专题02 一元一次方程的应用重难点题型专训（1个知识点+15大题型+自我检测）-2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

专题02 一元一次方程的应用重难点题型专训（1个知识点+15大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、配套问题(一元一次方程的应用) 1 题型二、工程问题(一元一次方程的应用) 2 题型三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 3 题型四、比赛积分(一元一次方程的应用) 4 题型五、方案选择(一元一次方程的应用) 5 题型六、数字问题(一元一次方程的应用) 6 题型七、几何问题(一元一次方程的应用) 7 题型八、动点问题（一元一次方程的应用） 8 题型九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 9 题型十、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 10 题型十一、行程问题(一元一次方程的应用) 11 题型十二、比例分配(一元一次方程的应用) 12 题型十三、日历问题(一元一次方程的应用) 13 题型十四、古代问题(一元一次方程的应用) 14 题型十五、其他问题(一元一次方程的应用) 15 第二部分·练提高题型 题型一、一元一次方程与数轴综合应用 1 题型二、一元一次方程实际综合应用 2 题型三、一元一次方程的应用规律问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【即时训练】 1．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）某校劳动实践基地种植蔬菜，安排x人除草，每人除草6平方米，还剩4平方米未除；若每人除草7平方米，则少2平方米．可列一元一次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据除草总面积不变列方程，分别用含x的式子表示两种情况下的除草总面积，令两式相等即可得到方程． 【详解】解：∵安排x人除草，除草的总面积保持不变， 第一种情况：每人除草6平方米，还剩4平方米未除， ∴除草总面积为， 第二种情况：每人除草7平方米，少2平方米， ∴除草总面积为， ∵总面积相等， ∴可列方程． 2．（25-26六年级上·上海闵行·阶段练习）列方程解应用题的一般步骤： （1）“审”，即审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系； （2）“设”，即设___________ ，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种； （3）“列”，即根据题中的_______________关系列方程； （4）“解”，即求出所列方程的_____________； （5）“检验”，即验证是否符合题意； （6）“答”，即回答题目中要解决的问题． 重点：找出相等关系的关键是审题，审题是列方程（组）的基础，找出________是列方程（组）解应用题的关键． 【答案】 未知数 等量 解 等量关系 【解析】略 【基础题型一 配套问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·云南曲靖·期末）某节劳动课上韩老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”（一个桶身两个桶底组成一套）．该班共有学生52名，每名学生一节课能做桶身15个或桶底22个．设安排名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据配套条件，一个桶身需两个桶底，故桶底数量应为桶身数量的2倍，由此列方程． 【详解】解：设安排x名学生做桶身，则做桶底的学生为名． ∴总桶身数量为，总桶底数量为， ∵一个桶身两个桶底组成一套， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25六年级下·上海松江·期末）现有一个齿数为24的小齿轮要配一个合适齿数的大齿轮，使得这个齿轮组合可使小齿轮的转速从3500圈/分降到1000圈/分，那么这个大齿轮有_____齿． 【答案】84 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设大齿轮有x齿，根据转动的路程等于齿数乘以转数建立方程求解即可． 【详解】解：设大齿轮有x齿， 由题意得，， 解得， ∴大齿轮有84齿， 故答案为：84． 1．（25-26七年级上·江西赣州·期末）某生产车间有25名工人生产螺丝和螺母，每人每天可生产螺丝500个或螺母1500个，一个螺丝配两个螺母．要使每天的产品配套，应分配多少人生产螺丝？ 【答案】应分配15人生产螺丝 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意，列出方程是解题关键．设分配x名工人生产螺丝，则分配名工人生产螺母，根据一个螺丝要配两个螺母建立方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设分配x名工人生产螺丝，则分配名工人生产螺母， 根据题意，得， 解得， 答：应分配人生产螺丝． 2．（25-26七年级上·陕西安康·期末）一张书桌由1个桌面和4条桌腿组成，某家具公司的木工师傅用1立方米木料可以制作书桌的桌面25个或制作桌腿300条，现在公司有20立方米木料．该公司的书桌每张的标价为90元． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿恰好配套？ (2)行知中学的王老师计划在该公司购买书桌．在和销售人员沟通过程中，销售人员说：“如果您再多购买2张书桌，就可以全部打九五折了，这样算下来比现在还省189元．”王老师原来计划购买多少张书桌？ 【答案】(1)应该用15立方米木料制作桌面，用5立方米木料制作桌腿 (2)王老师原来计划购买80张书桌 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系桌腿数桌面数列出关于x的一元一次方程是解题的关键． （1）设应该用x立方米木料制作桌面，用立方米木料制作桌腿．根据“1立方米木材可制作25个桌面，或者制作300条桌腿”建立方程求出其解即可； （2）设王老师原来计划购买y张书桌，根据比现在还省189元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设应该用x立方米木料制作桌面，用立方米木料制作桌腿． 根据题意，得，解方程，得． 进而， 答：应该用15立方米木料制作桌面，用5立方米木料制作桌腿； （2）解：设王老师原来计划购买y张书桌． 根据题意，得，解方程，得， 答：王老师原来计划购买80张书桌． 3．（25-26七年级上·四川南充·期末）电子厂要制作一批电子产品，每个产品由2个部件和4个部件组成，两种部件使用同种原材料，制作1个部件要用原材料，1个部件要用原材料． (1)若制作若干个电子产品共用了原材料，请问制作，两种部件各用了多少原材料？（列方程解应用题） (2)在（1）的条件下，该电子厂将销售价定为每个产品900元，测算发现每个产品的利润是成本的，若该厂按此售价销售完这批电子产品，共可盈利多少元？ 【答案】(1)A部件用了原材料，B部件用了原材料 (2)共可盈利10000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设产品数量为x，求出总原材料用量，根据总原材料用量列方程求解即可； （2）设每个产品成本为C元，则盈利为元，求出，进而求出总成本和总售价，即可求出总盈利． 【详解】（1）解：设制作电子产品x个， 则A部件数量为个，B部件数量为个， A部件总原材料用量为，B部件总原材料用量为， 总原材料用量为， 根据题意，， 解得， 所以A部件用了原材料，B部件用了原材料． 答：A部件用了原材料，B部件用了原材料； （2）解：设每个产品成本为C元，则盈利为元， ∵每个产品的利润是成本的， ∴， 即， 解得：， 总产品数量为25个， 总成本为元， 总售价为元， 总盈利为元． 答：共可盈利10000元． 【基础题型二 工程问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·重庆丰都·期末）丰都龙河湿地公园建设项目有一项工程，甲工程队单独施工需天完成，乙工程队单独施工需天完成，现由乙队先做3天，甲队再加入合作，直至完成这项工程，求乙工程队完成这项工程所用的时间．若设乙工程队完成此项工程一共用天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查一元一次方程的应用，正确理解题意找准等量关系列出方程是解答此题的关键． 根据甲、乙两队每天施工的进度，结合“工作效率×工作时间=工作总量；由乙队先做3天，甲队再加入合作，直至完成这项工程”列方程． 【详解】解：设乙工程队完成此项工程一共用天，则甲队用了天， 由题意可得：， 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）一批布，独做上衣可做60件，独做裤子可做120条，这批布可做_______套服装． 【答案】40 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 把这批布料的总量看作单位“1”，每件上衣用这批布料的，每条裤子用这批布料的，它们的和是做一套衣服的使用布料，根据一套衣服的使用布料做的套数布料的总量，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这批布料可以做套衣服， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：40． 1．（26-27七年级上·湖南湘西·阶段练习）某县农业园养殖了许多的黄牛，黄牛品种优良，肉质鲜美．农业园中养殖牛的排泄物是制作有机肥的主要材料．农业园响应“绿色环保”号召建设了有机肥生产线．有机肥生产线原计划每天生产吨，天完成，实际前天就完成了吨．照这样的效率，完成这批任务只需多少天？ 【答案】完成这批任务只需天 【分析】设按照实际效率完成这批任务只需天，由生产有机肥总量不变，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：实际前天就完成了吨， 这样的效率为（吨/天）， 设按照实际效率完成这批任务只需天，则， 解得， 答：完成这批任务只需天． 2．（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）铺植一块草坪，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先铺植5小时，再增加2人和他们一起铺植3小时，完成这项铺植工作的，假设每个人的工作效率相同． (1)求先安排了多少人铺植草坪． (2)所有人一起完成这项铺植工作剩余的，还需要多少小时？ 【答案】(1)先安排了3人铺植草坪 (2)所有人一起完成这项铺植工作剩余的，还需要2小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意并列方程求解是关键． （1）设应先安排x人铺植草坪，先计算一个人的工作效率为，再根据题意列方程求解即可； （2）用除以5个人的工作效率计算即可． 【详解】（1）解：设应先安排x人铺植草坪， 由一个人做要40小时完成，则一个人的工作效率为， 根据题意，得， 解得， 答：先安排了3人铺植草坪； （2）解：（小时）， 答：所有人一起完成这项铺植工作剩余的，还需要2小时． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【答案】(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 【基础题型三 销售盈亏（一元一次方程的应用）】 【例1】（2025·山东烟台·模拟预测）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这款风扇每台的标价为元， 由题意得，， 解得， ∴这款风扇每台的标价为350元， 故选：A． 【例2】（2025七年级上·重庆·专题练习）某购物商城在“双12购物节”期间搞促销活动，若一次性购物不超过元不优惠，超过元时按全额折优惠．一位顾客第一次购物付款元，第二次购物付款元，若这两次购物合并成一次性付款可节省______元． 【答案】70或166 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；根据优惠条件，第一次购物付款元，实际价值为元；第二次购物付款元，可能超过元或未超过元，分两种情况讨论． 【详解】设第二次购物的实际价值为元．若第二次购物超过元，则，解得． 两次合并实际价值为元，合并付款金额为元． 不合并付款总额为元，节省元． 若第二次购物未超过元，则． 两次合并实际价值为元，合并付款金额为元． 不合并付款总额为元，节省元． 故答案为：70或166． 1．（26-27七年级上·内蒙古通辽·阶段练习）未来书店的图书凭优惠卡可以打八折，小明用优惠卡买了一套书，省了8.6元．这套书原价是多少元？ 【答案】这套书原价是43元． 【分析】设这套书原价为x元，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设这套书原价是x元，根据题意得： ， 解得：， 答：这套书原价是43元． 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某公司三月初购进一批玩具，加价销售，月末全部售出后销售额为24000元． (1)该公司三月份购进的这批玩具进价是多少元？ (2)该公司利用三月份的销售额（全部）恰好在四月份购进了A、B两种型号的按摩仪共260台，A、B两种按摩仪的数量比为，A型仪器的单价比B型按摩仪单价多，求A、B两种按摩仪的单价各是多少元？ (3)在（2）的条件下，该公司进行促销活动，B型按摩仪标价100元，全部九折出售．A型按摩仪八折优惠，两种按摩仪全部售出后总获利比三月份的总利润多二成，求A型按摩仪的标价是多少元？ 【答案】(1)20000元 (2)A型按摩仪的单价为100元，B型按摩仪的单价是75元 (3)150元 【分析】（1）先设三月份购进的这批玩具的进价为x元，再根据题意列出方程，求出解即可； （2）设A型仪器的数量为台，B型仪器的数量为台，根据题意列出方程求出两种仪器的台数，再设B型仪器的单价为y元，则A型仪器的单价为元，根据题意得出方程，求出解即可得出答案； （3）设A型按摩仪的标价为m元，根据两种按摩仪全部售出后总获利比三月份的总利润多两成列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设三月份购进的这批玩具的进价为x元，根据题意，得 ， 解得， 所以三月份购进的这批玩具的进价为20000元； （2）解：设A型仪器的数量为台，B型仪器的数量为台，根据题意，得 ， 解得， ∴， 所以四月份购进A型仪器的数量为180台，B型仪器的数量为80台； 设B型仪器的单价为y元，则A型仪器的单价为元，根据题意，得 ， 解得，则， 所以A型按摩仪的单价为100元，B型按摩仪的单价是75元； （3）解：设A型按摩仪的标价为m元，根据题意，得 ， 解得， 所以A型按摩仪的标价为150元． 3．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）某种原料的价格为每吨1000元，用该原料制成产品后将损耗，产品的价格是每吨8000元，如图，丝路纺织厂与两地由公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，将原料制成产品后全部运往B地．已知公路运价为1.5元/（吨・千米），铁路运价为1.2元/（吨・千米）．若从A地到B地的整个运输过程中公路运输费和铁路运输费共计112200元，求这批产品的销售款是多少元？ 【答案】这批产品的销售款是2400000元． 【分析】设购买的原料为x吨，则产品的重量为吨，根据“从A地到B地的整个运输过程中公路运输费和铁路运输费共计112200元”列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设购买的原料为x吨，则产品的重量为吨， 公路运输费合计：元， 铁路运输费合计：元， 根据题意得， 解得， ∴产品的重量为吨， ∴这批产品的销售款是元， 答：这批产品的销售款是2400000元． 【基础题型四 比赛积分（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·天津东丽·期末）某中学七年一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？设该足球队胜了x场，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列一元一次方程即可． 【详解】设该队胜了x场，则该队负了场，胜场得分：分，负场得分：分． 因为共得15分， 所以方程应为：． 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）某市举办足球比赛，每队均需赛34场，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在这次比赛中一场未负，共得70分，这个队在这次比赛中，胜了________场，平了________场． 【答案】 18 16 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找准数量关系，并正确列出一元一次方程是解题的关键．设这个队在这次比赛中，胜了x场，则平了场，根据题意，共得70分，列出方程，求解方程即可解答． 【详解】解：设这个队在这次比赛中，胜了x场，则平了场， 根据题意，得：， 解得：， 所以， 所以这个队在这次比赛中，胜了18场，平了16场． 故答案为：18；16． 1．（25-26七年级上·全国·期末）一份数学试卷有25道选择题，规定做对一题得4分，一题不做或做错扣1分，结果某学生得分为75分，则他做对多少道题？ 【答案】他做对20道题 【分析】设他做对x道题，根据等量关系式：做对的题目得分做错或不做的题目扣除的总分，列出方程，解之即可． 【详解】解：设他做对x道题，依题可得： ， 解得：． 答：他做对20道题． 2．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）中国航天实现历史性高质量跨越式发展，太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评，某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2分，萌萌同学在此次知识竞赛中的得分是72分，求她答对了多少道题？ 【答案】她答对了16道题 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设她答对了道题，则答错或不答道题，通过设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设她答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得：， ， ， ， ， 答：她答对了16道题． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）列方程解应用题 某次篮球联赛积分榜如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 (1)根据积分榜，你知道胜一场、负一场各积多少分吗？为什么？ (2)是否存在某队，它的胜场总积分比它的负场总积分的3倍还多3分若存在，求出它的胜、负场次，并指出它是哪个队若不存在，请说明理由． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分；理由： 由钢铁队知，负一场得1分， 设胜一场得x分， 由前进队可列方程：， 解得：， 答：胜一场积2分，负一场积1分． (2)胜9场，是蓝天队和光明队，理由： 设胜y场， 则， 解之得：， ∴存在，胜9场，则负场， 查表可知，该队是蓝天队和光明队． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据钢铁队即可得出负一场积1分，然后设胜一场积x分，根据其中一个球队列出方程即可求解； （2）设该队胜y场，则负场，根据题意列出方程，求出该队的胜、负场次数即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型五 方案选择（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·全国·周测）某店对单价为a元的水果进行降价，拟采取三种方案．方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．若降价最多的方案降了37元，则a的值为（    ） A．100 B．32 C．115 D．37 【答案】A 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，正确计算出降价最多的方案是解题的关键． 根据题意分别表示出降价后的售价，再用原售价-降价后的售价，再比较大小即可得到降价最多的方案，再根据降价最多的方案降了37元，列出方程求解即可． 【详解】解：方案一：， 方案二：， 方案三：， ∵， ∴， ∴方案一降价最多． 由题意得：， 解得：． 故选：A． 【例2】（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）梦洁和嘉丽是邻居，星期天他们两家人准备去郊外的农家乐游玩，早上两家人同时乘坐了两辆不同价格的出租车，梦洁家乘坐的是起步4公里8元，以后每公里收1.2元，嘉丽家乘坐的是起步3公里6元，以后每公里收1.3元，两家人几乎同时到达农家乐，付款后梦洁发现两家人的车费仅差1.5元．则两家住地离公园的路程为_______公里． 【答案】26 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答． 根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得两家住地离公园的路程，注意路程为正数． 【详解】解：设两家住地离公园的路程为x公里， 由题意得：或， 解得：或， ∵x为正数， ∴， 故答案为：26． 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）张明和他的朋友准备观看全运会游泳比赛．一场游泳比赛的门票有两种，一种售价50元/张，另一种售价80元/张．张明订10张票，一共用去620元，两种票各订了多少张？ 【答案】50元/张的门票订了6张，80元/张的门票订了4张。 【分析】设50元/张的门票有张，那么80元/张的门票有张。根据“总价单价数量”分别计算出50元/张的门票的总价和80元/张的门票的总价；再根据等量关系式“50元/张的门票的总价＋80元/张的门票的总价”代入数值列出方程并求解。 【详解】解：设50元/张的门票有张，那么80元/张的门票有张。 根据题意可以列方程 解得 （张） 答：50元/张的门票订了6张，80元/张的门票订了4张。 2．（25-26七年级上·山东德州·期末）我县某学校需要为实验室增添部分酒精灯和漏斗，根据图中信息，解决下列问题． (1)求酒精灯和漏斗的单价； (2)学校计划购买若干个酒精灯和80个漏斗，甲商家表示可以全部打八折出售，乙商家表示酒精灯买一赠一，漏斗原价出售，若学校只能选择其中一家购买，请帮学校设计最省钱的购买方案． 【答案】(1)酒精灯的单价为8元，漏斗的单价为12元 (2)当学校计划买80个酒精灯时甲乙商家花费一样多；当学校计划的酒精灯不足80个时，选择甲商家更省钱；当学校计划的酒精灯超过80个时，选择乙商家更省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到等量关系列出方程． （1）设酒精灯的单价为元，漏斗的单价为元，根据“一个酒精灯与3个漏斗共计44元”列方程求解即可； （2）设学校计划购买个酒精灯，则可列出在甲商家的花费为元，在乙商家的花费：元，然后求出两家费用一样多时对应a的值，即可求解． 【详解】（1）解：设酒精灯的单价为元，漏斗的单价为元， 根据题意得：， 解得， ， 答：酒精灯的单价为8元，漏斗的单价为12元； （2）解：设学校计划购买个酒精灯， 在甲商家的花费：（元） 在乙商家的花费：（元） 当时，解得． ∴当学校计划买80个酒精灯时甲乙商家花费一样多； 当学校计划的酒精灯不足80个时，选择甲商家更省钱； 当学校计划的酒精灯超过80个时，选择乙商家更省钱． 3．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某区全力推进智慧停车项目建设，在某商圈东边设置了一个智能停车场，这个停车场有100个普通车位和60个充电桩车位．已知每个充电桩车位的建设成本是普通车位的3倍，这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元． (1)每个普通车位和每个充电桩车位的建设成本分别是多少万元？ (2)为进一步解决该商圈停车难问题，该区计划在商圈西边再新建一个总车位数为120个的智能停车场（包含充电桩车位和普通车位），使得该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，则西边的新建停车场配备了多少个充电桩车位？ 【答案】(1)每个普通车位的建设成本是0.3万元，每个充电桩车位的建设成本是0.9万元 (2)40个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设每个普通车位的建设成本为万元，根据这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元，列出方程进行求解即可； （2）设西边的新建停车场配备了个充电桩车位，根据该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每个普通车位的建设成本为万元，则每个充电桩车位的建设成本为万元， 根据题意，列方程为：， 解得， ， 答：每个普通车位的建设成本是0.3万元，每个充电桩车位的建设成本是0.9万元． （2）解：设西边的新建停车场配备了个充电桩车位，则配备了个普通车位， 根据题意，列方程为：， 解得． 答：西边的新建停车场配备了40个充电桩车位． 【基础题型六 数字问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有一列数，其中任意三个相邻数的和是，其中，， ，可得x的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次方程． 由任意三个相邻数之和都是，可知、、、…相等，、、、…相等，、、、…相等，可以得出，，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：由任意三个相邻数之和都是可知： ， ， ， … ， 可以推出：，，， 所以，， 则， 解得：， 故选：A． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）一个两位数，个位数字比十位数字大3，若将个位数字与十位数字对调，得到的新两位数比原两位数大27，则原两位数是________． 【答案】14（或25、36、47、58、69） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设十位数字为，则个位数字为，表示原数和新数，利用新数比原数大列出方程，发现方程恒成立，因此原两位数只需满足个位数字比十位数字大，即，，，，，． 【详解】解：设十位数字为，则个位数字为， 原两位数为，新两位数为， 新数减原数为，该式恒成立， 所以为到的整数， 原两位数可以是，，，，，． 故答案为14（或25、36、47、58、69）． 1．（25-26七年级上·全国·期末）一个六位数的首位数字为1．如果把这个数字移到原来个位数字的右边，得到一个新的六位数，那么新得到的数是原数的3倍．求原来的六位数． 【答案】原来的六位数为142857 【分析】本题考查了一元一次方程，设这个六位数的后五位数字为，根据题意列出一元一次方程， 解之即可． 【详解】解：设这个六位数的后五位数字为，依题意可得： ， 解得：， ∴原来的六位数为142857． 答：原来的六位数为 142857． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）同学，欢迎你即将进入初中的生活！细心观察“初”字的笔画，可以看出，它正好由15个交叉点和端点组成，每一笔画上有两个或三个圆圈． 请在每个圆圈内填入1到10这10个连续整数中的一个（不能重复），要求图中构成横、竖、撇、捺每个笔画上的几个数字的和都等于一个常数（注意：不包括“折”）．你能填出来吗？试一试，你一定行！（请直接将答案填在圆圈内） 【答案】 【分析】根据题意可设出对应圆圈的数，推出t与x的关系，再讨论x的值，从而确定其它数字即可得到答案． 【详解】解：根据题意可设对应圆圈的数如下图所示： 则， 所以， 所以， 因为表示的是1到10中的一个数， 所以的最大值为6， 当时，， 所以，符合题意； 此时填圆圈如下： 当时，，此时数字7用了2次，不符合题意； 当时，可求出此时t大于10，不符合题意； 综上所述，只有满足题意． 3．（25-26七年级上·河南安阳·期中）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5． (1)如图2所示，则幻和_____； (2)如图2所示，若，，求的值； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题考查一次方程应用及有理数加法运算，解题关键是熟知“九宫图”的填法． （1）幻和为的3倍； （2）根据幻和为，列方程可得到答案； （3）根据规律，用正方形左边和上方三角形三个顶点上的数字之和等于右边和下方三角形三个顶点上的数字之和及、的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，幻和， 故答案为：； （2）解：如图： 由（1）知：， ∵，， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：根据题意得：则， 则， ． 【基础题型七 几何问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）（长方形面积）一个长方形的长和宽的比是，如果长减少5厘米，宽增加5厘米，则面积增加100平方厘米．那么原来长方形的面积是（   ）平方厘米． A．126 B．224 C．350 D．560 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设原来长方形的长为厘米，宽为厘米，根据题意画出变化前后的示意图，可知增加的面积为两个长方形的面积之差，则可建立方程求解． 【详解】解：设原来长方形的长为厘米，宽为厘米， 由题意得，， 解得， 所以， 所以原来长方形的面积为平方厘米， 故选；C． 【例2】（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点A、B在数轴上对应的数分别为2和3，点C对应的数为c；点A关于点B的对称点为D，点E为线段的中点．当时，c的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查数轴的性质，利用数形相结合是解题的关键．理解题意，分两种情况，根据题中所给条件分别求出相应的对应点，结合线段的和差即可得解． 【详解】解：∵点A、B在数轴上对应的数分别为2和3，点A关于点B的对称点为D， ∴点表示的数为，， ∵，即， ∴， 如图，当在的右侧时，表示的数为， ∵点为线段的中点， ∴，     如图，当在的左侧时，表示的数为， ∵点为线段的中点， ∴， ∴的值为或， 故答案为：或． 1．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）要锻造一个直径为12cm，高为8cm的圆柱形毛坯，应截取直径为8cm的圆钢多少cm？（不计锻造时的损耗） 【答案】18 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到其中隐含的相等关系：圆钢的体积=锻造后圆柱的体积，是解题的关键． 设截取直径为8cm的圆钢，则根据体积相等可列方程并求解即可． 【详解】解：设截取直径为8cm的圆钢， 则根据体积相等得方程：， 解得， 故应截取直径为8cm的圆钢18cm． 2．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为，容器内水的高度为．把一根半径为，长度超过容器的高的玻璃棒垂直插入水中．问：容器内的水将升高多少厘米（假设水不会溢出）？ 【答案】 【分析】设容器内水将升高，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设容器内水将升高，由题意，得： 解得， 答：容器内水将升高． 3．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为和，高分别为和．把容器一倒满水，然后将容器一中的水倒入容器二中，求容器二中的水面离容器口有多少厘米． 【答案】容器二中的水面距离容器口． 【分析】本题考查圆柱体积和一元一次方程的实际应用，把握“水的体积不变”是解题关键． 容器一中水的体积等于倒入容器二后水的体积，通过圆柱体积公式建立方程，求出容器二中水面的高度，再计算水面与容器口的距离． 【详解】解：∵容器一的底面直径为，底面半径为，高为， ∴容器一的体积为； 设容器二中水面高度为， ∵容器二的底面直径为，底面半径为，高为， ∴容器二中水的体积为， 根据题意可知容器一和容器二中水的体积不变， 可得， 解得， 故容器二中的水面距离容器口． 答：容器二中的水面距离容器口． 【基础题型八 动点问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）已知线段的长度为18厘米，厘米，厘米，，点绕着点以60度/秒的速度顺时针旋转一周停止，同时点沿直线自点向点以厘米／秒的速度运动，假若点两点能相遇，则点运动的速度的值为（    ） A．4或12 B．8或 C．12 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．由于点P，Q只能在线段上相遇，而点P旋转到线段上的时间要分两种情况，故先求出点P旋转到线段上的时间，设点Q的速度为厘米/秒，然后根据速度、路程、时间的关系列出方程，解方程即得答案． 【详解】解：点P，Q只能在线段上相遇，则点P旋转到线段上的时间为秒或秒， 当1秒时相遇，依题意得：，解得； 当4秒时相遇，依题意得，，解得； 的值为12或4． 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数轴上A、B两点对应的数分别为、80．P为数轴上一动点，若P点到A、B两点的距离之差为30，则P点对应的数为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离．设点对应的数为x，分两种情况作答即可． 【详解】解：设点对应的数为x， 当点到的距离大于点到的距离时： 当点在左侧时，，解得； 当点在右侧时，点到、两点的距离之差为，不成立； 当点到的距离大于点到的距离时： 当点在左侧时，点到、两点的距离之差为，不成立； 当点在右侧时，，解得； 综上所述，点对应的数为或， 故答案为：或． 1．（2026·河北邯郸·三模）如图，数轴上的单位长度为1，点A，B是数轴上两点． (1)若点A，B表示的数互为相反数，则点A表示的数为________； (2)若点A，B表示的数的和为，求点A，B表示的数． 【答案】(1) (2)点A表示的数为，点B表示的数为 【分析】（1）根据相反数的定义，结合数轴即可求解； （2）设点A表示的数为x，则点B表示的数为，根据点A，B表示的数的和为，即可得关于x的方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数互为相反数，点A，B间的距离是4，且点A在左侧， ∴点A表示的数为； （2）解：设点A表示的数为x，则点B表示的数为， 由题意得， 解得， ∴点A表示的数为， 点B表示的数为． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上点表示数，点在点左侧，两点相距个单位长度． (1)点表示的数是_____； (2)动点从点出发，沿数轴正方向以每秒个单位长度运动，经过几秒，点与点相距个单位长度？ (3)在（2）的基础上，出发同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒个单位长度运动，经过几秒，点到点的距离是点到点距离的倍？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)秒或秒 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离列式即可求解； （2）设经过秒，根据题意分两种情况列方程求解； （3）设经过秒，得到点到点距离为，点到点距离为，然后根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：点表示的数是； （2）解：设经过秒， ①当在左侧相距3个单位时， 根据题意得，， 解得； ②当在右侧相距3个单位时， 根据题意得，， 解得， 答：经过秒或秒，点与点相距个单位长度． （3）解：设经过秒，点到点距离为，点到点距离为， 由题意得，， 解得：或， 答：经过秒或秒，点到点的距离是点到点距离的倍． 3．（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知：如图数轴上有A，B，C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A，B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（）． (1)点A表示的数是，点C表示的数是，点P表示的数是（用含t的式子表示）； (2)当秒时，P，B两点之间相距10个单位长度； (3)若点A，点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)5或15 (3)存在，，定值为 【分析】（1）设点B表示的数为x，则点A表示的数为，由两点之间的距离可得，求出解即可，然后根据，可知点C表示的有理数，最后根据动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒，可得点P表示的数； （2）分两种情况：当点P在点B左边时和当点P在点B右边时，分别表示，再根据P、B两点之间相距10个单位长度，列出方程，求出解即可； （3）分别表示出，再根据等于，结合题意求出答案即可． 【详解】（1）解：设点B表示的数为x，则点A表示的数为， ∵点A和点B间距20个单位长度， ∴， 解得， ∴点A表示的有理数是；点B表示的有理数是10． ∵， ∴点C表示的有理数是． ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒， ∴点P表示的数是． （2）解：①当点P在点B左边时，如图 ， ∵P、B两点之间相距10个单位长度， ∴， 解得； ②当点P在点B右边时，如图 ， ∵P、B两点之间相距10个单位长度， ∴， 解得， ∴当或15秒时，P、B两点之间相距10个单位长度． （3）解：存在常数m，使得为一个定值．理由如下： 由题意可知，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为，且在数轴上从左到右依次为点A，P，B，C， ∴ ， ∴ ， ∵要使得为一个定值， ∴， 解得， ∴， ∴，这个定值为． 【基础题型九 和差倍分问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）学校为六年级购买科技书和文艺书共1200本，其中文艺书比科技书的2倍少60本，买来科技书多少本？如果设买来科技书x本，那么下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设买来科技书本，则文艺书有本， ∵ 两种书共1200本， ∴ ． 【例2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）（假设法）把111根木材按6层堆积起来，若每次上层木材比下层木材少一根，则最下面的一层应放_____根，最上面一层应放______根． 【答案】 21 16 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．假设最上面一层有x根，则最下面一层有根，求出最上面一层和最下面一层的数量之和，然后列方程求解即可． 【详解】解：假设最上层有x根， 根， 则， ， ， ， （根）． 故答案为：21；16． 1．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）学校买了张桌子和把椅子，共花了元．已知每张桌子的价钱是每把椅子的倍，每张桌子和每把椅子各多少元？ 【答案】 每张桌子元，每把椅子元 【分析】设每把椅子元，则每张桌子元，根据买张桌子和把椅子共花了元列一元一次方程求解． 【详解】解：设每把椅子元，则每张桌子元， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：每张桌子元，每把椅子元． 2．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段练习）列方程解决问题 (1)有一列数，按一定规律排列成：、、、、、、…，其中某三个相邻数的和是，这三个数各是多少？ (2)把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则还缺本，求这个班有多少名学生． 【答案】(1) 这三个数分别是，， (2) 这个班有名学生 【分析】（1）根据数列的倍比规律设未知数，结合三个相邻数的和为列方程求解； （2）以图书总数为等量关系，设学生人数为未知数，结合两种分书情况列方程求解； 【详解】（1）解：观察数列得，后一个数是前一个数的倍，设三个相邻数中第一个数为，则第二个数为，第三个数为， 根据题意得， 解得：， ，， 故这三个数分别是，，； （2）解：设这个班有名学生， 根据题意得， 解得：， 答：这个班有名学生． 3．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）解决问题： (1)甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨．为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场？ (2)一收割机队每天收割小麦15公顷，收割完一片麦地的后，该收割机队改进操作，效率提高到原来的倍，因此比预定时间提早2天完成收割任务．问：这片麦地有多少公顷？ 【答案】(1)应从甲煤场运80吨煤到乙煤场 (2)这片麦地有360公顷 【分析】（1）设从甲煤场运x吨煤到乙煤场，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设这片麦地有x公顷，则预定总时间为，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设从甲煤场运x吨煤到乙煤场， 由题意可得：， ， ， ， ， 答：应从甲煤场运80吨煤到乙煤场． （2）解：设这片麦地有x公顷，则预定总时间为， 由题意可得：，解得：， 答：这片麦地有360公顷． 【基础题型十 电费和水费问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（24-25七年级上·全国·期中）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米，按每立方米a元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工6月份缴水费16a元，则该职工6月份实际用水量为（　　） A．13立方米 B．14立方米 C．15立方米 D．16立方米 【答案】A 【分析】此题要注意分段考虑，从缴水费16a元，可以确定此职工用水超了10立方米，所以设该职工6月份实际用水量为x立方米，则10立方米部分缴水费为10a元，（x﹣10）立方米部分缴水费2a（x﹣10）元，由共缴水费16a元，列方程即可求解． 【详解】解：设该职工6月份实际用水量为x立方米， 10a+2a（x﹣10）＝16a， 解得：x＝13， 故选：A． 【点睛】此题考查了含有参数的一元一次方程，与学生生活联系密切．抓住各阶段的收费不同，分段分析就能求解是解题的关键． 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）某市居民每月用水收费标准如下： 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费元，则李阿姨12月份的用水量是____． 【答案】16立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．根据李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，可知，根据李阿姨12月份交水费元，可知李阿姨12月份用水量大于10立方米，设李阿姨家12月份用水量为x立方米，列出方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：因为李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元， 所以， 解得， ∵， ∴李阿姨家12月份用水量大于10立方米， 设李阿姨家12月份用水量为x立方米， 则， 解得， 所以李阿姨家12月份用水量是16立方米． 故答案为：16立方米． 1．（25-26七年级上·北京东城·阶段练习）为鼓励居民节约用电，某电力公司规定了如下计费方法：月用电不超过100度，按每度电元计费．月用电每超过100度，超出部分就增加元计费．王奶奶家2026年4月交电费167元，王奶奶家4月份用电多少度？ 【答案】295度 【分析】设王奶奶家4月份用电x度，推导出，再根据题意列出一元一次方程并求解即可． 【详解】解：设王奶奶家4月份用电x度， ∵， ∴， 依题意，得 ， ， ． 答：王奶奶家4月份用电295度． 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 3．（25-26七年级上·全国·寒假作业）一种蔬菜在某市场上的批发价格如： 购买数量 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上 价格 5元/千克 4元/千克 3元/千克 已知小明两次购买了此种蔬菜共70千克（第二次购买数量多于第一次）． (1)若第一次购买15千克，第二次购买55千克，则两次总费用为 元； (2)若两次购买蔬菜的总费用为236元，求第一次、第二次分别购买此种蔬菜多少千克？ 【答案】(1)240 (2)第一次购买13千克，第二次购买57千克或第一次购买26千克，第二次购买44千克 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找出等量关系，进行分类讨论是解题的关键； （1）根据总费用等于两次费用之和计算即可； （2）设第一次购买x千克，则第二次购买千克，根据图表中购买数量与价格的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：总费用为：（元）； （2）解：设第一次购买x千克，则第二次购买千克， ①若第一次购买不超过20千克，第二次购买40千克以上， 由题意得：， 解得， ∴第二次购买（千克）， ②若第一次购买20千克以上但不超过40千克，第二次购买也为20千克以上但不超过40千克， 由题意得：， 方程无解； ③若第一次20千克以上但不超过40千克，第二次购买40千克以上， 由题意得：， 解得， ∴第二次购买（千克）， 答：第一次购买13千克，第二次购买57千克或第一次购买26千克，第二次购买44千克． 【基础题型十一 行程问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26六年级下·山东烟台·期末）一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】火车匀速行驶，通过隧道的总路程为隧道长度加火车自身长度，根据路程速度时间的关系，可先求出火车速度，再计算火车长度． 【详解】解：设火车速度为米/秒，火车长度为米， ∵火车从车头进入入口到车尾离开出口行驶的总路程为隧道长加火车自身长度， ∴根据题意可得：， 两式相减得：，解得：米/秒， 将代入，得：． ∴火车长度为． 【例2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一个问题为：三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还．意思是：一个人到关口要走378里路．第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口，算算每天行走的里数．（“里”是我国古代长度单位）根据题中的信息，这个人第一天走的路程是( )里． 【答案】192 【分析】设这个人第一天走的路程是x里，因为每天走的路程为前一天的一半，因此第二天走了里，第三天走了里，第四天走了里，第五天走了里，第六天走了里，根据6天的总路程为378里建立方程求解即可． 【详解】解：设这个人第一天走的路程是x里， 由题意得，， 所以， 所以， 所以， 所以这个人第一天走的路程是192里． 1．（26-27七年级上·广东湛江·阶段练习）甲、乙两人从同一地点骑自行车沿同一方向出发，乙每分钟行240米，先出发2分钟；甲每分钟行300米，随后出发追赶乙．甲出发后多少分钟追上乙？ 【答案】甲出发后8分钟追上乙． 【分析】根据题意得出等量关系，甲的骑行速度乘以甲的骑行时间等于乙的骑行速度乘以乙的骑行时间，设甲骑行分钟，则乙骑行分钟，可列出一元一次方程． 【详解】解：甲出发后分钟追上乙． 由题意，列出一元一次方程， 解得， 答：甲出发后8分钟追上乙． 2．（26-27七年级上·湖南湘西·阶段练习）锂电池因其长循环寿命、轻量便携和快速充电等特点，被越来越多的人选择．农业园换用锂电池货车送货，充满电后可持续行驶小时．充满电后货车从甲地去乙地，去的时候由于对道路不熟悉，时速是千米，从乙地返回甲时，时速为千米，到甲时电池刚好没电．从甲地到乙地有多少千米？ 【答案】 从甲地到乙地有千米 【分析】以往返总行驶时间等于小时为等量关系，结合行程公式列方程求解． 【详解】解：设从甲地到乙地的路程为千米， 由题意得， 解得． 答：从甲地到乙地有千米． 3．（26-27七年级上·广东珠海·阶段练习）如图，小杰参加城市全民健康跑，路线总距离为米，沿途设置补给站． 小杰从起点出发保持米/分的速度奔跑，经过第一个补给站后，提速到米/分，按照这个速度到达了第二个补给站．已知小杰从第一个补给站到第二个补给站所花的时间比从起点到第一个补给站的时间多分钟．如果小杰从第二个补给站出发后想在分钟内跑到终点，那么他在这段路程中的平均速度至少要达到多少米/分？ 【答案】平均速度至少要达到米/分 【分析】先设起点到第一个补给站的时间为分钟，表示出两段路程，利用第一个补给站到第二个补给站路程为米列方程求出，再算出第二个补给站到终点的距离，最后根据求出最小平均速度． 【详解】解：设小杰从起点跑到第一个补给站用时分钟，则起点到第一个补给站路程为米， 从第一个补给站到第二个补给站用时分钟，这段路程为米． 由图可知第一个补给站到第二个补给站总路程为米： ， 解得， 起点到第一个补给站路程：​（米）， 总路线长米，所以第二个补给站到终点路程：（米）， 要求分钟内跑完，则这段路程的最低平均速度为（米/分）． 【基础题型十二 比例分配（一元一次方程的应用）】 【例1】 （24-25七年级上·全国·期中）一位画家想将2升蓝色颜料与3升黄色颜料混合，制成5升绿色颜料．然而，他错误地使用了3升蓝色颜料和2升黄色颜料，这样他做出的绿色颜料的色调是错误的．问他必须最少扔掉多少升这种绿色颜料，以便使用剩余的绿色颜料和一些额外的蓝色和/或黄色颜料，制作出5升具有正确绿色色调的颜料？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】E 【分析】设最少扔掉升这种绿色颜料，由题意可知，错误的调色中黄色颜料比例降低，则额外添加升黄色颜料，此时颜料总量不变，根据黄色颜料的正确比例列方程求解即可 【详解】解：设最少扔掉升这种绿色颜料，则额外添加升黄色颜料， 则， 解得：， 即最少扔掉升这种绿色颜料． 【例2】（25-26六年级上·上海松江·阶段练习）茶百道生产的一种由A、B两种原料按一定比例配制而成的奶茶，其中A原料成本价为10元/千克，B原料成本价为15元/千克，按现行价格销售每千克奶茶可获得4.8元的利润．由于物价上涨，A原料上涨20%，B原料上涨10%，配制后的总成本增加．茶百道为了拓展市场，打算再投入现总成本的10%做广告宣传，使得销售成本再次增加，如果要保证每千克的利润不变，则此时这种奶茶每千克的售价与原售价之差为_________元 【答案】 【分析】设配制比例为，则原液上涨后的成本是元，原液上涨后的成本是元，配制后的总成本是，根据题意可得方程，解可得配制比例，然后计算出原来每千克的成本和售价，然后表示出此时每千克成本和售价，即可算出此时售价与原售价之差． 【详解】解：设配制比例为，由题意得： 解得x=， 则原来每千克成本为： ＝12（元）， 原来每千克售价为：（元） 此时每千克成本为：（元）， 此时每千克售价为：（元）， 则此时售价与原售价之差为：（元）． 故答案为：． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键是计算出配制比例，以及原售价和此时售价． 1．（25-26六年级上·上海虹口·阶段练习）市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 【答案】 【分析】设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为，设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元，以配制后的成本价作为等量关系可列出方程求解，其中一个未知数能约去． 【详解】解：设这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 设1吨纯净水价为元，则1吨原液价为元． 答：这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例为． 2．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）风华中学举办英语节活动，包括三大组别的节目：歌曲组、短剧组、演讲组，每位学生只能参加一个组别的节目．六年级有部分同学参加活动，其中的同学加入歌曲组，的同学加入演讲组，剩下20名同学加入短剧组，参加英语节的男生比女生少． (1)六年级参加英语节的学生有多少人； (2)参加演讲组的男生是参加短剧组男生的，且比参加歌曲组的男生多，求参加歌曲组的男生有多少人； (3)在（2）的条件下，由于英语节活动调整，一些学生从演讲组调整到歌曲组和短剧组，从演讲组调出学生中，3名男生全部调入歌曲组，调入歌曲组和短剧组的女生人数比为，此时歌曲组人数是短剧组人数的，求调入歌曲组的女生有多少人． 【答案】(1)60 (2)5 (3)6 【分析】本题考查分数的应用，一元一次方程的应用： （1）求出短剧组的20名同学占六年级参加英语节总人数的比例，用20除以该比例即可得到总人数； （2）求出参加英语节的男生人数，设歌曲组男生为人，演讲组男生为人，短剧组男生为人，根据题意用a表示b、c，根据男生总人数即可求解； （3）设调入歌曲组的女生为人，调入短剧组的女生为人，根据歌曲组人数是短剧组人数的列方程求出k即可． 【详解】（1）解：短剧组的20名同学占六年级参加英语节总人数的， ∴六年级参加英语节总人数为（人）； （2）解：∵参加英语节的男生比女生少， ∴男生占总人数的， ∴男生人数为（人）， 设：歌曲组男生为人，演讲组男生为人，短剧组男生为人 已知：，（演讲组男生比歌曲组男生多，即是的倍）， 由和得：，故， 男生总数：， ， 解得， ∴歌曲组男生为5人． （3）解：由（2）知各组人数： 歌曲组：15人（男生5人，女生10人） 演讲组：25人（男生8人，女生17人） 短剧组：20人（男生12人，女生8人） 调整过程： 从演讲组调出学生，其中3名男生全部调入歌曲组． 调出的女生中，调入歌曲组和短剧组的人数比为． 设调入歌曲组的女生为人，调入短剧组的女生为人． 总调出女生：（人） 总调出人数：人 调整后各组人数： 歌曲组：原15人调入男生3人调入女生人人 短剧组：原20人调入女生人人 调整后歌曲组人数是短剧组人数的：， 解得， ∴调入歌曲组的女生：（人）． 3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱__________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是__________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） 【答案】(1)6 (2)①2500；②1900元，； 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率得出答案． 【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 故答案为：6． （2）解：①设C型冰箱销售价为元， 根据题意得， 解得， 故答案为：2500； ②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 每台C型号冰箱的盈利率为：， 答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是． 【基础题型十三 日历问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）周末整理书桌时，小莫翻出一本旧月历．他随意挑了一个月份，发现这个月所有星期天对应的日期相加，总和是85．这个月最后一个星期天是几号？（     ） A．24 B．28 C．30 D．31 【答案】D 【分析】根据月历中相邻星期天日期相差7的规律，分当月有4个、5个星期天两种情况列方程求解，结合一个月最多31天的规则验证结果． 【详解】解：设这个月第一个星期天的日期为，由于相邻两个星期天的日期相差7， 所以①当这个月有四个星期天时，则这四个星期天的日期依次为、、、， 由题意得，解得， 不是正整数，该情况不符合题意舍去， ②当这个月有五个星期天时，则这五个星期天的日期依次为、、、、， 由题意得，解得， 所以最后一个星期天的日期为，符合一个月的天数范围， 故D选项符合题意． 【例2】（25-26六年级上·上海长宁·期末）如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数，若移动“十”字形状后所得五个数之和为120，那么该“十”字形状中正中间的数为__________． 【答案】24 【分析】设中间的数字为，则上面数字为，下面数字为，左边数字为，右边数字为，列出方程运算求解即可． 【详解】解：设中间的数字为，则上面数字为，下面数字为，左边数字为，右边数字为， 即：， 解得：． 1．（25-26六年级上·上海崇明·阶段检测）如图是某月份的日历，将“H”形框上下左右移动，可框住七个数，设“H”形框中的七个数中最中间一个数是． (1)请求出“H”形框中的七个数的和（用含的代数式表示，并化简）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于．若能，请写出这七个数：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) 不能，理由如下： 由（1）得，， 解得， 此时最大的数，而日历中没有， 故“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，用含的代数式表示其他六个数． （1）设“H”形框中的七个数中最中间一个数是，则其他六个数是、、、、、，相加即可得到答案； （2）由（1）可知，，解得，此时最大的数，而日历中没有，故“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于． 【详解】（1）解：设“H”形框中的七个数中最中间一个数是，则其他六个数是、、、、、， 七个数的和是； （2）略 2．（24-25七年级下·山西临汾·阶段检测）主题《神奇的幻方》 【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15． 【实践】（1）将这9个数中，除，1，2，4外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方． 【提升】（2）图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，可知的值为___________． 【拓展】（3）将幻方迁移到月历：图5是某月的月历，小河同学说：带阴影的方框中的9个数的和可以是243．小河的说法对吗？请判断并说明理由． 【答案】 （1）如图所示， 3 2 5 1 0 4 （2）3； （3）小河同学的说法不对． 理由：设方框正中心的数是，则另外的数是， 根据题意得， 解得． 因为27在最后一列， 所以带阴影的方框中的9个数的和不可以是243， 所以小河同学的说法不对． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练理解题意是解题的关键． （1）根据题意填入数字即可； （2）根据题意得到即可得到答案； （3）设方框正中心的数是y，根据题意列方程求出，然后根据27在最后一列求解即可． 【详解】解：（1）如图所示， 根据题意得，，解得； ，解得； ，解得； ，解得； ，解得； （2）由题意知， 解得， 故答案为3． （3）略 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）下表是某月的日历图． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 如图所示的三种方格框方格框①、方格框②、方格框③，可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最小的数都为 (1)请用含x的式子完成下列填空： 第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； (2)设第①个方格框中三数之和为a，第②个方格框中三数之和为b，第③个方格框中三数之和为c，是否存在这样的x，使得？若存在，请求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， ， ， ； (2)存在，的值为11，b的值为18，c的值为 【分析】本题考查一元一次方程的应用和列代数式，解题的关键是用含x的代数式表示a，b， （1）根据日历中数字的规律填空即可； （2）结合（1）求出，，，由，得，解出x的值可得答案． 【详解】（1）解：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是x，和； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是x，和； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是x，和； 故答案为：，；，；，； （2）解：存在这样的x，使得，理由如下： 根据题意，，，， ， ， 解得， 经检验，符合题意，此时，，， 的值为11，b的值为18，c的值为． 【基础题型十四 古代问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住总人数不变的等量关系列方程． 【详解】解：设车有辆． 每车坐3人且两车空时，总人数为． 每车坐2人且9人无车坐时，总人数为． 由总人数相等得． 【例2】（25-26六年级下·山东烟台·期末）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，根据题意，可列出的方程是________． 【答案】 【分析】由于总人数不变，根据题意列方程即可． 【详解】解：设有辆车，五人同车三车空，四人同车九步行，总人数是不变的， ． 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ 【答案】家数为126，牛价为3750钱． 【分析】设牛价为x钱，根据每7家合伙出190钱，则差330钱可知家数为，根据每9家合伙出270钱，则多了30钱可知家数为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设牛价为x钱， 由题意得，， 解得， ∴， 答：家数为126，牛价为3750钱． 2．（25-26六年级上·上海松江·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 【答案】(1)， (2)5，37 【分析】（1）甲：每人5竿多12竿时总数为，每人8竿少3竿时总数为，根据竹竿总数相等列方程即可；乙：每人5竿多12竿时人数为，每人8竿少3竿时人数为，根据人数相等列方程即可； （2）解（1）中所列方程即可求解． 【详解】（1）解：甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程； （2）解：解，得， 解，得． 所以牧童有5人，竹竿有37竿． 3．（25-26七年级上·山西晋中·期末）《九章算术》“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数，鸡价各几何？” 题目大意：几个人合伙买鸡，若每人出9钱，则会多出钱；若每人出6钱，则还少了钱．合伙人数、鸡价各是多少？ 以下是智慧小组的部分分析过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 先寻找问题中涉及到的量和等量关系，然后设未知数，设合伙人数为人，再表示其他未知量，根据等量关系：________，列出方程． 发现两次的合伙人数是不变的，所以可以设鸡价为y钱，列出方程________． 任务： (1)请你将上述分析过程的空白补充完整； (2)选择其中一种方法解决以上“盈不足”问题． 【答案】(1)鸡价相等； (2)合伙人数为9人，鸡价为钱 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握相关量之间的等量关系是解题的关键． （1）根据和表示的含义，即可求解；根据鸡的价格为y钱，用含有y的式子将两次的人数分别表示出来，即可求解； （2）根据（1）中的方程，解方程，求出人数和鸡价，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知和都表示的是鸡的价格， 等量关系为鸡价相等， 根据鸡的价格为y钱，根据题意可得． （2）解：方法一，， 解得， ， 故合伙人数为9人，鸡价为钱； 方法二，， 解这个方程，得， ， 故合伙人数为9人，鸡价为钱． 答：合伙人数为9人，鸡价为钱． 【基础题型十五 其他问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）苹果比桃子多20个，如果每天吃2个苹果、1个桃子，桃子吃完后，苹果还剩5个．原来苹果（     ）个． A．33 B．37 C．35 D．36 【答案】C 【分析】设一共吃了天． 则桃子有个，苹果有个．苹果比桃子多20个，据此列出方程并解方程即可． 【详解】解：设一共吃了天． 则桃子有个，苹果有个． ∵苹果比桃子多20个， ∴． 解得． 苹果数量为． 【例2】（26-27七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为、、，其中甲瓶糖水重千克．先把甲、乙两瓶中的糖水混合，浓度变为；然后把丙瓶中的糖水全部倒入混合液中，得到浓度为的糖水．原来丙瓶中有________千克的糖水． 【答案】 【分析】根据混合前后糖的总质量不变，先求出乙瓶糖水的质量，再计算丙瓶糖水的质量即可． 【详解】解：设乙瓶糖水的质量为千克， 混合后糖的总质量等于甲、乙两瓶中糖的质量之和， ， 整理得： ， 解得：， 即乙瓶糖水质量为千克， 甲乙混合后总糖水质量为千克，其中糖的总质量为 千克， 设丙瓶糖水质量为千克， 加入丙后糖的总质量等于甲乙混合后的糖质量加上丙中糖的质量， ， 整理得：， 解得：． 1．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）解决问题： (1)一种小麦磨成面粉后，质量将减少，要得到3400千克的面粉，需多少千克的小麦？ (2)某学校七年级一班有44人报名参加了文学社或书画社．已知参加书画社的人数比参加文学社的人数多4人，两个社都参加的有16人．问：参加书画社的有多少人？ 【答案】(1)需4000千克小麦 (2)参加书画社的有32人 【分析】（1）设需千克的小麦，根据小麦磨成面粉后，质量将减少，要得到3400千克的面粉，可列方程，解答即可； （2）设参加书画社的有人，则参加文学社的有人，根据七年级一班有44人，两个社都参加的有16人，可列方程，解答即可． 【详解】（1）解：设需千克的小麦， 根据题意得：， 解得：， ∴需4000千克小麦． （2）解：设参加书画社的有人，则参加文学社的有人， 根据题意得：， 解得：， ∴参加书画社的有32人． 2．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）如图是一个运算程序，一个有理数可以任意从，，三个位置出发，按照标注的要求运算．例如：将2按照的顺序进行运算，即． (1)将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果； (2)将一个数按照的顺序进行运算，得到运算结果为0，请求出这个数． 【答案】(1)解：根据题意，得． (2)3 【分析】（1）根据运算程序列式计算即可； （2）设这个数为x，根据运算程序列出方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设这个数为x，根据题意，得 ， 解得， 答：这个数是3． 3．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）某网约车公司的付费规则如下： 路程 费用 不超过千米 一律按元收费 超过千米不超过千米的部分 元/千米 超过千米的部分 元/千米 (1)如果小李某次乘车路程为千米，他应付的乘车费用是多少元？ (2)如果小李两次乘车路程共千米，其中一次是超过3千米不超过千米，另一次是超过千米，合计付费元，那么小李这两次乘车的路程分别为多少千米？ 【答案】(1)应付乘车费用元 (2)两次乘车路程分别为千米和千米 【分析】（1）按照题意分成不超过千米、超过千米不超过千米、超过千米这部分，分别讨论计算即可． （2）根据题目给出的两次路程范围设未知数，分别按规则计算两次费用，根据总费用列一元一次方程求解，验证后得到结果． 【详解】（1）解：小李某次乘车路程为千米，按规则分段计算费用： 不超过3千米部分，费用为元； 超过3千米不超过千米部分：∵路程为千米， ∴费用为元； 超过千米部分：∵路程为千米， ∴费用为元； ∴他应付的乘车总费用是：（元）． （2）解：设路程在范围的一次乘车路程为千米，则另一次乘车路程为千米， 由题意得另一次路程超过千米，即，符合题目条件. ∵第一次乘车费用为：，第二次乘车费用为：， ∴， 解得. 则另一次路程为千米，符合，的要求． ∴小李这两次乘车的路程分别为千米和千米． 【提高题型一 一元一次方程与数轴综合应用】 【例1】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），经过几秒，点、点分别到原点的距离相等（   ） A．秒 B．秒或秒或秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】C 【分析】先由题意得出，，点表示的数为，设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，此时点表示的数为，点表示的数为，根据题意得出，分情况求解即可． 【详解】解：点表示的数为，， ，，点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等， 此时点表示的数为，点表示的数为， 则有， ①， ， ； ②， ， ， 综上，经过秒或秒，点、点分别到原点的距离相等， 选项符合题意． 【例2】（25-26六年级上·上海·期中）如图，将一把刻度尺紧贴数轴（隐去原点和），刻度尺上“1”和“8”分别对应数轴上的x和，那么x的值是____________． 【答案】 【详解】解：由题意得， 解得． 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上点同时运动，规定向右为正方向，表格为不同时间对应数字： 时间 点M对应数 15 3 点对应数 1 9 (1)补全表格； (2)判断两点运动过程中是否相遇，若相遇，求出相遇点表示的数； (3)运动时间为，若，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)相遇，相遇点表示的数为 (3)或5 【分析】（1）根据表格求出点和点的运动方向和速度，即可得解； （2）设运动时间为，则点对应数为，点对应数为，根据两点相遇时对应数相等列方程求出的值，再求出相遇点表示的数即可； （3）设运动时间为，则，，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点在时的对应数为，在时的对应数为， 点的运动速度为，即点向左运动，每秒移动3个单位长度， 点在的对应数为； 由题意可知，点在时的对应数为，在时的对应数为， 点的运动速度为，即点向右运动，每秒移动2个单位长度， 点在的对应数为； （2）解：设运动时间为，则点对应数为，点对应数为， 若两点运动过程中相遇，则， 解得：， 即两点运动时相遇，相遇点表示的数为； （3）解：设运动时间为，则点对应数为，点对应数为， ，， ， ， 解得：或5， 即若，的值为或5． 2．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图1，已知数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15．如果将数轴在原点O和点B处各折一下，就得到一条“折线数轴”，如图2所示．现有一动点P从点A出发，沿着“折线数轴”向右运动，同时，点Q从点C出发，以相同速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P和点Q相遇后，两点改变原来的运动方向，沿原路返回．已知点P和点Q在“折线数轴”的水平方向（，段）运动期间速度为2个单位长度/秒，在上坡段运动时速度变为水平方向速度的一半，在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，设运动的时间为t秒． (1)点P沿方向上坡的速度为______个单位长度/秒，点Q沿方向下坡的速度为______个单位长度/秒； (2)t为何值时，点P和点Q相遇？ (3)当点P是线段的中点时，求此时t的值． 【答案】(1)1；4 (2) (3)或 【分析】（1）根据在上坡段运动时速度为水平方向速度的一半，得出点P沿方向上坡的速度即可；根据在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，求出点Q沿方向下坡的速度即可； （2）先根据数轴上两点间距离公式得出，，，再根据点P与点Q在上运动的路程之和为，列出方程，解方程即可； （3）分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，根据列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：点P沿方向上坡的速度为个单位长度/秒；点Q沿方向下坡的速度为个单位长度/秒； （2）解：∵数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15， ∴，，， 点在上运动时间为：， 点Q在上运动时间为：， 根据题意得：， 解得：； 答：时，点P和点Q相遇； （3）解：点P、Q相遇时，， P、Q相遇前：， 解得：； P、Q相遇后：， 解得：； 综上，点P是线段的中点时，或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，线段中点的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离公式． 3．（25-26七年级上·广东广州·期末）在数轴上，点和点对应的数分别是，5．甲、乙两人同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），规则如下： ①若甲胜，则点向右移动2个单位长度，点向右移动1个单位长度； ②若乙胜，则点向左移动1个单位长度，点向左移动2个单位长度； ③若平局，则点向右移动1个单位长度，点向左移动1个单位长度． (1)画出数轴，并在数轴上标出点和点的初始位置； (2)如果两人进行了2局游戏，这两局的部分情况如下表所示： 局次 第一局 第二局 甲的手势 石头 乙的手势 剪刀 布 若第二局结束时点离原点更近，则甲第二局的手势可能是__________； (3)如果两人进行了5局游戏，其中平局次，甲胜1次，且第五局结束时，，两点相距1个单位长度，请探究的值． 【答案】(1) 如图， (2)剪刀或布 (3)4 【分析】本题主要考查了列代数式，数轴，一元一次方程的应用，本题是动点型题目，找出移动后甲乙距离变化的规律是解题的关键． （1）在数轴上标出点和点的初始位置，即可； （2）根据题意可得第一局甲胜，此时点表示的数为，点表示的数为，然后分三种情况，结合第二局结束时点离原点更近，即可求解； （3）根据题意得到点表示的数为，点表示的数为，再由，两点相距1个单位长度，列出方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得：第一局甲胜，此时点表示的数为，点表示的数为， 第二局若甲胜，此时点表示的数为，点表示的数为； 第二局若乙胜，此时点表示的数为，点表示的数为； 第二局若平局，此时点表示的数为，点表示的数为； ∵第二局结束时点离原点更近， ∴第二局甲胜或平局， ∴甲第二局的手势可能是剪刀或布； 故答案为：剪刀或布； （3）解：∵两人进行了5局游戏，其中平局次，甲胜1次， ∴乙胜次， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵，两点相距1个单位长度， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴x的值为4． 【提高题型二 一元一次方程实际综合应用】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，将总路程设为单位1，得到甲乙的速度，理清两人行走时间，根据相遇时路程和等于总路程即可列方程． 【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需日，乙走完全程需日， ∴甲的速度为，乙的速度为， ∵设乙出发日后甲乙相逢， ∴乙行走时间为日，甲行走时间为日， 相遇时两人路程和等于总路程， 故可列方程：． 【例2】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）一天中午，孙悟空吃了10个桃子，猪八戒吃了25个包子，孙悟空说猪八戒太能吃了，但猪八戒说自己的包子比桃子小得多，还是孙悟空吃的多，聪明的沙僧用天平得到了下面两种情况（圆是桃子，三角形是包子，长方形表示质量为所标数值的砝码），那么1个桃子和1个包子共重_________克． 【答案】 【分析】设1个包子的质量为 克，由左边天平可得1个桃子质量为 克，再根据右边的天平可得方程即可求解． 【详解】解：设1个包子的质量为 克， 由左边天平可得1个桃子质量为 克， 由右边天平可得， 解得 ， 1个桃子质量为： （克） 80+200=280（克） 1个桃子和1个包子共重 280 克． 1．（26-27七年级上·四川乐山·阶段练习）这学期快结束了，王老师去买奖品，7本日记本比1本故事书多用了18元，已知1本故事书的价钱正好是1本日记本价钱的3倍，日记本和故事书的单价各是多少元？（用方程解） 【答案】日记本单价4.5元，故事书单价13.5元 【详解】解：设日记本单价为x元，则故事书单价为3x元， 由题意，得， 解得； 因此，故事书：（元）； 答：日记本单价4.5元，故事书单价13.5元． 2．（25-26六年级上·上海长宁·期末）古琴在我国的历史非常悠久，是所有乐器中最早的．古琴最初只有五根弦，发出的五音是中国传统音乐理论中的基本音阶，包括宫、徵、商、羽、角．其发声弦的弦长是通过“三分损益法”计算得出，具体方法如下： 假设基本音“宫”的发声弦长是， “宫”经“三分损一”得“徵”，即，则“徵”音的发声弦长是； “徵”经“三分益一”得“商”，即，则“商”音的发声弦长是； “商”经“三分损一”得“羽”；“羽”经“三分益一”得“角”． (1)按照上面的假设，“羽”音的发声弦长是 ； (2)小明想要制作一个古琴，需要五根发声弦，每根发声弦分别能获得“宫徵商羽角”的音阶，五根发声弦的长度总和为，求该古琴中“宫”的发声弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意直接列式计算即可得到“羽”音的弦长； （2）设“宫”的发声弦长为未知数，依次表示出五个音的弦长，根据总长度列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：已知“商”音的发声弦长为72，“商”经“三分损一”得“羽”， 因此“羽”音的发声弦长为； （2）解：设该古琴中“宫”的发声弦长为， 则“徵”音的发声弦长为， “商”音的发声弦长为， “羽”音的发声弦长为， “角”音的发声弦长为， 根据五根发声弦总长度为，列方程得： 解得， 答：该古琴中“宫”的发声弦长为． 3．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是关于低碳生活的部分材料，请仔细阅读并完成相应任务． 低碳生活 全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．每个人的日常生活都会产生二氧化碳排放．积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任． 碳中和是我国实现绿色低碳发展的重要战略目标，其基本含义是：通过节能减排、增加碳汇（如植树造林）等途径，使排放的二氧化碳总量与吸收的二氧化碳总量相等，实现净零排放．   以下是一系列排碳计算公式： 家庭用电的二氧化碳排放量耗电量 汽油的二氧化碳排放量耗油量 天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 …… 任务： (1)小宣家某月的部分“碳足迹”：家庭用电，汽油，天然气，自来水，请计算这个月小宣家在以上四项资源中总的碳排放量； (2)某小区现有的绿化植被一年可吸收二氧化碳吨，假设该小区只通过植树造林实现碳中和，那么每人还需栽棵树，整个小区的碳排放恰好被完全吸收．已知平均每棵树一年可吸收二氧化碳千克，平均每位居民一年可排放二氧化碳吨，据此计算该小区共有多少人，一共还需栽多少棵树？ (3)以上假设是否合理？你认为实现碳中和最重要的途径是什么？ 【答案】(1)这个月小宣家在以上四项资源中总的碳排放量是； (2)该小区共有人，则一共还需栽棵树； (3)不合理，棵树占地面积太过于庞大，因此节能减排更合理一些 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）设该小区共有人，则一共还需栽棵树，再根据题意列方程求解即可； （3）根据实际情况回答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 答：这个月小宣家在以上四项资源中总的碳排放量是； （2）解：设该小区共有人，则一共还需栽棵树， ∵吨， 由题意得， 解得， ∴一共还需栽的树为（棵）， 答：该小区共有人，则一共还需栽棵树； （3）略 【提高题型三 一元一次方程的应用规律问题】 【例1】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）将正整数按下表的规律排列，平移表中阴影部分的方框，方框中的4个数的和可能是（   ） A．2010 B．2014 C．2018 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查找规律的能力，关键在于通过图形找出四个相连数的关系列出方程． 设第二个为x，则第一个，第三个，第四个分别为：，，，总和为：，分别令代数式为：2010，2014，2018，2022，算出x再判断即可． 【详解】解： 设第二个为x，则第一个，第三个，第四个分别为：，，，总和为：． 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 由图可知每行有9个数， ∵，可以除尽 故504为某行的最后一位．表格如下： 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 由表格可知501满足题意，502、503、504不满足题意 ∴ 故选A． 【例2】（2026·广东江门·一模）在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设．则有，即，解得，故． 类似地，请你计算：_________．（直接填计算结果即可） 【答案】 【分析】设，仿照例题进行求解． 【详解】设， 则， ， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查类比推理，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． 1．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点A、点B表示的数分别为，b，则两点之间的距离． (1)【问题情境】已知数轴上点A表示的数为2，B是数轴上位于点A左侧一点，且． ①写出数轴上点B表示的数为___________． ②数轴上有一点C到点A、点B的距离相等，则C表示的数为___________． (2)【情境应用】如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则___________； ②的最小值为___________； (3)【综合运用】在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，若点P、Q同时出发，请问经过几秒后P、Q两点之间的距离为3． 【答案】(1)①；② (2)①或；② (3)经过或3秒后P、Q两点之间的距离为3 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，根据题意找到等量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）①根据点A表示的数和求解即可；②根据题意得到点C在点A和点B中间，然后列式求解即可； （2）①根据题意得到表示的是有理数x到有理数8的距离为2，然后分x在8左边和x在8右边两种情况，然后分别列式求解即可； ②根据题意得到表示的是有理数x到的距离加上有理数x到8的距离，然后得出当有理数x在和8之间时，的值最小进而列式求解即可； （3）设时间为t，根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：①∵数轴上点A表示的数为2，B是数轴上位于点A左侧一点，且 ∴数轴上点B表示的数为； ②∵数轴上有一点C到点A、点B的距离相等， ∴点C在点A和点B中间 ∵点A表示的数为2，点B表示的数为 ∴C表示的数为； （2）解：①表示的是有理数x到8的距离为2 ∴当x在8左边时，； 当x在8右边时，； 综上，或； ②表示的是有理数x到的距离加上有理数x到8的距离， ∴当有理数x在和8之间时，的值最小 ∴此的最小值为； （3）解：设时间为t，根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴ 整理得， ∴或 ∴或， ∴经过或3秒后P、Q两点之间的距离为3． 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）综合实践活动：探究杆秤的制作与原理 【探究原理】 学生通过查阅资料，了解到杆秤的主要组成部分为秤杆、秤盘（秤钩）、秤砣和提纽．现为探索杆秤称重的原理，进行木杆挂重物实验探究影响杆秤平衡的因素（如图1），并用表格记录了实验数据如下： 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量a（） 到支点的距离m（） 重物质量b（） 到支点的距离n（） 5 15 5 15 平衡 ① 7.5 5 15 平衡 15 5 5 15 平衡 20 ② 5 15 平衡 … … 5 15 平衡 【建构模型】 （1）请你通过实验发现的规律补全实验记录①②，并写出当木杆平衡时a、m、b、n的数量关系； 【应用模型】 （2）学生发现上述平衡条件符合杠杆原理，并以此为依据，利用以下材料制作了一个杆秤：一根长为的匀质木杆，一个自重的秤盘，一个自重的秤砣，提绳系于点O（支点），秤盘系于点A处，点A位于O、M两点之间，且与木杆右端M的距离为，秤砣悬挂点B位于支点O至与木杆左端N相距处之间的范围内移动（如图2所示）． 小明用此杆秤称量的重物（放入秤盘），在杆秤平衡时他测得此时秤盘悬挂点A与秤砣悬挂点B之间的距离． ①求的距离； ②在小学学习正比例时，对于两个值为正数的量，当它们成正比例关系时，由图象可知一个量随着另一个量的增大而增大．请根据此信息，求此杆秤能够称量的最大物重． 【答案】（1）， ①处数值为， ②处数值为， 补全实验记录①②，表格如下： 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量a（） 到支点的距离m（） 重物质量b（） 到支点的距离n（） 5 15 5 15 平衡 ① 7.5 5 15 平衡 15 5 5 15 平衡 20 ② 5 15 平衡 … … 5 15 平衡 （2）①的距离；②此杆秤能够称量的最大物重 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正比例关系的应用； （1）通过实验发现的规律：支点左右两端重物质量与到支点的距离的乘积相等，即；根据规律填空即可； （2）①先求出，再根据（1）中平衡条件可得：，代入解方程即可求出的距离； ②先求出秤砣悬挂点B到支点O的最大距离，设杆秤能够称量的最大物重，根据（1）中平衡条件可得：代入数值解方程即可． 【详解】解：（1）通过实验发现的规律：支点左右两端重物质量与到支点的距离的乘积相等，即； 由表格可得①处数值为，则，解得； ②处数值为，则，解得； （2）①∵， ∴， 根据（1）中平衡条件可得：， ∴， 解得， 即的距离； ②由题意可得，，， ∴， ∵秤砣悬挂点B位于支点O至与木杆左端N相距处之间的范围内移动， ∴秤砣悬挂点B到支点O的最大距离， 设杆秤能够称量的最大物重， 根据（1）中平衡条件可得：， 即， 解得， ∴此杆秤能够称量的最大物重． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期中）在我们日常生活中的日历上也隐藏着许多的数学规律．如图是2024年3月份的日历，一个虚线方框圈出的（2行2列）个数字之和为： (1)若这个虚线方框圈出的个数字之和为100，则这4个数的左上角那天是3月几日？ (2)请通过计算判断这个虚线方框圈出的个数字之和能否为84． 【答案】(1)这个数的左上角那天是3月21日； (2)不能圈出和为84的个数． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数加法的实际应用，整式加减的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．解题要点是要了解日历上相邻数之间的关系． （1）设这个数的左上角数字是，则右上角数字是，则左下角的数字为，右下角的数字为，再根据题意建立方程求解即可； （2）假设能用方框圈出的个数字之和能否为84，求得表格中的，再分析17所处的位置，据此进行解答即可． 【详解】（1）设这个数的左上角数字是，则右上角数字是，则左下角的数字为，右下角的数字为， 由题意得，， 解得， 这个数的左上角那天是3月21日； （2）如果能用方框圈出和为84的个数， 列方程，， 解得， 因为17处于最后一列， 所以不能圈出和为84的个数． 1．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出同样两件上衣，售价都是120元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他（　　） A．不赚不赔 B．赚8元 C．赔6元 D．赚6元 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，此题的关键是先算出两件衣服的原价，才能知道赚赔．不可凭想象答题．要知道赚赔，就要先算出两件衣服的原价，要算出原价就要先设出未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解． 【详解】解：设盈利的上衣成本价为元， 则 ，解得元， 盈利元； 设亏本的上衣成本价为元， 则， 解得元， 亏本元， 总计：元， 即在这次买卖中他赔6元， 故选：． 2．（25-26七年级上·广西贵港·期末）（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人，物品的价格是多少？（    ） A．6人，52元 B．5人，37元 C．8人，60元 D．7人，53元 【答案】D 【分析】设一共有x人，然后根据两种购买方式中物品的价格相同建立方程求解即可． 【详解】解：设一共有x人， 由题意得， 解得， ∴元， ∴一共有7人，物品的价格为53元， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程求解是解题的关键． 3．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）甲组人数是乙组人数的2倍，从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰好比乙组现有人数的一半多3．设乙组原有x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据掌握等量关系是解题关键． 设乙组原有x人，则甲组人数是，利用甲组的人数恰是乙组人数的一半多3人列出方程即可． 【详解】解：设乙组原有x人，则甲组人数是， 根据题意得出：． 故选：D． 4．（24-25七年级上·全国·单元复习）如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人，依题意，得； ②设甲村出工人，依题意，得； ③设乙村出工人，依题意，得； ④设丙村出工人，依题意，得． 上面所列方程中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，由甲、乙、丙三村按出工，可得出工人数之间的关系，再根据计划出工84人列出方程，注意所设未知数不同时，所列方程也不同． 【详解】解：①正确， ②应得方程， ③应得， ④应得． 故选：A． 5．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【分析】根据图形剪切前后周长的变化规律列出关于的一元一次方程即可． 【详解】解：由题意得，原正方形的周长为 ， 观察图形可知，剪掉两个小正方形后，图形的周长比原正方形的周长增加了4条长为的边， 图2中图形的周长为， 图2中图形的周长为18， ，解得 ． 6．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一件工作，师傅单独做要15小时完成，现在师徒合作4小时完成了，余下的工作，由徒弟去做，徒弟还需要________小时完成． 【答案】18 【分析】本题考查了工程问题．熟练掌握工作总量与工作效率和工作时间的关系，列式或列方程计算是解题的关键． 师傅的工作效率为，师傅与徒弟的工作效率和为，则徒弟的工作效率为，根据剩下的工作量为 ，列式即可解答；或设徒弟还需要x小时完成，得，解方程即可． 【详解】解：算术法： （小时）． 答：还需要18小时完成． 故答案为：18 代数法： 解：设徒弟还需要x小时完成， ， 解得，． 答：还需要18小时完成． 故答案为：18 7．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段检测）小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得4分，小明爸爸投中1个得2分．______，经计算、发现两人的得分恰好相等，他们两人各投中几个？ 解：设小明投中x个，根据题意，得： （1）根据上面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是______； （2）______． 【答案】 两人共投中了30个 10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）根据列出的方程补充信息即可； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：两人共投中了30个， 故答案为：两人共投中了30个； （2）去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 故答案为：10． 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数表中第行第列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以．若，则_________． 【答案】1或2 【分析】本题考查了简单的数表问题和一元一次方程的求解，正确理解题意、掌握求解的方法是关键．由于，所以，即第行第3列的数为2，观察数表可得有两种情况，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或； 故答案为：1或2． 9．（24-25七年级上·江苏南通·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，称为“结绳记数”，如图，某农户在从右到左依次排列的绳子上打结，满7进1，来记录所采的野果数．若采集到的野果有个，则在第2根绳子上的打结数是______个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练运用类比的方法． 设在第2根绳子上的打结数是，根据满满7进1列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是， 根据题意得：， 解得，， 在第2根绳子上的打结数是个 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点，，在数轴上表示的数分别是，，．动点，同时出发，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿A→B匀速运动．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为()．当点，到点的距离相等时，的值是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题．设运动时间为，则表示的数为，表示的数为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则表示的数为，表示的数为， ∴，， ∵点，到点的距离相等， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：或 11．（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）商店进了一批商品，按加价出售．在售出八成后，为了尽快销完，决定五折处理剩余商品，而且商品全部出售后，突然被征收了150元的附加税，这使得商店的实际利润只是预期利润的一半，那么这批商品的进价是多少元？ 【答案】这批商品的进价是2500元 【分析】设这批商品的进价为元，先计算出所有商品全部售出后的实际总收入，根据“利润总收入总成本”，结合实际利润为预期利润的一半、附加税计入成本的条件，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这批商品的进价是元， ∴预期利润为； 实际总收入为 ； 实际总成本为； 实际利润为， ∴ 解得． 答：这批商品的进价是2500元． 12．（25-26七年级上·广东广州·期末）列方程解应用题，若没有列方程，则给0分． (1)洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量比为1：2：14，计划生产这三种洗衣机各多少台？ (2)一列火车匀速行驶，经过（从车头进入到车尾离开）一条长300m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．求这列火车的长度． 【答案】(1)Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产1500、3000、21000台． (2)这列火车的长度300m． 【分析】（1）设Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产x、2x、14x台，由于洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台，由此即可列出方程，解方程即可求出结果． （2）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：设Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产x、2x、14x台， 依题意得：x＋2x＋14x＝25500 解得：x＝1500 ∴2x＝2×1500＝3000，14x＝14×1500＝21000 答：Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机分别生产1500、3000、21000台． （2）解：设火车的长度为x m， 根据题意得：， 解得：x＝300， 答：这列火车的长度300m． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解本题的关键． 13．（25-26六年级上·上海静安·期末）小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 【答案】(1)230；8 (2)方式二更优惠 (3)点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 【分析】本题考查了一元一次方程应用题中的方案选择类问题，解题的关键是列出每种方案费用的表达式． （1）依题意，直接求解即可； （2）根据两种付款方式计算出付款，再比较即可得解； （3）根据、、、四种情况求出两种方式付款，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵菜品总价270元，其中锅底40元， ∴其余菜品（元）， 又每次最多用3张100元代金券，270元最多用2张代金券，每张代金券80元， 所以代金券花费元， 剩余（元）需现场支付， 方式一总付款为（元）； 方式二总付款为224元，则有：， 解得：， 故答案为：230；8； （2）解：方式一付款： ∵菜品总价285元，最多用2张代金券， ∴代金券花费（元），剩余（元）， ∴总付款（元）； 方式二付款： ∵菜品价格为（元），打8折后：（元）， ∴总付款（元）， ∴， 所以方式二更优惠； （3）解：设菜品总价为元（含40元锅底），其余菜品为元．分情况讨论： 情况1： 方式一无法使用代金券，付款元； 方式二付款元； 根据题意可得方程：， 解得：； 情况2： 方式一用1张代金券，付款元； 方式二付款元． 根据题意得方程：； 解得： ； 情况3： 方式一用2张代金券，付款元． 方式二付款元． 根据题意得方程， 解得 ； 情况4： 方式一用3张代金券，付款元， 方式二付款元， 根据题意得方程： 解得：． 综上，点了40元、140元、240元或340元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等． 14．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)A、B两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)求经过几秒后，P、Q两点相遇； (3)求当t为何值时，． 【答案】(1)15； (2) (3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）根据数轴上两点间的距离公式和线段中点的计算方法解答； （2）根据路程=时间×速度列方程解答； （3）根据数轴上两点间的距离公式得到，结合已知条件列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10， ∴A、B两点间的距离，线段的中点表示的数为； 故答案为：15；； （2）解：设运动时间为t秒时，P、Q两点相遇， ∴t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ， 解得：； （3）解：∵t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ， ， ， 解得：或． 15．（25-26七年级上·广东广州·期末）关于的方程（其中是未知数，是已知数）可以用几何法来求它的正数解．下面以求解方程的正数解为示例，具体说明该方法： 第一步：如图1，把和看成一个长方形的宽和长； 第二步：如图2，把4个这样的长方形拼成一个“空心”大正方形（4个长方形彼此衔接不重叠），观察可知图中小正方形的边长为，则这个大正方形的面积为，所以大正方形的边长为4； 第三步：观察图2中大正方形的边长，可得方程，解得，即方程的正数解为． (1)示例中的长方形（即图1）的面积为___________； (2)请仿照示例的方法，画图求方程的正数解（要求写出推理过程）； (3)羊羊同学仿照此方法求关于的方程的正数解时，构造出如图3所示图形，得到该方程的正数解为，求图3中的小正方形的面积． 【答案】(1)3 (2) 将方程化为：， 即面积为10的长方形，宽为x，长为， 如图， 中间小正方形的边长是：， 大正方形总面积：， 大正方形的边长：， 从拼图可以看出大正方形的边长还等于长方形的长加宽：， 解得， 即方程的正数解为； (3)小正方形的面积为． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的几何解法，根据题目给出的条件、找出合适的等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）由题意得这个长方形的面积就是3； （2）根据示例的方法求解即可； （3）根据示例的方法求解即可． 【详解】（1）解：示例中的长方形的宽为x，长为，方程是， 所以这个长方形的面积就是3． 故答案为：3； （2）略 （3）解：对于方程：， 用如图的方法： 每个长方形的宽是，长是，面积是， 大正方形的边长为， 中心小正方形的边长为， 将正数解代入方程， 得， 解得， ∴小正方形的边长为． ∴小正方形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次方程的应用重难点题型专训（1个知识点+15大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、配套问题(一元一次方程的应用) 1 题型二、工程问题(一元一次方程的应用) 2 题型三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 3 题型四、比赛积分(一元一次方程的应用) 4 题型五、方案选择(一元一次方程的应用) 5 题型六、数字问题(一元一次方程的应用) 6 题型七、几何问题(一元一次方程的应用) 7 题型八、动点问题（一元一次方程的应用） 8 题型九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 9 题型十、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 10 题型十一、行程问题(一元一次方程的应用) 11 题型十二、比例分配(一元一次方程的应用) 12 题型十三、日历问题(一元一次方程的应用) 13 题型十四、古代问题(一元一次方程的应用) 14 题型十五、其他问题(一元一次方程的应用) 15 第二部分·练提高题型 题型一、一元一次方程与数轴综合应用 1 题型二、一元一次方程实际综合应用 2 题型三、一元一次方程的应用规律问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【即时训练】 1．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）某校劳动实践基地种植蔬菜，安排x人除草，每人除草6平方米，还剩4平方米未除；若每人除草7平方米，则少2平方米．可列一元一次方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·上海闵行·阶段练习）列方程解应用题的一般步骤： （1）“审”，即审题，分清题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系； （2）“设”，即设___________ ，设未知数的方法有直接设未知数和间接设未知数两种； （3）“列”，即根据题中的_______________关系列方程； （4）“解”，即求出所列方程的_____________； （5）“检验”，即验证是否符合题意； （6）“答”，即回答题目中要解决的问题． 重点：找出相等关系的关键是审题，审题是列方程（组）的基础，找出________是列方程（组）解应用题的关键． 【基础题型一 配套问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·云南曲靖·期末）某节劳动课上韩老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”（一个桶身两个桶底组成一套）．该班共有学生52名，每名学生一节课能做桶身15个或桶底22个．设安排名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级下·上海松江·期末）现有一个齿数为24的小齿轮要配一个合适齿数的大齿轮，使得这个齿轮组合可使小齿轮的转速从3500圈/分降到1000圈/分，那么这个大齿轮有_____齿． 1．（25-26七年级上·江西赣州·期末）某生产车间有25名工人生产螺丝和螺母，每人每天可生产螺丝500个或螺母1500个，一个螺丝配两个螺母．要使每天的产品配套，应分配多少人生产螺丝？ 2．（25-26七年级上·陕西安康·期末）一张书桌由1个桌面和4条桌腿组成，某家具公司的木工师傅用1立方米木料可以制作书桌的桌面25个或制作桌腿300条，现在公司有20立方米木料．该公司的书桌每张的标价为90元． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿恰好配套？ (2)行知中学的王老师计划在该公司购买书桌．在和销售人员沟通过程中，销售人员说：“如果您再多购买2张书桌，就可以全部打九五折了，这样算下来比现在还省189元．”王老师原来计划购买多少张书桌？ 3．（25-26七年级上·四川南充·期末）电子厂要制作一批电子产品，每个产品由2个部件和4个部件组成，两种部件使用同种原材料，制作1个部件要用原材料，1个部件要用原材料． (1)若制作若干个电子产品共用了原材料，请问制作，两种部件各用了多少原材料？（列方程解应用题） (2)在（1）的条件下，该电子厂将销售价定为每个产品900元，测算发现每个产品的利润是成本的，若该厂按此售价销售完这批电子产品，共可盈利多少元？ 【基础题型二 工程问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·重庆丰都·期末）丰都龙河湿地公园建设项目有一项工程，甲工程队单独施工需天完成，乙工程队单独施工需天完成，现由乙队先做3天，甲队再加入合作，直至完成这项工程，求乙工程队完成这项工程所用的时间．若设乙工程队完成此项工程一共用天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）一批布，独做上衣可做60件，独做裤子可做120条，这批布可做_______套服装． 1．（26-27七年级上·湖南湘西·阶段练习）某县农业园养殖了许多的黄牛，黄牛品种优良，肉质鲜美．农业园中养殖牛的排泄物是制作有机肥的主要材料．农业园响应“绿色环保”号召建设了有机肥生产线．有机肥生产线原计划每天生产吨，天完成，实际前天就完成了吨．照这样的效率，完成这批任务只需多少天？ 2．（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）铺植一块草坪，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先铺植5小时，再增加2人和他们一起铺植3小时，完成这项铺植工作的，假设每个人的工作效率相同． (1)求先安排了多少人铺植草坪． (2)所有人一起完成这项铺植工作剩余的，还需要多少小时？ 3．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【基础题型三 销售盈亏（一元一次方程的应用）】 【例1】（2025·山东烟台·模拟预测）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【例2】（2025七年级上·重庆·专题练习）某购物商城在“双12购物节”期间搞促销活动，若一次性购物不超过元不优惠，超过元时按全额折优惠．一位顾客第一次购物付款元，第二次购物付款元，若这两次购物合并成一次性付款可节省______元． 1．（26-27七年级上·内蒙古通辽·阶段练习）未来书店的图书凭优惠卡可以打八折，小明用优惠卡买了一套书，省了8.6元．这套书原价是多少元？ 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某公司三月初购进一批玩具，加价销售，月末全部售出后销售额为24000元． (1)该公司三月份购进的这批玩具进价是多少元？ (2)该公司利用三月份的销售额（全部）恰好在四月份购进了A、B两种型号的按摩仪共260台，A、B两种按摩仪的数量比为，A型仪器的单价比B型按摩仪单价多，求A、B两种按摩仪的单价各是多少元？ (3)在（2）的条件下，该公司进行促销活动，B型按摩仪标价100元，全部九折出售．A型按摩仪八折优惠，两种按摩仪全部售出后总获利比三月份的总利润多二成，求A型按摩仪的标价是多少元？ 3．（25-26六年级上·上海松江·阶段检测）某种原料的价格为每吨1000元，用该原料制成产品后将损耗，产品的价格是每吨8000元，如图，丝路纺织厂与两地由公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，将原料制成产品后全部运往B地．已知公路运价为1.5元/（吨・千米），铁路运价为1.2元/（吨・千米）．若从A地到B地的整个运输过程中公路运输费和铁路运输费共计112200元，求这批产品的销售款是多少元？ 【基础题型四 比赛积分（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·天津东丽·期末）某中学七年一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？设该足球队胜了x场，根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）某市举办足球比赛，每队均需赛34场，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在这次比赛中一场未负，共得70分，这个队在这次比赛中，胜了________场，平了________场． 1．（25-26七年级上·全国·期末）一份数学试卷有25道选择题，规定做对一题得4分，一题不做或做错扣1分，结果某学生得分为75分，则他做对多少道题？ 2．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）中国航天实现历史性高质量跨越式发展，太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评，某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2分，萌萌同学在此次知识竞赛中的得分是72分，求她答对了多少道题？ 3．（2025七年级上·全国·专题练习）列方程解应用题 某次篮球联赛积分榜如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 (1)根据积分榜，你知道胜一场、负一场各积多少分吗？为什么？ (2)是否存在某队，它的胜场总积分比它的负场总积分的3倍还多3分若存在，求出它的胜、负场次，并指出它是哪个队若不存在，请说明理由． 【基础题型五 方案选择（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·全国·周测）某店对单价为a元的水果进行降价，拟采取三种方案．方案一：第一次降价10%，第二次降价30%；方案二：第一次降价20%，第二次降价15%；方案三：第一、二次降价均为20%．若降价最多的方案降了37元，则a的值为（    ） A．100 B．32 C．115 D．37 【例2】（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）梦洁和嘉丽是邻居，星期天他们两家人准备去郊外的农家乐游玩，早上两家人同时乘坐了两辆不同价格的出租车，梦洁家乘坐的是起步4公里8元，以后每公里收1.2元，嘉丽家乘坐的是起步3公里6元，以后每公里收1.3元，两家人几乎同时到达农家乐，付款后梦洁发现两家人的车费仅差1.5元．则两家住地离公园的路程为_______公里． 1．（26-27七年级·全国·小升初衔接）张明和他的朋友准备观看全运会游泳比赛．一场游泳比赛的门票有两种，一种售价50元/张，另一种售价80元/张．张明订10张票，一共用去620元，两种票各订了多少张？ 2．（25-26七年级上·山东德州·期末）我县某学校需要为实验室增添部分酒精灯和漏斗，根据图中信息，解决下列问题． (1)求酒精灯和漏斗的单价； (2)学校计划购买若干个酒精灯和80个漏斗，甲商家表示可以全部打八折出售，乙商家表示酒精灯买一赠一，漏斗原价出售，若学校只能选择其中一家购买，请帮学校设计最省钱的购买方案． 3．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某区全力推进智慧停车项目建设，在某商圈东边设置了一个智能停车场，这个停车场有100个普通车位和60个充电桩车位．已知每个充电桩车位的建设成本是普通车位的3倍，这个停车场充电桩车位比普通车位建设总成本多24万元． (1)每个普通车位和每个充电桩车位的建设成本分别是多少万元？ (2)为进一步解决该商圈停车难问题，该区计划在商圈西边再新建一个总车位数为120个的智能停车场（包含充电桩车位和普通车位），使得该停车场的建设成本是东边停车场建设成本的，则西边的新建停车场配备了多少个充电桩车位？ 【基础题型六 数字问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）有一列数，其中任意三个相邻数的和是，其中，， ，可得x的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）一个两位数，个位数字比十位数字大3，若将个位数字与十位数字对调，得到的新两位数比原两位数大27，则原两位数是________． 1．（25-26七年级上·全国·期末）一个六位数的首位数字为1．如果把这个数字移到原来个位数字的右边，得到一个新的六位数，那么新得到的数是原数的3倍．求原来的六位数． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）同学，欢迎你即将进入初中的生活！细心观察“初”字的笔画，可以看出，它正好由15个交叉点和端点组成，每一笔画上有两个或三个圆圈． 请在每个圆圈内填入1到10这10个连续整数中的一个（不能重复），要求图中构成横、竖、撇、捺每个笔画上的几个数字的和都等于一个常数（注意：不包括“折”）．你能填出来吗？试一试，你一定行！（请直接将答案填在圆圈内） 3．（25-26七年级上·河南安阳·期中）相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5． (1)如图2所示，则幻和_____； (2)如图2所示，若，，求的值； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，请直接写出的值． 【基础题型七 几何问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）（长方形面积）一个长方形的长和宽的比是，如果长减少5厘米，宽增加5厘米，则面积增加100平方厘米．那么原来长方形的面积是（   ）平方厘米． A．126 B．224 C．350 D．560 【例2】（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知点A、B在数轴上对应的数分别为2和3，点C对应的数为c；点A关于点B的对称点为D，点E为线段的中点．当时，c的值为______． 1．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）要锻造一个直径为12cm，高为8cm的圆柱形毛坯，应截取直径为8cm的圆钢多少cm？（不计锻造时的损耗） 2．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为，容器内水的高度为．把一根半径为，长度超过容器的高的玻璃棒垂直插入水中．问：容器内的水将升高多少厘米（假设水不会溢出）？ 3．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为和，高分别为和．把容器一倒满水，然后将容器一中的水倒入容器二中，求容器二中的水面离容器口有多少厘米． 【基础题型八 动点问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）已知线段的长度为18厘米，厘米，厘米，，点绕着点以60度/秒的速度顺时针旋转一周停止，同时点沿直线自点向点以厘米／秒的速度运动，假若点两点能相遇，则点运动的速度的值为（    ） A．4或12 B．8或 C．12 D．8 【例2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数轴上A、B两点对应的数分别为、80．P为数轴上一动点，若P点到A、B两点的距离之差为30，则P点对应的数为___________． 1．（2026·河北邯郸·三模）如图，数轴上的单位长度为1，点A，B是数轴上两点． (1)若点A，B表示的数互为相反数，则点A表示的数为________； (2)若点A，B表示的数的和为，求点A，B表示的数． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上点表示数，点在点左侧，两点相距个单位长度． (1)点表示的数是_____； (2)动点从点出发，沿数轴正方向以每秒个单位长度运动，经过几秒，点与点相距个单位长度？ (3)在（2）的基础上，出发同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒个单位长度运动，经过几秒，点到点的距离是点到点距离的倍？ 3．（25-26六年级下·山东烟台·期中）已知：如图数轴上有A，B，C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A，B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（）． (1)点A表示的数是，点C表示的数是，点P表示的数是（用含t的式子表示）； (2)当秒时，P，B两点之间相距10个单位长度； (3)若点A，点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【基础题型九 和差倍分问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）学校为六年级购买科技书和文艺书共1200本，其中文艺书比科技书的2倍少60本，买来科技书多少本？如果设买来科技书x本，那么下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）（假设法）把111根木材按6层堆积起来，若每次上层木材比下层木材少一根，则最下面的一层应放_____根，最上面一层应放______根． 1．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）学校买了张桌子和把椅子，共花了元．已知每张桌子的价钱是每把椅子的倍，每张桌子和每把椅子各多少元？ 2．（26-27七年级上·湖北武汉·阶段练习）列方程解决问题 (1)有一列数，按一定规律排列成：、、、、、、…，其中某三个相邻数的和是，这三个数各是多少？ (2)把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分本，则剩余本；如果每人分本，则还缺本，求这个班有多少名学生． 3．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）解决问题： (1)甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨．为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场？ (2)一收割机队每天收割小麦15公顷，收割完一片麦地的后，该收割机队改进操作，效率提高到原来的倍，因此比预定时间提早2天完成收割任务．问：这片麦地有多少公顷？ 【基础题型十 电费和水费问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（24-25七年级上·全国·期中）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米，按每立方米a元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工6月份缴水费16a元，则该职工6月份实际用水量为（　　） A．13立方米 B．14立方米 C．15立方米 D．16立方米 【例2】（24-25七年级上·全国·期末）某市居民每月用水收费标准如下： 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费元，则李阿姨12月份的用水量是____． 1．（25-26七年级上·北京东城·阶段练习）为鼓励居民节约用电，某电力公司规定了如下计费方法：月用电不超过100度，按每度电元计费．月用电每超过100度，超出部分就增加元计费．王奶奶家2026年4月交电费167元，王奶奶家4月份用电多少度？ 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 3．（25-26七年级上·全国·寒假作业）一种蔬菜在某市场上的批发价格如： 购买数量 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上 价格 5元/千克 4元/千克 3元/千克 已知小明两次购买了此种蔬菜共70千克（第二次购买数量多于第一次）． (1)若第一次购买15千克，第二次购买55千克，则两次总费用为 元； (2)若两次购买蔬菜的总费用为236元，求第一次、第二次分别购买此种蔬菜多少千克？ 【基础题型十一 行程问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26六年级下·山东烟台·期末）一列匀速行驶的火车用的时间通过一个长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以的时间通过了长的隧道．这列火车的长度为（     ）． A． B． C． D． 【例2】（26-27七年级·全国·小升初衔接）中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一个问题为：三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还．意思是：一个人到关口要走378里路．第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口，算算每天行走的里数．（“里”是我国古代长度单位）根据题中的信息，这个人第一天走的路程是( )里． 1．（26-27七年级上·广东湛江·阶段练习）甲、乙两人从同一地点骑自行车沿同一方向出发，乙每分钟行240米，先出发2分钟；甲每分钟行300米，随后出发追赶乙．甲出发后多少分钟追上乙？ 2．（26-27七年级上·湖南湘西·阶段练习）锂电池因其长循环寿命、轻量便携和快速充电等特点，被越来越多的人选择．农业园换用锂电池货车送货，充满电后可持续行驶小时．充满电后货车从甲地去乙地，去的时候由于对道路不熟悉，时速是千米，从乙地返回甲时，时速为千米，到甲时电池刚好没电．从甲地到乙地有多少千米？ 3．（26-27七年级上·广东珠海·阶段练习）如图，小杰参加城市全民健康跑，路线总距离为米，沿途设置补给站． 小杰从起点出发保持米/分的速度奔跑，经过第一个补给站后，提速到米/分，按照这个速度到达了第二个补给站．已知小杰从第一个补给站到第二个补给站所花的时间比从起点到第一个补给站的时间多分钟．如果小杰从第二个补给站出发后想在分钟内跑到终点，那么他在这段路程中的平均速度至少要达到多少米/分？ 【基础题型十二 比例分配（一元一次方程的应用）】 【例1】 （24-25七年级上·全国·期中）一位画家想将2升蓝色颜料与3升黄色颜料混合，制成5升绿色颜料．然而，他错误地使用了3升蓝色颜料和2升黄色颜料，这样他做出的绿色颜料的色调是错误的．问他必须最少扔掉多少升这种绿色颜料，以便使用剩余的绿色颜料和一些额外的蓝色和/或黄色颜料，制作出5升具有正确绿色色调的颜料？（   ） A． B． C． D． E． 【例2】（25-26六年级上·上海松江·阶段练习）茶百道生产的一种由A、B两种原料按一定比例配制而成的奶茶，其中A原料成本价为10元/千克，B原料成本价为15元/千克，按现行价格销售每千克奶茶可获得4.8元的利润．由于物价上涨，A原料上涨20%，B原料上涨10%，配制后的总成本增加．茶百道为了拓展市场，打算再投入现总成本的10%做广告宣传，使得销售成本再次增加，如果要保证每千克的利润不变，则此时这种奶茶每千克的售价与原售价之差为_________元 1．（25-26六年级上·上海虹口·阶段练习）市场上一种茶饮料由茶原液和纯净水按一定的比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水，由于今年以来茶产地云南地区连续干旱，茶原液的收购价格上涨，纯净水也上涨了，导致配制的这种茶饮料成本上涨．求这种茶饮料中茶原液与纯净水的质量配制比例？ 2．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）风华中学举办英语节活动，包括三大组别的节目：歌曲组、短剧组、演讲组，每位学生只能参加一个组别的节目．六年级有部分同学参加活动，其中的同学加入歌曲组，的同学加入演讲组，剩下20名同学加入短剧组，参加英语节的男生比女生少． (1)六年级参加英语节的学生有多少人； (2)参加演讲组的男生是参加短剧组男生的，且比参加歌曲组的男生多，求参加歌曲组的男生有多少人； (3)在（2）的条件下，由于英语节活动调整，一些学生从演讲组调整到歌曲组和短剧组，从演讲组调出学生中，3名男生全部调入歌曲组，调入歌曲组和短剧组的女生人数比为，此时歌曲组人数是短剧组人数的，求调入歌曲组的女生有多少人． 3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱__________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是__________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） 【基础题型十三 日历问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）周末整理书桌时，小莫翻出一本旧月历．他随意挑了一个月份，发现这个月所有星期天对应的日期相加，总和是85．这个月最后一个星期天是几号？（     ） A．24 B．28 C．30 D．31 【例2】（25-26六年级上·上海长宁·期末）如图是2026年7月的日历表，任意选取“十”字形状中的五个数，若移动“十”字形状后所得五个数之和为120，那么该“十”字形状中正中间的数为__________． 1．（25-26六年级上·上海崇明·阶段检测）如图是某月份的日历，将“H”形框上下左右移动，可框住七个数，设“H”形框中的七个数中最中间一个数是． (1)请求出“H”形框中的七个数的和（用含的代数式表示，并化简）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于．若能，请写出这七个数：若不能，请说明理由． 2．（24-25七年级下·山西临汾·阶段检测）主题《神奇的幻方》 【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15． 【实践】（1）将这9个数中，除，1，2，4外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方． 【提升】（2）图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，可知的值为___________． 【拓展】（3）将幻方迁移到月历：图5是某月的月历，小河同学说：带阴影的方框中的9个数的和可以是243．小河的说法对吗？请判断并说明理由． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）下表是某月的日历图． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 如图所示的三种方格框方格框①、方格框②、方格框③，可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最小的数都为 (1)请用含x的式子完成下列填空： 第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； 第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是 x，______，______； (2)设第①个方格框中三数之和为a，第②个方格框中三数之和为b，第③个方格框中三数之和为c，是否存在这样的x，使得？若存在，请求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由． 【基础题型十四 古代问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级下·山东烟台·期末）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问车有多少辆，共有多少人？设有辆车，根据题意，可列出的方程是________． 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问：家数、牛价各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．家数、牛价各是多少？ 2．（25-26六年级上·上海松江·期末）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 3．（25-26七年级上·山西晋中·期末）《九章算术》“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数，鸡价各几何？” 题目大意：几个人合伙买鸡，若每人出9钱，则会多出钱；若每人出6钱，则还少了钱．合伙人数、鸡价各是多少？ 以下是智慧小组的部分分析过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 先寻找问题中涉及到的量和等量关系，然后设未知数，设合伙人数为人，再表示其他未知量，根据等量关系：________，列出方程． 发现两次的合伙人数是不变的，所以可以设鸡价为y钱，列出方程________． 任务： (1)请你将上述分析过程的空白补充完整； (2)选择其中一种方法解决以上“盈不足”问题． 【基础题型十五 其他问题（一元一次方程的应用）】 【例1】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）苹果比桃子多20个，如果每天吃2个苹果、1个桃子，桃子吃完后，苹果还剩5个．原来苹果（     ）个． A．33 B．37 C．35 D．36 【例2】（26-27七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为、、，其中甲瓶糖水重千克．先把甲、乙两瓶中的糖水混合，浓度变为；然后把丙瓶中的糖水全部倒入混合液中，得到浓度为的糖水．原来丙瓶中有________千克的糖水． 1．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）解决问题： (1)一种小麦磨成面粉后，质量将减少，要得到3400千克的面粉，需多少千克的小麦？ (2)某学校七年级一班有44人报名参加了文学社或书画社．已知参加书画社的人数比参加文学社的人数多4人，两个社都参加的有16人．问：参加书画社的有多少人？ 2．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）如图是一个运算程序，一个有理数可以任意从，，三个位置出发，按照标注的要求运算．例如：将2按照的顺序进行运算，即． (1)将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果； (2)将一个数按照的顺序进行运算，得到运算结果为0，请求出这个数． 3．（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）某网约车公司的付费规则如下： 路程 费用 不超过千米 一律按元收费 超过千米不超过千米的部分 元/千米 超过千米的部分 元/千米 (1)如果小李某次乘车路程为千米，他应付的乘车费用是多少元？ (2)如果小李两次乘车路程共千米，其中一次是超过3千米不超过千米，另一次是超过千米，合计付费元，那么小李这两次乘车的路程分别为多少千米？ 【提高题型一 一元一次方程与数轴综合应用】 【例1】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，已知，两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），经过几秒，点、点分别到原点的距离相等（   ） A．秒 B．秒或秒或秒 C．秒或秒 D．秒 【例2】（25-26六年级上·上海·期中）如图，将一把刻度尺紧贴数轴（隐去原点和），刻度尺上“1”和“8”分别对应数轴上的x和，那么x的值是____________． 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上点同时运动，规定向右为正方向，表格为不同时间对应数字： 时间 点M对应数 15 3 点对应数 1 9 (1)补全表格； (2)判断两点运动过程中是否相遇，若相遇，求出相遇点表示的数； (3)运动时间为，若，直接写出的值． 2．（25-26七年级上·广东深圳·期末）如图1，已知数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15．如果将数轴在原点O和点B处各折一下，就得到一条“折线数轴”，如图2所示．现有一动点P从点A出发，沿着“折线数轴”向右运动，同时，点Q从点C出发，以相同速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P和点Q相遇后，两点改变原来的运动方向，沿原路返回．已知点P和点Q在“折线数轴”的水平方向（，段）运动期间速度为2个单位长度/秒，在上坡段运动时速度变为水平方向速度的一半，在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，设运动的时间为t秒． (1)点P沿方向上坡的速度为______个单位长度/秒，点Q沿方向下坡的速度为______个单位长度/秒； (2)t为何值时，点P和点Q相遇？ (3)当点P是线段的中点时，求此时t的值． 3．（25-26七年级上·广东广州·期末）在数轴上，点和点对应的数分别是，5．甲、乙两人同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），规则如下： ①若甲胜，则点向右移动2个单位长度，点向右移动1个单位长度； ②若乙胜，则点向左移动1个单位长度，点向左移动2个单位长度； ③若平局，则点向右移动1个单位长度，点向左移动1个单位长度． (1)画出数轴，并在数轴上标出点和点的初始位置； (2)如果两人进行了2局游戏，这两局的部分情况如下表所示： 局次 第一局 第二局 甲的手势 石头 乙的手势 剪刀 布 若第二局结束时点离原点更近，则甲第二局的手势可能是__________； (3)如果两人进行了5局游戏，其中平局次，甲胜1次，且第五局结束时，，两点相距1个单位长度，请探究的值． 【提高题型二 一元一次方程实际综合应用】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）一天中午，孙悟空吃了10个桃子，猪八戒吃了25个包子，孙悟空说猪八戒太能吃了，但猪八戒说自己的包子比桃子小得多，还是孙悟空吃的多，聪明的沙僧用天平得到了下面两种情况（圆是桃子，三角形是包子，长方形表示质量为所标数值的砝码），那么1个桃子和1个包子共重_________克． 1．（26-27七年级上·四川乐山·阶段练习）这学期快结束了，王老师去买奖品，7本日记本比1本故事书多用了18元，已知1本故事书的价钱正好是1本日记本价钱的3倍，日记本和故事书的单价各是多少元？（用方程解） 2．（25-26六年级上·上海长宁·期末）古琴在我国的历史非常悠久，是所有乐器中最早的．古琴最初只有五根弦，发出的五音是中国传统音乐理论中的基本音阶，包括宫、徵、商、羽、角．其发声弦的弦长是通过“三分损益法”计算得出，具体方法如下： 假设基本音“宫”的发声弦长是， “宫”经“三分损一”得“徵”，即，则“徵”音的发声弦长是； “徵”经“三分益一”得“商”，即，则“商”音的发声弦长是； “商”经“三分损一”得“羽”；“羽”经“三分益一”得“角”． (1)按照上面的假设，“羽”音的发声弦长是 ； (2)小明想要制作一个古琴，需要五根发声弦，每根发声弦分别能获得“宫徵商羽角”的音阶，五根发声弦的长度总和为，求该古琴中“宫”的发声弦长． 3．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是关于低碳生活的部分材料，请仔细阅读并完成相应任务． 低碳生活 全球气候正在变暖，科学家认为，这与大气中二氧化碳等温室气体的浓度变化有关．每个人的日常生活都会产生二氧化碳排放．积极倡导并实践“低碳”生活是我们每一个人的社会责任． 碳中和是我国实现绿色低碳发展的重要战略目标，其基本含义是：通过节能减排、增加碳汇（如植树造林）等途径，使排放的二氧化碳总量与吸收的二氧化碳总量相等，实现净零排放．   以下是一系列排碳计算公式： 家庭用电的二氧化碳排放量耗电量 汽油的二氧化碳排放量耗油量 天然气的二氧化碳排放量天然气使用量 自来水的二氧化碳排放量自来水使用量 …… 任务： (1)小宣家某月的部分“碳足迹”：家庭用电，汽油，天然气，自来水，请计算这个月小宣家在以上四项资源中总的碳排放量； (2)某小区现有的绿化植被一年可吸收二氧化碳吨，假设该小区只通过植树造林实现碳中和，那么每人还需栽棵树，整个小区的碳排放恰好被完全吸收．已知平均每棵树一年可吸收二氧化碳千克，平均每位居民一年可排放二氧化碳吨，据此计算该小区共有多少人，一共还需栽多少棵树？ (3)以上假设是否合理？你认为实现碳中和最重要的途径是什么？ 【提高题型三 一元一次方程的应用规律问题】 【例1】（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）将正整数按下表的规律排列，平移表中阴影部分的方框，方框中的4个数的和可能是（   ） A．2010 B．2014 C．2018 D．2022 【例2】（2026·广东江门·一模）在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设．则有，即，解得，故． 类似地，请你计算：_________．（直接填计算结果即可） 1．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点A、点B表示的数分别为，b，则两点之间的距离． (1)【问题情境】已知数轴上点A表示的数为2，B是数轴上位于点A左侧一点，且． ①写出数轴上点B表示的数为___________． ②数轴上有一点C到点A、点B的距离相等，则C表示的数为___________． (2)【情境应用】如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则___________； ②的最小值为___________； (3)【综合运用】在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，若点P、Q同时出发，请问经过几秒后P、Q两点之间的距离为3． 2．（25-26七年级上·福建福州·期末）综合实践活动：探究杆秤的制作与原理 【探究原理】 学生通过查阅资料，了解到杆秤的主要组成部分为秤杆、秤盘（秤钩）、秤砣和提纽．现为探索杆秤称重的原理，进行木杆挂重物实验探究影响杆秤平衡的因素（如图1），并用表格记录了实验数据如下： 支点左端 支点右端 木杆状态 重物质量a（） 到支点的距离m（） 重物质量b（） 到支点的距离n（） 5 15 5 15 平衡 ① 7.5 5 15 平衡 15 5 5 15 平衡 20 ② 5 15 平衡 … … 5 15 平衡 【建构模型】 （1）请你通过实验发现的规律补全实验记录①②，并写出当木杆平衡时a、m、b、n的数量关系； 【应用模型】 （2）学生发现上述平衡条件符合杠杆原理，并以此为依据，利用以下材料制作了一个杆秤：一根长为的匀质木杆，一个自重的秤盘，一个自重的秤砣，提绳系于点O（支点），秤盘系于点A处，点A位于O、M两点之间，且与木杆右端M的距离为，秤砣悬挂点B位于支点O至与木杆左端N相距处之间的范围内移动（如图2所示）． 小明用此杆秤称量的重物（放入秤盘），在杆秤平衡时他测得此时秤盘悬挂点A与秤砣悬挂点B之间的距离． ①求的距离； ②在小学学习正比例时，对于两个值为正数的量，当它们成正比例关系时，由图象可知一个量随着另一个量的增大而增大．请根据此信息，求此杆秤能够称量的最大物重． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期中）在我们日常生活中的日历上也隐藏着许多的数学规律．如图是2024年3月份的日历，一个虚线方框圈出的（2行2列）个数字之和为： (1)若这个虚线方框圈出的个数字之和为100，则这4个数的左上角那天是3月几日？ (2)请通过计算判断这个虚线方框圈出的个数字之和能否为84． 1．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）某个体商贩在一次买卖中，同时卖出同样两件上衣，售价都是120元，若按成本计，其中一件盈利，另一件亏本，在这次买卖中他（　　） A．不赚不赔 B．赚8元 C．赔6元 D．赚6元 2．（25-26七年级上·广西贵港·期末）（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人，物品的价格是多少？（    ） A．6人，52元 B．5人，37元 C．8人，60元 D．7人，53元 3．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）甲组人数是乙组人数的2倍，从甲组抽调8人到乙组，这时甲组剩下的人数恰好比乙组现有人数的一半多3．设乙组原有x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·全国·单元复习）如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人，依题意，得； ②设甲村出工人，依题意，得； ③设乙村出工人，依题意，得； ④设丙村出工人，依题意，得． 上面所列方程中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）如图1，从一个边长为3的正方形纸片上剪掉两个边长为的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为18，则的值是（     ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 6．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一件工作，师傅单独做要15小时完成，现在师徒合作4小时完成了，余下的工作，由徒弟去做，徒弟还需要________小时完成． 7．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段检测）小明与他的爸爸一起做“投篮球”游戏．两人商定规则为：小明投中1个得4分，小明爸爸投中1个得2分．______，经计算、发现两人的得分恰好相等，他们两人各投中几个？ 解：设小明投中x个，根据题意，得： （1）根据上面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是______； （2）______． 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数表中第行第列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以．若，则_________． 9．（24-25七年级上·江苏南通·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，称为“结绳记数”，如图，某农户在从右到左依次排列的绳子上打结，满7进1，来记录所采的野果数．若采集到的野果有个，则在第2根绳子上的打结数是______个． 10．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点，，在数轴上表示的数分别是，，．动点，同时出发，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿A→B匀速运动．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为()．当点，到点的距离相等时，的值是______． 11．（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）商店进了一批商品，按加价出售．在售出八成后，为了尽快销完，决定五折处理剩余商品，而且商品全部出售后，突然被征收了150元的附加税，这使得商店的实际利润只是预期利润的一半，那么这批商品的进价是多少元？ 12．（25-26七年级上·广东广州·期末）列方程解应用题，若没有列方程，则给0分． (1)洗衣机厂今年计划生产洗衣机25500台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量比为1：2：14，计划生产这三种洗衣机各多少台？ (2)一列火车匀速行驶，经过（从车头进入到车尾离开）一条长300m的隧道需要20s的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．求这列火车的长度． 13．（25-26六年级上·上海静安·期末）小王与家人去某火锅店吃火锅．火锅店推出以下两种优惠方式，并规定两种优惠方式不能同时享受： 方式一 使用美团支付，在美团购买100元代金券，每张80元，每次消费最多使用3张，未满100元的部分不得使用代金券． 方式二 现场支付，除锅底不打折外，其余菜品全部折． 小王点了270元菜品，其中包含一份40元锅底，使用方式二买单支付了224元 (1)根据题意，若用方式一买单，应付款________元；的值为_________ (2)若小王点了285元菜品，其中包含一份40元锅底，则应选哪种购买方式更优惠？ (3)当小王一家点了多少元菜品（包含一份40元锅底和其余菜品）时，用优惠方式一和方式二实际消费的总金额相等？ 14．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为10，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)A、B两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)求经过几秒后，P、Q两点相遇； (3)求当t为何值时，． 15．（25-26七年级上·广东广州·期末）关于的方程（其中是未知数，是已知数）可以用几何法来求它的正数解．下面以求解方程的正数解为示例，具体说明该方法： 第一步：如图1，把和看成一个长方形的宽和长； 第二步：如图2，把4个这样的长方形拼成一个“空心”大正方形（4个长方形彼此衔接不重叠），观察可知图中小正方形的边长为，则这个大正方形的面积为，所以大正方形的边长为4； 第三步：观察图2中大正方形的边长，可得方程，解得，即方程的正数解为． (1)示例中的长方形（即图1）的面积为___________； (2)请仿照示例的方法，画图求方程的正数解（要求写出推理过程）； (3)羊羊同学仿照此方法求关于的方程的正数解时，构造出如图3所示图形，得到该方程的正数解为，求图3中的小正方形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $