湖南省名校联考联合体2025-2026学年高三上学期1月联考数学试题

名校联考联合体2026届高三年级1月联考 数学参考答案 、选择题 题号 1 2 3 6 7 8 9 10 11 答案 D B B C A C C ABC ABD AD 1.D【解析】由题意，U={一3，-2，-1,0}，又A={-1,0},所以CA={-3,-2}.故选：D. 2.B【解析】由之=1-2i,故z=1+2i,故选：B. 3.B【解析】因为a=(3,-1),b=(.x,1),所以a-b=(3-x,-1-1)=(1,-2),所以x=2.故选：B. 4.C【解析】因为f(x)在R上单调避增，由f(x2+2)<f(3), 所以x2+2<3,所以x2-1<0,解得-1<x<1.故选：C. 5.C【解析】如图，正四棱维P·ABCD中，正方形ABCD的对角线相交于点O,连接PO, 则PO⊥平面ABD,则∠PAO为PA与底面ABCD所成角，且∠PAO=45°， 所以P)-PAsin15°=√2，且AC=2OA=2OP=2√2，所以AB=2, 所以演四校维的体积为V=宁AB,BC·OP-.故递C 6.A【解析】函数f()=cos(ar-石)(w>0)的图象关于直线x=对称， 所以号w一晋=km,k∈，得u=3k十2，k∈Z因为>0， 所以当k=0时，心取最小值，为}故选：A 7.C【解析】因为A,MMF所以点M在以A,F为直径的国上，所以AA:边上的高为半径士时，△AA,M的面积 最大，即54w=2a,a时-a0-6 2 2 a=2,即c=号a」 又因为e== a(a+受) 2a,所以 2 =6,解得a=2√2，所以c=√2，得b=√a2-c=√6，故椭圆C的方程为 苦+苦-1敢选：C 8.C【解析】由f(x)={ 32-1e[01得fx)-{-3C2-1Dr∈[-10 3(2-1),x∈[0,1]， -f(-x,x∈L-1,0), 因为f(x十1)=f(1-x,所以函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=1对称， 因为f(x+2)=f(x-2),所以f(x十4)=f[(x十2)+2]=f[(x十2)-21=(x), 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.又函数y=f(x)在区间[-1,1]上单调递增，且值域为[一3,3]，函数y= |1og(x十1)|在区间(-1,0)上单调递减，在区间(0，十∞)上单调逆增，且当x→-1时y=|log(x十1)→十∞， 当x=0时y=|log1|=0.函数g(x)的零，点个数，即函数y=1(x)图象与函数y=|log(x十1)|，(a>0,a≠1)图 象的交点个数.不妨设a>1,作出函数y=f(x)与y=「og(c十1)|的图象如下： y=log.(x+1)川 11213 y=f(x) 因为函数g(x)=f(x)一log(x+1)|,(a>0,a≠1)共有6个零，点， 数学参考答案一1 1g.9+13得24， 所以当a>1,x>0时，1og13+1)>3, {a>10'所以10<a<14, e9+1)3得14 当0<a<1,x>0时，-1og(13+1)>3, 14 10 所以实蒸a的取信范因是（而，）U(,)哉递：C 9.ABC【解析】设等差数列{an}的公差为d, 对于A:因为a3十a5=a6十a2=a6十10，所以a2=10,故A正确； 所以a2一a1=d=一2，故B正确； 对于C:a1=a1+(11-1)d=12+10×(-2)=-8,故C正确； 对于D因为01y,所以可袋列视的时？装车有所以发的很大准有8成.成D 错误；故选：ABC. 10.ABD【解析】对于A:由点P(1,2)在抛物线C上，得4=2p.解得p=2,故A正确； 对于B:PF=1+专=2，故B正确； 对于C:直线1：=-1交圆2+=5于点M(-1,2),N(-1,-2),又F1,0),则三角形FMN的面积为2X4X2 =4,故C错误； 对于D:设A(4d,4a),根据抛物线定义可知FA=xA十1-4a2+1,又以FA为直径的圆的半径为4a,+1=2a十 2 合，而线段FA的中点到y轴的距高为2：+日，因此以FA为直径的闆与y轴相切.故D正确；故选：ABD 11.AD【解析】对于A:因为在正三棱柱ABCA,B,C中，AB=1,AA,=2,所以正三棱柱ABC-A,BC的体积为V -9 AB XMA-×1rX2号战AE: 对于B:设正三秘柱ABC-A,G的外接球的球心为0，则外接球的丰经为R=√1P-(号×号×1)-2，所以 E三枝柱ABC-A.B.的外接球的体积为V=R二3，政乃错武 对于C,D:因为点H为A,在平面AEF上的射影，所以A,IH⊥平面AEF,连接AH, B 图1 图2 图3 则A,H⊥AH,故H在.以AA1为直径的球面上.又AA1与平面AEF所成的角为30°， 所以∠HAA=30,过H作H0,1AA于点Q,如图1所示，则HA-1,1HA-B,H0-专，A0=多，所以H点 到粒AA的距高为号，故C错误：所以H在知园2所示的团锥A0的底西圆周上，又H在△AEF内（含边界），故 H在三棱柱ABC-A1B,C及其内部，其轨迹是以O为圆心，，H为半径的圆中圆心角为60°的圆孤，且H在底面 ABC上的射彩H的轨远（以A为围心，号为半径的一段周孤）如圆3所示，连接BH,易知直线BH与平面ABC所 成的角0=∠HB,且tm0-船-合-2品，故当BH装小时，an9菜大A是圆孤限心.别当付在AB上 时，BH聚小，最小债为1-号-25，所以mD-号×2己后 2 =3X,2。=3(2+3).故D正确.故选：AD, 三、填空题 12.1【解析】易知了(x)=3+,根据切线斜率为4，得f(x)=3十=4，解得云=1. o 13.167【解析】当百位数小于3时，共有C·A号=144个；当百位数为3，十位数小于2时，此时共有C·Ag=16个； 当百位数为3，十位数为2时，共有C=7个 数学参考答案一2 综上所述，共有144十16+7=167个. 14.12182【解析】对于数列{bn},由bn+1=2bn十1可得bn+1十1=2(bn+1),又b+1=4≠0， 所以士1=2，所以数列{6，十1}是首项为4，公比为2的等比教列， bn十1 故bn+1=4×2-1=2+1,得bn=2+1-1. 又an=2n-1, 新数列{cn}结构为：b后插1项，b2后插3项，…，b后插2k一1项，到bm,总项数为m十1十3十…十2m一3=m十 (m-1)(1+2m-3)-=m+(m-1)2=m-m+1. 2 当m=10时，到b1o共10一10+1=91项， 和为6+++6=3-1+2-1++21-1-二号-10=20-4-10=4082. 插入的a1到a的和为81(a,十a2_81(1+2X81-1D=81, 2 2 第92到100项为bo后插的9项，即s2到a0,其和为902-812，故T1o0=4082十812+(902-812)=12182. 四、解答题 15.【解析】1)在△.Bc中，S=2 besinA,又S=(2-e2）sinA, 则2kmA=(经8-2）sinA,而snA>0,… …3分 则bc=-2c2,即(b-2c)(b+c)=0,又b+c>0,则b=2c. 6分 (2)由a=√7,则a2=72,…8分 由余弦定理cosA=+c2-a2=4c2+2-7C 1 2bc 2· 11分 又0°<A<180°，所以A-120°.… …13分 16.【解析】(1)取PD的中点N,连接AN,MN,如图所示： B 在△PCD中，因为M,N分别是棱PC,PD的中点，所以MN为个PCD的中位线， 所以MN/DC,且MN=DC,易知AB=CD,AR/DC.… …2分 所以MN∥AB,且MN=AB,所以四边形ABMN为平行四边形， 所以AN∥BM, …4分 又ANC平面PAD,BM在平面PAU,所以BM∥平面PAD. 6分 (2)由已知PD⊥CD,CD=4,PD=2V5,所以PD+CD=CP,即PD+16=20,得PD=2,所以AD-2,…8分 以D为坐标原，点，DA.DC,DP所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系Dxyz, Z↑ 所以D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(00,2),…9分 因为M为棱PC的中点，所以M(0,2,1),所以DA=(2,0,0),DB=(2,2,0),DM=(0,2,1), n·DB=0,.12x+2y=0, 设平面DMB的法向量为n=(x,y,之)，则 (n·DM=02y+x=0, 令之=2，则y=一1，x=1,即平面DMB的一个法向量为n=(1,一1,2)，…11分 又PD⊥平面ABCD,DAC平面ABCD,所以PD⊥DA,由AD⊥DC,且PD∩DC=D, 所以DA⊥平面PCD,即DA⊥平面PDM, 所以DA=(2,0,0)为平面PDM的一个法向量，…13分 数学参考答案一3 所以cos(n,Di=n·DA 1×2+(-1)×0+2×0 √6 |n|DA√+(-1)+2×√22+0+0=6' 所以年西PDM和平面DMB所成夫角的正徐位为V√1-(=@ ……15分 17.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，十o∞)，当a=e时，f(x)=e 1_ex-1 ……1分 由(x)>0,得>，即f(x)在(，十o∞)上单调递增；…3分 由(x)<0,得0<<。，即f(x)在区间(0，）上单调递减，…5分 所以f(x)的极小值为f()=e+1-lh。=e+2. …7分 (2)当a=-1时，f(x)=-(.xx+1), 因为xe+f(x)=xe-〔x+ln.x+l),从而要证f(x)+xe≥0，即证xe-x-lnx-l≥0， 令h(x)=xe一x-n一1，定义域为(0，十o∞)，…8分 ()=eg~1一子=+lD(e-),其中x+1>0恒成立，设e-是=0的解为x=: 当0时，e-子<0，M()=+1D(e-)0,Ax)单调递减， 当>n时，e-上>0，h(x)=(x+1D(e-)>0,M()单调递增， 因此h(x)=xe一x-lnx-1的最小值为h(.=xe一x一lnxo一1，… 11分 由e-1=0可知e兰1， e" 12分 折以h()=-xm01=1一一（)1年 即h(x)=xe一x拓不-上的最小值为0，…14分 综上，h(x)=xe-x一hmx-l≥0，即xe十f(x)≥0得证. 15分 18.【解析】(1)依题意，列出2×2列联表如下： 测试结果 款类 总计 优秀 良好 A型 20 10 30 A型 1 23 30 总计 27 33 60 …1分 零假设为H:测试结果与越野驾驶性能优化无关.根据表中数据可得： 2Y2=60X(20X23-10X7）=3380≈11.380>10.828=0.01， 30×30×27×33297 3分 根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为测试结果与越野驾驶性能有关联，此推断犯错 误的概率不大于0.001.…4分 (2)(i)X的所有可能取值为3,4,5,6， P(X=3)=()广-P(X=4)=C(号)×3-， PX=5)=C×号×（号）°-号P(X=6)=(号)'=7 ……………………8分 (全正确得4分，每正确一个得1分) .X的分布列为 X 3 5 6 P 2 1 27 9 27 …9分 数学参考答案一4 效学期望E(X)=3X号+4X号+5X号十6X分4… 10分 (i)设“赛满2m十1局人类队获胜”为事件C,要使事件C发生，有两种情况：第一阶段赛满(2m一1)局人类队胜，记为 事件A1,和第一阶段赛满(2一1)局人类队负，记为事件A2, .C=AC+A2C,P(C)=P(A1C)十P(A2C),…11分 ①若第一阶段人类队胜，则人类队在前(2一1)局至少胜n局，分为人类队至少胜(n十1)局和人类队恰好胜n局， (a)若人类队至少胜(n十1)局，无论后面两局结果如何，最终人类队获胜；…12分 (b)若人类队恰好胜n局，且后面两局中人类队均负的概率为C2-1p”(1一p)1(1一p)2, “P(AC)=Am)-C-1P1-p)-11-p(其中p=}) …13分 ②若第一阶段人类负，则人类队恰好胜了（一1）局，而后两局必须全胜才能使得人类队最后获胜， P(A2C)=C2p1(1-p)"p, A(n+1)=P(C)=P(1:()+P(A2C)=A(n)-C2-p"(1-p)-(1-p)2+C2p-1(1-p)"p2, A(n十1)-A(n)=(:p'(1-p)"p2-C2-1p”(1-p)-1(1-p)2 =C2-1p+1(1-p)”一C2-1p(1一p)+1 =C8-b1-p(2p-1)=C-(号)°（号）八×（号-1<0，… 16分 ∴.A(n十1)<A(n). 在人美队每局获胜概率为了的条件下，局数越多，人美队获胜的概率越小. 17分 10.【解折]1周为双南线C后-苦=1(>0,0)的一条渐近线为=，点5,4在C上. (b一1 所以了 解得Q2一……2分 9-1 所以双曲线C的方程为写-音=1。 ……3分 (2)设点N坐标为(x,%),当点N处的切线斜率不存在时，根据对称性，取切线方程为x=3,与渐近线y=士x的 ,B(3,-3,此时S608=号X6Y3=-9: 当切线斜率存在时，设切线方程为-y,一(x一x), y-%=k(x一)， 与双曲线方程联立 x2-y=9, 消去y,可得x2-[k(x一x0)十]=9， 整理得(1一k2)x2+(2x,-2k%)x-kx6十2k%x一6-9=0， 所以1-k≠0且△=(2kx-2ky6)2-4(1一k2)(一2x6+2k6x0一3y-9)=0, 解得k=,代入y-为=(x一)，得by一号=x一6， yo 所以切线方程为x0x一by=9,(直接写出切线方程扣3分)…… …9分 又双曲线C的渐近线方程为y=士x, 9 国为z2一by=9与y=x联立得xA,9与y==工联立得xB十为” 10分 故Sam=Ez-居-g-9, 81=81 综上可知，所求面积为9.…11分 (3)设M(a,b),依题意可得B(-5,一4)，R(4,5),所以直线OR的方程为y= 5 4℃， ①若a=5,则直线MB的方程为x=5,直线MB的方程为y=一4， 此时点P(5,2）P(-5-4,所以w·=16=, 因为P,R,P,O四，点共线，所以|OP|·|OP|=|OR2, 所以存在实数入=1，使得OR2=入OP·OP;…12分 ②若a=一5，则直线MB'的方程为x=-5,直线MB的方程为y=4, 数学参考答案一5 此时点P(94),P(-5,-5),所以n·'1=16=3, 因为P,R,P,O四点共线，所以OP·OP|=OR2, 所以存在实数λ=1，使得|OR|2=λOP·OP|;… ……13分 10 B -15 -10 -5 5 10 15 -5 Xp' -10 ③若a≠5且a≠-5，k@=6二4， b+4 a-5,kw= a十5' 直线MB的方程为y一4=合仁音一5 y-4 b-4 联立方程组 a-5x-5), 5 解得功三46b02…1 14分 y=4x, 同理可得友线M证的方车十4（十5 y+4-结t5 联立方程组 5 解得464a5059y…15少 15分 y=4x, 因为M(a,b)在双曲线上，所以a2一=9， (4a-5b)2 16a2-40ab七25r =16a2-40ab+25 所以i62=31-（4h=5a)9=9=16+Pw25-16a+40a-25-1 所以xp·xp'|=16=xR2,… ………………16分 因为P,R,P,O四点共线，所以OP·(P=OR2, 所以存在实数入=1，使得OR2=λOP。)P.…17分 数学参考答案一6 名校联考联合体2026 届高三年级1月联考 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.全集U={-3,-2,-1,0},A={-1,0},则= A.∅ B.{-2} C.{-3} D.{-3,-2} 2.复数z的共轭复数为z，若 则z= A.1-2i B. 1+2i C.2-i D.2+i 3.平面向量a=(3,-1),b=(x,1),且a-b=(1,-2),则x= A.-1 B.2 C. D.3 4.函数 f(x)=eˣ,若. 则x的取值范围为 A.(-2,2) B.(-2,-1) C.(-1,1) D.(1,2) 5.正四棱锥 P-ABCD 的侧棱长为2，侧棱 PA 与底面ABCD 所成角为45°，则该四棱锥的体积为 B.2 D.4 6.函数 的图象关于直线 对称，则ω的最小值为 A. B.1 C. D.2 7.椭圆 的左、右顶点为A₁，A₂，椭圆C的右焦点为F，点 P 是椭圆C上异于A₁，A₂的一动点，过F作直线A₁P 的垂线，垂足为M，若椭圆C的离心率为 ，三角形A₁A₂M的面积最大值为6，则椭圆C的方程为 8.函数y=f(x)(x∈R)满足:当x∈[-1,1]时,且f(x+1)=f(1-x),f(x+2)=f(x-2),若函数. 且a≠1)共有6个零点，则实数a的取值范围是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.等差数列{an}的前n项和为 则 B.公差d=-2 D. Sn的最大值为S.7 或 S₈ 10.抛物线 的焦点为F，准线为l.若点 P(1，2)在抛物线C上，过F点的直线l'交抛物线C于A，B两点，则 A p=2 B.|PF|=2 C.圆 与准线l交于M，N两点，则三角形FMN的面积为8 D.以FA为直径的圆与y轴只有一个公共点 11.如图,在正三棱柱 ABC-A₁B₁C₁中,AB=1,AA₁=2,E,F分别在侧面. 和侧面AA₁C₁C内运动(含边界),点 A₁在平面AEF上的射影 H 在 内(含边界)，直线 与平面AEF所成的角为30°.则 A.正三棱柱 的体积为 B.正三棱柱. 的外接球的体积为 C. H点到棱AA₁的距离为 D.若直线 BH 与平面ABC 所成的角为θ，则tanθ的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数 f(x)=3x+lnx在点P(x₀,y₀)处的切线斜率为4,则. 13.从0，1，2，…，9 这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329 的共有 个. 14.数列 满足 数列{bn}满足 将 中的项按从小到大的顺序插入{bₙ}中，且在任意的 之间插入2k-1项，从而构成一个新数列 设 的前n项和为 则 (请用数字作答). 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 的面积为s, (1)证明:b=2c; (2)若 求内角 A 的大小. 16.(本小题满分15分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,△PAD 为等腰三角形,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4,PC=2 ,M为棱PC的中点. (1)证明:BM∥平面PAD; (2)求平面 PDM和平面DMB 所成夹角的正弦值. 17.(本小题满分15分) 函数 (1)若a=e,求 f(x)的极小值; (2)当a=-1时,证明: 18.(本小题满分17分) 某人工智能研发公司为了开拓新产品市场，从最新研发的经典A 型和卓越 型两款机器人中(卓越A⁺型是A型的优化版)，随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台，卓越 型优秀为20台. (1)完成下面2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否与越野驾驶性能优化有关. 款类 测试结果 总计 优秀 良好 型 20 30 A型 7 30 总计 (2)该公司为了进一步测试卓越. 型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队(母语为汉语)进行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况(无平局)，每局人类战胜机器人的概率为 胜者记2分，负者记1分.每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响. (i)求三局比赛中，人类队累计得分X 的分布列和数学期望； (ii)若采用“比赛赛满(2n-1)局，胜方至少获得n局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为A(n)；若采用“比赛赛满(2n+1)局，胜方至少获得(n+1)局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为 A(n+1),比较A(n)与A(n+1)的大小,并说明其统计意义. 参考公式： α 0.1 0.05 0.01 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 10.828 19.(本小题满分17分) 双曲线 的一条渐近线为 点 B(5,4)在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，该公共点为切线的切点.设双曲线C在切点N 处的切线为l，求切线l与双曲线的两渐近线所围成的三角形的面积； (3)设点 B 关于l₁的对称点为R，点B关于原点的对称点为B',双曲线上的动点 M与B',B不重合,且动直线MB与直线OR 相交于点P，动直线MB'与直线OR 相交于点P'.求证：存在实数λ，使得 并求出实数λ的值. 学科网（北京）股份有限公司 $