专题02 绝对值全题型突破（期中专项训练）七年级数学上学期新教材青岛版

专题02 绝对值全题型突破 基础·固本强基 题型1. 求一个数的绝对值 题型2. 已知绝对值求原数 题型3. 绝对值的非负性直接判断 题型4. 绝对值比较有理数大小 提升·进阶突破 题型5. 多个绝对值非负性求和为0 题型6. 绝对值化简（判断正负去绝对值符号） 题型7 绝对值几何意义求距离 拔高·压轴破难 题型8 绝对值最值问题 题型9 绝对值与数轴综合性问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 求一个数的绝对值 【模型】|a|= 【步骤】先判断这个数是正数、负数还是 0，再对照法则去掉绝对值符号。 【易错】负数的绝对值是它的相反数，不要直接去掉负号写成负数。 1．的绝对值是（     ） A． B． C．0 D．2 2．的值是（     ） A． B．9 C． D． 3．计算：_________． 4．计算：___________． 题型2 已知绝对值求原数 【模型】若|x|=a(a>0)，则x=a或x=-a；若|x|=0，则x=0 【步骤】分清结果是否为 0，正数结果对应正负两个原数，结果为 0 时原数只能是 0 【易错】容易只写正数解，漏掉对应的负的解。 1．若，则x的值是（     ） A．3 B．1 C．1或3 D．3或 2．绝对值等于的数是（     ）． A． B． C． D． 3．已知，，且，则的值是（     ） A．5 B． C．或 D．或5 4．已知，则x的值为______． 5．绝对值不大于3.5的所有整数的和为___________． 题型3 绝对值的非负性直接判断 【模型】|a|≥ 0，任意有理数的绝对值大于或等于 0 【步骤】看到绝对值式子，直接判定其结果不会为负数。 【易错】误认为绝对值结果一定是正数，忽略绝对值可以等于 0。 1．若是有理数，则下列叙述正确的是（     ） A．一定是正数 B．一定是正数 C．可能是0 D．一定是负数 2．已知，则有理数a一定是（    ） A．正数或0 B．0 C．正数 D．负数或0 3．下列说法正确的是（    ） A．若，则a必为负数 B．绝对值不大于3的整数有6个，分别是，， C．若，则，反之，若，则 D．任意有理数的绝对值都是非负数 4．如果，那么______． 5．m为有理数，则的最小值：______． 题型4 绝对值比较有理数大小 【模型】两个负数比较大小，绝对值大的反而小；正数、0 直接利用绝对值判断。 【步骤】先求出负数的绝对值，比较绝对值大小，再判定原数的大小关系。 【易错】比较两个负数时，直接认为绝对值大的数就大。 1．下列式子中成立的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中错误的是（     ） A． B． C． D． 3．比较大小：________．（填“”“”或“”） 4．比较大小：______． 5．比较大小：_______．（填“”“”或“”） 提升·进阶突破 题型5 多个绝对值非负性求和为0 【模型】若|A|+|B|=0，则|A|=0且|B|=0。 【步骤】根据绝对值非负，令每一个绝对值部分分别等于 0，解方程求出字母的值。 【易错】只让整体和为 0，忽略每个绝对值要分别等于 0。 1．如果有理数a、b满足，那么等于（　　） A． B．3 C． D．7 2．若有理数a，b满足，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．若，则（   ） A．3 B． C．1 D． 4．成立时，______． 5．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 题型6 绝对值化简（判断正负去绝对值符号） 【模型】|a|= 【步骤】先判定绝对值内部代数式的正负，再依据法则去掉绝对值符号。 【易错】内部为负时，去掉绝对值忘记给整体添加括号，直接写-A易符号出错 1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，式子化简为（    ）    A． B． C． D． 2．有理数、在数轴上的位置如图所示，化简等于（    ）    A． B． C． D． 3．数、在数轴上的位置如图所示，化简______． 4．如图，数轴上的点A，B，C分别表示数a，b，c，则化简的结果为___________． 5．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：________．（用“、或”填空） (2)化简：． 题型7 绝对值几何意义求距离 【模型】数轴上|x-a|表示数x与数a对应两点之间的距离。 【步骤】把绝对值式子对应数轴两点，直接读出两点间距离，距离结果恒非负。 【易错】混淆被减数顺序，误把|x-a|理解为x到原点的距离。 1．已知点A是数轴上的一点，它到原点的距离为3，把点A向左平移7个单位后，再向右平移5个单位得到点B，则点B到原点的距离为（    ） A．3或7 B．3或5 C．1或3 D．1或5 2．如图，数轴上点与点表示的数是一对相反数，则与原点距离最近的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．在数轴上，与对应的点距离为个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C． D． 4．若，且，则在数轴上表示，两数的对应点的距离为____． 5．一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是______． 拔高·压轴破难 题型8 绝对值最值问题 【模型】|x-a|≥0，单个绝对值有最小值0，无最大值；多个绝对值结合可求最值。 【步骤】利用绝对值非负性，找到使绝对值内部为零的取值，代入求取最值。 【易错】求最值时忽略取值条件，错误认为绝对值既有最大值又有最小值。 1．在一条直线上有依次排列的（）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图①，如果直线上有台机床时，很明显设在和间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有台机床，应设在第台与第台之间的任何地方；有台机床，应设在第台位置． (1)如果直线上有台机床，应在何处？ (2)有台机床时，应设在何处？ (3)求的最小值． (4)求的最小值． 2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 已知表示和2两点之间的距离是5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的 距离等于 (1)如果，那么_____； (2)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是_____； (3)当____时，的值最小，最小值是_____． (4)若有理数a、b、c满足，，则______． 3．若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于． (1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．    (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好；    (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 题型9 绝对值与数轴综合性问题 【模型】结合数轴点的位置，利用|A-B|表示数轴上两点距离，判断代数式正负再化简计算。 【步骤】依据数轴判断字母及式子正负，结合绝对值法则去绝对值，再化简求值。 【易错】看错数轴上点的远近、左右位置，去绝对值时符号处理出错。 1．【阅读】已知、两个数在数轴上对应的点为、，其中，求、两点之间的距离．小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索：解：因为，所以有以下情况： 情况1：若，，如图，、两点之间的距离； 情况2：若，，如图，、两点之间的距离； 情况3：若，，如图，、两点之间的距离． 由此小明得出结论：若、两个数在数轴上对应的点为、，其中，则、两点之间的距离． [应用]在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点对应的数为． (1)若，，则 ． (2)若，，点到点的距离是点到点距离的倍． ①当时，求的值； ②对于任意一个的值，满足条件的点的个数始终有个，请直接写出取值范围． 2．请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 3．已知是最小的正整数，是的相反数，，且、、分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)=___________，=___________，=___________； (2)如果表示数m和A的两点之间的距离是3，那么m=___________． (3)数轴上表示A和B的两点之间的距离是___________；表示B和C两点之间的距离是___________； (4)若数轴上表示数n的点位于A与C之间，则的值为___________； (5)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是___________． $专题02 绝对值全题型突破 基础·固本强基 题型1. 求一个数的绝对值 题型2. 已知绝对值求原数 题型3. 绝对值的非负性直接判断 题型4. 绝对值比较有理数大小 提升·进阶突破 题型5. 多个绝对值非负性求和为0 题型6. 绝对值化简（判断正负去绝对值符号） 题型7 绝对值几何意义求距离 拔高·压轴破难 题型8 绝对值最值问题 题型9 绝对值与数轴综合性问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 求一个数的绝对值 【模型】|a|= 【步骤】先判断这个数是正数、负数还是 0，再对照法则去掉绝对值符号。 【易错】负数的绝对值是它的相反数，不要直接去掉负号写成负数。 1．的绝对值是（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【详解】解：． 2．的值是（     ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 3．计算：_________． 【答案】 【详解】解：， ． 4．计算：___________． 【答案】0 【详解】解：． 题型2 已知绝对值求原数 【模型】若|x|=a(a>0)，则x=a或x=-a；若|x|=0，则x=0 【步骤】分清结果是否为 0，正数结果对应正负两个原数，结果为 0 时原数只能是 0 【易错】容易只写正数解，漏掉对应的负的解。 1．若，则x的值是（     ） A．3 B．1 C．1或3 D．3或 【答案】C 【分析】利用绝对值的意义去掉绝对值符号，转化为一元一次方程求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得或． 2．绝对值等于的数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义：一个数的绝对值就是这个数在数轴上对应的点到原点（数字 ）的距离即可得到答案． 【详解】绝对值等于的数有两个，分别是和，即． 故选：． 3．已知，，且，则的值是（     ） A．5 B． C．或 D．或5 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义求、的可能值，结合筛选后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， ∴或． 4．已知，则x的值为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴原等式可转化为， ∴． 5．绝对值不大于3.5的所有整数的和为___________． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质先找出所有符合条件的整数，再计算它们的和即可． 【详解】解：根据题意得 绝对值不大于即满足， 符合条件的所有整数为． 计算它们的和：． 题型3 绝对值的非负性直接判断 【模型】|a|≥ 0，任意有理数的绝对值大于或等于 0 【步骤】看到绝对值式子，直接判定其结果不会为负数。 【易错】误认为绝对值结果一定是正数，忽略绝对值可以等于 0。 1．若是有理数，则下列叙述正确的是（     ） A．一定是正数 B．一定是正数 C．可能是0 D．一定是负数 【答案】C 【分析】考虑的特殊情况，通过举反例判断各选项． 【详解】解：当时，，均不是正数，故、错误． ，即可能是0，故正确，D错误． 2．已知，则有理数a一定是（    ） A．正数或0 B．0 C．正数 D．负数或0 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，由可得，从而推导出，即a为负数或0． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，即a是负数或0， 故选：D． 3．下列说法正确的是（    ） A．若，则a必为负数 B．绝对值不大于3的整数有6个，分别是，， C．若，则，反之，若，则 D．任意有理数的绝对值都是非负数 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的性质，根据绝对值的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、若，则，不一定为负数，故A选项不符合题意； B、绝对值不大于3的整数包括，，和0，共7个，故B选项不符合题意； C、若，则正确；但反之若，则，故C选项不符合题意； D、任意有理数的绝对值都是非负数，故D选项符合题意； 故选：D． 4．如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的定义分析，当时，；当时，，据此即可解答． 【详解】解：根据绝对值的定义，当时，；当时，． 当时，成立；当时，也成立； 故由，可知， 故答案为：． 5．m为有理数，则的最小值：______． 【答案】 【分析】这道题考查了绝对值的性质，解题关键是利用绝对值的非负性分析式子的取值范围． 利用绝对值的非负性，分析表达式的最小值． 【详解】因为对于任意有理数 ，有 ， 所以 ， 当 时，，此时 ． 故答案为． 题型4 绝对值比较有理数大小 【模型】两个负数比较大小，绝对值大的反而小；正数、0 直接利用绝对值判断。 【步骤】先求出负数的绝对值，比较绝对值大小，再判定原数的大小关系。 【易错】比较两个负数时，直接认为绝对值大的数就大。 1．下列式子中成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正数大于负数的性质，结合绝对值化简快速判断． 【详解】解：A、，原式不成立，故本选项不符合题意； B、，原式不成立，故本选项不符合题意； C、，原式不成立，故本选项不符合题意； D、，原式成立，故本选项符合题意． 2．下列各式中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，正确； B. ∵，， ∴，正确； C. ∵，， ∴，正确； D. ∵，， 又∵，，， ∴，即，原式错误． 3．比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】先化简两个数，再根据负数比较大小的规则比较即可． 【详解】解：化简两个数，，， 计算两个数的绝对值，，， ∵， ∴， 即． 4．比较大小：______． 【答案】 【详解】解：∵，，，， ∴． 5．比较大小：_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】先计算右边的绝对值，然后比较两个负数的大小：绝对值越大，这个负数的实际值就越小． 【详解】解：， ∵， ∴， 即． 提升·进阶突破 题型5 多个绝对值非负性求和为0 【模型】若|A|+|B|=0，则|A|=0且|B|=0。 【步骤】根据绝对值非负，令每一个绝对值部分分别等于 0，解方程求出字母的值。 【易错】只让整体和为 0，忽略每个绝对值要分别等于 0。 1．如果有理数a、b满足，那么等于（　　） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的非负性、求代数式的值； 根据绝对值的非负性，两个绝对值的和为零，则每个绝对值都必须为零，从而求出a和b的值，再代入即可求值． 【详解】解：∵，且， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 2．若有理数a，b满足，则的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性，求出，，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，， 解得：，， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值的非负性，代数式求值，正确得出a，b的值是解题的关键． 3．若，则（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的非负性，关键点在于两个非负数的和为零，则每个数都为零． 利用绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，解答． 【详解】∵，，且 ， ∴ ，， ∴， 解得 ， ∴． 故选：A． 4．成立时，______． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出的值，然后将它们的值代入中求解即可． 【详解】， ， 解得， ． 5．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【答案】(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 题型6 绝对值化简（判断正负去绝对值符号） 【模型】|a|= 【步骤】先判定绝对值内部代数式的正负，再依据法则去掉绝对值符号。 【易错】内部为负时，去掉绝对值忘记给整体添加括号，直接写-A易符号出错 1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，式子化简为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值．根据数轴正确的表示有理数的大小关系是解题的关键． 由题意知，，则，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， 故选：A． 2．有理数、在数轴上的位置如图所示，化简等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据数轴比较有理数的大小、化简绝对值及有理数的加减运算，根据数轴得出“且”化简绝对值是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可得：且， ∴，， ∴ ， 故选：C． 3．数、在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，数轴与绝对值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据数轴判断出a、b的情况以及的正负情况． 再根据绝对值的性质去掉绝对值号，合并同类项即可， 【详解】解：由数轴得，， ． ． 故答案为∶． 4．如图，数轴上的点A，B，C分别表示数a，b，c，则化简的结果为___________． 【答案】/ 【分析】根据数轴上有理数的位置，绝对值的化简，合并同类项，计算判断即可． 本题考查了数轴上表示有理数，绝对值的化简，合并同类项，熟练掌握数绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 5．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：________．（用“、或”填空） (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较、化简绝对值，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，从而可得，即可得解； （2）由数轴可得，从而得出，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， ∴， ∴； （2）解：由数轴可得：， ∴，， ∴． 题型7 绝对值几何意义求距离 【模型】数轴上|x-a|表示数x与数a对应两点之间的距离。 【步骤】把绝对值式子对应数轴两点，直接读出两点间距离，距离结果恒非负。 【易错】混淆被减数顺序，误把|x-a|理解为x到原点的距离。 1．已知点A是数轴上的一点，它到原点的距离为3，把点A向左平移7个单位后，再向右平移5个单位得到点B，则点B到原点的距离为（    ） A．3或7 B．3或5 C．1或3 D．1或5 【答案】D 【分析】先求得点A在数轴上表示的数，再根据平移，求得点B表示的数，即可求解． 【详解】解：点A是数轴上的一点，它到原点的距离为3， 则点A在数轴上表示的数为或 当点A在数轴上表示的数为时，把点A向左平移7个单位后，再向右平移5个单位得到点B，则点B表示的数为，点B到原点的距离为， 当点A在数轴上表示的数为时，把点A向左平移7个单位后，再向右平移5个单位得到点B，则点B表示的数为，点B到原点的距离为， 故选：D 【点睛】此题考查了绝对值的含义，数轴上点的平移，解题的关键是正确确定点B表示的数． 2．如图，数轴上点与点表示的数是一对相反数，则与原点距离最近的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数定义，根据点与点表示的有理数互为相反数标出原点，然后根据绝对值的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点与点表示的有理数互为相反数， ∴原点的位置大约在点，如图， ∴绝对值最小的数的点是点，即到原点距离最近的是点， 故选：． 3．在数轴上，与对应的点距离为个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】设数轴上与表示的点的距离为个单位的点表示的有理数是，再根据数轴上两点间的距离公式求出的值即可． 【详解】解：设数轴上与表示的点的距离为个单位的点表示的有理数是， 则， 解得：或． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解绝对值方程；熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 4．若，且，则在数轴上表示，两数的对应点的距离为____． 【答案】或 【分析】根据题意，得到方程组，解得，从而得到，的值，即可求解． 【详解】解：由题意得，解得， ∴，， ∴当，或，时，； 当，或，时，， 综上可知，，两数对应点的距离为或． 5．一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是______． 【答案】18或27 【分析】本题考查了数轴上的动点运动规律、绝对值的应用及分类讨论思想，解题的关键是找出第次跳动后位置的表达式，结合到原点的距离列方程求解． 分析每次跳动的方向与距离，分为奇数、偶数两种情况推导第次跳动后的位置表达式，再根据位置的绝对值为23列方程，求解得到的值． 【详解】解：起点为，推导第次跳动后的位置： 当为奇数时，位置为； 当为偶数时，位置为． 由到原点的距离为23，得位置的绝对值为23． 若为奇数：，解得（舍去）； 若为偶数：，解得． 故答案为：18或27． 拔高·压轴破难 题型8 绝对值最值问题 【模型】|x-a|≥0，单个绝对值有最小值0，无最大值；多个绝对值结合可求最值。 【步骤】利用绝对值非负性，找到使绝对值内部为零的取值，代入求取最值。 【易错】求最值时忽略取值条件，错误认为绝对值既有最大值又有最小值。 1．在一条直线上有依次排列的（）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图①，如果直线上有台机床时，很明显设在和间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有台机床，应设在第台与第台之间的任何地方；有台机床，应设在第台位置． (1)如果直线上有台机床，应在何处？ (2)有台机床时，应设在何处？ (3)求的最小值． (4)求的最小值． 【答案】(1)应该在第4台位置 (2)当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第台之间的任何位置 (3) (4) 【分析】本题考查了图形的变化规律，涉及去绝对值、有理数混合运算等知识，理解题意，找出规律，分类讨论是解题的关键． （1）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （2）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （3）由阅读材料，找准规律，去绝对值即可得到答案； （4）由阅读材料，找准规律，得到当时，有最小值，将代入代数式，去绝对值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）由阅读材料可知，是奇数，故应该在第4台位置； （2）解：由阅读材料可知：当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第台之间的任何位置； （3）解：由题意，在直线上相当于有台机床，则当在所对应的点时，即当时，有最小值， ∴ ； （4）解：∵， ∴可以理解为：表示的点到一个1，两个，三个，，直到个的距离之和，共有：个点， ∵总点数为奇数，最小值出现在第个点对应的定点处， 设第个点对应的定点是，则， 可得， ∴第个点对应的定点是， 故当时，的值最小， ． 2．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 已知表示和2两点之间的距离是5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的 距离等于 (1)如果，那么_____； (2)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得，这些点表示的数的和是_____； (3)当____时，的值最小，最小值是_____． (4)若有理数a、b、c满足，，则______． 【答案】 1或 7 9 8或4 【分析】本题考查数轴、绝对值，整式的加减运算，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的特点和分类讨论的数学思想解答． （1）根据数轴上两点之间距离的含义，结合绝对值方程的解法，可以解答本题； （2）分情况将绝对值去掉，从而可以解答本题； （3）分情况将绝对值去掉，可以解答本题； （4）根据分类讨论的数学思想分别画图，结合数形结合的思想可以解答本题； 【详解】（1）解：由题意可得，数轴上表示a和两点之间的距离是3， 记作：， 解得或； （2）当时， ， 当时， ， 当时， ， 使得的所有整数为：，，0，1，2，3，4， ； （3）当时， ， 当时， ， 则， 当时， ， 则， 当时， ， 由上可得，当时，的值最小，最小值是9； （4）有理数、、满足，， ①当时，如图： 则； ②当时，如图： 则； ③当时，如图： 则； ④当时，如图： 则； 综上所述，或4． 3．若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于． (1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．    (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好；    (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 【答案】(1)1或3 (2)；最小 (3)处最好 (4)当n为奇数时，处最好；当n为偶数时，在、之间（包含，）处最好 【分析】（1）根据绝对值的意义可得，进一步即可求出答案； （2）根据题意可得当表示x的点在A、B之间即时，有最小值3； （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小，然后分情况讨论求解即可； （4）由4个、5个汽车站，然后拓展到n个汽车站，仿照（3）的分析得出结论即可． 【详解】（1）由可得：或， 解得：或1； 故答案为：1或3； （2）可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足时，有最小值3． 故答案为：，最小；    （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小， 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在时，三个汽车站到加油站M的路程总和； 综上，当加油站M建在处最好，即可使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小；    （4）如果有，，，共4个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在之间（包含两个端点）时，可使得4个汽车站到加油站M的路程总和最小；    如果有，，，，共5个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在时，可使得5个汽车站到加油站M的路程总和最小；    ……； 综上：当n为奇数时，加油站M建在处最好；当n为偶数时，加油站M建在在、之间（包含，）处最好． 【点睛】本题以数轴为载体，主要考查了数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 题型9 绝对值与数轴综合性问题 【模型】结合数轴点的位置，利用|A-B|表示数轴上两点距离，判断代数式正负再化简计算。 【步骤】依据数轴判断字母及式子正负，结合绝对值法则去绝对值，再化简求值。 【易错】看错数轴上点的远近、左右位置，去绝对值时符号处理出错。 1．【阅读】已知、两个数在数轴上对应的点为、，其中，求、两点之间的距离．小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索：解：因为，所以有以下情况： 情况1：若，，如图，、两点之间的距离； 情况2：若，，如图，、两点之间的距离； 情况3：若，，如图，、两点之间的距离． 由此小明得出结论：若、两个数在数轴上对应的点为、，其中，则、两点之间的距离． [应用]在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点对应的数为． (1)若，，则 ． (2)若，，点到点的距离是点到点距离的倍． ①当时，求的值； ②对于任意一个的值，满足条件的点的个数始终有个，请直接写出取值范围． 【答案】(1)或 (2)①或；②且 【分析】（1）分两种情况讨论，即点在点的左侧，点在点的右侧； （2）①分两种情况讨论，即点在线段之间，点在点的左侧； ②分三种情况讨论，即点在点的左侧，点在线段之间，点在点的右侧． 【详解】（1）解：分两种情况： 当点在点的右侧，即时， ∵，， ∴， ∴； 当点在点的左侧，即时， ∵，， ∴， ∴； ∴或， 故答案为：或； （2）①分两种情况： 当点在线段之间时，，即， ∵，， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，，即， ∵，， ∴， ∴； ∴或， 即的值为或； ②分三种情况： 当点在点的左侧时，， ∴； 当点在点的右侧时，， ∴； 当点在线段之间时，； 又∵点的个数始终有两个， ∴， 综上所述，的取值范围为且． 【点睛】本题考查两点间的距离，数轴，绝对值的意义，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 2．请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：    (1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：． (2)请你找出所有符合条件的整数，使得． (3)若、为非负整数，且，求、的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或或． 【分析】本题考查了绝对值的应用，关键是掌握分类讨论的思想． （1）观察数轴上、、的正负，去除绝对值符号，化简； （2）分区间讨论符合条件的整数； （3）表示的两个因数，找出合适的两个因数，分别求出、的值． 【详解】（1）解：由题意得, , ∴，，， ∴ ． （2）解：①当时, ， ∴， 解得：； ②当时, ∴， ∵， ∴等式不成立． ③当时, 由， 得， 解得：， ∴或时，． （3）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在与之间时（含端点）， 当在左侧时，到的距离大于， 当在右侧时，到的距离大于， 则在上述两种情况时， ∴， 同理：， 又∵，、为非负整数， ∴可得：， ， ， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， ∴满足，或， 时，， 解得：（舍去）， 故， 即，，，， 解方程组：时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解； 解方程组时，， 解得：， 时，， ∴， 时，， 解得：（舍去）， 时，， 时，， 解得：（不合题意）， 故方程组无解， 综上：或或或． 3．已知是最小的正整数，是的相反数，，且、、分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)=___________，=___________，=___________； (2)如果表示数m和A的两点之间的距离是3，那么m=___________． (3)数轴上表示A和B的两点之间的距离是___________；表示B和C两点之间的距离是___________； (4)若数轴上表示数n的点位于A与C之间，则的值为___________； (5)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是___________． 【答案】(1)1，7，； (2)4或； (3)6，9； (4)3； (5)9． 【分析】（1）根据已知条件直接可以写出答案； （2）根据数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的绝对值得到，解得即可； （3）根据数轴上表示a、b两数的两点之间距离为计算即可； （4）先根据表示数n的点位于与1之间可知，再根据绝对值的性质把原式去掉绝对值符号化简即可； （5）根据分类讨论的数学思想可以解答本题点评． 【详解】（1）解：∵是最小的正整数，是的相反数，， ∴； 故答案为：1，7，； （2）若表示数m和1的两点之间的距离是3，则， 解得或， 故答案为：或4； （3）由数轴上两点之间的距离公式可知：数轴上表示1和7的两点之间的距离是， 表示7和两点之间的距离是， 故答案为：6，9； （4）依题意得：， ∴， 故答案为：3； （5）当时，， 当时，， 当时，， ∴使得的所有整数为： 故答案为：9． 【点睛】本题考查数轴、绝对值，有理数的加减法，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的特点和分类讨论的数学思想解答． $