专题01 数轴核心11大题型汇总（期中专项训练）七年级数学上学期新教材青岛版

专题01 数轴核心考点 基础·固本强基 题型1数轴三要素辨析 题型2在数轴上表示有理数 题型3数轴上两点间基础距离计算 题型4根据数轴比较有理数大小 提升·进阶突破 题型5 数轴上点的平移求对应数 题型6已知距离求数轴上点表示的数 题型7数轴上多点排序化简大小关系 题型8借助数轴判断数的符号 拔高·压轴破难 题型9 数轴上的规律问题 题型10数轴上距离最值探究 题型11数轴与分类讨论综合求值 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 数轴三要素辨析 【模型】原点、正方向、单位长度三者齐全才是有效数轴。 【步骤】依次检查是否有原点、正方向、统一的单位长度。 【易错】忽略单位长度不统一、漏画正方向、原点位置随意判定。 1．下面是4名同学画的数轴，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、画的数轴正确，故本选项符合题意； B、缺少原点，故本选项不符合题意； C、缺少原点，故本选项不符合题意； D、缺少正方向，故本选项不符合题意； 2．下列关于数轴的说法正确的是（     ） A．规定了原点和正方向的直线 B．规定了单位长度的直线 C．规定了原点和单位长度的直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线 【答案】D 【详解】解：∵数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线， 又∵选项A缺少单位长度，选项B缺少原点和正方向，选项C缺少正方向，均不满足要求， ∴选项A、B、C错误，选项D正确. 3．悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确且合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据数轴定义，负数位于原点的左侧，正数位于原点的右侧， ∴选项A和选项C错误； 选项B单位长度错误，间隔不相等； 选项D正确． 4．下列数轴画得正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的定义，要明确数轴的三要素：原点、正方向和单位长度． 根据数轴的定义逐一判断即可． 【详解】解： A、没有原点，故不是数轴； B、单位长度不一致，故不是数轴； C、符合数轴的定义，正确； D、正负数的顺序不正确，故不是数轴； 故选：C． 5．如图，是数轴的有____个． ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 【答案】1 【分析】根据数轴的定义和三要素逐一判断即可． 【详解】解：①不是数轴，没有正方向； ②不是数轴，没有单位长度； ③不是数轴，-1，-2，-3的位置错误； ④不是数轴，没有原点； ⑤不是直线； ⑥是数轴； 所以只有⑥是数轴，有1个． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了数轴的定义和三要素，熟练掌握数周的定义，以及三要素——原点、单位长度、正方向是解题的关键． 题型2 在数轴上表示有理数 【模型】根据数的正负，在原点左右找到对应单位长度的位置描点标注。 【步骤】先定正负方向，再数对应单位长度，描实点并写上对应数字。 【易错】标数写在点上方、负数方向找反、分数小数点位定位出错。 1．如图，数轴上点A表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数轴，点A落在与两个整数刻度中间位置，对应选出答案即可． 【详解】解：点A在与中间，故表示的数是． 2．如图，“”所指的位置表示的数可能是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据图示，数轴上的一个小格表示2，箭头所指的位置，在10到20之间，第3个格，可知箭头表示的数是16． 【详解】解：根据图示，数轴上的一个小格表示2，则箭头表示的数是16． 3．观察数轴上的数，点表示的数是( )，点表示的数是( )． 【答案】 【分析】数轴上原点左边的数是负数，右边的数是正数；根据数轴上的刻度，确定单位长度被平均分成的份数，进而得出每个小格代表的数值，最后读出点和点表示的数． 【详解】解：观察数轴可知，原点左侧表示负数，右侧表示正数，点位于与之间，该区间被平均分成份，每份表示，点在左侧第个刻度处， 所以点表示的数是， 点位于与之间，该区间被平均分成份，每份表示，点在右侧第个刻度处， 所以点表示的数是． 4．下面直线上点A表示的数是( )，点B用分数表示是( )． 【答案】 【详解】解：由图可知，向右为正方向，向左为负方向， 点位于左侧个单位长度处，即与的中点， 点表示的数为； 点位于与之间，该区间被平均分成3份，每份长度为，点位于右侧第2个分点处， 点表示的数为． 5．画出数轴，并在数轴上表示下列各数：，，，，． 【答案】如答图所示． 【详解】略 题型3 数轴上两点间基础距离计算 【模型】数轴上两点距离等于两点所表示数的差的绝对值。 【步骤】写出两点代表的数，大数减小数（或求两数差的绝对值）算结果。 【易错】直接用左边数减右边数漏掉绝对值，把距离算成负数。 1．如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数轴得：点A表示的数为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：点A表示的数为， ∴点到原点的距离是3． 2．如图，点A，B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，点B表示的数为4，则A，B两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求数轴上两点之间的距离，有理数的减法，正确理解数轴上两点之间的距离的求解方法是关键．对于数轴上任意不同的两点，这两点间的距离右边的数左边的数．根据数轴上两点之间的距离的计算方法求解即可． 【详解】解：A，B两点之间的距离为． 故选：D． 3．数轴上点表示1，点表示，则与两点间的距离是（   ）． A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间的距离公式． 根据数轴上两点间的距离等于两点坐标之差的绝对值，列式求解即可． 【详解】解：点表示1，点表示， 则与两点间的距离为， 故选：D． 4．数轴上表示数的点与表示数4的点的距离为______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是明确数轴上表示两个数之间的距离的求法， 根据题意列出算式，计算即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：7． 5．已知数轴上的两点A，B分别表示数,3，若点C与点A的距离为5个单位长度，则点C与点B的距离是________． 【答案】1或9 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离计算，解题的关键是先确定点C的可能位置，再分别计算点C与点B的距离． 先根据点C与点A的距离为5个单位长度，求出点C表示的数（分点C在点A左侧和右侧两种情况）；再分别计算这两个数与点B表示的数3之间的距离． 【详解】解：∵点A表示数，点C与点A的距离为5个单位长度， ∴当点C在点A左侧时，点C表示的数为； 当点C在点A右侧时，点C表示的数为． ∵点B表示数3， ∴当点C表示时，点C与点B的距离为； 当点C表示4时，点C与点B的距离为． 故答案为：1或9． 题型4 根据数轴比较有理数大小 【模型】数轴上右边的数总大于左边的数。 【步骤】观察点在数轴上的左右位置，按从右到左顺序排列数的大小。 【易错】混淆左右大小关系，忽略负数比较大小的规律。 1．如图，点A表示的有理数是，则，，1的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，根据点在数轴上的位置，结合数轴上的数左边比右边的大，进行比较即可． 【详解】解：由图可知：， 所以， ∴． 故选A． 2．如图所示，，， 表示有理数，则，， 的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴的特点及有理数的大小比较，根据数轴上的各数右边的数总比左边的数大解答即可； 【详解】解：∵数轴上的数右边的总比左边的大， ∴从左到右把各字母用连接为：． 故选：． 3．将下列各数：在数轴上表示出来； 并比较它们的大小（用“”连接）：______． 【答案】 在数轴上表示如下： 【分析】本题主要考查了数轴，有理数比较大小，首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再用“＜”连接即可． 【详解】解：， 故它们的大小为： 故答案为：． 4．如图，数轴上的两个点A、B所表示的数分别为a、b，比较大小：_____．（用“>”“<”或“=”号连接） 【答案】> 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，把、表示在数轴上，利用数形结合是解决本题比较简单的方法． 根据相反数的意义，把、先表示在数轴上，然后再利用数轴比较它们的大小即可． 【详解】解：根据相反数的意义，把、表示在数轴上，如图， 所以． 故答案为：>． 5．在数轴上把下列各数表示出来，并比较它们的大小（用“<”连接）： 2，，0，，，． 【答案】 将各数表示在数轴上如图所示： ， 则． 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，先将各数表示在数轴上，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：略． 提升·进阶突破 题型5 数轴上点的平移求对应数 【模型】点右移加，左移减，原数 ± 移动单位长度得到新数。 【步骤】确定原数，分清平移方向，按左减右加列式计算出新点表示的数。 【易错】平移方向搞反，左加右减出现计算错误。 1．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 2．如图，将2在数轴上对应的点向左平移3个单位，则此时该点对应的数是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得， 故此时该点对应的数是． 3．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动2个单位长度得到点，则点表示的数为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是1，向左移动2个单位对应的数是，只有B正确． 4．在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据数轴的特点，数轴从左到右表示的数越来越大，数轴平移的特点是左减右加，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 点A所表示的数向右平移4个单位长度后，得到的点B所表示的数是3， ∴点A表示的数是：． 5．一个点从原点开始，先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，那么终点表示的数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的动点，有理数的加减．根据数轴上的点移动规律“左减右加”，进行有理数的加减运算． 【详解】解：从原点开始，向左移动个单位：；再向右移动个单位：． 故答案为：． 题型6 已知距离求数轴上点表示的数 【模型】已知一点，距离该点为 a（a＞0）的点有两个，分列已知点左右两侧。 【步骤】以已知点表示的数为基准，分别做加、减距离，求出两个结果。 【易错】容易只算一个结果，漏掉另一侧的解，忽略双解分类情况。 1．点A，点B，点C在一条数轴上，点A表示的数为−9，点B表示的数为4．以点C为折点，将CA向右对折，点A落在数轴上点处．若，则点C表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键． 先根据题意找到点表示的数，再根据线段的长，确定的中点表示的数． 【详解】解：∵点B表示的数为4，， ∴点表示的数为5或3， 当点表示的数为5时， ∵点A表示的数为， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 当点表示的数为3时， ∵点A表示的数为， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为或． 故选：D 2．如图所示，如果有理数表示的点到原点距离是有理数表示的点到原点距离的3倍，那么点，，，中可能是数轴原点的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，由数轴可得，有理数表示的点到原点距离是有理数表示的点之间的距离为，再结合有理数表示的点到原点距离是有理数表示的点到原点距离的3倍即可得解，熟练掌握数轴的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得，有理数表示的点到原点距离与有理数表示的点之间的距离为， ∵有理数表示的点到原点距离是有理数表示的点到原点距离的3倍， ∴结合数轴可得可能是数轴原点的是点， 故选：C． 3．在数轴上与所对应的点的距离等于4的点表示的数是（    ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移计算，熟练掌握左减右加是解题的关键． 根据数轴上点的平移解答即可． 【详解】解：当点在表示的点的右边时， 该点表示的数是：； 当点在表示的点的左边时， 该点表示的数是：； 故该点表示的数是2或， 故选：C． 4．已知数轴上的两点分别表示数，3，若点与点的距离为5个单位长度，则点与点的距离为___________个单位长度． 【答案】1或9 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离计算，解题的关键是先确定点C的可能位置，再分别计算点C与点B的距离． 先根据点C与点A的距离为5个单位长度，求出点C表示的数（分点C在点A左侧和右侧两种情况）；再分别计算这两个数与点B表示的数3之间的距离． 【详解】解：∵点A表示数，点C与点A的距离为5个单位长度， ∴当点C在点A左侧时，点C表示的数为； 当点C在点A右侧时，点C表示的数为． ∵点B表示数3， ∴当点C表示时，点C与点B的距离为； 当点C表示4时，点C与点B的距离为． 故答案为：1或9． 5．已知数轴上A、B两点间的距离为7，若点A表示的数为3，则点B表示的数为______． 【答案】10或 【分析】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离，有理数加减法的应用，正确分两种情况讨论是解题关键．分①点在点左侧和②点在点右侧两种情况，分别利用数轴的性质列出式子，计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： ①当点在点左侧时， 则点表示的数为； ②当点在点右侧时， 则点表示的数为； 综上，点表示的数为10或， 故答案为：10或． 题型7 数轴上多点排序化简大小关系 【模型】依据点的左右位置，右边数大于左边数，进行数与式子大小排序。 【步骤】观察各点位置确定数的正负与相对大小，再对代数式排序化简。 【易错】取相反数后大小判断出错，忽略负数相反数位置反转。 1．图所示，在数轴上标出了有理数a，b，c的位置其中0是原点，则，，，大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数轴上的位置判断a、b、c的大小，再取特殊值进去比较其倒数大小即可． 【详解】根据a、b、c在数轴上的位置，可以取特殊值判断其倒数的大小， 可以取、、， 则、、， 所以， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴、倒数和有理数比较大小的知识点，采用特殊值法代入比较是解题的关键． 2．如图，数轴上O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点的位置，下列比较大小正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴得出，，进而得出，即可进行解答． 【详解】解：从数轴可知：，， ∴， ∴，，，， 即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是掌握数轴上的点表示的数右边>左边． 3．如果，，，那么，，，的大小顺序为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了用数轴判断式子的大小，能够由题意判断出，在数轴上的大致位置是解题的关键． 根据题意将，表示在数轴上即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，将，，，在数轴上表示， 根据数轴特点可得：， 故答案为：． 4．把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数：，，0，，2，比较它们的大小. 比较大小：______<______<______<______<______. 【答案】 在数轴上表示为： ，0，，2， 【分析】先根据相反数和绝对值进行计算，再画出数轴，在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：，0，，2，． 【点睛】本题考查了相反数，绝对值，有理数的大小比较和数轴等知识点，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 题型8 借助数轴判断数的符号 【模型】原点右侧的数为正，原点左侧的数为负，原点表示 0。 【步骤】看点在原点的哪边，原点右为正、左为负，与原点重合为 0。 【易错】混淆点的位置，误判相反数、代数式结果的正负符号。 1．若，两数在数轴上位置如图所示，则是（ ） A．负数 B．正数 C．0 D．无法确定符号 【答案】A 【分析】根据、两点在数轴上的位置判断出、的符号及绝对值的大小，即可得出答案． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选择：． 【点睛】本题考查数轴表示数，绝对值，会利用数轴上数的位置确定两数的符号与绝对值的大小是解题关键． 2．如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为，，，则一定是（    ） A．负数 B．零 C．正数 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，利用数轴上的点表示的数：原点左边的数小于零，原点右边的数大于零，得出a、b的大小是解题关键．根据数轴判断出a，b的取值范围，从而进一步解答问题． 【详解】解：根据数轴可得， ，且 ∴ 故选：A 3．有理数和在数轴上的位置如图，则是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．非正数 【答案】B 【分析】根据有理数在数轴上的位置可得a<0<b，即可求解． 【详解】解：根据有理数在数轴上的位置可得a<0<b， ∴a-b<0，即a-b是负数， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的减法运算、数轴上的点表示的有理数，根据有理数在数轴上的位置得到a<0<b是解题的关键． 4．已知a，b在数轴上的位置如图所示，则下列符号判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值． 根据数轴可得, ，再根据有理数加、减、乘计算法则，绝对值性质，逐一判断即可． 【详解】解：由a，b在数轴上的位置知，, ， A. ，∴不正确；     B. ，∴不正确；     C. ，∴    不正确； D. ，∴正确． 故选：D． 5．已知有理数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子计算结果符号与众不同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，有理数的加法、减法等知识﹒先根据数轴得到，再根据有理数加法法则，减法法则逐项判断符号即可求解﹒ 【详解】解：由数轴可得， ∴A. 为负数； B. 为正数； C. 为正数； D. 为正数﹒ 故选：A 拔高·压轴破难 题型9 数轴上的规律问题 【模型】结合点周期性移动、间隔排布，寻找循环周期或者递推数量关系。 【步骤】列出前几组对应数据，找出循环周期，利用周期计算目标位置对应数值。 【易错】数错循环起始位置，周期计数出错，混淆点序号与对应数字。 1．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2026将与正方形上的哪个字母重合（     ） A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D 【答案】B 【分析】计算起点到终点的距离，利用正方形周长为4的周期性，通过余数判断对应顶点即可． 【详解】解：∵正方形边长为1， ∴正方形周长为4， ∵起点对应数，终点对应数2026， ∴滚动的总距离为， ∵， ∴数轴上的数2026对应的点与正方形滚动1个单位长度后落在数轴上的顶点重合， ∵正方形顺时针滚动，起始点为，则滚动1个单位长度后落在数轴上的点为， ∴数轴上的数2026将与正方形上的字母重合． 2．正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】通过列举前几次翻转后数轴上的数与顶点的对应关系，归纳出循环规律. 【详解】解：由题意得，正六边形边长为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 由此可知，数轴上的数每个为一个循环周期， ∵， ∴数对应的点与数对应的点相同，即为点. 3．如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 4．如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离．先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2026次跳动的点表示的数，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为． ∴点与点O的距离是：． 故答案为：． 5．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【详解】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 题型10 数轴上距离最值探究 【模型】|xa|表示数轴上x与a两点距离，多个绝对值和的最值由中间点取得。 【步骤】把绝对值转化为数轴距离，确定动点位置，代入关键点求最值。 【易错】分不清取到最值的取值范围，混淆最小值、最大值的存在情况。 1．已知有理数a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b的值： ， ； (2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置； (3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值． 【答案】(1)，2024 (2)当时，值为4051；当时，值为4047；当时，值为4049，当的值最小时，点X在数轴上的线段上； (3)当n为奇数时，最小值为，当n为偶数时，最小值为 【分析】（1）利用非负性，进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式，列出算式进行计算即可； （3）分为奇数和偶数两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：，2024； （2）∵， ∴当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； ∴当的值最小时，点X在数轴上的线段上； （3）当为奇数时，分包机器人在最中间的机器人处时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为： ； 当为偶数时，分包机器人在中间两个机器人之间时，每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，为：． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的非负性，列代数式以及代数式求值．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 2．在数轴上，我们把表示数的点称为共点，记作点P． 对于两个不同的点A和点B，若点A、点B到点P的距离相等，则称点A与点B关于点P互为共点联系点． 如图1，点A表示的数是，点B表示的数是1，它们到共点P的距离都是2个单位长度，则点A与点B关于点P互为共点联系点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B关于点P互为共点联系点． 若，则 ；若，则 ； 计算： ； (2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴移动2个单位长度得到点B． 若点A与点B关于点P互为共点联系点，则点A表示的数是 ； (3)在图2中，M、是数轴上两点，且，点M以每秒2个单位长度的速度从数轴上表示－6的点出发，在－6与6之间来回运动，点N从数轴上表示2的点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，若t秒后，点M或与点N关于点P互为共点联系点，求M或与N距离最大时，运动时间 秒，M或与N距离最小时，运动时间_____秒．     【答案】(1)①0；；② (2)或0 (3)，2 【分析】本题考查了新定义，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）①根据共点联系点的定义求解即可； ②设点A、点B到点P的距离为m，根据共点联系点的定义表示出a，b，然后相加即可； （2）先根据题意表示出b，再根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可； （3）先判断M或与N距离最大和M或与N距离最小的位置，再表示出M或与N，然后根据共点联系点表示的两数之和等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：①当时，由题意，得 ∴； 当时，由题意，得 ∴． 故答案为：①0；； ②设点A、点B到点P的距离为m， 由题意，得 ， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，或， ∴或， 解得或． 故答案为：或0； （3）解：假设M在的左侧，由题意知，当M到大P之前时，与N距离最小；当M从6表示的点返回后，与N距离最大． 当到大P之前时，， 由题意，得 ， 解得； 当M从6表示的点返回后，， 由题意，得 ， 解得； 故答案为：，2． 3．如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)点所对应的数 ． (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，此时点所对应的数为 ． (3)当点到点的距离之和最小时，此时的最小值为 ． (4)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后，点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数 ． 【答案】(1)1 (2)或 (3)4 (4)或 【分析】本题主要考查数轴上点的特点，两点之间距离的计算，一元一次方程与行程问题， （1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法即可求解； （2）根据题意，设点表示的数为，由题意，分类讨论，当点在点中间时；当点在点左边时；当点在点右边时；根据数量关系，列方程求解即可； （3）根据（2）中的计算方法即可求解； （4）根据点先运动秒，可得点表示的数，设当点同时运动的时间为秒，由此分别表示出点表示的数，结合两点之间距离的计算，分类讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 故答案为：； （2）解：设点表示的数为， 当点在点中间时，，不符合题意； 当点在点左边时，， ∴， 解得，； 当点在点的右边时，， ∴， 解得，； 故答案为：或； （3）解：根据（2）中的计算方法可得，当点到点的距离之和最小，此时最小值为， 故答案为：； （4）解：点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度， ∴点出发秒时对应的数为：， 设此时运动时间为秒， ∴秒时点对应的数为：，点对应的数为：， 当点在点左边时，， 解得，， ∴此时，点对应的数为：，点对应的数为：； 当点在点右边时，， 解得，， ∴此时，点对应的数为：，点对应的数为：； 综上所述，点分别对应的数为或， 故答案为：或． 题型11 数轴与分类讨论综合求值 【模型】结合点的位置、距离、动点条件，分多种位置情况分别列式求值。 【步骤】梳理所有可能情况，逐类代入条件计算，最后汇总全部结果。 【易错】最分类不全漏情况，解完不检验，忽略条件舍去不合理解。 1．如图，在数轴上点表示数，点表示数6，原点为，一小球从点处以4个单位长度/秒的速度向右运动．（忽略球的大小，可看作一点） (1)，两点之间的距离等于______； (2)小球运动______秒后到达点和点的中点； (3)若在小球运动过程中，小球与点之间的距离表示为，与点之间的距离表示为，与点之间的距离表示为，则的最小值是______； (4)如图，在数轴上的点处放一挡板，同时另一小球从点处以2个单位长度/秒的速度向左运动，两球同时出发，在碰到挡板后两球分别以原来速度的一半．向相反的方向运动，当小球回到点时，两小球均停止运动，则几秒后两球之间的距离是，距离的一半？ 【答案】(1)16 (2)2 (3)16 (4)秒或秒 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）求出的中点对应的数，点与中点的距离，再求出小球运动时间即可； （3）根据绝对值的几何意义可得答案； （4）分情况分别表示出两个球到挡板的距离，根据两球之间的距离是，距离的一半列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点表示数，点表示数6， ∴； （2）解：∵点表示数，点表示数6， ∴线段中点对应的数为， 又∵点P从运动到的路程为， ∴运动的时间为（秒）； （3）解：∵小球与点之间的距离表示为，与点之间的距离表示为，与点之间的距离表示为， 又当点在之间时，， ∴， 要使最小，则最小，即最小，此时，点与点重合，即， ∴的最小值为； （4）解：小球P到达挡板的时间为：秒； 碰到挡板后到停止的时间为秒； 所以总运动时间：秒，，停止； 小球Q到达挡板的路程为，时间为秒； 碰到挡板后的速度变为原来的一半：． 分情况讨论： ①当时，P没碰挡板，Q没碰挡板， 点P位置对应的数为：，Q位置对应的数为：， 根据题意得：， 整理得：， 当时，解得：； 当时，解得：（不合题意，舍去） ②当时，碰挡板后向左，Q还没碰挡板， 点P位置对应的数为：，Q位置对应的数为：， 根据题意得：， 恒等于4，不可能等于8，故无解； ③当时，P向左，Q碰挡板后向右， P位置对应的数为：；Q位置对应的数为， 根据题意得： 当时，解得； 当时，解得（不合题意，舍去） 综上，秒或秒． 2．如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (3)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，点P、Q分别折返到M、N时停止运动，直接写出P、Q距离为1时t的值． 【答案】(1)1 (2)点P所对应的数是或 (3)或或或 【分析】（1）根据题意可知数轴上右侧的数比左侧大，利用M对应的数加上两点距离即可得到N对应的数即可； （2）根据点P到点M、N的距离之和大于M、N的距离得到点在点、的两侧，分情况讨论：当点P在点M的左边或点P在点N的右边时，分别求出、的距离，从而求出点P所对应的数； （3）先分别确定P到达O点的时间、Q到达M点的时间，根据时间节点划分运动阶段，每个阶段分别用含t的式子表示P、Q对应的数，再根据两点距离为1列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 点N所对应的数是1； （2）解：点P到点M、N的距离之和是5个单位长度，， 点在点、的两侧， 分情况讨论： 如图，当点P在点M的左边时， ， 点P所对应的数是； 如图，当点P在点N的右边时， ， 点P所对应的数是， 综上所述，点P所对应的数是或； （3）解：根据题意得：点P到达O点所需时间为：，点Q到达M点所需时间为：， 则点P停止运动时需要的时间为，点Q停止运动时需要的时间为， 分情况讨论： ①当点Q未到达点M时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：或； ②当点Q从点M折返且点P未到达点O时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：（舍去）或（舍去）； ③当点P、Q都已折返时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：或， 综上所述：当或或或时， P、Q距离为1． 3．如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点P从点A运动至D点需要时间为_____秒； (2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数． 【答案】(1)19 (2)或 【分析】（1）根据时间等于路程除以速度，进行求解即可； （2）分5种情况，进行讨论，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知：，，， ∵“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点P从点A运动至D点需要的时间为（秒）； （2）解：设运动时间为t秒， ①当，即P在上，Q在上，由P、Q两点到原点O的距离相同得，方程无解，不符合题意； ②当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，解得，此时P已不在上，不符合题意，这种情况不存在； ③当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，解得或， ∴P表示的数是或； ④当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，解得（不合题意，舍去）， ⑤当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，此方程无解，不符合题意； 综上所述，P、Q两点到原点O的距离相同时，动点P在数轴上所对应的数是或． $专题01 数轴核心考点 基础·固本强基 题型1数轴三要素辨析 题型2在数轴上表示有理数 题型3数轴上两点间基础距离计算 题型4根据数轴比较有理数大小 提升·进阶突破 题型5 数轴上点的平移求对应数 题型6已知距离求数轴上点表示的数 题型7数轴上多点排序化简大小关系 题型8借助数轴判断数的符号 拔高·压轴破难 题型9 数轴上的规律问题 题型10数轴上距离最值探究 题型11数轴与分类讨论综合求值 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 数轴三要素辨析 【模型】原点、正方向、单位长度三者齐全才是有效数轴。 【步骤】依次检查是否有原点、正方向、统一的单位长度。 【易错】忽略单位长度不统一、漏画正方向、原点位置随意判定。 1．下面是4名同学画的数轴，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列关于数轴的说法正确的是（     ） A．规定了原点和正方向的直线 B．规定了单位长度的直线 C．规定了原点和单位长度的直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线 3．悦悦在直线上分别标出了几组正、负数，标注的位置正确且合理的是（   ） A． B． C． D． 4．下列数轴画得正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是数轴的有____个． ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 题型2 在数轴上表示有理数 【模型】根据数的正负，在原点左右找到对应单位长度的位置描点标注。 【步骤】先定正负方向，再数对应单位长度，描实点并写上对应数字。 【易错】标数写在点上方、负数方向找反、分数小数点位定位出错。 1．如图，数轴上点A表示的数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，“”所指的位置表示的数可能是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．观察数轴上的数，点表示的数是( )，点表示的数是( )． 4．下面直线上点A表示的数是( )，点B用分数表示是( )． 5．画出数轴，并在数轴上表示下列各数：，，，，． 题型3 数轴上两点间基础距离计算 【模型】数轴上两点距离等于两点所表示数的差的绝对值。 【步骤】写出两点代表的数，大数减小数（或求两数差的绝对值）算结果。 【易错】直接用左边数减右边数漏掉绝对值，把距离算成负数。 1．如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 2．如图，点A，B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，点B表示的数为4，则A，B两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．数轴上点表示1，点表示，则与两点间的距离是（   ）． A． B．1 C．2 D．3 4．数轴上表示数的点与表示数4的点的距离为______． 5．已知数轴上的两点A，B分别表示数,3，若点C与点A的距离为5个单位长度，则点C与点B的距离是________． 题型4 根据数轴比较有理数大小 【模型】数轴上右边的数总大于左边的数。 【步骤】观察点在数轴上的左右位置，按从右到左顺序排列数的大小。 【易错】混淆左右大小关系，忽略负数比较大小的规律。 1．如图，点A表示的有理数是，则，，1的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，，， 表示有理数，则，， 的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 3．将下列各数：在数轴上表示出来； 并比较它们的大小（用“”连接）：______． 4．如图，数轴上的两个点A、B所表示的数分别为a、b，比较大小：_____．（用“>”“<”或“=”号连接） 5．在数轴上把下列各数表示出来，并比较它们的大小（用“<”连接）： 2，，0，，，． 提升·进阶突破 题型5 数轴上点的平移求对应数 【模型】点右移加，左移减，原数 ± 移动单位长度得到新数。 【步骤】确定原数，分清平移方向，按左减右加列式计算出新点表示的数。 【易错】平移方向搞反，左加右减出现计算错误。 1．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．如图，将2在数轴上对应的点向左平移3个单位，则此时该点对应的数是（    ） A．1 B． C．5 D． 3．如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动2个单位长度得到点，则点表示的数为（   ） A． B． C．2 D．4 4．在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 5．一个点从原点开始，先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，那么终点表示的数是_________． 题型6 已知距离求数轴上点表示的数 【模型】已知一点，距离该点为 a（a＞0）的点有两个，分列已知点左右两侧。 【步骤】以已知点表示的数为基准，分别做加、减距离，求出两个结果。 【易错】容易只算一个结果，漏掉另一侧的解，忽略双解分类情况。 1．点A，点B，点C在一条数轴上，点A表示的数为−9，点B表示的数为4．以点C为折点，将CA向右对折，点A落在数轴上点处．若，则点C表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 2．如图所示，如果有理数表示的点到原点距离是有理数表示的点到原点距离的3倍，那么点，，，中可能是数轴原点的是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．在数轴上与所对应的点的距离等于4的点表示的数是（    ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 4．已知数轴上的两点分别表示数，3，若点与点的距离为5个单位长度，则点与点的距离为___________个单位长度． 5．已知数轴上A、B两点间的距离为7，若点A表示的数为3，则点B表示的数为______． 题型7 数轴上多点排序化简大小关系 【模型】依据点的左右位置，右边数大于左边数，进行数与式子大小排序。 【步骤】观察各点位置确定数的正负与相对大小，再对代数式排序化简。 【易错】取相反数后大小判断出错，忽略负数相反数位置反转。 1．图所示，在数轴上标出了有理数a，b，c的位置其中0是原点，则，，，大小顺序是（   ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点的位置，下列比较大小正确的是（　　）    A． B． C． D． 3．如果，，，那么，，，的大小顺序为______． 4．把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数：，，0，，2，比较它们的大小. 比较大小：______<______<______<______<______. 题型8 借助数轴判断数的符号 【模型】原点右侧的数为正，原点左侧的数为负，原点表示 0。 【步骤】看点在原点的哪边，原点右为正、左为负，与原点重合为 0。 【易错】混淆点的位置，误判相反数、代数式结果的正负符号。 1．若，两数在数轴上位置如图所示，则是（ ） A．负数 B．正数 C．0 D．无法确定符号 2．如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为，，，则一定是（    ） A．负数 B．零 C．正数 D．都有可能 3．有理数和在数轴上的位置如图，则是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．非正数 4．已知a，b在数轴上的位置如图所示，则下列符号判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知有理数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子计算结果符号与众不同的是（   ） A． B． C． D． 拔高·压轴破难 题型9 数轴上的规律问题 【模型】结合点周期性移动、间隔排布，寻找循环周期或者递推数量关系。 【步骤】列出前几组对应数据，找出循环周期，利用周期计算目标位置对应数值。 【易错】数错循环起始位置，周期计数出错，混淆点序号与对应数字。 1．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2026将与正方形上的哪个字母重合（     ） A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D 2．正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 3．如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 4．如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 5．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 题型10 数轴上距离最值探究 【模型】|xa|表示数轴上x与a两点距离，多个绝对值和的最值由中间点取得。 【步骤】把绝对值转化为数轴距离，确定动点位置，代入关键点求最值。 【易错】分不清取到最值的取值范围，混淆最小值、最大值的存在情况。 1．已知有理数a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b的值： ， ； (2)数轴上a，b，x三个数所对应的点分别为A、B、X，且点X是数轴上的任意点，点A与点X之间的距离用表示，点B与点X之间的距离用表示，请计算当x分别为，0，2025时，代数式的值，并指出当的值最小时，点X在数轴上的位置； (3)如果在数轴连续的整数点上依次有n个机器人，且相邻两个机器人之间的距离都是1个单位，同时数轴上有一个快递包裹分发点智能机器人，它能根据机器人的数量自动决策出快递包裹分发点的位置，使得每个机器人去取快递包裹的距离之和最小，请直接用含n的代数式表示这个最小值． 2．在数轴上，我们把表示数的点称为共点，记作点P． 对于两个不同的点A和点B，若点A、点B到点P的距离相等，则称点A与点B关于点P互为共点联系点． 如图1，点A表示的数是，点B表示的数是1，它们到共点P的距离都是2个单位长度，则点A与点B关于点P互为共点联系点． (1)已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B关于点P互为共点联系点． 若，则 ；若，则 ； 计算： ； (2)对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数表示的点沿着数轴移动2个单位长度得到点B． 若点A与点B关于点P互为共点联系点，则点A表示的数是 ； (3)在图2中，M、是数轴上两点，且，点M以每秒2个单位长度的速度从数轴上表示－6的点出发，在－6与6之间来回运动，点N从数轴上表示2的点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动，若t秒后，点M或与点N关于点P互为共点联系点，求M或与N距离最大时，运动时间 秒，M或与N距离最小时，运动时间_____秒．     3．如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点． (1)点所对应的数 ． (2)当点到点的距离之和是个单位长度时，此时点所对应的数为 ． (3)当点到点的距离之和最小时，此时的最小值为 ． (4)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后，点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数 ． 题型11 数轴与分类讨论综合求值 【模型】结合点的位置、距离、动点条件，分多种位置情况分别列式求值。 【步骤】梳理所有可能情况，逐类代入条件计算，最后汇总全部结果。 【易错】最分类不全漏情况，解完不检验，忽略条件舍去不合理解。 1．如图，在数轴上点表示数，点表示数6，原点为，一小球从点处以4个单位长度/秒的速度向右运动．（忽略球的大小，可看作一点） (1)，两点之间的距离等于______； (2)小球运动______秒后到达点和点的中点； (3)若在小球运动过程中，小球与点之间的距离表示为，与点之间的距离表示为，与点之间的距离表示为，则的最小值是______； (4)如图，在数轴上的点处放一挡板，同时另一小球从点处以2个单位长度/秒的速度向左运动，两球同时出发，在碰到挡板后两球分别以原来速度的一半．向相反的方向运动，当小球回到点时，两小球均停止运动，则几秒后两球之间的距离是，距离的一半？ 2．如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (3)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，点P、Q分别折返到M、N时停止运动，直接写出P、Q距离为1时t的值． 3．如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点P从点A运动至D点需要时间为_____秒； (2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数． $