精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026年秋期高一年级第一次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得，所以 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 3. 设全集,集合，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 4. 有限集合中元素的个数记作，设都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③不是的子集的充分条件是 ④的充要条件是 其中真命题的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据的定义判断①；根据子集的定义判断②③；根据集合相等判断④； 【详解】解：①，集合与集合没有公共元素，所以充要条件是，故①正确； ②集合中的元素都是集合中的元素，则，故②正确； ③当时，则，由无法得到不是的子集，故③错误； ④集合中的元素与集合中的元素完全相同，但两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，故④错误． 故选：A 5. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. [1，3] D. (1，3] 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 6. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围. 【详解】若“，”是真命题， 即判别式，解得：， 所以命题“，”是假命题， 则实数的取值范围为：. 故选：A. 7. 已知函数满足：对任意，，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性的定义得到在上是单调递减函数，从而得到，计算得到的取值范围. 【详解】不妨设，则，，， ，在上是单调递减函数， ，， ，的取值范围是. 故选：A. 8. 关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合绝对值三角不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】由于，时等号成立. 所以恒成立， 即或， 解得， 所以的取值范围是. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 函数是偶函数且在区间上单调递增 B. 函数的最小值为 C. “”是“”的充要条件 D. 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性，基本不等式，算术平方根的性质，取特值，即可得出结论. 【详解】， 因为，当时，，当时，， 所以不是偶函数，选项错误； 令根据对勾函数的单调性可得， 在是增函数，的最小值为， 即的最小值为，选项错误； 因为，，，所以，即，选项正确； 当时，成立，故选项正确. 故选：CD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用作差法，和不等式的性质即可判断选项. 【详解】A.∵，∴不等式同乘以可得， 不等式同乘以可得，即，A正确. B.取时，此时，B错误. C.∵，且，∴,即，C正确. D.∵，， ∴，， ∴，D正确. 11. 已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（　　） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意可确定函数的奇偶性及单调性，结合奇偶性和单调性比较大小及解不等式即可判断AB；利用数形结合即可求解C；由题可得即可判断D． 【详解】由①知为R上的偶函数， 由②知在上单调递增，则． 即，故A错误； 由得 所以，解得，故B错误； 画出的示意图如图所示， 等价于或， ，C正确； 由题意知在上单调递减，在上单调递增， 所以，故且满足题意，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 【答案】 【解析】 【详解】由题可设幂函数，则，即， 所以， 所以，即， 所以该函数定义域为，且该函数在上单调递减， 所以若不等式成立， 则，解得，即满足不等式的实数m的解集是. 13. 已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质得到在上的单调性和，再将乘积大于0的不等式转化为两个同号不等式组，结合的正负区间求解解集. 【详解】 因为是定义域为的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减，且，先分析的正负分布： 当时，；当时，； 当时，；当时，. 不等式等价于以下两个不等式组： ，即，解得； ，即，解得. 综上，原不等式的解集为. 14. 已知，，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法将表示为与的线性组合，结合不等式的性质求解其取值范围. 【详解】设（）， 则， 故有 ，解得 ， 因此， 由，得 ①； 由，得 ②； 将①和②相加，得， 即的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）设，求函数的最大值； （2）已知正数a， b满足，求的最小值. （3）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）2；（2）18；（3） 【解析】 【分析】（1）整理可得，结合不等式求最值； （2）根据题意利用乘“1”法，结合基本不等式求最值； （3）以，为整体可得，结合不等式性质求取值范围. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最大值为2； （2）因为正数a， b满足， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为18； （3）因为， 又因为，，则，， 可得， 所以的取值范围为. 16. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论求范围即可； （2）命题为真命题得到，然后分为真命题，为假命题和为假命题，为真命题两种情况讨论. 【小问1详解】 为真命题时， 当时，，成立； 当时，，解得. 所以时，为真命题， 所以若为假命题，实数的范围为或. 【小问2详解】 若命题为真命题，则，所以，解得， 设，， 当为真命题，为假命题时，的范围为； 当为假命题，为真命题时，的范围为， 综上可得或， 所以的范围为或. 17. 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示．池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计，且池无盖）． （1）若污水池的长为20米，试求建造该污水处理池的总造价： （2）请问如何设计污水池的长和宽，才能使得总造价最低？并求出最低造价． 【答案】（1）58000（元） （2）设计污水池长为30米，宽为米时，总造价最低为56000元． 【解析】 【分析】（1）由污水池的长为20米得到宽为20米，再根据不同部分的造价求解； （2）设污水池的长为米，总造价为元，宽为米，得到函数求解. 【小问1详解】 解：因为污水池的长为20米，面积为400平方米, 所以其宽为20米， 则总造价为（元）． 【小问2详解】 设污水池的长为米，总造价为元，则宽为米． ， 当且仅当，即时等号成立． 所以设计污水池长为30米，宽为米时，总造价最低为56000元． 18. 已知是定义在上的偶函数，当时，． （1）求在时的解析式； （2）解不等式：； （3）若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【详解】（1）∵当时，，∴当时，， 又是定义在上的偶函数，， 故当时， （2）易知在上单调递减，在上单调递增 则不等式即为, 可得 解得或 即所求不等式的解集为 （3）由在上恒成立， 在上恒成立， 又与在上单调递增， ，解得或， 故实数的取值范围为 19. 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，它可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心. （2）若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，. （i）求函数的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为函数的保值区间.若函数在上存在保值区间，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据对称中心定义得出函数对称中心； （2）（i）根据已知解析式结合中心对称得出的解析式；（ii）分类讨论应用函数单调性结合基本不等式求解. 【小问1详解】 设函数的图象关于点成中心对称图形， 则令为奇函数， ， 即为奇函数， 解得 ∴函数图象的对称中心是. 【小问2详解】 （i）由函数的图象关于点成中心对称图形，令， 则的图象关于点成中心对称图形，即为奇函数. 当时，由，得. 当时，由，得. 又， （ii）. ①当时，在上单调递增； 当时，则 即方程在上有两个不相等的根， 即在上有两个不相等的根. 令. 在上不可能有两个不相等的根； ②当时，在上单调递增， ∴当时，则 即方程在上有两个不相等的根， 即在上有两个不相等的根. 令， 则解得； ③当时，在上单调递增在上单调递增， 此时即 ，则易知在上单调递减， . 又当时，， 当且仅当，即时，等号成立， ，此时无解. 综上可知，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期高一年级第一次月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 设全集,集合，（ ） A. B. C. D. 4. 有限集合中元素的个数记作，设都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是； ②的必要条件是； ③不是的子集的充分条件是 ④的充要条件是 其中真命题的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 5. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. [1，3] D. (1，3] 6. 已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足：对任意，，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 函数是偶函数且在区间上单调递增 B. 函数的最小值为 C. “”是“”的充要条件 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 11. 已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（　　） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数过点，若不等式成立，则满足不等式的实数m的解集是_________. 13. 已知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是______. 14. 已知，，则的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）设，求函数的最大值； （2）已知正数a， b满足，求的最小值. （3）已知，，求的取值范围． 16. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示．池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽略不计，且池无盖）． （1）若污水池的长为20米，试求建造该污水处理池的总造价： （2）请问如何设计污水池的长和宽，才能使得总造价最低？并求出最低造价． 18. 已知是定义在上的偶函数，当时，． （1）求在时的解析式； （2）解不等式：； （3）若在上恒成立，求实数的取值范围． 19. 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，它可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心. （2）若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，. （i）求函数的解析式； （ii）若函数满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为函数的保值区间.若函数在上存在保值区间，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $