山西运城市康杰中学、柳林县鑫飞中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

高三数学参考答案、提示及评分细则 1.D 由题意知B={x∈Nx<3}={0,1,2}, 又 A={x|-1≤x≤4}, 所以A∩B={0,1,2}. 故选 D. 2.B 命题“3x>1,x³-2x+2>x⁴” 的否定是：Vx>1,x³-2x+2≤x⁴ . 故选B. 3.D 因为z=1-2i, 所以|z|=√ 1²+(-2)²=√5, 故 A 错误；z的虚部为—2,故B 错误；=1+2i,故 C 错 误；i,故是纯虚数，故D 正确.故选D. 4.A 在△ABC中，0< A<π,0<B<π,cos A=cos B,所以A=B, 则 sin 2A=sin 2B,所以“cos A=cos B”是 “sin 2A=sin 2B”的充分条件；若,满足sin 2A=sin 2B,但是cos A≠cos B,所以“cos A=cos B”不 是“sin 2A=sin 2B”的必要条件.综上，“cos A=cos B”是“sin 2A=sin 2B”的充分不必要条件.故选A. 5.C 将函数y=cos x图象上所有点的横坐标变为原来的 ·(纵坐标不变),得到y=cos 4x,再将图象上所有 的点向右平移：个单位长度后的函数为.故选C. 6.B 因为 · 24,当且仅当时，即a=2,b=12 时，等号成立，因此6a+b 的最小值是24.故选B. 7.C 设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 外接球的半径为R, 所以4πR²=28π, 解得R=√7, 所 = R, 又AB=2√3, 所以,解得AA₁=2√3, 取AC 的中点D, 连接 BD,B₁D, 所以 学科网（北京）股份有限公司 BD⊥AC,B₁D⊥AC, 所以∠BDB₁ 为二面角B₁-AC-B 的平面角.又易得BD=3,BB₁=2√3,BD⊥BB₁, 以 B₁D =√BB+BD²= √3²+(2 √3)²= √21, ,即二面角B₁-AC-B ( 所 的 ) 正弦值为.故选C. 8.A 因为 ,又b>1, 所以log₂b>0, 所以1 3 √b+log₂√b>log₃√b+log₂√b, 所以log₃√b+log₂√b<log₂a+log₃a<log₃b+ log₂b,设 f(x)=log₂x+log₃x, 因为y=log₂x,y=log₃x 均在(0,+∞)上单调递增，所以f(x) 在(0,+∞) 上单调递增，又 f(√b)<f(a)<f(b), 所以 √b<a<b, 所以b<a²<b² . 故选A. 9.AB 若a>b,c>d, 则a+c>b+d, 故 A 正确；因为a<b<0, 所以,即- ,故B 正确； 当 a=-2,b=—1, 满足a<b<0, 但a²>ab>b², 故C 错误；当a=-1,b=-2,c=-3, 满足a>b>c, 但a+b = c,故D 错误.故选AB 10.ABC 因 为a₁=2,a3=26,an+1=4aₙ—3a,1(n≥2), 所以a₃=4a2—3a₁, 即26=4a2-3×2, 解得a2=8, 因 为an+1=4 an—3an—1(n≥2), 所以an+1-an=3(an—an-1) ,则{an+1—an}是首项为a₂-a1=6, 公比为3的 等比数列，故 A 正确；因为 an+1=4an—3a n-1(n≥2), 所 以an+1—3an=an—3aₙ-1, 即 an+1—3an 一 (an—3an-1)=0, 所以数列{an+1-3an} 为首项为2,公差为0的等差数列，故B 正确；当n≥2 时，an=a1+ (az-a1)+(a₃-a2)+ … 十(an-an-1)=2+6+18+…+6×3”2=2(1+3+9+…+3”-1)= ,又 a₁=2 符合，所以 a=3”—1, 故 C 正确；Sₙ=(3+3²+3³+…+3”)-n= 【高三数学参考答案 第1页(共4页)】 27—X—023C ,故D 错误.故选ABC. 11.ACD sin 2A+sin 2C—2sin Bcos(A-C)=sin[(A+C)+(A-C)]+sin[(A+C)—(A-C)]一 2sin Bcos(A-C)=2sin(A+C)cos(A-C)—2sin Bcos(A-C)=2sin(π—B)cos(A-C) 一 2sin Bcos(A-C)=0,故 A 正确；由 A 选项可知sin 2A+sin 2C=2sin Bcos(A—C),所以 sin 2A+sin 2B + sin 2C=2sin Bcos(A-C)+2sin Bcos B=2sin B[cos(A-C)+cos B]=2sin B[cos(A-C) 一 cos(A+C)]=2sin B·2sin Asin C=4sin Asin Bsin C=2,所以 sin Asin ,故B 错误；又△ABC 外接圆的半径为 √2,所以,所以△ABC的面积 A× 2 √2sin Bsin C=4sin Asin Bsin C=2,故C 正确；因为sin Asin Bsin ,即 abc=8√2, 又a=2√2sin A≤2√2,所以a³≤16√2, 即 ,所以a²≤2bc≤b²+c², 故 D正确.故 选 ACD. 12.7 由 ,得 ,所以 因为关于x 的一元二次不等式ax²-5x+a<0 的解集为{x|x≠b}, 所以对应的一元二次方程ax²- 5x+a =0 有且仅有一个解，且 a<0, 所以 解得 ,代入一元二次方程得 ,解得x=-1, 所以b=-1, 所以 14.25 因 为 f(x)+g(1-x)=1, 所 以f(2—x)+g(x—1)=1, 又 g(x) 是奇函数，所以g(x—1)= - g(1-x), 所以f(x)+g(1-x)+f(2-x)+g(x—1)=2, 即 f(x)+f(2—x)=2, 令 x=1, 得f(1) =1,又f(x) 是偶函数，所以f(2—x)=f(x—2), 所以f(x)+f(x-2)=2, 所以f(x+2)+f(x)=2, 所以f(x+2)=f(x-2), 即 f(x+4)=f(x), 所以f(x) 是以4为周期的周期函数，所以f(1)+f(2) +f(3)+…+f(25)=6[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=6×(2+2)+1=25. 15.解：(1)由题意知 , … … … 2分 所以函数f(x) 的最小正周期 …………………………………………………………………4分 ,k∈Z, 解得 即函数f(x) 的单调递减区间为(k∈Z). …………………………………………7分 (2)由题意知 所以 ,又 ,所以 所以 所以 ……………………………………………………13分 【高三数学参考答案 第2页(共4页)】 27—X—023C 学科网（北京）股份有限公司 16.解：(1)由题意知,…………………………………………………………………1分 当 a≤0 时 ，f(x)>0 在(0,+∞)上恒成立，所以f(x) 在(0,+∞)上单调递增； ……………………3分 当 a>0 时，令 f'(x)>0, 解得x>a, 令 f(x)<0, 解 得 0< x<a, 所以 f(x) 在(0,a) 上单调递减，在 (a, 十∞)上单调递增. 6分 综上，当a≤0 时，f(x) 在(0,+∞ )上单调递增；当a>0 时，f(x) 在(0,a) 上单调递减，在( a,+∞) 上单 调递增. ………………………………………………………………………………………………………7分 (2)因为当x=1 时，函数f(x) 取得最小值—3,所以 ……………………………11分 解得a=1,b=-4, 13 分 由(1)知当a=1 时，所以f(x) 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减，当x=1 时取最小值，满足 题意.…………………………………………………………………………………………………………15分 17.(1)证明：由余弦定理得 所以AC=√3, 3分 由余弦定理得 又C∈(0, π), 所以,所以△ABC是钝角三角形. ……………………………………………………………7分 (2)解：在△ACD中，由余弦定理得 在△BCD 中，由余弦定理得 【高三数学参考答案 第3页(共4页)】 27—X—023C 学科网（北京）股份有限公司 又∠CDA+∠CDB=π ,所以cos ∠CDA+cos∠ CDB=0, 即 …… 11分 整理得25 √7DA²—225DA+72√7=0, 即(5DA-3 √7)(5 √7DA-24)=0, 解得 或 ……………………………………………………………………………15分 18.(1)解：f(x) 在(一∞,+∞)上单调递减.………………………………………………………………… ·1分 证明：任取x₁ < x₂, 又 ……………………………………3分 又x₁<x₂, 所以x₂-x₁>0,22—21>0,21+2>0,2*2+2>0, 所以f(x₁) 一f(x2)>0, 即 f(x₁)> f(x₂), 所以f(x) 在( - ∞,十∞)上单调递减. … … … ……… ………………………………………5分 所以曲线y=f(x) 是中心对称图形，对称中心为(1,1).………………………………………………10分 (3)解：由(2)知2—f(x)=f(2—x), 因为 由(1)知f(x) 在(-∞,+∞)上单调递减，所以| 可化为|log₃x|²-3(a+1)|log₃x|+2a+2=0, 令 |log₃x|=λ(λ∈(0, 十∞)), 即λ²—3( a+1)λ+2a+2=0, 所以关于x 的方程 有四个不同的实数解等价于λ²—3(a+1)λ+2a+2=0 有两个不相等的正实数根λ1,λ2,……………14分 【高三数学参考答案 第4页(共4页)】 27—X—023C 学科网（北京）股份有限公司 …………………………………………………………………… 16分 或 得 解得 ,即a 的取值范围是 ……………………………17分 19. (1)解：由题意知 f(0)=0,f(x)=(x+1)e²-ax², 所以f (0)=1, 所以f(x) 的图象在点(0,f(0)) 处的切线方程为y=x. 3分 (2)解：由f(x)≥0, 得 ,当x= 0 时 ，a∈R; 当x>0 时，得 ,即 令, x >0, 所以 ,所以当0< x<2 时，μ(x)<0, 当 x>2 时，μ(x)>0, 所 以μ( x) 在(0,2)上单调递减，在(2,十∞)上单调递增，所以 ,所以 综上，a 的取值范围是 .…………………………………………………………………………7分 (3)( i) 解：由题意知 所以g′(x)=(x+1)e—ax²+a=(x+1)(e²—ax+a), … ……………………………………………8分 设h(x)=e—ax+a, 若a≤0, 则 h(x) 在(-∞,+∞)上单调递增，即其至多有一个零点，即g(x) 至多有两个极值点，不可能有 三个极值点，故a>0. 当 x≤0 时 ，h(x)>0 恒成立，故当x∈ ( 一 ∞,-1)时，g'(x)<0; 当 x∈(—1,0) 时 g'(x)>0, 即—1为g(x) 的一个极小值点. 9分 又h'(x)=e²-a, 令 h'(x)>0, 解得x>In a,令h'(x)<0, 解得x<In a,所以h(x) 在(一∞,Ina) 上单 调递减，在( ln a,+∞)上单调递增，即h(x) 有最小值h(ln a)=2a-aln a. 又g(x) 恰有三个极值点，即h(x) 有两个变号零点x2,x₃, 即 ………………………10分 解得a>e², 即 a 的取值范围是(e², 十∞).………………………………………………………………11分 (ii) 证明：由( i) 知x₁= -1,0< x₂<In a<x₃,且 即 要证即证 ,即证 x2+x₃ 一x2x₃>0, 即证 x2x₃—x₂—x₃+1<1, 即 (x₂-1)(x₃-1)<1. 即证e2+*₃<a², 即证x₂+x₃<2ln a 14分 设G(x)=h(x)—h(21n a-x), 则G(x) 单调递增，而G(In a)=0,则G(x2)<0, 即 h(x₃)=h(x₂)<h(2ln a-x2),又 x₃>In a,2ln a- x2>In a,h(x)在(ln a,十∞)上单调递增，所以x₃<21n a-x2, 即x₂ + x₃<21 n a,即 ……………………………………………………………………17分 $高三数学 5 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项月填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 密 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形（约90%）， 其他内容（约10%）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A=(x|一1≤x≤4)，B=(x∈N|x<3),则A∩B= A.{x|2≤4)〉 B.{x|-1≤<3} C.(1,2)》 D.(0,1,2) 2.命题“3x>1,x3一2x十2>x1”的否定是 A.3x≤1，x3-2x+2≤x B.Vx>1,x3-22+2≤x4 线 C.3x>1,x8-2x十2≤x D.Vx≤1，x3-2x+2≤x 3.已知复数z=1一2i,则下列说法正确的是 A.|z=3 B.z的虚部为一2i C.z=-1+2i D2异是纯虚数 4.在△ABC中，“cosA=cosB”是“sin2A=sin2B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【高三数学第1页（共4页）】 27-X-023C 5.将函数y=cosx图象上所有点的横坐标变为原来的子（纵坐标不变），再将图象上所有的点 向右平移器个单位长度，得到函数)y=心x)的图象，则∫(x)= Acos(7希) Bos(若一) C.cos(4红-) D.cos(4红-） 6已知a>0,6>0,且+8=1，则6a+6的最小值是 上 A.22 B.24 C.26 D.28 7.已知正三棱柱ABC-A,B,C的所有顶点都在一个表面积是28π的球的球面上，且AB= 2√3，则二面角B,-AC-B的正弦值为 A厘 B②@ 7 C20 7 n号 8.已知a>1,b>1,且log2a十log3a=logb+logb,则 A.b<a2<62 B.a<62<a2 C.b2<a2<63 D.a2<<a2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.若a>b,c>d,则a十c>b+d B若a<0,则合>君 C.若a<b<0,则a2<ab<b D.若a>b>c,则a十b>c 10.在数列(an)中，a1=2,ag=26,且a+1=4an一3am-1(n≥2)，记数列{an)的前n项和为S.,则 下列说法正确的是 A.数列(a+1一an)为等比数列 B.数列(a+1一3an)为等差数列 C.an=3”-1 D.S=31一n=4 2 11.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin2A+sin2B+sin2C=2,且△ABC外接 圆的半径为√2，则下列说法正确的是 A.sin 2A++sin 2C-2sin Bcos(A-C)=0 B.Asin Bsin-C=号 C.△ABC的面积为2 D.b+c2≥a 【高三数学第2页（共4页）】 27-X-023C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知sin(a+)=号了，sin(a-)=子，则ang= 'tan B 13.若关于x的一元二次不等式ax2-5.x十a<0的解集为(zx≠b),则号= 14.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)十g(1一x)=1,则f(1)十f(2) +f(3)十…+f(25)= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知面数f(x)=sin co一吗sin(受-2z (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)若a∈[0，]，且f(a)=-},求cos2a的值 16.本小题满分15分) 已知函数f(x)=lnx十十b(a,5∈R). 2 (1)讨论f(x)的单调性； (2)当x=1时，函数f(x)取得最小值一3；求a和b的值. 17.(本小题满分15分) 在AABC中，AB=7,8C-1,cosB=2 (1)证明：△ABC是钝角三角形； (2②)若点D是AB边上一点，且CD-号，求AD的长 【高三数学第3页（共4页）】 27-X-023C 18.（本小题满分17分) B知还数e)-35- (1)判断(x)在（一∞，十∞）上的单调性，并用定义证明； (2)求证：曲线y=f(x)是中心对称图形； (3若关于x的方程/(gz十女一3如)+/（心2-）-2有四个不同的实数 仰，求a的取值范围， 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ze-子axr(a∈R). (1)求∫(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若∫(x)≥0对任意的x∈[0，十∞)恒成立，求a的取值范围； (3)若函数g(x)=∫(x)十ax恰有三个极值点x1,x2,x(x1<22<x3). (i)求a的取值范围； (i证明+名>2 【高三数学第4页（共4页）】 27-X-023C高三数学参考答案、提示及评分细则侧 1.D由题意知B={x∈Nx<3}={0,1,2},又A={x-1≤x≤4}，所以A∩B={0,1,2}.故选D. 2.B命题“3x>1,x3-2x+2>x4”的否定是：Vx>1,x3-2x十2≤x4.故选B. 3.D因为=1-2i,所以|z|=√/12+（一2）7=√5，故A错误；x的虚部为一2，故B错误；2=1+2i,故C错 误：2异=《化部号号=2计证=i故异是纯虚数，故D正确，故选D 4.A在△ABC中，0<A<π，0<B<π，cosA=cosB,所以A=B,则sin2A=sin2B,所以“cosA=cosB”是 “sin2A=sin2B"”的充分条件；若A=石，B=,满足sin2A=sin2B,但是cosA≠cosB,所以“cosA=cosB”不 是“sin2A=sin2B”的必要条件.综上，“cosA=cosB”是“sin2A=sin2B”的充分不必要条件.故选A 5.C将函数y=cosx图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到y=cos4x,再将图象上所有 的点向右平移牙个单位长度后的函数为f(x)=cos[4(x一哥]=cos(4红-晋)，故选C 6.B因为日+8=1，则6a+b=(6a+b)(日+8)=6+38+名+6=12+%+名≥12+2√%·吾= a 24,当且仅当%-时，即a=2,6=12时，等号成立，因此6a+6的最小值是24故选B 7.C设正三棱柱ABC-A1B1C外接球的半径为R,所以4xR2=28π，解得R=7,所以 ()+() =R,又AB=23,所以 /(会)'+()-7，解得M=25,取AC的中点D,连接BD,BD,所以 BD⊥AC,B1D⊥AC,所以∠BDB1为二面角B1-AC-B的平面角.又易得BD=3,BB1=2√3，BD⊥BB1,所 以BD√Bm+BD=V3+(23)=V2,sin∠BDB=2-2汽-2，即二面角B-AC-B 正弦值为29故选℃ &.A因为1og:a+log,a=log,b+log,b=logs6+2og:b,又6>1，所以lcg:b>0,所以logb+2oebK1og,b+ 1og:b,又l1og:b+log:b=2log6+log历>logV万+-log/万，所以logV万+l1ogeB<<l0ga+-loga<log.b+- log2b,设f(x)=log2x+logx,因为y=log2x,y=log3x均在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)在(0，十∞) 上单调递增，又f(√b)<f(a)<f(b),所以Wb<a<b,所以b<a<b.故选A. 9.AB者a>6,c>d.则a十>计d放A正确：因为a<K0,所以日一言=ab2>0,即日>方故B正确： 当a=-2,b=-1,满足a<b<0,但a2>ab>b,故C错误；当a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,但a十b =c,故D错误.故选AB. 10.ABC因为a1=2,a3=26,a+1=4a.-3am-1(n≥2)，所以a3=4a2-3a1,即26=4a2-3X2,解得a2=8,因 为an+1=4an一3am-1(n≥2)，所以an+1一an=3(an一am-1),则{an+1一an}是首项为a2一a1=6,公比为3的 等比数列，故A正确；因为an+1=4a一3a-1(n≥2)，所以a+1一3an=an一3am-1,即a+1一3an (an一3an-1)=0,所以数列{an+1一3an}为首项为2，公差为0的等差数列，故B正确；当n≥2时，an=a1十 (a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+6+18+…+6×3m-2=2(1+3+9+…+3-1)= 2X13）=30-1,又a1=2符合，所以a.=3”-1,故C正确；S.=(3+32+3+…+3”)-n= 1-3 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 27-X-023C 3X与》-=空-是放D错误故选AC 1-3 11.ACD sin 2A+sin 2C-2sin Bcos (A-C)=sin[(A+C)+(A-C)]+sin [(A+C)-(A-C)]- 2sin Bcos(A-C)=2sin (A+C)cos (A-C)-2sin Bcos (A-C)=2sin (-B)cos (A-C)- 2 sin Bcos(A-C)=0,故A正确；由A选项可知sin2A十sin2C-2 sin Bcos(A-C),所以sin2A+sin2B +sin 2C=2sin Bcos (A-C)+2sin Bcos B=2sin B[cos(A-C)+cos B]=2sin B[cos(A-C)- cos(A十O]=2sinB·2 sin Asin C--4 4sin Asin Bsin C=2,所以sin Asin BsinC-合，故B错误；又△ABC 外接圆的半径为万，所以A一s品BC=2E,所以△ABC的面积S=7 alsin C=之×2 sinA× b 22 sin Bsin C=-4 sin Asin Bsin C=2,故C正确；因为sin Asin BsinC-2,所以，25 c=8/2,又a=22sinA≤2V2,所以a≤162，即a2.8y2≤162，所以a≤2bc≤+2，故D正确.故 bc 选ACD, 12.7由sin(a+80=sin叶=号sin(a-)=sin月-sin=子，得sin=7, sin a 7 cos asin月27，所以ng-og-s0aos9-24=7. 1 tan B sin B sin Bcos a cos B 24 13.2 因为关于x的一元二次不等式a.x2一5x十a<0的解集为{x|x≠b},所以对应的一元二次方程ax2一 5十a=0有且仅有-个解，且a<0,所以A二《一5》-松=0，解得a=一吾，代人一元二次方程得 la<0, 一吕2-5x号=0，解得x=-1,所以6=-1，所以号=是· 14.25因为f(x)+g(1一x)=1,所以f(2-x)+g(x一1)=1，又g(x)是奇函数，所以g(x-1)= -g(1-x),所以f(x)十g(1-x)+f(2-x)+g(x-1)=2,即f(x)+f(2-x)=2,令x=1,得f(1) =1,又f(x)是偶函数，所以f(2-x)=f(x-2),所以f(x)十f(x一2)=2，所以f(x十2)十f(x)=2, 所以f(x+2)=f(x-2),即f(x十4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(1)+f(2) +f(3)++f(25)=6Cf(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=6×(2+2)+1=25. 15解：（由题意知f）=s血xosx停n(侵-2x)-合如2x一s2x=m(2x一吾 ,…2分 所以函数f(z)的最小正周期T-受=元，… …4分 令受+2kr2x-吾<经+2kx,k∈乙，解得登+kr≤<+kr,k∈Z, 即函数f(x)的单调递减区间为[登+，受+x](∈D. …7分 (2由题意知fa)=sin(2&晋)=-号，又e∈[0，受]， 所以2a-晋∈[-号，]，又sm(2a-5)=-}<0,所以2a-晋∈[-号，0]， 所以os(2。晋)-V1-simr(2a-哥)- 31 …9分 所以cos2a=cos(2a-5+5）=cos(2a-)cos5-sin(2a-于)sin5 -2×3-(←含）×92 6 13分 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 27-X-023C 16.解：(1)由题意知f(x)=1-4=x一4， x T2 25”·◆。”。。。·。。。。年。。年年”年”。年。。 …1分 当a≤0时，f(x)>0在(0，十∞)上恒成立，所以f(x)在(0，十o∞)上单调递增；…3分 当a>0时，令f(x)>0,解得x>a,令f(x)<0,解得0<x<a,所以f(x)在(0，a)上单调递减，在 (a,十∞)上单调递增.…。 …6分 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,十∞)上单 调递增.…7分 (2)因为当x=1时，函数fx)取得最小值-3，所以)二+6=一3， …11分 f(1)=1-a=0, 解得a=1,b=-4,…13分 由(1)知当a=1时，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递减，当x=1时取最小值，满足 题意。… …15分 1.(1)证明：由余弦定理得AC=AB+BC-2AB.BCcos B=-(/7)+12-2XW7X1X57=3, 14 所以AC=√5， 3分 由余弦定理得cosC-CA土CB-AB_(W3)2+1-(W万)2 3 2CA·CB ,又C∈(0，π)， 2×5×1 2 所以C=>交，所以△ABC是钝角三角形。…7分 (2)解：在△ACD中，由余弦定理得cos∠CDA=DC+DA=-AC +Da-(gYDA-器 2DC·DA 2X9D4 在△BCD中，由余弦定理得coS∠CDB=DC十DB一-CB +(W7-DA)2-12 2DC·DB 2×号97-DA 7-DA)-器 2(7-DA) 又∠CDA十∠CDB=π，所以cos∠CDA十cos∠CDB=O, D4 25 (7DA)-2西=0，…11分 23 DA 23(W7-DA) 整理得25√7DA2-225DA+72√7=0，即(5DA-3√7)(5√7DA-24)=0, 解得DA=3或DA=2 15分 35 18.(1)解：f(x)在（一∞，十0∞）上单调递减.…1分 证明：任取<，又f(x)=321+5 2+ 2x+2 2x+2 -x号+异2 所以f)-了)=号十是2--（停+”2）= 2 2 2 251+2 22+2 一m+x2= 2(22-21) 22%十2）-221十2t222》22+2计a-4,……………3分 (21+2)(22+2) 又x1<2,所以x2-x1>0,22-21>0,21+2>0,22+2>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)> f(x2),所以f(x)在（一∞，十∞）上单调递减。…5分 （②)证明：由题意知f)+f2-)=是+子2十是+号-2(2-)2异2+22+1=2， 所以曲线y=f(x)是中心对称图形，对称中心为(1,1).…10分 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 27-X-023C ③解：由2知2-x)=2-0,因为e+T品-)+/(-l)=2, 所以I®+T品)-2a）=2-(e-i)）-f3-Ta). 2 2a 由1)知fx)在(-o,+o)上单调递减，所以logd十Tog-3a=3-T1og…13分 可化为|1ogx2-3(a+1)1l1og3x|+2a+2=0,令l1ogx=λ（∈(0，+∞）)， 即-3u+1+2a+2=0,所以关于x的方程f(o%+打哈z-a)+(a一)-2 有四个不同的实数解等价于2一3(a十1)入十2a十2=0有两个不相等的正实数根λ1,2，…14分 △=9(a+1)2-4(2a+2)>0, 所以3λ1十λ2=3(a+1)>0, 16分 入1·2=2a+2>0, a<-1或a>- 得 a>-1, 解得a>-号，即a的取值范围是(-号，十c∞） 17分 a>-1, 19.(1)解：由题意知f(0)=0,f(x)=(x十1)e一a.x2,所以f(0)=1, 所以f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y=x.… …3分 (2公解：由f(≥0，得xe≥ar2,当=0时aER当>0时，得a<号即a≤（华） 令u(x)=3 号>0，所以(）=3,2》E,所以当0<<2时4()<0，当>2时4r)>0,所 以(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，所以()。=u(2)罕，所以a<3号。 综上，a的取值范围是(-∞，3号] …7分 (3)(1)解：由题意知g(x)=f(x)十ax=xe-3ax+ax, 所以g'(x)=(x十1)e2-ax2十a=（x十1)(e一ax十a),…8分 设h(x)=e-ax十a, 若a≤0，则h(x)在（一∞，十∞）上单调递增，即其至多有一个零点，即g(x)至多有两个极值点，不可能有 三个极值点，故a>0.当x≤0时，h(x)>0恒成立，故当x∈(-∞，一1)时，g(x)<0;当x∈（一1,0）时 g(x)>0,即一1为g(x)的一个极小值点.…9分 又h'(x)=e一a,令h'(x)>0,解得x>lna,令h'(x)<0,解得x<lna,所以h(x)在(-∞，lna)上单 调递减，在(lna,十∞)上单调递增，即h(x)有最小值h(lna)=2a一alna. 又g(x)恰有三个极值点，即h(x)有两个变号零点x,,即ha>0, 10分 2a-aln a<0, 解得a>e2,即a的取值范围是(e2,十o∞).… 11分 )证明由奥1,0<血a<,且e3-a+a0即a（-1）, e=a(x3-1). 要证君十日日>2，即证分十>1，即证十一>0，即证的一一有十1<1，即 (x2-1)(x3-1)<1.即证e2+3<a2,即证x2十x3<2lna.…14分 G(x)=h (x)-h (2In a-x), G(x)-h'(x)+h'(2Ina-x)-e-a+e-+-a-e+a-2az2a-2a-0, e 则G(x)单调递增，而G(lna)=0,则G(x2)<0,即h(x3)=h(x2)<h(2lna一x2),又x3>lna,2lna x2>lna,h(x)在(lna,十o∞)上单调递增，所以x<2lna一x2, 即a+m<2na,即2+1-1>2. …17分 【高三数学参考答案第4页（共4页）】 27-X-023C