内蒙古自治区包头市第四中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

包头四中大型考试命题双向细目表 考试类型 月考 年级 高二 科目 数学 命（审）题人： 邢茹媛 2026 年 9 月 28 日 题 号 能力层次 分值 知识点 识 记 理 解 掌 握 运 用 分值合计 1 关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 √ 5 2 求点到直线的距离 √ 5 3 空间向量共面求参数 √ 5 4 空间向量的加减运算 √ 5 5 斜率公式的应用；直线与线段的相交关系求斜率范围 √ 5 6 求投影向量；空间向量模长的坐标表示 √ 5 7 直线过定点问题；求点到直线的距离 √ 5 8 求点关于直线的对称点；光线反射问题(2)——直线关于直线对称 √ 5 9 空间向量的坐标运算；空间向量模长的坐标表示；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示 √ 6 10 直线的点斜式方程及辨析；直线的斜截式方程及辨析；直线截距式方程及辨析；直线的一般式方程及辨析；直线的倾斜角 √ 6 11 异面直线夹角的向量求法；线面角的向量求法；锥体体积的有关计算 √ 6 12 直线的点斜式方程及辨析；根据直线的方向向量求直线方程 √ 5 13 空间向量数量积的应用；空间向量的坐标运算；空间向量平行的坐标表示；空间向量夹角余弦的坐标表示 √ 5 14 立体几何中的轨迹问题；多面体与球体内切外接问题；球的截面的性质及计算；点到平面距离的向量求法 √ 5 15 空间向量平行的坐标表示；空间向量夹角余弦的坐标表示 √ 13 16 直线的点斜式方程及辨析；基本不等式求和的最小值 √ 15 17 证明线面平行；点到平面距离的向量求法 √ 15 18 已知线面角求其他量；证明线面垂直 √ 17 19 向量新定义；面面角的向量求法 √ 17 分值合计 150分 预测难度 0.6 预测均分 85—90分 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 包头四中2026-2027学年度第一学期月考 高二年级数学试题 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 回滋回 盾蒸 (正面潮上，切勿贴出虚线方框) 正确填涂 缺考标记 一、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 二、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9[A][B][C][D] 1O[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13. 14 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分) 囚囚■ ■ㄖㄖ 16.(15分) ■ ■ 17.(15分) 0 C B ! I I 18.(17分) P(C) 图1 图2 囚■ 囚 囚■ㄖ ▣ 19.(17分) D C ■包头四中2026-2027学年度第一学期月考 高二年级数学试题答案 出题人：邢茹媛审题人：康鹤方 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A 以 8 多选题 9 10 11 答案 BCD AD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.3x+y+7=0 13.(0,2)U(2,+0) 14.6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.13分)0)cosa,6）=号 m=-9 (2) n=12 16.(15分)(1)x+y-5=0 (2)2x+3y-12=0 17.(15分)(1)证明见详解② 3 18.(17分)见详解 19.(17分)(1)2：(2)：(3)10 详解： 1.D 【详解】若空间中两点关于平面xO少对称，则它们的x,y坐标相同，z坐标互为相反数， 综上点A1,2,4)的对称点坐标为(1,2，-4)： 2.B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得 答案第1页（共13页） 【详解】点(2，-3列到直线3x-4y-6=0的距离为d=3×2-4×(-3)-61_2 V32+(-4)2 故选：B 3.C 【分析】由题意可知c=xa+yb,利用向量相等，列方程组求实数m的值. 【详解】若a,b,c共面，则c=xa+yb, 即(7,5，m=x(2,-1,4)+y(-1,1,-2)=(2x-y,-x+y,4x-2y), 2x-y=7 所以-x+y=5,解得：x=12,y=17,m=14. 4x-2y=m 故选：C 【点睛】本题考查空间向量共面，重点考查共面的公式，计算能力，属于基础题型. 4.A 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解 【1w-G+GC+0西-6-+-小--8 1. 3 2 6 故选：A 5.A 【分析】根据直线过定点P(L,),画出图形，再求出PA,PB的斜率，然后利用数形结合求解. 【详解】如图所示： P(1,1) A(2,-1) B(-5,-3) 若直线1与线段AB相交， 则k≤ka或k之kB, =-2,km=5-3’ -1-1 因为kA= -3-12 2-1 所以直线1的斜率取值范围是(02小？+ 故选：A. 答案第2页（共13页） 【点睛】本题主要考查直线斜率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 6.B 【分析】先求出同，(6-a小a,再利用投影向量公式即可得解 【详解】由题意，得b-ā=(3，-1，-1)，d=V4+4+1=3, 则(6-aa=6-2-1=9, 所以b-a在方向上的投影向量为 -a-=g220-2-0 故选：B 7.A 【分析】求出直线1所过定点，然后根据两点间的距离公式求得正确答案， x+y-6=0 x=4 【详解】直线1：(x+y-6)+(x-y-2)=0,由 (x-y-2=0'解得 y=2'则直线1过定点4,2)， 所以点P到直线1的距离d的最大值为PQFV(-2-4)2+(0-2)2=2W10 故选：A 8.C 【分析】求出A关于直线的对称点A的坐标，再求得AB的长即得. m-2n+3 +1=0, 22 m=2, 【详解】设点A(-2,3)关于直线l的对称点为A'(m,n),则有 解得 n-3 =-1, n=-1,1 m+2 因为光线从A到B的路程即AB的长，而AB=5.所以光线从A到B的路程为5. 故选：C. 9.BCD 【详解】对于A,由a⊥，可得ab=1×(-2)+(-1)x(m-1)+m×2=0, 解得m=1,故A错误； 答案第3页（共13页） 对于B,由d=2,可得园=VP+(+m=2,解得m=士2，故B正确； 1=-2元 对于C,假设存在实数2，使得a=2,则-1=(m-1),方程组无解， m=2元 所以不存在实数2，使得a=2b,故C正确： 对于D,由ab=-1,可得a.b=-2+1-m+2m=-1,解得m=0, 所以a+b=（-1,-2,2),故D正确、 10.AD 【详解】直线y=3x-2在y轴上的截距是-2，故A正确： 直线2x-y+5=0,即y=2x+5经过第一、二、三象限，故B错误： 若过原点，则过点P(1,2)且横纵截距相等的直线方程为y=2x, 若不过原点，则过点P(1,2)且横纵截距相等的直线方程为x+y-3=0,故C错误； 过点(5,0)，且倾斜角为90的直线方程为x-5=0,故D正确. 11.ACD 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A:建立空间直角坐标系，设P(x,y,0)0<x<2,0<y<2), 得QP=(x-2,y-1,2),A4=(0,0,2),利用向量夹角公式求解判断B:求平面AADD的法向量n=(L,0,0), 利用向量夹角公式求解判断C；由PD=PQ,可得x2+y-2)2=(x-2)+y-1)2+4,即可求解判断D. 【详解】对于A,三棱锥Q-PCD的体积等于三棱锥P-QCD的体积， rm号aw×4-写产2x2-号是定伯，A正： 以A为坐标原点，AB,AD,AA分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， P A B ·D B 则Q(2,1,-2),设P(x,y,0)0<x<2,0<y<2),则QP=(x-2,y-1,2) 对于B,A4-(0,0,2),使得PQ与AA所成的角a满足： 答案第4页（共13页） OP.AA 2×2 cosa 44x-2)'+(y-1)+4x2 因为0<x<2,0<y<2,故0<(x-2}2+(y-1)}2<5,故cosa∈ 12 而cos60°=2E(行)，B错误： 对于C,平面AADD的法向量n=1,0,0), x-2 所以直线PQ与平面AADD,所成角B的正弦值为：snB= V(x-2)2+0y-1)2+4 因为0<x<2,0<y<2,故-2<x-2<0 x-2 x-2 x-2 故 V(x-2)2+5Vx-2)2+y-1)2+4Vx-2)2+4 x-2 而V(x-2)2+5 1+ V(x-2)2 +x-2y 故0< -20-平4号sm8的取位花围为0号》， x-2 C正确： 对于D,D0,2,0),DP=(x,y-2,0),由PD=P9, 可得x2+y-2)2=(x-2)2+(y-1)2+4,化简可得4x-2y-5=0, 在4y平面内，令x=2,得)子令y=0,得x-子剥P的钱选的长度为 2-+令-3，D正确： 故选：ACD 12.3x+y+7=0 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程即可得解. 【详解】因为直线的方向向量为币=(2,6)， 所以直线的斜率k=6-3, 2 所以直线方程为y-2=-3(x+3),即3x+y+7=0. 故答案为：3x+y+7=0. 13.(0,2)U(2,+o) 【详解】因为d=(1,1,),b=(-2,2-22,1-6),且ā，b的夹角为钝角， 所以ab<0且d与b不共线， 答案第5页（共13页） 由ā-b<0,则-2+2-22+2(2-6)<0解得元>0， 「-2=t t=-2 当与i共线时，b=a,则2-22=t,解得 λ=2 元-6=t2 综上可得实数1的取值范围为(0,2)U(2,+o). 14.6 6 【分析】根据已知正方体的棱长为1，球0的半径？)点P的轨迹为圆，记圆心为Q,构建合适的空间 直角坐标系得出相关点的坐标，应用向量法求点O到平面D,AC的距离，进而确定圆O的半径，并求出AO, 利用点与圆O的位置关系求AP的最小值. 【详解】由题意，得正方体的棱长为1，球O的半径r= =2’点P的轨迹为圆，记圆心为0， 如图，以D为原点建立空间直角坐标系， D B 则4a0,coL0,A@a.o2》 故4C=(←1,10)，4D=（,01,40-（222 111 AC.n=-x+y=0 设平面D,AC的法向量为万=(x,少，z),则 ,令x-1,可得n=(11,1) AD·n=-x+z=0 故点O到平面D,AC的距离为d= a025 闭56 答案第6页（共13页） 0 1 d A 由0-(22,40=o=- 枚4a-o子-9图-9 故AP的最小值为AO-r= 666 366 故答案为： √6 6 1.0csaj=号 m=-9 in=12 【分析】(1)根据空间向量的坐标运算，利用数量积的计算公式，可得答案； (2)根据平行向量的坐标表示，建立方程组，可得答案 【详解】(1)ā=(1,2，-2)，ā-6=(1,2，-2)4，-2,4)=4-4-8=-8， d=1+4+4=3,6=16+4+16=6, cosa,6=a.6-84 1d:53x69 (2)2à-b=2(1,2,-2)-(4,-2,4)=(-2,6,-8) 因为(2a-b)l川c,所以设2a-b=1c, [3=-2 m=-9 即(-2,6，-8)=元(3，m,n),故m=6,解得 n=12 n=-8 16.(1)x+y-5=0 (2)2x+3y-12=0 【分析】(1)利用点斜式直线方程解题即可： (2)利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 答案第7页（共13页） 【详解】(1)直线1的斜率k=4-2=-1, 1-3 此时直线l方程为y-2=-(x-3),即x+y-5=0, 所以直线l的方程为x+y-5=0 (2)设直线I的方程为y=k(x-3)+2,由题意可得k<0, 令x=0,则y=-3张+2；令y=0,则x=3-2 即432.0B(0-3k+2.oA=3-20A=2-3. 从面5m2-刘0-引2--引6为-12. 当且仅当-9=-4，即k=-子时取到最小值12， 所以直线方程为y=一 x-3+2,即2x+3y-12=0 17.(1)取AB的中点G,连接EG,FG, D D -- E G B 因为点E是BC的中点，所以GE/IAC, 因为GEd平面ACD,ACc平面ACD,所以GEI1平面ACD, 由于G,F分别为正方体ABCD-AB,CD的棱AB,CD,的中点， 所以AG1IDF,AG=D,F=1,所以四边形AGFD为平行四边形，即GFI1AD, 因为GFa平面ACD,ADC平面ACD,所以GF/1平面ACD, 由于GE∩GF=G,GEc平面EFG,GFc平面EFG,所以平面EFG∥平面ACD, 因为EFc平面EFG,所以EFI/平面ACD 2 3 【分析】(1)由面面平行证明线面平行： (2)建立空间直角坐标系进行求解， 【详解】(1)略 答案第8页（共13页） (2)如图建立空间直角坐标系， 则A(2,0,0)、C(0,2,0)、D(0,0,2),F(0,1,2), 所以AC=(（-2,2,0),AD=（-2,0,2),CF=(0,-1,2), AC.n=0 设平面ACD的法向量为n=（x,y,z),所以 AD·n=0 「-2x+2y=0 所以 -2x+22=0’令x=1,则y=2=1,所以万=(，1,1）， 设点F到平面ACD的距离为d,则d=」 nCF 13 √53 由(1)知，EFI平面ACD, 则线段EF到平面ACD的距离即为点F到平面ACD的距离， 故线段EF到平面ACD,的距离为 3 18.(1) 折叠前，四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD, 由于M,N分别是边BC,CD的中点，所以MN/IBD,故MN⊥AC,. 折叠过程中MN⊥GP,MN⊥GA,GP∩GA=G,GP,GAc平面PAG. 所以MN⊥平面PAG (2) 当平面PMN⊥平面MWDB时，由平面PMN∩平面MWDB=MN,GPc平面PMW,MN⊥GP, 所以GP⊥平面MNDB,又AGc平面MNDB,故GP⊥AG, 建立如下图空间直角坐标系， 答案第9页（共13页） P(C) D》 M A B 则G0,0,0),A3V3,0,0),P(0,0,V3),D(N3,-2,0),N(0,-1,0),M(0,1,0) 所以PA=(3V3,0,-V3),设Pg=PA(0≤≤1)，则Q3V32,0,V3-V3) D0=(33-3,2,3-V3),DN=(-3,l,0), 设平面QDN的法向量为m=(x,y,z), m:Dg=(33-5)x+2y+(N3-3)z=0 则 m.DN=-3x+y=0 取x=元-1，则m=(-1,√31-V3,32+1),而NM=(0,2,0), 设直线NM与平面QDW的夹角为0， 则sin0= mMN 23-23 _39 MN 2√4(2-1)2+(32+1)2 13,解得入=二 所以Q为PA上靠近P的三等分点，满足题设要求， 【分析】(1)根据题设先得到MW⊥GP,MN⊥GA,进而求证即可； (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】(1)略 (2)略 19.(1)2 时 3)10 【分析】(1)证明BC⊥PC,∠PBC为直线AD与PB所成的角，设AB=x(x>O),结合“向量积'的模的 定义由条件列方程求x可得AB的长： (2)法一，D作DF⊥BE交BE的延长线于点F,连接PF,证明∠PFD为二面角P-EB-D的平面角， 解三角形求得平面PEB与平面EBA所成角的余弦值： 法二，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，然后利用向量法求解： (3)利用向量的向量积的定义可证EM⊥平面PBC,在平面PDC内过点D作DN⊥P(,垂足为N,证 答案第10页（共13页） 明DN⊥平面PBC,过点N作MN‖BC交PB于点M,证明EM=DN,结合条件可求2 【详解】(I)因为底面ABCD为矩形，所以AD‖BC,BC⊥DC, 因为PD⊥底面ABCD,BCC底面ABCD,所以PD⊥BC, 又PD∩DC=D,PD,DCC平面PDC, 所以BC⊥平面PDC, 又PCc平面PDC,所以BC⊥PC, 因为AD‖BC, 所以∠PBC为直线AD与PB所成的角，即<AD,BP>=∠PBC, 设AB=x(x>0),则PC=Vx2+42=Vx2+16,PB=√x2+42+42=Vx2+32, 在Rt△PBC中sin∠PBC=PC=Vr+I6 ΓPBVx2+32 又AD×BF=85,所以4VX2+32 V+16=85,解得x=2或x=2（舍去)， Vx2+32 所以AB=2: (2)法一：在平面ABCD内过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F,连接PF, D 因为PD⊥底面ABCD,BFc底面ABCD,所以PD⊥BF, 又DF⊥BF,DFOPD=D,DF,PDc平面PDF, 所以BF⊥平面PDF,又PFc平面PDF,所以BF⊥PF, 所以∠PFD为二面角P-EB-D的平面角， 因为E为AD的中点， 所以DF=2sin元=V2,PF=V42+(W2)2=3V2, 所以cos∠PFD=DF=V21 PF 323 所以平面PB与平面BA所成角的余弦信为 法二：以D为坐标原点，DA,DC,DP所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 答案第11页（共13页） Z D 则P(0,0,4),E(2,0,0),B(4,2,0),A(4,0,0),PE=(2,0,-4),PB=(4,2,4), 设平面PEB的一个法向量为m=(x,y,z), m.PE=0「2x-4z=0 m.PB=04x+2y-4z=0 令z=1,得x=2,y=-2, ∴.m=(2,-2,1) 设平面EBA的一个法向量为n=(0,0,), 11 cos<m,> 3×131 :平面PEB与平面EBA所成角的余弦值为写 (3)依题意(ADx BP)1AD,(ADx BP)1BP,又ADxBP=EM, 所以EM⊥AD,EM⊥BP,又AD II BC,所以EM⊥BC, 又PBOBC=B,PB,BCc平面PBC,所以EM⊥平面PBC, 在平面PDC内过点D作DN⊥PC,垂足为N, 由BC⊥平面PDC,DNC平面PDC,所以BC⊥DN, 又PC∩BC=C,PC,BCc平面PBC,所以DN⊥平面PBC, 在平面PBC内过点N作MN II BC交PB于点M,在DA上取点E,使得DE=MN,连接EM, 所以DE‖MN且DE=MN,所以四边形DEMN为平行四边形， a-m,m-g网-45 5 答案第12页（共13页） -M E 所以= ADx BP 85 =10 EM 4V5 答案第13页（共13页）包头四中2026-2027学年度第一学期月考 高二年级数学试题 出题人：邢茹媛审题人：康鹤方 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的： 1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,4)关于平面Oy对称的点的坐标为() A.(2,1,4) B.（-1,-2,4) C.(1,-2,4) D.(1,2,4) 2.点(2，-3)到直线3x-4y-6=0的距离是() A号 B.2 C.3 D.14 3.已知a=(2,-1,4),b=(-1,L,-2),c=(7,5,m),若d,,共面，则实数m的值为() A号 D. 62 B.12 C.14 4.如图，在斜三棱柱ABC-AB,C中，M为BC的中点，N为AC靠近A的三等分点，设AB=a,AC =i,4=,则用a,,表示NM为() 、M B B.-4+1b+c 26 C. 1→1 D.-2a-6+c 5.已知两点A(2,1),B(-5,-3),直线过点(1，)，若直线1与线段AB相交，则直线1的斜率取值 范围是() 42[居 c. 高二数学试卷第1页（共4页） 6.已知向量à=（-2,2,1)，b=(1,1,0),则6-a在ā方向上投影向量的坐标为() A.(-2,2,1) B.(2,-2,-) C.（-6,6,3) D.(6,-6-3) 7.已知定点P(-2,0)和直线：(1+)x+(1-2)y-(6+22)=0(2∈R),则点P到直线1的距离d的最 大值为() A.2W10 B.25 C.23 D.2W2 8.已知直线：x-y+1=0,从点A(-2,3)射出的光线经直线1反射后经过点B(2,4),则光线从A到B 的路程为() A.2 B.3 C.5 D.6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知向量a=(1,-1,m),b=（-2,m-1,2),则下列结论中正确的是（) A.若a⊥b,则m=-1 B.若d-2,则m=士v2 C.不存在实数2，使得a=2b D.若a-b=-1,则a+b=（-1,-2,2) 10.下列说法中，正确的有() A.直线y=3x-2在y轴上的截距是-2 B.直线2x-y+5=0经过第一、三、四象限 C.过点P(1,2)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为x+y-3=0 D.过点(5,0)，且倾斜角为90的直线方程为x-5=0 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点P是正方体的上底面ABCD内（不含边界） 的动点，点Q是棱BC的中点，则以下命题正确的是() D C A.三棱锥Q-PCD的体积是定值 P、 B.存在点P,使得PQ与A4所成的角为60° B 2 C.直线PQ与平面AADD所成角的正弦值的取值范围为 2 D B D.若PD=P,则P的轨迹的长度为3V5 高二数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.以=(2,6)为方向向量，且过点(-3,2)的直线方程为 13.已知空间向量ā=(1,1，)，b=(-2,2-22,2-6),若ā，b的夹角为钝角，则实数1的取值范围为 14.记球O为体积为1的正方体ABCD-ABCD,的内切球，P为平面D,AC与球O交线上一动点， 则AP的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知A1,0,1),B(2,2,-1),ā=AB,b=(4,-2,4),c=(3,m,n). (I)求cos(a,b: (2②)若(2a-∥c,求实数m,n的值. 16.(15分)已知直线1过点P(3,2), (1)若直线1过Q(1,4),求直线1的方程. (2)若直线1与x轴，y轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积最小时，求直 线1的方程 17.(15分)已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，E,F分别为正方体的棱BC,CD的中点. D B (1)求证：EF/平面ACD: (2)求线段EF到平面ACD的距离， 高二数学试卷第3页（共4页） 18.(17分)如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点M,N分别是边BC,CD的中点， AC与BD交于点O,AC与MN交于点G.沿MN将ACMN翻折到aPMN的位置，连接PA,PB,PD, 得到如图2所示的五棱锥P-ABMND, P(C) D G B B 图1 图2 (1)证明：MN⊥平面PAG; (2)若平面PMN⊥平面MNDB,线段PA上是否存在一点Q,使得直线NM与平面QDW所成角的正 弦值为39？若存在，试确定点Q的位置：若不存在，请说明理由。 13 19.(17分)己知两个非零向量ā，b,在空间任取一点O,作OA=ā，OB=b,则∠AOB叫做向量ā， 的夹角，记作<a,b>.定义a与b的“向量积”为：ā×b是一个向量，它与向量ā，b都垂直，它的模 a×b=d,bsin(a,b)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PDL底面 ABCD,DP=DA=4,E为AD上一点，AD×BP=85 B (I)求AB的长： (2)若E为AD的中点，求平面PEB与平面EBA所成角的余弦值； (3)若M为PB上一点，且满足AD×BP=1EM,求. 高二数学试卷第4页（共4页）