一负 D．这两个加数的符号不能确定 2．如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．对乘积记法正确的是（ ） A． B． C． D． 4．______． 5．的符号取___________号，的符号取___________号，的符号取___________号． 提升·进阶突破 题型6 有理数加减简便运算 【模型】多个有理数加减，利用运算律简化计算的题型。 【步骤】运用加法交换律、结合律分组凑整，再分别求和计算。 【易错】移动数字时遗漏连带前面的符号，分组搭配出错。 1．是应用了（     ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．无法确定 2．在计算■时，若该题能用简便方法进行计算，则■表示的数可能为（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是_________． 4．计算：________． 5．用简便方法计算： (1)； (2)． 题型7 乘法分配律的运用 【模型】一个数乘几个数的和或差，正向、逆用分配律的计算题。 【步骤】用乘数分别乘括号内每一项，再做加减，逆用时提取公共因数。 【易错】漏乘括号内某一项，去括号时符号处理错误。 1．下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 2．运用了（    ）律进行计算． A．乘法交换 B．乘法结合 C．乘法分配 3．计算： (1) (2) 4．计算题 (1) (2)； 题型8含绝对值的混合运算 【模型】算式中带有绝对值符号的有理数加减乘除混合计算题。 【步骤】先化简去掉绝对值（判断绝对值内式子正负），再按顺序计算。 【易错】去绝对值时不判断内部正负，直接去掉绝对值符号造成错误。 1．计算（   ） A． B．14 C． D．6 2．计算：________． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)． 题型9 定义新运算基础型 【模型】给定陌生运算规则，代入有理数数值求解的基础题型。 【步骤】读懂新运算定义，把对应数字代入公式，转化为常规有理数运算。 【易错】混淆新运算符号与常规运算，代入数值时符号抄写出错。 1．定义新运算“⊕”：，则的值为（     ） A．5 B．7 C．8 D．10 2．定义一种新运算：，则的结果为（   ） A．6 B．-6 C． D． 3．定义的运算为，则________． 4．定义新运算，则______________． 5．定义一种运算符号“”：，如：，那么：___________． 题型10程序流程图计算 【模型】按照流程图给定运算程序，代入数值分步计算结果的题型。 【步骤】读懂流程走向，按框图顺序依次代入数值，循环则反复运算。 【易错】看错流程分支条件，循环运算漏代符号，跳过其中运算步骤。 1．按如图所示的程序输入进行计算，请写出输出结果（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（     ） A． B． C．12 D．14 3．某编程兴趣小组设计了一个数值转换的小程序，运行规则如图所示，当输入的数为时，输出的数是（     ） A． B． C． D． 4．有一个数值转换器，其工作原理如图．若输入的x值为23，则输出的结果是___________ 5．按下列程序图，若输入的数，则输出结果为________． 拔高·压轴破难 题型11复杂定义新运算 【模型】嵌套括号、多步骤或带条件约束的高阶定义新运算计算题。 【步骤】拆解运算层级，分清运算顺序，逐一代入转化为有理数运算求解。 【易错】多层运算代换错位，忽略括号优先级，负数代入漏加括号出错。 1．定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空：① ；② ； (2)已知，求的值； (3)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 2．探究规律，完成相关题目，定义“*”运算： ； ； ； ； ； ； ． (1)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 （填“正”或“负”），并把两数的 相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的 ． (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 3．研究新定义的有理数运算“☆”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；；． (1)【归纳法则】补全“☆”运算的运算法则： ①同号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值； ②异号两数进行“☆”运算，结果为_______； ③特别地，0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果为________． (2)【应用法则】计算：． (3)【拓展延伸】探究结合律是否成立？_______． A．成立     B．不成立 4．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把写作读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________； （2）①1的圈次方等于________； ②比较大小________（填“”“”或“”）； 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算同样可以转化为乘方运算，如下所示： 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：________； （4）计算：． 题型12阅读理解型有理数运算 【模型】阅读材料获取运算法则或解题方法，完成对应有理数运算的题型。 【步骤】读懂材料提炼规则，模仿范例，套用新知识完成计算求解。 【易错】抓不准材料核心规则，照搬旧知识解题，审题漏看限制条件。 1．阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以得： ②， ②①，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 2．（1）计算： （2）请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算： 3．综合与实践：进位制的认识与探究 题目背景 在学习数学的过程中，我们常常会接触到不同的进位制．最常用的是十进制，而计算机内部使用的则是二进制．进位制的不同，既影响数的表示方式，也影响数的计算方法．通过对进位制的探讨，我们可以更深入地理解数的构成及其运算特点． 阅读材料 进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用0~9十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一．一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：．例如： 十进制数可以表示为， 即； 二进制数可以表示为， 即． 解决问题 (1)理解应用：将二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，并转换为十进制数． (2)拓展延伸：将十进制数89转换为二进制数和八进制数，要求体现转换的过程与结果． (3)创新应用：运用进制数的加法运算法则，计算（结果用十进制数表示），并说明计算的思想方法． 4．阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． (2)的个位数字为________． $