专题01 期中复习计算题组14天强化训练（考试范围：第10章 整式的加减～第12章 因式分解）（举一反三专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级上册

专题01 期中复习期中复习计算题组14天强化训练（举一反三讲义专项训练） （考试范围：第10章 整式的加减~第12章 因式分解） 【新教材沪教版五四制】 DAY 1 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·海南·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级上·山东济宁·期末）按要求解答问题： (1)化简： (2)化简求值：，其中 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 代入，得：原式． 3．（26-27七年级上·北京·期中）如果，，且，求． 【答案】 【分析】将变为，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 4．（2026八年级上·全国·专题练习）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】利用单项式乘多项式的法则将原式展开，然后合并同类项进行化简，最后将 、 代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ∵，， ∴， ， ， ． 5．（26-27八年级上·福建·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据整式的乘法公式和运算法则先进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 6．（2025·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 7．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）按照要求完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中，． (2)先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】(1)；3 (2)； 【详解】（1）解： 当，时，原式； （2）解： 当，时，原式． 8．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）按要求解答下列问题： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)； (2)，． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， 当，时，原式． 9．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提公因式，再用平方差继续分解； （2）先提公因式，再用平方差继续分解； （3）把当作整体，利用完全平方公式，之后继续平方差分解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ， ， ． 10．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于三次多项式因式分解，先利用有理根定理判断可能的有理根，代入验证找到一个根后，对应得到一次因式，再用多项式除法或拆项补项法分解为一次因式与二次因式的乘积，最后判断二次因式能否继续分解； （2）对于正负交替的五次六项式因式分解，可先尝试分组分解，按相邻两项为一组分组，提取公因式后再提取整体公因式，得到一次因式与四次因式的乘积，再对四次因式添加一项使其能写成两个式子的平方差继续分解． 【详解】（1）解： （2）解： DAY 2 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·海南·期中）化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（26-27七年级上·内蒙古·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入到化简后的结果中计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 3．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先乘方再乘法最后加减合并同类项即可； （2）利用平方差公式及完全平方公式进行运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）先因式分解，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先提公因式，然后用完全平方公式分解因式，最后将数据代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 5．（2026八年级上·全国·专题练习）因式分解 【答案】 【分析】变形为平方差形式后，利用平方差公式分解，合并同类项后提取公因式即可得到结果． 【详解】解：原式       6．（2026八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先利用乘法公式展开并合并同类项，再计算多项式除以单项式化简原式，再代入数值计算即可解答． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 7．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂的除法运算法则变形，代入已知值计算； （2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则变形，代入已知值计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴． 8．（26-27七年级上·福建·期中）先化简再求值： ，其中，． 【答案】 ， 【详解】解： 当，时． 原式 ． 9．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）按要求完成各题： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)，0 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ， 把代入上式得：． 10．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知，求的值． 【答案】 【详解】解： ， ， 原式． DAY 3 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）已知． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴ 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）已知：，． (1)计算：； (2)当，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简A的表达式，展开A中的乘法运算，再合并同类项得到A的最简形式，利用完全平方公式展开B，代入A和B的表达式到中，再合并同类项得到的化简结果． （2）如果已经得到的化简式，那么直接将已知的m、n的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1） 已知， 展开得： ， 已知， 用完全平方公式展开得： ， ∴． （2）把，代入化简后的： ． 4．（26-27八年级上·海南·期中）计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算幂的乘方，再分别计算同底数幂的除法和乘法，最后合并即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘除即可； （3）先将底数都化成，再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 5．（25-26六年级下·山东济南·阶段检测）计算： (1)已知，，求代数式的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，再整体代入即可求解； （2）逆用同底数幂的乘除法和幂的乘方的运算法则，得到，，再将原式化简为，再整体代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）已知 ． (1)求 的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵． ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，且，即， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中和互为倒数． 【答案】，2 【详解】解：原式 ， ，互为倒数， ， 原式． 8．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）计算与因式分解： (1)计算：． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接运用整式的四则混合运算法则计算即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：       ． （2）解：    ． 9．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：． (1)求所表示的代数式； (2)求当，时，所表示的代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当，时，． 10．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式分解彻底即可； （2）先分组分解，再利用提取公因式法分解即可; 【详解】（1）解： ; （2）解： ; DAY 4 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 2．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】，． 【分析】先去括号，然后合并同类项可得化简结果，再根据绝对值的非负性求，的值，最后代值求解即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，， 当，时， 原式 ． 3．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）已知． (1)求的值； (2)若的值与x的取值无关，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将A、B代入中进行化简合并， （2）再令x的系数为0解出m值即可． 【详解】（1）解：（1） ． （2）解：∵的值与x的取值无关， ∴， ∴ ． 4．（24-25八年级上·河北邢台·期末）已知． (1)求多项式； (2)若，求多项式的值． 【答案】(1) (2) 的值为 【分析】（1）本题利用等式变形，通过整式乘法与化简求出多项式M； （2）根据幂的运算性质求出a的值，然后代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴，即， ∴． 把代入： 5．（26-27八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据单项式乘以多项式运算法则将括号展开，合并同类项得最简结果，代入a的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 6．（25-26八年级上·陕西安康·期末）计算、因式分解： (1) ． (2) ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 7．（25-26七年级下·山西运城·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【分析】先利用整式的乘法计算括号内的，再利用整式的除法计算并化简，最后代入求值即可； 【详解】解：原式 ， 当时， 原式； 8．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）因式分解 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）提取多项式各项的公因式，完成因式分解； （2）将原式变形为平方差的形式，套用平方差公式分解； （3）先变形提取公因式，再用平方差公式继续分解至不能分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 9．（25-26七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据整式乘法、完全平方公式、平方差公式计算括号内各项，合并同类项后，再计算多项式除以单项式得到化简结果，再根据非负数的性质求出m和n的值，代入化简后的式子计算得到最终结果． 【详解】解： ； ，，且． ，， 解得， 把，代入得：原式． 10．（25-26八年级上·黑龙江黑河·阶段检测）（1）求证：不论取何实数，多项式的值都不会是正数． （2）已知，求的值． 【答案】 （1）证明：∵ ∵ ， ∴ ∴ 不论 取何实数，多项式 的值都不会是正数． （2） 【分析】本题考查因式分解的应用和代数式的求值． （1）通过因式分解将多项式化为完全平方形式，结合非负性证明其值非正； （2）利用已知条件进行代数变形，通过整体代入求值． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 又 ∵ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ． DAY 5 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27七年级上·贵州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【分析】先通过去括号、合并同类项化简原式，再将的值代入化简后的式子计算． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知关于，的方程组． (1)若，求的值； (2)求为何值时，代数式的值与的取值无关，始终是一个定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先求解关于x、y的二元一次方程组，用消元法，将a看作常数，得到用a表示的x和y的表达式，因为，所以将得到的x、y的表达式代入该等式，得到关于a的一元一次方程，解该方程即可； （2）将用a表示的x、y代入代数式，合并同类项整理为关于a的一次式，因为代数式的值与a无关，所以a的系数为0，由此得到关于k的方程，解出k后代入即可求出定值． 【详解】（1）解：（1）由题意得，， ①，得③， ②-③，得， 把代入①，得， 解得， ∵， ， 解得， （2）解：由（1）知，， ， 的值与无关， ， 解得， ． 3．（26-27七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据幂的乘方的运算法则：，同底数幂相乘的运算法则：，积的乘方的运算法则：，先乘方，再乘除，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 4．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)已知，求的值 (2)已知，则的值 (3)若，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则得到，再将已知条件代入求值即可； （2）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则得到，再将已知条件代入求值即可； （3）先化成同底数幂，然后根据幂的乘方和同底数幂的乘除法法则化简，再让指数相同，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：， ，解得． 5．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)利用乘法公式计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 6．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）按要求解题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）通过对完全平方公式进行变形求解即可； （2）使用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 7．（26-27八年级上·湖南常德·阶段检测）利用因式分解计算： (1)；； (2)． 【答案】(1)280000； (2)40000 【详解】（1）解： （2）解： 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）利用因式分解简便计算：． 【答案】10000 【详解】解：原式 ． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 10．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）在分解因式中，若多项式项数较多无法直接分解因式时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法．某数学学习小组对分解因式的方法进行了如下探究． 【观察】分解因式：． 解法一：原式． 解法二：原式． 【类比】（1）分解因式：． 【挑战】（2）分解因式：． 【应用】（3）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）11 【分析】本题考查了因式分解，三角形三边关系，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分组，再进行因式分解，即可作答． （2）先进行分组，再进行因式分解，即可作答． （3）根据完全平方公式进行变形，得，再求出，，又因为的三边长a，b，c都是正整数，则运用三边关系求出c，最后根据周长公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： （2） （3） ∴，， ∵的三边长a，b，c都是正整数， ∴即， ∴， ∴的周长是． DAY 6 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级下·河南·期末）计算： (1)； (2)简便计算． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据多项式乘多项式运算法则、多项式除以单项式运算法则化简，再加减运算即可求解； （2）先将原式变形为，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）计算 (1) (2) (3)； (4)（用整式乘法公式）． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 4．（25-26七年级下·河北衡水·期中）解答下列各题： (1)已知多项式与的乘积中不含和项，求和的值； (2)在（1）的条件下，先化简，再求值：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）与相乘，整理后令和的系数为零，即可解得和的值； （2）利用平方差公式、完全平方公式，先化简，再代入和的值求解． 【详解】（1）解：， ∵多项式与的乘积中不含和项， ∴ 解得； （2） 把，代入上式，上式 5．（25-26七年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【详解】解： ， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 6．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时， 原式． 7．（24-25八年级上·四川眉山·期中）把下列各式因式分解 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解 （3）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解； （4）利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式整理为平方差公式的标准形式，利用平方差公式分解后化简即可； （2）把看作整体，先十字分解，再利用完全平方公式分解至彻底即可． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ． 9．（25-26九年级下·贵州安顺·阶段检测）计算并分解因式、求值： (1)现有三个整式：，，，请选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式； (2)已知，，若，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据不同选择，合并同类项计算得到结果，再由公式法和提公因式法分解因式即可； （2）先由题意得到，从而得到，，对待求代数式恒等变形后，将，代入化简即可得到答案． 【详解】（1）解：选择，： ； ； 选择，： ； ； 选择，： ； ； （2）解： ，，， ， 即， ， ． 10．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）利用因式分解简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的因式分解，代数式的变形与约分，利用平方差公式进行因式分解简化运算是解题关键． （1）直接用平方差公式进行因式分解，再计算得到结果； （2）把每一项都看作，用平方差公式分解为，将所有分解后的式子连乘，通过相邻项交叉约分消去中间项，最后只剩下首末两项相乘即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． DAY 7 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27七年级上·北京·期中）先化简，后求值：，其中 【答案】， 【分析】先根据整式加减运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 2．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）已知代数式化简后，不含有项和常数项． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据乘法公式进行整式的化简，根据条件求参数，再代入求代数式的值． （1）根据多项式乘多项式的运算法则计算，合并同类项后，根据不含有项和常数项这一条件得到的值． （2）根据乘法公式以及单项式乘多项式的运算法则化简，再合并同类项，最后代入已知字母的值，得到代数式的值． 【详解】（1）解：， ， ， ∵该代数式中不含有项和常数项， ∴，， ∴解得：，， 且， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∵，， ∴上式． 3．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据同底数幂的乘法法则计算的，再合并同类项即可得答案. （2）先根据积的乘方法则、幂的乘方法则计算的 ，最后再合并同类项即可得答案. （3）先根据积的乘方法则的逆运算计算的得，再根据同底数幂的乘法逆运算计算，进一步计算即可得答案. 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 4．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)已知，求的值； (2)已知：，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴． 5．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 6．（25-26七年级下·河北邢台·期末）小明在计算“”时，发现前边有一处看不清楚． (1)若■处是“2”，且满足，请求出整式A的值． (2)若整式A中不含x的二次项，求■处的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简A，再求出的值，最后利用整体代入法求值即可； （2）设■处的值为a，则，根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简A，根据整式A中不含x的二次项得到含x的二次项的系数为0，据此求解a即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∵， ∴， ∴； （2）解：设■处的值为a， ∴ ， ∵整式A中不含x的二次项， ∴， ∴， ∴■处的值是4． 7．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 8．（2026八年级上·全国·专题练习）因式分解： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 9．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知：，，，求的值． 【答案】3 【分析】根据题意求出，把所求式子变形为，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ． 10．（25-26七年级下·浙江温州·期中）同学们一起布置艺术节活动现场，现在有一个边长为a的大正方形固定场地，以及四个边长为b的小正方形活动场地，设计如图1所示的阴影部分为展览区，其面积为；如图2所示的阴影部分为竞赛区，其面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、． (2)若，，求的值． (3)如图3，在（2）的基础上，将四个活动区域外移，形成的阴影部分为表演场地，其面积为，求的值． 【答案】(1)； (2)109 (3)109 【分析】（1）根据图像可以看出与边长为b的小正方形组成了一个新的正方形，该正方形的边长为，算出新正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积即为所求； （2）根据完全平方公式求出的值，然后将式子的值代入即可； （3）由图像可知，阴影部分的面积是由一个边长为的正方形和两个边长为b的小正方形减去两个直角三角形的面积组成，直接列式即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：由（1）知，， ∵，，， ∴， 解得， ∴． （3）解：， ． DAY 8 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级下·新疆·开学考试）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）在中，m、n为常数． ①若、，化简原式； ②若原式的值与x无关，求m、n． 【答案】（1），20；（2）①② 【分析】（1）要求代数式先去括号，再合并同类项，再把，代入计算即可； （2）原式先去括号，再合并同类项，得最简结果： ①代入、进行化简即可； ②由原式与的值无关可得含的项系数为0，从而可求出的值． 【详解】解：（1） ； 当，时，原式； （2） ； ①当、时，原式； ②∵原式与的值无关， ∴ 解得：． 2．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）解答下列各题： (1)已知，，求①的值；②的值． (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)①6；② (2)，8 【分析】（1）①利用同底数幂乘法的逆运算求解；②逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则求解； （2）先计算完全平方和、单项式乘多项式、平方差，再合并同类项，最后将，代入求值． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ， 将，代入，得： 原式． 3．（25-26六年级下·山东威海·期末）计算： (1)； (2)，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可； （2）先计算括号内的乘法运算，合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把，代入计算即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 将，代入得：原式. 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式计算，最后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：      ，     当，时，原式 5．（2026八年级上·山东·专题练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： ． 6．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将看作整体，利用完全平方公式进行初步分解，再利用平方差公式进行分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （3）先分组分解，再提取公因式； （4）设，提取公因式后，用十字相乘进行分解，再将还原成即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：， 设， 原式， ∵， ∴原式． 7．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）新定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”．例如：；所以4，12，24都是“比肩数”． (1)初步感知：设两个连续正整数为和，当时，比肩数为___________； (2)进阶探究：请用含正整数的代数式表示“比肩数”，并判断60是否为比肩数； (3)拓展应用：试说明：对于任意正整数，两个连续的比肩数，之和是一个完全平方数的4倍． 【答案】(1)40 (2)“比肩数”为，60是比肩数 (3) 证明：由（2）可知：， ∴ ， ∵是完全平方数 ∴是一个完全平方数的4倍． 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“比肩数”的定义可直接代入进行求解； （2）设两个连续正整数为和，根据“比肩数”的定义可得，然后问题可进行求解； （3）由（2）可知：，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴这个比肩数是； 故答案为40； （2）解：设两个连续正整数为和，则根据“比肩数”的定义可知： ， ∴“比肩数”是两个连续正整数积的两倍， ∵， ∴60是“比肩数”； （3）略 8．（25-26六年级下·山东烟台·期末）有若干个长为，宽为的小长方形，现将其中4个小长方形按图1所示的方式摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分的面积为16；将其中5个小长方形按图2所示的方式摆放，构造出一个大长方形，其中阴影部分的面积为80．已知摆放时，各个小长方形之间均无重叠、无缝隙．求每个小长方形的周长和面积． 【答案】周长为16，面积为12 【详解】解：由图1得，． 由图2得，． 所以． 所以． 因为，即．可得． 因为，可得． 则． 所以，每个小长方形的周长为16，面积为12． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）欢欢在计算时，因抄错运算符号，将乘号错写为加号，得到的结果是． (1)求正确的计算结果B． (2)若，在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据错误的运算（加号）求出整式，再通过正确的运算（乘号）计算结果； （2）先求出的表达式，再与进行整式乘法运算． 【详解】（1）解：根据题意，可得， 则正确的计算结果． （2）解： ． 【点睛】本题考查了整式的加减与整式乘法运算，解题关键是先通过错误运算逆向求出整式，再按照整式运算的法则逐步计算． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期中）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（为正整数）． (1)写出与的大小关系：____．（填“”“”或“”）； (2)若，求满足这个不等式的的最大值； (3)设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示．问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在． 【分析】把和分别用含的代数式表示出来，再求它们的差得到根据是正整数可得，所以可知； 根据、可得：，解不等式求出从而得到的最大值为； （3）根据得到关于的方程，求解得出，因为正整数，所以不存在这样的值． 【详解】（1）解：， ， ， 是正整数， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ， 解得：， 的最大值为； （3）解：不存在， 理由如下： 如下图所示， ， ， ， ， 整理得：， 解得： 为正整数， 不存在使得． 【点睛】本题主要考查了列代数式、解一元一次方程、整式的乘法、作差法比较两数的大小． DAY 9 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知，，，，求的值． 【答案】 【分析】根据整式的加减运算法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴ ． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）二阶行列式指由4个数组成的符号，是一个重要的数学工具，在数学中有广泛的应用，其二阶行列式的定义为，如． (1)若，求x的值； (2)若的值与x无关，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为题目给出二阶行列式的定义​，所以将行列式​​​按照定义展开，得到关于的方程，再解方程求的值． （2）首先根据二阶行列式定义展开给定行列式，然后合并同类项；因为该式的值与无关，所以含的项的系数都为0，由此得到关于、的方程，求出、的值后，代入计算． 【详解】（1）解：根据题目给出的二阶行列式定义​， 对给定行列式展开得：, 展开化简左边：, 即， 解得（或）． （2）解：根据定义展开： , ∵值与x无关， ∴含x的项系数都为0， 即：， 解得，， 代入． 3．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）计算、化简 (1)计算：． (2)计算：． (3)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3) ； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 当，时， 原式. 4．（25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用逆用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方法则，结合题干给出的结论：若（且）则，对所求式子进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴ ， ∴，解得． （3）解：∵， ∴． 5．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）按要求完成下列各题： (1)填空： ______； ______； ______． (2)猜想： ______（其中为正整数，且）． (3)利用（2）猜想的结论计算：． 【答案】(1)，，． (2) (3) 【分析】（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可； （2）根据（1）的规律可得结果； （3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）可得：； （3）解：设， 对应公式， 令，，括号内恰好是， ∴， 即， ∴． 6．（25-26七年级下·四川成都·期中）利用完全平方公式解决问题 (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的变形应用，利用完全平方公式变形求解． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）设，，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：设，， 则，， ∴． 7．（25-26八年级下·江西吉安·期末）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式因式分解后计算； （2）先对式子变形，再用完全平方公式因式分解后计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（25-26八年级下·四川成都·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 9．（24-25八年级下·四川巴中·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】 （1）请用以上方法将分解因式； 【挑战】 （2）请用以上方法将分解因式； 【应用】 （3）已知的三边长a、b、c满足条件：，判断的形状，并说明理由 【答案】（1）；（2）； （3）是等腰三角形或者直角三角形，理由如下： 或 当时， 即不符合题意，舍去) 此时是等腰三角形 当时, 此时是直角三角形 综上，是等腰三角形或者直角三角形 【分析】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握利用分组法、提取公因式法与公式法分解因式． （1）先利用加法的结合律把前两项结合，后两项结合，然后把前两项利用平方差公式分解因式，再提取公因式即可； （2）先利用加法的结合律把分成一组，利用完全平方公式将其分解因式，再利用平方差公式计算即可． （3）先分组进行因式分解，再根据或者两种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1） （2） （3）略 10．（25-26八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查平方差公式的变形计算，掌握平方差公式是关键． （1）根据图形面积计算即可； （2）运用（1）中的结论计算即可； （3）①运用（1）中的结论计算即可； ②运用（1）中的结论分别计算出每一项，最后再计算乘法即可． 【详解】（1）解：图1的面积为，图2的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①，，， ， ； ② ． DAY 10 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 【答案】(1)二次三项式 (2) (3) 【分析】（1）依据多项式的次数与项数的定义进行判断，多项式的次数为最高次项的次数，项数为多项式中单项式的个数． （2）代入给定的与的值得到多项式和，再通过合并同类项完成整式的加法运算． （3）先求出与的差，根据差中不含某一项则该项系数为的性质，求出和的值，进而计算的值． 【详解】（1）解：∵多项式，且， ∴该多项式的最高次是2，包含3个单项式， ∴多项式A是二次三项式 （2）解：当，时 ， （3）解： ∵与的差中不含项和项， ∴，， 解得，， ∴． 2．（25-26七年级上·江西吉安·期中）数学课上，老师用多媒体投影了两个多项式：． (1)求的值； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，作差法比较大小，解题的关键是掌握整式的加减运算法则． （1）根据整式的加减法则进行计算即可； （2）利用作差法进行比较大小． 【详解】（1）解：； （2）解：∵； ∴． 3．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中． (2)已知：，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据整式的运算法则进行化简，进而将代入计算即可； （2）根据幂的乘方及同底数幂的乘法求出m的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴ ． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)若，，求； (2)若，求的结果． (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）求出的值，再根据求解即可； （2）求出，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此可得答案； （3）把所求式子变形为，进一步变形得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）先化简，再求值：，其中，满足：． 【答案】 【详解】解： ； ， ， ， 把代入，原式． 6．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）在整式乘法学习过程中：我们学过完全平方公式：和，请利用该公式变形解答下列问题： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用即可解答； （2）先求出，再利用完全平方公式变形即可求解． 【详解】（1）解： ，， ； （2）解：∵，， 设， 则，， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式分解； （2）先提出公因数，再利用完全平方公式分解； （3）先加负号凑公因式并提出，再利用平方差公式分解，最后整理即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 8．因式分解：． 【答案】 【分析】先将原式看作平方差形式，利用平方差公式分解，再分组整理得到完全平方式，再次用平方差公式分解即可． 【详解】 解： 原式 ． 9．（25-26九年级上·四川资阳·期末）阅读下列材料： 已知实数，满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，，即． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数，满足，则_____； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 【答案】(1) (2)该式的值为9 (3)2，3，4，5 【分析】本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． （1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，（舍去），即可求解． 【详解】（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得，，， 即． 故答案为：. （2）设， 则，， 解得：或， 由，得， 即． 故该式的值为9. （3）设最小正整数为，则， 即：， 设，则， 解得：，， 为正整数， ， ． 解得，（舍去）， ，，． 这四个连续正整数为2，3，4，5． 10．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段检测）【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出． (1)若，则______． 【知识迁移】 (2)将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，连接，，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：[]． 【答案】(1)15 (2)14 【分析】本题考查完全平方公式，整体思想和数形结合思想，灵活运用代数式的变形是解题关键． （1）运用整体思想，可以把x和看作完全平方中的两个部分，它们的和为5，乘积也为5，通过公式变形求出； （2）类比第（1）问，可以设两个正方形的边长分别为m和n，由题意可得，，，而阴影面积为，利用完全平方公式变形得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：15； （2）解：如图2，根据题意，设，， ， ， ∴，即， ∵正方形和正方形的面积和为36， ∴， ， ， ，即阴影部分的面积为14． DAY 11 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（26-27七年级上·福建·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【详解】解：原式 当时， 原式 ． 3．（25-26六年级下·山东烟台·阶段检测）计算： (1) (2) (3)； (4)（用乘法公式计算） (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解：原式 ． 4．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）计算： (1)已知，，求代数式的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）若关于x的多项式与的乘积中不含与x项． (1)求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则进行计算，根据题意，得到，，将转化为，再代入计算即可； （2）利用完全平方公式的非负性求出的值，再代值计算即可． 【详解】（1）解：， 由题意，，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为，值为． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 7．（26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． （1）将式子分成两组，提出公因式后，先运用完全平方公式，再运用平方差公式计算即可； （2）将式子进行分组，运用提公因式法、平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为，， 所以原式． 9．（24-25七年级下·广东茂名·阶段检测）已知，是多项式，计算时，某同学把误写成，结果得，试求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘法，整式的加减，解题的关键是熟练掌握整式运算的法则． （1）利用整式的乘法求出多项式，再计算即可； （2）先进行整式的乘方和乘法运算，再进行整式的减法即可． 【详解】（1）解：根据题意得， （2）解：由（1）得, 10．（25-26七年级下·广东深圳·期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)图中阴影部分的正方形的边长是______． (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积： 方法：______；方法：______． (3)观察图，请你写出、、之间的等量关系是______． (4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，则______． 【答案】(1)； (2)， (3)； (4)14． 【分析】（1）由拼图可直接得出答案； （2）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去个长为，宽为的长方形面积即可； （3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案； （4）由（3）的结论代入计算即可． 【详解】（1）由拼图可得，图中阴影部分的正方形的边长为， 故答案为：； （2）方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去个长，宽为的长方形面积，即 故答案为：， （3）由（2）得，， 故答案为：； （4），，                 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键． DAY 12 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知，． (1)化简：，将结果用含有、的式子表示； (2)若（1）中式子的值与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号法则、合并同类项法则以及代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则，以及代数式的值与某字母取值无关时，该字母的系数为0这一性质是解题的关键． （1）先对进行去括号、合并同类项化简，再将、的表达式代入，整理得到含、的式子． （2）根据（1）中化简结果与取值无关的条件，求出的值，再将所求式子变形为与相关的形式，代入计算． 【详解】（1）解：，， ． ； （2）解：由（1）可知：， （）中式子的值与字母的取值无关， ， 解得， ， ． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）已知，，求①；②的值． 【答案】①；② 【分析】①根据幂的乘方，可得要求的形式，根据同底数幂的乘法，可得答案； ②根据幂的乘方，可得要求的形式，根据同底数幂的除法，可得答案； 【详解】解：①∵，∴． 由同底数幂的乘法，得， 即； ②∵，∴， 由同底数幂的除法，得． 3．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）计算 (1) (2) (3)； (4)（用整式乘法公式）． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 4．（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式． 5．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定：． (1)填空：对于有理数x，y，k，若是一个完全平方式，则______． (2)对于有理数x，y，已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由新定义可得，再根据完全平方公式确定k的值即可； （2）由新定义可得，再运用完全平方公式可得，然后将整体代入计算即可． 【详解】（1）解： 是一个完全平方式， ∴， ∴，解得：． （2）解： ∵ ∴ ∴，即，解得：． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 原式． 7．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时， 原式． 8．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最值？判断是最大值还是最小值，并求出这个最值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最小值，最小值为 【分析】（1）仿照题干所给方法计算即可得出结果； （2）利用配方法将所求式子变形为，再结合，即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为． 9．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）定义一种新的运算“”： ；     ；     ；     ；     ；     ；     ；     ；     ；     ； (1)仔细观察，归纳“”运算法则：两数进行“”运算时，______； 特别地，0与任何数进行“”运算，或任何数与0进行“”运算，结果为______； (2)计算：； (3)已知，，，试判断的值是否大于0？并说明理由． 【答案】(1)同号相乘，异号相除，0 (2) (3) ,理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出“”运算的运算法则即可； （2）根据（1）中的结论求解即可； （3）先分别运算A和B，然后求和判断正负即可． 【详解】（1）解：由题意可得，“”运算法则：两数进行“”运算时，同号相乘，异号相除; 0与任何数进行“”运算，或任何数与0进行“”运算，结果为0． 故答案为：同号相乘、异号相除，0． （2）解： = = = =． （3）略 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、新定义、整式的四则混合运算等知识点，解审清题意、归纳出“”运算法则是解答本题的关键． 10．（25-26七年级下·江西抚州·阶段检测）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）通过面积关系求长方形的边长． 【详解】（1）解：用竖式计算如下， 的商是，余式是． ∴答案为：，． （2）多项式能被整除，则 ∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0． ∴a=-6，b=2． ∴ab=（-6）2=36． （3）长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x． 长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12． ∵长方形B的周长是A周长的2倍． ∴4x+2a+12=8x． ∴a=2x-6． ∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8） =3x2+16x-64． ∴长方形C的面积为：3x2+16x-140． ∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14． ∴长方形C的另一边长为：3x-14． 【点睛】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键． DAY 13 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）化简： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中m，n的值使得与的和为单项式． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查整式的加减运算，化简求值，正确的计算是解题的关键： （1）合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可； （3）去括号，合并同类项进行化简，根据两个单项式的和为单项式，得到两个单项式是同类项，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ； ∵与的和为单项式， ∴与为同类项， ∴， ∴， ∴原式． 2．（25-26七年级上·北京通州·期末）某数学兴趣小组利用五张卡片做游戏，卡片上分别写有已经化为最简的整式，两张卡片上有部分内容被遮挡住了，但知道它们是三张卡片其中两张上的多项式的和或差． 请通过计算分别求出卡片上的整式． 【答案】卡片上的整式为，卡片上的整式为 【分析】本题考查了整式的加减的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键． 根据整式的加减运算，计算出与即可． 【详解】解：观察整式，中有，B中有，C中有， ∵中含有， ∴故为， ∴ ， ∴， ∵中含有， ∴故为， ∴， ∴， 综上，可得卡片上的整式为，卡片上的整式为． 3．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【答案】40 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂除法，完全平方公式的变形等知识﹒先根据，，求出，，再将变形为，整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ﹒ 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）根据已知条件求值． (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据同底数幂除法逆运算求值即可； （2）根据同底数幂乘法公式化简可得，则，再解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， 解得． 5．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将原式分组变形为平方差公式的形式计算，再用完全平方公式计算； （2）将原式分组变形为完全平方公式的形式计算； （3）将原式变形为完全平方和公式的形式简便计算； （4）提取公因式后简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（2026八年级上·全国·专题练习）分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 7．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按单项式乘除混合运算的法则进行计算． （2）结合平方差，完全平方公式以及多项式除以单项式进行计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 8．（25-26八年级上·山东济南·期中）若干块正方形和长方形卡片如图1所示，其中甲型、乙型卡片分别是边长为，（）的正方形，丙型卡片是长为、宽为的长方形，选取2块甲型卡片，2块乙型卡片，5块丙型卡片，拼成如图2所示的大长方形卡片． (1)观察图2，写出一个多项式的因式分解为：________； (2)若图2中甲型、乙型卡片的面积和为80，大长方形卡片的周长为48，求大长方形卡片的面积． 【答案】(1) (2)大长方形卡片的面积为140 【分析】本题考查了因式分解与几何图形，完全平方公式的应用． (1)根据图形的面积和等于总面积，根据两种不同表示：一是图形面积和；二是图形面积等于长乘以宽计算，列出等式即可． （2）根据图形特点，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵甲型、乙型卡片分别是边长为，（）的正方形，丙型卡片是长为、宽为的长方形，选取2块甲型卡片，2块乙型卡片，5块丙型卡片，拼成如图2所示的大长方形卡片． ∴图形的面积为； ∵大长方形的面积为， 由于同一个图形的面积相等， 故， 故答案为：． （2）解：∵甲型、乙型卡片的面积和为80， ∴， 即：， ∵大长方形卡片的周长为48， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴大长方形卡片的面积为140． 9．（25-26八年级上·山东泰安·期末）阅读材料，完成下列问题． 材料一：已知多项式有一个因式是，求m的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，故． 材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求m的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，故． (1)已知多项式有一个因式是，则m的值为__________； (2)已知多项式有两个因式分别是和，求m和n的值； (3)已知多项式除以所得的余数为7，求k的值． 【答案】(1) (2)， (3)3 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）根据题中所给方法进行求解即可； （3）根据题中所给方法进行求解即可． 【详解】（1）解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，则有， 解得； 故答案为：． （2）解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取和，则有： ， 解得； （3）解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，则有， 解得：． 10．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）看图解决问题 (1)观察图中大正方形的构成，用两种不同的方式计算其面积，可以得出代数恒等式： ； (2)利用上述代数恒等式计算： ①； ②先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】（1）根据整体考虑是边长为的正方形，从部分考虑是由三个小正方形和六个小长方形组成的，两种方式计算的面积相等，即可得出代数恒等式； （2）①根据（1）的结论进行计算即可求解； ②根据（1）的结论进行化简，再将字母的值代入即可求解． 【详解】（1）解：从整体考虑是边长为的正方形，其面积为，从部分考虑是由三个小正方形和六个小长方形组成的，其面积和为， 所以有； （2）解：① ； ② ， 当，时， ． DAY 14 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级上·全国·期末）先化简，再求的值，其中单项式与是同类项． 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减运算，代数式的代入求值．先进行整式的加减运算，先去括号，再合并同类项，根据同类项的含义列方程解得，，将数值代入化简后的代数式计算即可得到答案． 【详解】∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ， 当，时， 原式． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）对于有理数a，b，规定一种新的运算：． 例如，． (1)计算：； (2)若的值与m的取值无关，求n的值． 【答案】(1) (2)n的值为． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的加减． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）先根据新定义计算得到，根据的值与m的取值无关，得到，据此计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与m的取值无关， ∴， 解得， ∴n的值为． 3．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用幂的乘方分别化简两个乘方，再依据同底数幂相乘法则计算； （2）先把变形为，统一底数后按同底数幂乘除法则运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（25-26七年级下·四川达州·期末）计算与化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）展开完全平方公式与多项式乘积，再合并同类项； （2）根据幂的运算法则计算各项，再合并同类项； （3）分别计算零指数幂、负整数指数幂，逆用积的乘方法则计算最后一项，再求和． 【详解】（1）解： 原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 5．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）在的运算结果中，项不存在，x的系数为3，求m，n的值并对式子进行因式分解． 【答案】 ，， 【分析】根据整式的乘法和因式分解计算． 【详解】解： ， ∵项不存在，x的系数为3， ∴， 解得， ∴． 6．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的一个等式是________（填序号） ①；②；③． 运用你所得到的公式，完成下列各题： （2）填空①已知，，则________； ②已知，，则________； （3）应用所得的公式计算：． 【答案】（1）②；（2）①4；②3；（3）1 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别用代数式表示出来，列出等式即可； （2）①把利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解；把写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解； （3）先将化成，再应用所得的公式即可计算得到结果． 【详解】解：（1）图1面积为，图2面积为， ∵阴影面积相等， ， 故答案为：②； （2）①∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4； ②∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3） ． 故答案为：1． 7．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再用平方差公式分解因式； （2）用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（25-26七年级上·上海·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先提取公因数3，然后运用完全平方公式分解即可； （2）先用平方差公式分解，然后再运用提取公因式法分解即可； （3）先用完全平方公式分解，然后再运用完全平方公式分解即可； （4）先分组，然后再运用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： = ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 9．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）对于任意一个四位正整数m，若m的各位数字都不为0，且千位数字与百位数字不相等，十位数字与个位数字不相等，那么称这个数为“互异数”．将一个“互异数”m的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为Fm．例如，“互异数”m=1234，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：234、134、124、123，这四个三位数之和为234+134+124+123=615，615÷3=205，所以F(1234)=205． (1)计算F(1345)和F(8132)； (2)若“互异数”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数），F(n)也是“互异数”且F(n)能被8整除，求n的值． 【答案】(1)， (2)8991 【分析】(1)根据新定义计算，即可分别求得； (2) 首先可求得，再根据能被8整除，1160能被8整除，可得能被8整除，且，，x，y都是正整数，，可得且，分类讨论即可求得． 【详解】（1）解：， ； （2）解：“互异数”n=8900+10x+y， 去掉千位：900+10x+y， 去掉百位：800+10x+y， 去掉十位：890+y， 去掉个位：890+x ， 能被8整除，1160能被8整除， 能被8整除，且，，x，y都是正整数，， 且， 当7x+y=8时，，不合题意； 当7x+y=16时，，不合题意； 当7x+y=24时，，不合题意； 当7x+y=32时，，不合题意； 当7x+y=40时，，不合题意； 当7x+y=48时，，不符合题意； 当7x+y=56时，，符合题意； 当x取1至6时，，不合题意， 当x=7时，y=7，不合题意； 当7x+y=64时，，符合题意； 当x取1至7时，，不合题意， 当x=8时，y=8，不合题意； 当x=9时，y=1，此时n=8900+90+1=8991； 当7x+y=72时，，符合题意； 当x取1至8时，，不合题意， 当x=9时，y=9，不合题意； 综上，n的值为8991． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，理解新定义，采用分类讨论的思想是解决此类题的关键． 10．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示． （1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式； （2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果； （3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？ 【答案】(1)； （2） 根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形，如图所示： 根据面积公式可得，； （3）266． 【分析】(1)用面积和差和长方形面积公式分别计算即可； (2)根据算式可知用2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形即可，根据面积的不同求法可写成因式分解结果； (3)根据题意列出方程，求出即可． 【详解】解：(1)用面积和差计算得：； 用长方形面积公式计算得：； 可得等式为：； (2)略 (3) （2）中拼成的长方形周长为66，则， 解得，， ∴，即， 图1中小长方形的面积为24，则， 则， ； 拼成的长方形面积是266． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，树立数形结合思想，利用面积法列出等式是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中复习期中复习计算题组14天强化训练（举一反三专项训练） （考试范围：第10章 整式的加减~第12章 因式分解） 【新教材沪教版五四制】 DAY 1 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·海南·期中）计算： (1) (2) 2．（24-25七年级上·山东济宁·期末）按要求解答问题： (1)化简： (2)化简求值：，其中 3． （26-27七年级上·北京·期中）如果，，且，求． 4． （2026八年级上·全国·专题练习）先化简再求值：，其中，． 5． （26-27八年级上·福建·期中）先化简，再求值：，其中，． 6． （2025·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 7．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）按照要求完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中，． (2)先因式分解，再求值：，其中，． 8．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）按要求解答下列问题： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中，． 9．（26-27八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3)． 10．分解因式： (1) (2) DAY 2 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27八年级上·海南·期中）化简： (1) (2) (3) (4) 2．（26-27七年级上·内蒙古·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（26-27八年级上·辽宁·期中）计算： (1)； (2)． 4．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）先因式分解，再求值：，其中． 5． （2026八年级上·全国·专题练习）因式分解 6．（2026八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 7．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知，，求下列各式的值． (1)； (2)； 8．（26-27七年级上·福建·期中）先化简再求值： ，其中，． 9．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）按要求完成各题： (1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中，． 10． （26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）已知，求的值． DAY 3 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）已知． (1)求； (2)求． 2．（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 3．（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）已知：，． (1)计算：； (2)当，时，求的值． 4．（26-27八年级上·海南·期中）计算： (1) (2)； (3)． 5．（25-26六年级下·山东济南·阶段检测）计算： (1)已知，，求代数式的值； (2)若，，求的值． 6．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）已知 ． (1)求 的值； (2)求的值． 7．（25-26七年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中和互为倒数． 8．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）计算与因式分解： (1)计算：． (2)因式分解：． 9．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：． (1)求所表示的代数式； (2)求当，时，所表示的代数式的值． 10．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）因式分解： (1)； (2)． DAY 4 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）化简： (1) (2) (3) 2．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）先化简，再求值：，其中，满足． 3．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）已知． (1)求的值； (2)若的值与x的取值无关，求m的值． 4．（24-25八年级上·河北邢台·期末）已知． (1)求多项式； (2)若，求多项式的值． 5．（26-27八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 6．（25-26八年级上·陕西安康·期末）计算、因式分解： (1) ． (2) ． 7．（25-26七年级下·山西运城·期末）先化简，再求值：，其中． 8．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）因式分解 (1)； (2)； (3)． 9． （25-26七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中． 10．（25-26八年级上·黑龙江黑河·阶段检测）（1）求证：不论取何实数，多项式的值都不会是正数． （2）已知，求的值． DAY 5 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27七年级上·贵州·期中）先化简，再求值：，其中，． 2．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知关于，的方程组． (1)若，求的值； (2)求为何值时，代数式的值与的取值无关，始终是一个定值，并求出该定值． 3．（26-27七年级上·上海·期中）计算：． 4．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)已知，求的值 (2)已知，则的值 (3)若，求的值 5．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)利用乘法公式计算：． 6．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）按要求解题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求和的值． 7．（26-27八年级上·湖南常德·阶段检测）利用因式分解计算： (1)；； (2)． 8．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）利用因式分解简便计算：． 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 10．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）在分解因式中，若多项式项数较多无法直接分解因式时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的，这种方法可以称为分组分解法．某数学学习小组对分解因式的方法进行了如下探究． 【观察】分解因式：． 解法一：原式． 解法二：原式． 【类比】（1）分解因式：． 【挑战】（2）分解因式：． 【应用】（3）已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的周长． DAY 6 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级下·河南·期末）计算： (1)； (2)简便计算． 2．（25-26八年级上·四川南充·期中）计算： (1) (2) 3．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）计算 (1) (2) (3)； (4)（用整式乘法公式）． 4．（25-26七年级下·河北衡水·期中）解答下列各题： (1)已知多项式与的乘积中不含和项，求和的值； (2)在（1）的条件下，先化简，再求值：． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中满足． 6．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中，． 7．（24-25八年级上·四川眉山·期中）把下列各式因式分解 (1) (2) (3) (4) 8．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）因式分解： (1) (2)． 9．（25-26九年级下·贵州安顺·阶段检测）计算并分解因式、求值： (1)现有三个整式：，，，请选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式； (2)已知，，若，求的值． 10．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）利用因式分解简便计算： (1) (2) DAY 7 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27七年级上·北京·期中）先化简，后求值：，其中 2．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）已知代数式化简后，不含有项和常数项． (1)求的值． (2)求的值． 3．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期中）计算： (1) (2) (3) 4．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)已知，求的值； (2)已知：，，求的值． 5．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）计算： (1) (2) 6．（25-26七年级下·河北邢台·期末）小明在计算“”时，发现前边有一处看不清楚． (1)若■处是“2”，且满足，请求出整式A的值． (2)若整式A中不含x的二次项，求■处的值． 7．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）先化简，再求值：，其中，． 8．（2026八年级上·全国·专题练习）因式分解： (1) (2) (3)． 9．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知：，，，求的值． 10．（25-26七年级下·浙江温州·期中）同学们一起布置艺术节活动现场，现在有一个边长为a的大正方形固定场地，以及四个边长为b的小正方形活动场地，设计如图1所示的阴影部分为展览区，其面积为；如图2所示的阴影部分为竞赛区，其面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、． (2)若，，求的值． (3)如图3，在（2）的基础上，将四个活动区域外移，形成的阴影部分为表演场地，其面积为，求的值． DAY 8 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级下·新疆·开学考试）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）在中，m、n为常数． ①若、，化简原式； ②若原式的值与x无关，求m、n． 2．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）解答下列各题： (1)已知，，求①的值；②的值． (2)先化简，再求值：，其中，． 3．（25-26六年级下·山东威海·期末）计算： (1)； (2)，其中，． 4． （25-26七年级下·陕西咸阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 5．（2026八年级上·山东·专题练习）分解因式： (1)； (2) ． 6．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）新定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”．例如：；所以4，12，24都是“比肩数”． (1)初步感知：设两个连续正整数为和，当时，比肩数为___________； (2)进阶探究：请用含正整数的代数式表示“比肩数”，并判断60是否为比肩数； (3)拓展应用：试说明：对于任意正整数，两个连续的比肩数，之和是一个完全平方数的4倍． 8．（25-26六年级下·山东烟台·期末）有若干个长为，宽为的小长方形，现将其中4个小长方形按图1所示的方式摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分的面积为16；将其中5个小长方形按图2所示的方式摆放，构造出一个大长方形，其中阴影部分的面积为80．已知摆放时，各个小长方形之间均无重叠、无缝隙．求每个小长方形的周长和面积． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）欢欢在计算时，因抄错运算符号，将乘号错写为加号，得到的结果是． (1)求正确的计算结果B． (2)若，在（1）的条件下，计算的结果． 10．（24-25八年级上·福建厦门·期中）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（为正整数）． (1)写出与的大小关系：____．（填“”“”或“”）； (2)若，求满足这个不等式的的最大值； (3)设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示．问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． DAY 9 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1． （25-26七年级上·安徽安庆·期末）已知，，，，求的值． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）二阶行列式指由4个数组成的符号，是一个重要的数学工具，在数学中有广泛的应用，其二阶行列式的定义为，如． (1)若，求x的值； (2)若的值与x无关，求值． 3．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）计算、化简 (1)计算：． (2)计算：． (3)先化简，再求值：，其中，． 4．（25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 5．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）按要求完成下列各题： (1)填空： ______； ______； ______． (2)猜想： ______（其中为正整数，且）． (3)利用（2）猜想的结论计算：． 6．（25-26七年级下·四川成都·期中）利用完全平方公式解决问题 (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 7．（25-26八年级下·江西吉安·期末）利用因式分解计算： (1)； (2)． 8．（25-26八年级下·四川成都·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 9．（24-25八年级下·四川巴中·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将分解因式． 【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法： 原式 【类比】 （1）请用以上方法将分解因式； 【挑战】 （2）请用以上方法将分解因式； 【应用】 （3） 已知的三边长a、b、c满足条件：，判断的形状，并说明理由 10．（25-26八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： DAY 10 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级上·广东梅州·期中）已知关于x、y的多项式与多项式． (1)当时，多项式A是几次几项式：______． (2)当，时，计算； (3)如果A与的差中不含和y，求的值． 2．（25-26七年级上·江西吉安·期中）数学课上，老师用多媒体投影了两个多项式：． (1)求的值； (2)比较与的大小． 3．（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中． (2)已知：，求的值． 4．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算： (1)若，，求； (2)若，求的结果． (3)若，求x的值． 5．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）先化简，再求值：，其中，满足：． 6．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）在整式乘法学习过程中：我们学过完全平方公式：和，请利用该公式变形解答下列问题： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． 7．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）因式分解： (1) (2) (3) 8．因式分解：． 9．（25-26九年级上·四川资阳·期末）阅读下列材料： 已知实数，满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，，即． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数，满足，则_____； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 10．（25-26八年级上·云南曲靖·阶段检测）【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出． (1)若，则______． 【知识迁移】 (2)将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，连接，，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：[]． DAY 11 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)． (2)． 2．（26-27七年级上·福建·期中）先化简，再求值：，其中． 3．（25-26六年级下·山东烟台·阶段检测）计算： (1) (2) (3)； (4)（用乘法公式计算） (5) (6) 4．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）计算： (1)已知，，求代数式的值； (2)已知，求的值． 5．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）若关于x的多项式与的乘积中不含与x项． (1)求的值； (2)已知，求的值． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 7．（26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 9．（24-25七年级下·广东茂名·阶段检测）已知，是多项式，计算时，某同学把误写成，结果得，试求： (1)的值； (2)的值． 10．（25-26七年级下·广东深圳·期中）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)图中阴影部分的正方形的边长是______． (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积： 方法：______；方法：______． (3)观察图，请你写出、、之间的等量关系是______． (4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，则______． DAY 12 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级上·四川达州·期末）已知，． (1)化简：，将结果用含有、的式子表示； (2)若（1）中式子的值与字母的取值无关，求的值． 2． （25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）已知，，求①；②的值． 3．（25-26六年级下·山东泰安·阶段检测）计算 (1) (2) (3)； (4)（用整式乘法公式）． 4．（25-26七年级下·辽宁朝阳·期中）先化简，再求值：，其中． 5．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定：． (1)填空：对于有理数x，y，k，若是一个完全平方式，则______． (2)对于有理数x，y，已知，，求的值． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 7．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）先化简，再求值：，其中，． 8．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式． 根据以上材料，利用多项式的配方法解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当x为何值时，多项式有最值？判断是最大值还是最小值，并求出这个最值． 9．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）定义一种新的运算“”： ；     ；     ；     ；     ；     ；     ；     ；     ；     ； (1)仔细观察，归纳“”运算法则：两数进行“”运算时，______； 特别地，0与任何数进行“”运算，或任何数与0进行“”运算，结果为______； (2)计算：； (3)已知，，，试判断的值是否大于0？并说明理由． 10．（25-26七年级下·江西抚州·阶段检测）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. DAY 13 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1．（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）化简： (1) (2) (3) 先化简，再求值：，其中m，n的值使得与的和为单项式． 2．（25-26七年级上·北京通州·期末）某数学兴趣小组利用五张卡片做游戏，卡片上分别写有已经化为最简的整式，两张卡片上有部分内容被遮挡住了，但知道它们是三张卡片其中两张上的多项式的和或差． 请通过计算分别求出卡片上的整式． 3．（25-26七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）根据已知条件求值． (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 5．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（2026八年级上·全国·专题练习）分解因式： (1) (2) (3) (4) 7．（2026八年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) 8．（25-26八年级上·山东济南·期中）若干块正方形和长方形卡片如图1所示，其中甲型、乙型卡片分别是边长为，（）的正方形，丙型卡片是长为、宽为的长方形，选取2块甲型卡片，2块乙型卡片，5块丙型卡片，拼成如图2所示的大长方形卡片． (1)观察图2，写出一个多项式的因式分解为：________； (2)若图2中甲型、乙型卡片的面积和为80，大长方形卡片的周长为48，求大长方形卡片的面积． 9．（25-26八年级上·山东泰安·期末）阅读材料，完成下列问题． 材料一：已知多项式有一个因式是，求m的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，故． 材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求m的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，故． (1)已知多项式有一个因式是，则m的值为__________； (2)已知多项式有两个因式分别是和，求m和n的值； (3)已知多项式除以所得的余数为7，求k的值． 10．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）看图解决问题 (1)观察图中大正方形的构成，用两种不同的方式计算其面积，可以得出代数恒等式： ； (2)利用上述代数恒等式计算： ①； ②先化简，再求值：，其中，． DAY 14 建议用时：15 min 实际用时：______________ 1． （25-26七年级上·全国·期末）先化简，再求的值，其中单项式与是同类项． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）对于有理数a，b，规定一种新的运算：． 例如，． (1)计算：； (2)若的值与m的取值无关，求n的值． 3．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）计算： (1)； (2)． 4．（25-26七年级下·四川达州·期末）计算与化简： (1)； (2)； (3)． 5． （25-26七年级下·江苏淮安·期中）在的运算结果中，项不存在，x的系数为3，求m，n的值并对式子进行因式分解． 6．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的一个等式是________（填序号） ①；②；③． 运用你所得到的公式，完成下列各题： （2）填空①已知，，则________； ②已知，，则________； （3）应用所得的公式计算：． 7．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）分解因式： (1) (2) 8．（25-26七年级上·上海·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）对于任意一个四位正整数m，若m的各位数字都不为0，且千位数字与百位数字不相等，十位数字与个位数字不相等，那么称这个数为“互异数”．将一个“互异数”m的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为Fm．例如，“互异数”m=1234，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：234、134、124、123，这四个三位数之和为234+134+124+123=615，615÷3=205，所以F(1234)=205． (1)计算F(1345)和F(8132)； (2)若“互异数”n=8900+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数），F(n)也是“互异数”且F(n)能被8整除，求n的值． 10．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示． （1）若用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张边长分别为a和b的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式； （2）请通过拼图的方式画出一个面积为的长方形示意图，并写出其因式分解的结果； （3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $