专题4.5 三角形易错必刷题型专训（36题9个考点）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题4.5 三角形易错必刷题型专训（36题9个考点） 【易错必刷一 三角形的识别与个数问题】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，高为顶点到对应边的最短线段，中线在三角形内，由此可解． 【详解】解：如图，   中，，E为的中点，为边的高， 则是最长的边， 是最长的中线，是最长的高， 由图可知， 因此． 故选A． 【点睛】本题考查与三角形有关的线段，根据题意画出示意图是解题的关键． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，图①中有3个以为高的三角形，图②中有10个以为高的三角形．图③中有为高的三角形，…，以此类推．则图⑥中以为高的三角形的个数为（      ） A．55 B．78 C．96 D．105 【答案】B 【分析】结合图形探索三角形个数的规律，从而求解． 【详解】解：第①个图形中有1+2=3个三角形； 第②个图形中有1+2+3+4=10个三角形； 第③个图形中有1+2+3+4+5+6=21个三角形； … 第n个图形中由1+2+3+4+5+2n=n(2n+1)个三角形 ∴第⑥个图形三角形个数为1+2+3+…+12=6×13=78个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，得到第n个图形中三角形的个数的关系式是解决本题的关键． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有_______个三角形．（写出所有可能的值） 【答案】或 【分析】本题考查了画三角形，根据题意画出图形即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：如图所示，共有两种情况： 由图可知，图③中共有或个三角形， 故答案为：或． 4．（23-24七年级下·山东·期中）【思路探究】 （1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？    （2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？    （3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？    【问题解决】 （4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？ （5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？                                                             【答案】（1）条；（2）个；（3）个；（4）个；（5）个 【分析】（1）数出线段的条数即可； （2）数出角的个数即可； （3）数出三角形的个数即可； （4）根据角的定义，得到每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个，再进行相加即可； （5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个；再进行相加即可． 【详解】解：（1）图中的线段有条：． 答：图中共有条线段． （2）图中共有个大于且小于的角： 答：图中共有个大于且小于的角． （3）由一个三角形组成的三角形个数有8个，由两个三角形组成的三角形个数有4个，由四个三角形组成的三角形个数有4个，所以共有：（个）． 答：图3中含有个三角形． （4）若从一个角的顶点出发，在角的内部引出条射线，则大于且小于的角中，每相邻两条射线组成的角有个，每相隔1条射线的两条射线组成的角有个，，每相隔98条射线的两条射线组成的角有2个，每相隔条射线的两条射线组成的角有1个， ∴大于且小于的角共有：（个）； （5）由一个格子组成的长方形有9个；由两个格子组成的长方形的个数有（个）；由3个格子组成的长方形的个数有6个；由4个格子组成的长方形的个数有4个；由6个格子组成的长方形的个数有4个；由9个格子组成的长方形的个数有1个； ∴共有（个）． 【点睛】本题考查了线段、角、三角形、长方形的个数，注意在数个数时要不重不漏． 【易错必刷二 等腰三角形的定义】 1．（25-26七年级下·陕西西安·月考）等腰三角形两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的定义，对腰长进行分类讨论，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合要求的情况，即可计算得到周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 若为等腰三角形的腰长，则三角形三边长为，，， ，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，舍去； 若为等腰三角形的腰长，则三角形三边长为，，， ，符合三角形三边关系，能构成三角形， 此时三角形的周长为． 2．（2026·七年级下 河南）如图，分别以矩形的边，为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别是和，且，若，则阴影部分的面积为（   ） A．8 B．16 C．64 D．128 【答案】B 【分析】设，根据题意可得，再利用完全平方公式解答即可． 【详解】解：设， ∵和等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为16． 3．（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在_______处剪断．（多选，填写序号） 【答案】②或③ 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4为腰时，则底为，此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处剪断， 当4为底时，则腰为，此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处剪断， 在①处剪断时，三段的长分别为、、，不能组成三角形， 在④处剪断时，三段的长分别为、、，不能组成三角形， 综上，第二次可以在②或③处剪断， 故答案为：②或③． 4．（24-25七年级下·广西崇左·期末）体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 【答案】(1)见解析 (2)若P在的延长线上，；若P在的延长线上，则有． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，灵活运用材料中的结论是解题的关键． （1）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，然后根据三角形的面积解题即可； （2）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，根据解答即可． 【详解】（1）连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ①， 而， ①式化为：， 可得． 因为三角形在边上的高为定值，即为定值，所以等于定值． （2）若P在的延长线上，连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ， 而，所以， 可得． 同理，若P在的延长线上，则有． 【易错必刷三 三角形角平分线的定义】 1．（23-24七年级下·山东青岛·期中）下列结论正确的有（    ） ①两条直线相交，所得的四个角中有一个角是90°，这两条直线一定互相垂直 ②三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的重心 ③直线AB⊥CD，也可以说成直线CD⊥AB ④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据垂直、三角形重心、点到直线的距离等性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：①：根据对顶角和邻补角的性质，可得相交的四个角都为90°，所以两直线垂直，正确； ②三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的内心，三角形中线的交点为重心，错误； ③直线AB⊥CD，直线CD⊥AB，正确； ④根据垂线段最短的性质可以判定，正确； 故选项为C． 【点睛】此题主要考查了垂直、三角形重心、点到直线的距离等有关性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图所示是两位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线 B．高线、中线 C．角平分线、高线 D．角平分线、中线 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线，理解三角形的角平分线、高线的定义是解题的关键．根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线． 故选：C． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则________；若，则_________． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则________． 【答案】 /80度 3 【分析】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可； （2）由是边上的中线，可得，由题意知，的周长为，的周长为，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 故答案为：，3； （2）解：∵是边上的中线， ∴， 由题意知，的周长为，的周长为， ∴，， 故答案为： ． 4．（23-24七年级下·江西萍乡·月考）请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）根据的三条角平分线交于一点，即可得到结论； （）根据的三条高所在直线交于一点，即可得到结论； 本题考查了无刻度直尺作图，熟练掌握三角形的有关线段是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于点， ∴即为所求； （2）如图，延长交于点，延长交于点， ∵点，关于对称， ∴， ∴是三角形的高， ∴即为所求． 【易错必刷四 全等三角形的概念及性质】 1．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】解：∵全等三角形的对应边相等， ∴它们的周长相等，故B正确； A项两个等边三角形可能大小不同，不一定全等； C项面积相等的三角形形状可能不同，不一定全等； D项三个角对应相等的三角形相似，但不一定全等， 故选：B． 2．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，，则点应是图中的（   ） A．点 B．点或点 C．点 D．点，，，，都有可能 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、、、、、， 由图可得，，，， 当点在点时，，，，此时为，不符合题意； 当点在点时，，，，此时为，符合题意； 当点在点时，，，，此时为，不符合题意； 当点在或时，为等腰三角形，形状与不相同，故不符合题意； 故，则点应是图中的点， 故选：A． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是纸飞机的示意图，在折叠的过程中，使得和能够重合，和重合，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】由折叠得，根据全等三角形性质判断①②③，进而推出，由此判断④，即可求得答案． 本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 【详解】解：由折叠得， ∴，，， ∴，，， 故结论①正确，②正确，结论③错误； 又∵，即， 故结论④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为①②④． 4．（25-26七年级下·山东临沂·期末）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)【直接应用】 若，，求的值． (2)【类比应用】 ①若，则______． ②若满足，求的值． (3)【知识迁移】 两块全等的特制直角三角形板（）如图2所示放置，其中，，在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角形板的面积． 【答案】(1) (2)①；② (3)30 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，三角形面积的计算，完全平方公式在几何图形中的应用，熟练地运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键． （1）把，，代入，从而可得答案； （2）①先求出，根据求出结果即可； ②先求出，再利用完全平方公式变形求值即可； （3）先证明，，，三点共线，由可得，，结合已知条件可得，，再利用求出，从而计算答案． 【详解】（1）解：，，， ， 解得，； （2）解：①， ， ； 故答案为：3； ②， ， ； （3）解：，，三点共线，且， ， ， ，，三点共线， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， 即一块直角三角板的面积为30． 【易错必刷五 证明三角形全等】 1．（25-26七年级下·浙江温州·期末）如图，在的两边，上分别截取，移动角尺使得两边，则可以得到，其中的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理推出全等即可． 【详解】解：在和中， ， ． 故选：A． 2．（25-26七年级下·安徽六安·月考）如图，要测量河两岸的两点，之间的距离，在AB的垂线BM上取两点，，使得，再过点作BM的垂线DN，并在DN上找出点，使，，在同一条直线上，这时测得，则河两岸的两点，之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明三角形全等，利用全等三角形对应边相等的性质，将无法直接测量的长度转化为可测量的长度来求解． 【详解】因为，，所以． 又因为与是对顶角，根据对顶角相等，可得． 已知． 根据角边角（）全等判定定理，可推出． 由于全等三角形的对应边相等，且，因此． 已知，所以，故选B． 【点睛】本题核心是利用全等三角形的判定与性质，通过构造全等三角形将不可直接测量的距离（）转化为可测量的距离（），体现了“转化思想”在几何测量中的应用． 3．（23-24七年级下·江苏·期末）如图，在和中，有以下四个论断：①，②，③，④，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个正确的结论：_________（填序号）． 【答案】选择①②④，得出③，或选择②③④，得出①． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据，可知由①②④，可得出，由全等三角形的对应角相等可得出③，根据，可知由②③④，可得出，由全等三角形的对应边相等可得出①． 【详解】解：选择①②④，得出③， 在和中， ， ∴， ∴， 选择②③④，得出①， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：选择①②④，得出③，或选择②③④，得出①． 4．（23-24七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）因为，，所以可先推导与相等；可利用定理证明． （2）因为，所以可得到对应边相等，进而求出的长度；再结合三角形面积公式，计算的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， 在中，， 在和中： ∵ （2）解：由全等得： ∵共线，且， ∴， ∴， ∴ 【易错必刷六 三角形与四边形的不稳定性】 1．（25-26七年级下·新疆巴州·期末）如图，工人师傅砌门时，为使长方形门框不变形，常用木条将其固定，这种做法的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的内角和等于 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形具有稳定性的概念，利用场景联想概念是解题的关键． 根据场景得到为使长方形门框不变形，常用木条将其固定，选择其使用的原理是三角形具有稳定性即可． 【详解】解：为使长方形门框不变形，常用木条将其固定，其使用的原理是三角形具有稳定性， 故选：D． 2．（23-24七年级下·河北沧州·期中）下图是某兴趣小组微信群内进行测试的聊天截图，其中回答错误的人数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形具有稳定性的特点，四边形不具有稳定性，根据此判断即可； 【详解】解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，所以嘉嘉和明明回答正确，琪琪和亮亮回答错误． 故选∶B． 3．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期中）木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条，他的根据是___________． 【答案】三角形的稳定性 【分析】根据三角形的稳定性，可以达到保持门框的稳定性． 【详解】解：木工师傅做完房门后，为防止变形钉上两条斜拉的木条这样做的根据是：三角形的稳定性． 故填：三角形的稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）生活中的数学： (1)公园里的双人漫步机常使用三角形支架作为支撑，这种设计应用的几何原理是_______； (2)如图②，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为B，沿挖水沟即可．这里所运用的几何知识是_______； (3)如图③，要测量池塘沿岸上两点之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且是线段的中点．要想知道之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 【答案】(1)三角形具有稳定性 (2)垂线段最短 (3)合适，见解析 【分析】本题考查三角形的稳定性，垂线段最短，全等三角形的判定和性质： （1）根据三角形的稳定性进行作答即可； （2）根据垂线段最短，作答即可； （3）根据全等三角形的判定和性质，进行说明即可． 【详解】（1）解：这种设计应用的几何原理是三角形具有稳定性； （2）这里所运用的几何知识是：垂线段最短； （3）合理，理由如下： 因为， 所以． 在与中， 所以， 所以． 【易错必刷七 用倍长中线法证明三角形全等】 1．（25-26七年级下·全国·期中）如图，在中，，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质和三角形三边关系，掌握利用倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键． 延长至点，使得，连接，证明，得到，再结合三角形三边关系得到，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得，连接， 是边上的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 整理得． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系问题，熟练掌握“倍长中线法”构造全等三角形是解题关键． 延长至，使，利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围． 【详解】解：如图，延长至，使， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． A、错误，不符合题意； B、错误，不符合题意； C、错误，不符合题意； D、正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是___________（用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是___________（直接填空）． 【答案】 / 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，证明是关键． ①利用证明即可； ②根据三角形三边关系得到，由得到答案． 【详解】解：①是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ②∵， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·天津·期中）在中，， (1)若的长为奇数，求的长． (2)若是的中线，则长度范围_____． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义、全等三角形的性质与判定，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）延长，使，证明，得出，根据三角形三边关系得出，得出，即可得出． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 即， ∵的长度是奇数， ∴； （2）解：延长，使，如图所示： ∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【易错必刷八 添加条件使三角形全等】 1．（23-24七年级下·河北石家庄）同学们学习完“三角形全等”的知识后，数学王老师在多媒体上出示了一道试题，下面是四位同学的答案，其中错误的是（    ） ，_______ （添加一个条件，使结论成立）， ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：，， A、添加的条件是：，无法判断，故选项A符合题意； B、添加的条件是：，根据可证明，故选项B不符合题意； C、添加的条件是：，根据可证明，故选项C不符合题意； D、添加的条件是：，根据可证明，故选项D不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图，，添加一个条件即可判定与全等，则下列所添条件及所用判定方法都正确的是（　　） A．添加，用“”判定全等 B．添加，用“”判定全等 C．添加，用“”判定全等 D．添加，用“”判定全等 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 对于A，添加条件和判定方法都正确； 对于B，方法是“”，不是“”；对于C，需添加一直角边相等，才是用“”判定全等；对于D，用的方法是“”，不是“”，这种方法不成立． 【详解】解：∵，， A、添加，用“”判定全等正确，故A符合题意； B、判定方法是“”，不是“”，故B不符合题意； C、添加，用“”判定全等，不是用“”判定全等，故C不符合题意； D、和分别是和的对角，不能用“”判定全等，故D不符合题意． 故选：A． 3．（23-24七年级下·山东烟台·期中）2022年冬季奥运会在我国北京举行，奥运健儿们敢于拼搏、善于拼搏，在奥运赛场上展现新时代中国运动员的精神风貌和竞技水平，请你添加一个条件，为奥运健儿设计一只与图1一样的鞋子，已知：，写出可添加的条件并标明依据___________．（三个字母简写理由，写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意增加条件进行判定即可． 【详解】解：由题意得可以增加的条件为：， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 4．（24-25七年级下·北京延庆·期末）如图，是的角平分线，点在射线上，点在射线上，点在射线上，连接，．请你添加一个条件，使． 小明同学写出以下条件： ①，②，③， ④，⑤，⑥． 他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使．” (1)小明的说法_______(填“正确”或“错误”)； (2)从小明写出的条件中选择一个______ (填写序号)，使得，补全图形，并写出证明过程． 【答案】(1)错误 (2)①或②或③或⑤或⑥，图见解析，证明见解析 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定方法对小明同学写出的个条件逐一分析判断即可； （2）补全图形，从小明写出的条件中选择一个，然后利用全等三角形的判定方法证明即可． 【详解】（1）解：对于小明同学写出的个条件， 选择条件①时，可以利用证明， 选择条件②时，可以利用证明， 选择条件③时，可以利用证明， 选择条件④时，利用不能证明， 选择条件⑤时，可以利用证明， 选择条件⑥时，可以利用证明， 小明的说法错误， 故答案为：错误； （2）解：补全图形如下： 选择条件①时，证明如下： 是的角平分线， ， 在和中， ， ； 选择条件②时，证明如下： 是的角平分线， ， 在和中， ， ； 选择条件③时，证明如下： 是的角平分线， ， 在和中， ， ； 选择条件④时，利用不能证明； 选择条件⑤时，证明如下： 是的角平分线， ， ， ， 即：， 在和中， ， ； 选择条件⑥时，证明如下： 是的角平分线， ， ， ， 即：， 在和中， ， ； 故答案为：①或②或③或⑤或⑥． 【易错必刷九 全等三角形综合问题】 1．（2025·七年级下 山西）如图，已知，点是边上一点，根据尺规作图的痕迹，能确定线段是的（   ） A．中线 B．中垂线 C．角平分线 D．高线 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．证明，得出，证明，得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】解：根据作图可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， 即线段是的角平分线． 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）2002年北京国际数学家大会的会徽是一个“弦图”（如图①），它是由4个全等的直角三角形（不等腰）拼接而成的．如图②，在线段AE和CG上分别取点P和点Q，使AP=CQ，连接DP，BP，DQ，BQ，则构成了一个“压扁”的弦图．问题：线段AE，CG中，是否存在不同于端点的点P，Q，使得“压扁”的弦图（四边形PBQD）中，4个直角三角形的面积依然满足S1=S2=S3=S4（    ）   A．存在且唯一       B．存在多个          C．不存在           D．无法确定 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质，可得CG= DH=AE=BF，∠AFB=∠BGC=∠CHD=∠DEA=90°，从而得到△BPF≌△DQH，则S2=S4，同理S1=S3 ．然后设AP=x，AE=a，DE=b，则S1= b（a-x），S2=a（b-x），可得ax=bx，再由AE≠DE，即可求解． 【详解】解：∵△BCG≌△CDH≌△DAE≌△ABF， ∴CG= DH=AE=BF，∠AFB=∠BGC=∠CHD=∠DEA=90°， ∵AP= CQ ， ∴PF=QH， ∴△BPF≌△DQH， ∴S2=S4， 同理△BQG≌△DPE ， ∴S1=S3 ．   设AP=x，AE=a，DE=b，则S1= b（a-x），S2=a（b-x）， 若S1=S2  ， 则 b（a-x）= a（b-x），整理得ax=bx， ∵是压扁后的弦图，所以x≠0，所以a=b， ∴只有当a=b时，S1=S2  ， 此时S1=S2=S3=S4， ∵AE≠DE， ∴不存在满足题意的点． 故答案为：C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是__________．（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】只需要证明△ABD≌△ACF，△AED≌△AEF即可解决所有问题. 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴△ABD≌△ACF ∴①正确 ∴，， ∵， ∴，即 ∴②错误 ∵，， ∴△AED≌△AEF ∴， ∴ 若，，则 ∵ ∴ ∴③正确 ∵， ∴ ∴④正确 故答案为：①③④. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键在于找到三角形全等的条件. 4．（25-26七年级下·河北邢台·期中）问题情境： 课堂上，数学老师通过在不同位置摆放一副三角尺进行相关探究活动． 初步探究： （1）如图1，将含45°角的直角三角尺（，）的直角顶点C放在含角的直角三角尺（）的斜边上，过点A作于点N，过点B作于点M，求证：． 猜想证明： （2）如图2，点C落在边上，点B落在边上，过点A作于点P，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 拓展延伸： （3）如图3，点C落在边上，点B落在边上，连接，若，，直接写出的面积． 【答案】（1）证明过程见解析；（2），理由见解析；（3）的面积为8 【分析】本题考查了全等三角形的综合应用，结合平行线的判定和性质、直角三角形的性质证明是解题的关键． （1）根据已知条件证明，，即可得到，证明即可； （2）根据已知条件证明，得到，，即可得证； （3）过点作于点，点落在的延长线上，证明，根据平行线间的距离处处相等，可得点到边的距离为2，根据三角形面积计算式计算即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ． 于点， ， ， ． ，， ． （2），理由如下： ， ， 于点， ， ， ，， ， ，， ． （3）的面积为8． 如图，过点作于点，点落在的延长线上， 由（2）得， ． ， ． ， ． ∵平行线间的距离处处相等， ∴点到边的距离也为2， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.5 三角形易错必刷题型专训（36题9个考点） 【易错必刷一 三角形的识别与个数问题】 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，图①中有3个以为高的三角形，图②中有10个以为高的三角形．图③中有为高的三角形，…，以此类推．则图⑥中以为高的三角形的个数为（      ） A．55 B．78 C．96 D．105 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有_______个三角形．（写出所有可能的值） 4．（23-24七年级下·山东·期中）【思路探究】 （1）上学期我们学习了线段，如图1，B，C，D是线段上异于点A，E的三个点，图中共有多少条线段？    （2）本学期我们又学习了角，如图2，从的顶点O引出3条射线，且在的内部，图中共有多少个大于且小于的角？    （3）图3是同学练习写字用的米字格，图3中含有多少个三角形？    【问题解决】 （4）若从的顶点O出发，在的内部引出条射线，则图中共有多少个大于而小于的角？ （5）图4是同学练习写字用的九宫格，图中含有多少个长方形（包括正方形）？                                                             【易错必刷二 等腰三角形的定义】 1．（25-26七年级下·陕西西安·月考）等腰三角形两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2026·七年级下 河南）如图，分别以矩形的边，为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别是和，且，若，则阴影部分的面积为（   ） A．8 B．16 C．64 D．128 3．（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，数学活动课上，一数学小组的同学把纸条等分成14份，如果第一次在剪刀处剪断，想再剪一刀，使三段能构成等腰三角形，那么第二次可以在_______处剪断．（多选，填写序号） 4．（24-25七年级下·广西崇左·期末）体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 【易错必刷三 三角形角平分线的定义】 1．（23-24七年级下·山东青岛·期中）下列结论正确的有（    ） ①两条直线相交，所得的四个角中有一个角是90°，这两条直线一定互相垂直 ②三角形的三条角平分线交于一点，这点称为三角形的重心 ③直线AB⊥CD，也可以说成直线CD⊥AB ④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图所示是两位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线 B．高线、中线 C．角平分线、高线 D．角平分线、中线 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则________；若，则_________． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为，则________． 4．（23-24七年级下·江西萍乡·月考）请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 【易错必刷四 全等三角形的概念及性质】 1．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 2．（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，，则点应是图中的（   ） A．点 B．点或点 C．点 D．点，，，，都有可能 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是纸飞机的示意图，在折叠的过程中，使得和能够重合，和重合，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有______（填序号）． 4．（25-26七年级下·山东临沂·期末）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)【直接应用】 若，，求的值． (2)【类比应用】 ①若，则______． ②若满足，求的值． (3)【知识迁移】 两块全等的特制直角三角形板（）如图2所示放置，其中，，在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角形板的面积． 【易错必刷五 证明三角形全等】 1．（25-26七年级下·浙江温州·期末）如图，在的两边，上分别截取，移动角尺使得两边，则可以得到，其中的原理是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽六安·月考）如图，要测量河两岸的两点，之间的距离，在AB的垂线BM上取两点，，使得，再过点作BM的垂线DN，并在DN上找出点，使，，在同一条直线上，这时测得，则河两岸的两点，之间的距离是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏·期末）如图，在和中，有以下四个论断：①，②，③，④，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个正确的结论：_________（填序号）． 4．（23-24七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【易错必刷六 三角形与四边形的不稳定性】 1．（25-26七年级下·新疆巴州·期末）如图，工人师傅砌门时，为使长方形门框不变形，常用木条将其固定，这种做法的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的内角和等于 D．三角形具有稳定性 2．（23-24七年级下·河北沧州·期中）下图是某兴趣小组微信群内进行测试的聊天截图，其中回答错误的人数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期中）木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条，他的根据是___________． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）生活中的数学： (1)公园里的双人漫步机常使用三角形支架作为支撑，这种设计应用的几何原理是_______； (2)如图②，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为B，沿挖水沟即可．这里所运用的几何知识是_______； (3)如图③，要测量池塘沿岸上两点之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且是线段的中点．要想知道之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由． 【易错必刷七 用倍长中线法证明三角形全等】 1．（25-26七年级下·全国·期中）如图，在中，，是边上的中线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）在中，，边上的中线，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是___________（用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是___________（直接填空）． 4．（25-26七年级下·天津·期中）在中，， (1)若的长为奇数，求的长． (2)若是的中线，则长度范围_____． 【易错必刷八 添加条件使三角形全等】 1．（23-24七年级下·河北石家庄）同学们学习完“三角形全等”的知识后，数学王老师在多媒体上出示了一道试题，下面是四位同学的答案，其中错误的是（    ） ，_______ （添加一个条件，使结论成立）， ． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图，，添加一个条件即可判定与全等，则下列所添条件及所用判定方法都正确的是（　　） A．添加，用“”判定全等 B．添加，用“”判定全等 C．添加，用“”判定全等 D．添加，用“”判定全等 3．（23-24七年级下·山东烟台·期中）2022年冬季奥运会在我国北京举行，奥运健儿们敢于拼搏、善于拼搏，在奥运赛场上展现新时代中国运动员的精神风貌和竞技水平，请你添加一个条件，为奥运健儿设计一只与图1一样的鞋子，已知：，写出可添加的条件并标明依据___________．（三个字母简写理由，写出一种情况即可）． 4．（24-25七年级下·北京延庆·期末）如图，是的角平分线，点在射线上，点在射线上，点在射线上，连接，．请你添加一个条件，使． 小明同学写出以下条件： ①，②，③， ④，⑤，⑥． 他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使．” (1)小明的说法_______(填“正确”或“错误”)； (2)从小明写出的条件中选择一个______ (填写序号)，使得，补全图形，并写出证明过程． 【易错必刷九 全等三角形综合问题】 1．（2025·七年级下 山西）如图，已知，点是边上一点，根据尺规作图的痕迹，能确定线段是的（   ） A．中线 B．中垂线 C．角平分线 D．高线 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）2002年北京国际数学家大会的会徽是一个“弦图”（如图①），它是由4个全等的直角三角形（不等腰）拼接而成的．如图②，在线段AE和CG上分别取点P和点Q，使AP=CQ，连接DP，BP，DQ，BQ，则构成了一个“压扁”的弦图．问题：线段AE，CG中，是否存在不同于端点的点P，Q，使得“压扁”的弦图（四边形PBQD）中，4个直角三角形的面积依然满足S1=S2=S3=S4（    ）   A．存在且唯一       B．存在多个          C．不存在           D．无法确定 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，过点作，垂足是，过点作，垂足是．交于点，连接，其中．下列结论：①；②；③若，．则；④．其中正确的是__________．（填序号）． 4．（25-26七年级下·河北邢台·期中）问题情境： 课堂上，数学老师通过在不同位置摆放一副三角尺进行相关探究活动． 初步探究： （1）如图1，将含45°角的直角三角尺（，）的直角顶点C放在含角的直角三角尺（）的斜边上，过点A作于点N，过点B作于点M，求证：． 猜想证明： （2）如图2，点C落在边上，点B落在边上，过点A作于点P，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 拓展延伸： （3）如图3，点C落在边上，点B落在边上，连接，若，，直接写出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $