专题06 二元一次方程组章末54道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年六年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 聚焦二元一次方程组9大核心题型，以54道压轴题构建“概念理解-方法技巧-综合应用”三阶训练体系，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |参数求解|6道|解代入法、规律探究|从解的定义到参数关系推导| |特殊解法|6道|换元法、整体代入消元|代数变形技巧的迁移应用| |错解复原|6道|错解信息提取、方程重建|逆向思维与方程解的本质理解| |构造方程组|6道|公共解分析、新运算建模|方程思想的综合构造应用| |三元一次方程组|6道|消元转化、整体求值|二元到三元的拓展与转化| |方案问题|6道|整数解枚举、最优决策|实际问题的数学化建模| |行程问题|6道|相遇追及模型、分段分析|运动过程的数量关系刻画| |销售利润问题|6道|等量关系建立、成本利润计算|经济问题的方程表达| |几何问题|6道|图形边长关系、面积公式应用|几何直观与代数运算结合|

专题06 二元一次方程组章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 题型二 二元一次方程组的特殊解法 题型三 二元一次方程组的错解复原问题 题型四 构造二元一次方程组求解 题型五 三元一次方程组的压轴题型 题型六 二元一次方程组的应用之方案问题 题型七 二元一次方程组的应用之行程问题 题型八 二元一次方程组的应用之销售、利润问题 题型九 二元一次方程组的应用之几何问题 【经典例题一 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）已知当时，关于的二元一次方程和有相同的解，求的值． 2．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）已知都是关于的二元一次方程的解,且求的值． 3．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）小颖求出方程组的解为由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？ 4．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若，求m的值． 5．（2025六年级下·上海青浦·专题练习）如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3…方程组n (1)将方程组1的解填入图中； (2)请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入图中； (3)若方程组的解是．求a，b的值，并判断该方程组及方程组的解是否属于上述集合． 6．（2025·安徽马鞍山·三模）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． 【经典例题二 二元一次方程组的特殊解法】 7．（2025六年级下·上海长宁·专题练习）对于方程组，不妨设，，则原方程组变为以、为未知数的方程组，解得，从而原方程组的解是，这种解题的方法称为换元法． 8．（25-26六年级下·上海奉贤·月考）解方程组，若设，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组 9．（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 例如：解方程组 解：方程②变形得：，即③． 把方程①代入③得：，解得： 把代入方程①得：，解得： 所以方程组的解为 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，则________． 10．（25-26七年级下·浙江金华·期中）【发现问题】已知，求的值． 方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值． 方法二：将①②，求出的值． 【提出问题】怎样才能得到方法二呢？ 【分析问题】为了得到方法二，可以将①②，可得．令等式左边，比较系数可得，求得． 【解决问题】 (1)请你选择一种方法，求的值； 【迁移应用】 (2)对于方程组利用方法二的思路，求的值． 11．（24-25六年级下·上海长宁·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知，． (1)直接写出a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解． 12．（24-25七年级下·山东淄博·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②-①得：③ ③得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知求的值； （2）若关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解______． 【实际应用】 （3）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【经典例题三 二元一次方程组的错解复原问题】 13．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值． 14．（24-25七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 15．（24-25七年级下·重庆北碚·月考）已知方程组，由于甲看错了方程ax+5y＝15中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程组的解为．求a，b的值． 16．（24-25七年级下·河南商丘·期末）甲，乙两同学在解方程组时，甲因看错了b的符号，解得．乙因忽略了c，解得，试求的值． 17．（24-25六年级下·上海松江·月考）上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演．可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为，你能按正确的a、b值求出方程组的解吗？ 18．（24-25七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得 (1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？ (2)试求原方程组的解． 【经典例题四 构造二元一次方程组求解】 19．（24-25七年级下·山东青岛·单元测试）若二元一次方程组的解也是二元一次方程 的解，求的值． 20．（2025六年级下·上海奉贤·模拟预测）已知关于x，y的方程组和有公共解，求m，n的值． 21．（24-25六年级下·上海宝山·期末）请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题． 我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：．例如：． (1)如果，，求y的值； (2)，，求x，y的值． 22．（24-25七年级下·四川南充·期末）如表中每一对x，y的值满足方程ax＋by＝2． x … 2 3 4 … y … ﹣2 ﹣4 ﹣6 … （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解满足方程3x﹣2y＝﹣10，求m的值． 23．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． (1)方程组的解x与y是否具有“友好关系”？说明理由； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； (3)已知未知数为x，y的方程组，其中a，x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“友好关系”？如果有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 24．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读以下内容：已知数满足，且，求的值． 以下共有三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 小明：先解以上关于的方程组，再把解代入，从而求的值； 小王：可先将原方程组中的两个方程直接相加，再求的值； 小丽：先解方程组，再把所得解代入，即求的值． (1)试选择其中一名同学的思路，完整地解答此题； (2)试说明关于的方程组，不论取何值，的值始终不变． 【经典例题五 三元一次方程组的压轴题型】 25．（2026六年级下·上海嘉定·专题练习）用简便方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 26．（25-26七年级下·北京·期中）现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．我们的目标是把矩阵变成下面这种样子：，这样就直接看出方程组的解为． (1)方程组对应的矩阵为_____． (2)关于的三元一次方程组的系数排成的矩阵为，则对应的方程组为_____，若为定值．求与满足的数量关系． 27．（25-26六年级下·上海静安·月考）数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 28．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)【类比迁移】已知，求的值． (2)【实际应用】某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 29．（24-25七年级下·广西南宁·期末）【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把①代入②得： 把代入①得： 方程组的解为． （2）已知，求的值． 解：得：③ ，得： 【类比迁移】 （1）直接写出方程组的解； （2）若，求的值； 【实际应用】 （3）端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某食品店推出的肉粽、豆沙粽和蛋黄粽深受顾客喜欢．现采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽需要113元，那么采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要多少钱？ 30．（24-25七年级下·四川眉山·月考）在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2），求的值； （3）试根据上面的方法解决下面的问题： 某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少？ 【经典例题六 二元一次方程组的应用之方案问题】 31．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）五一期间，正定打算举行各种迎游客活动，安排了两种货车来运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件物品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件物品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物品？ (2)现有3000件物资需要再次运送，准备同时租用这两种货车一次运送完，每辆货车均全部装满货物，请你通过计算确定共有哪几种租车方案 (3)在（2）的前提下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出3600元用于租车，请直接写出是否够用． 32．（25-26六年级下·上海嘉定·单元测试）在一座小楼上挂满如下图所示的灯球，甲种灯球上有3个大球，下缀6个小球；乙种灯球上有3个大球，下缀18个小球．大球共396个，小球共1440个． (1)求甲、乙两种灯球的个数； (2)小明打算购买30个灯球，其中甲种灯球个数不少于乙种灯球个数的2倍，则最少购买多少个甲种灯球？ 33．（25-26六年级下·上海嘉定·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 34．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知某物流公司租用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨；租用辆型车和辆型车载满货物一次可运吨． (1)问租用辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)该物流公司现有吨货物，计划租用型车辆，型车辆，每辆车都载满货物，且恰好一次运完为完成运输任务，且同时租用型车和型车两种车辆的条件下： ①请你帮该物流公司设计租车方案； ②若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，请写出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 35．（25-26六年级下·上海闵行·期中）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 36．（25-26七年级上·安徽宣城·期末）2025年11月26日香港大埔发生重大火灾事故，造成一百余人遇难，此次灾情立即牵动内地市民的心．某市市民自发筹集了救灾必需物资120吨打算运往香港，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)现决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请直接写出所有的车辆安排方案． 【经典例题七 二元一次方程组的应用之行程问题】 37．（2025·山东威海·二模）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 38．（2025七年级下·江苏·专题练习）在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动，若反向而行，40秒后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙． (1)你能求出甲、乙两人的速度吗？ (2)若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙，请问出发时，丙在甲、乙前方多少米？丙的速度是多少？ 39．（2025·江苏泰州·二模）问题：某校组织学生乘汽车去自然保护区野营， ，学校距自然保护区有多远？ 条件：①去野营时以60的速度走平路，以30的速度爬坡，共用了6.5h； ②回学校时以40的速度下坡，以50的速度走平路，共用了6h； ③行程中共分平路和坡路两种路型，其中平路长与坡路长之比为． 在上述三个条件中选择两个 （仅填写序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 40．（24-25七年级下·山西临汾·期中）小红和小明是好朋友，小红每天步行上学且所需时间保持不变．小明骑自行车或步行上学，骑自行车速度为240米/分，步行速度为80米/分．下面是两人的对话，请根据对话内容计算：小明从家到学校的路程和小红从家到学校的时间． 41．（2025七年级上·全国·专题练习）马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息． ①在起点，沿途每隔5千米处及终点提供水，运动饮料，水果等补给，最后两个补给站之间为2千米； ②在起点，终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站 若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员． （1）本次马拉松比赛共设置______个补给站； （2）沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？ （3）沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？ 42．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）代驾已成为人们酒后出行的常见方式，其计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 注：代驾费由里程费，时长费，远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式：行车里程7公里以内（含7公里）不收取远途费，超过7公里的，超出部分每公里收取1元． 小王和小张由于酒后出行，各自雇佣代驾，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的行车里程分别是6公里和8公里，两人所付代驾费相同． （1）求这两辆车的实际行车时间相差多少分钟； （2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一个人早，所以提前到达约定地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【经典例题八 二元一次方程组的应用之销售、利润问题】 43．（2026·吉林松原·一模）年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元．求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价． 4．（2026七年级下·江苏·专题练习）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价． 45．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）随着科技的不断进步，某城镇居民对家居智能开关的需求日益增加．某五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元． (1)求A、B两型智能开关的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用420元购进A、B两种智能开关（A、B两型开关均购买），销售1个A型开关可获利35元，销售1个B型开关可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如开关全部售出，最大利润是多少元？ 46．（25-26六年级下·上海崇明·期末）商场销售，两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获利润12万元．[利润（售价进价）销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.8 1.4 (1)该商场计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进，两种设备，且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 47．（2026六年级下·上海嘉定·专题练习）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示： 单位 数量 单价 金额 篮球 个 6 100.00 600.00元 钢笔 支 15.00 元 笔记本 本 5.00 元 合计 — 46 — 900.00元 请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 48．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）骏马奔腾，新春吉祥，探亲访友之际，常备缤纷礼盒，满载幸福与甜蜜．某超市主打两款礼盒：坚果礼盒每盒150元，糖果礼盒每盒120元．为吸引顾客，该超市推出以下优惠活动： 购买礼盒金额 优惠政策 不超过700元 不享受优惠 超过700元，不超过1200元 总价享受9折优惠 超过1200元 总价享受8折优惠 (1)若购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，求优惠后应支付的费用． (2)小李爸爸购买了540元的礼盒，其中坚果礼盒的总价比糖果礼盒的总价多60元． ①求小李爸爸每种礼盒的购买数量． ②小李妈妈在下班途中也去该超市购买了一些礼盒，小李看到优惠政策后发现，爸爸妈妈支付的费用之和超过了1200元，因此若是他一个人去买这些礼盒还可以节省204元，求妈妈单独购买礼盒时支付的费用． 【经典例题九 二元一次方程组的应用之几何问题】 49．（24-25七年级下·河南南阳·期中）小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图①所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图②所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为3 mm的小正方形！求每个小长方形的面积． 50．（24-25七年级下·湖南郴州·月考）刘爷爷计划在一块长为，宽为的长方形空地种上蔬菜，如图所示，在空地上留出三个完全相同的小长方形和四个完全相同的正方形来种植番茄（阴影部分），其余部分种植辣椒．已知正方形的边长与小长方形的宽相等，请分别求出种番茄和辣椒的面积． 51．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案： (1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长； (2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积． 52．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 53．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）（1）如图1，宽为的大长方形由8个形状、大小相同的小长方形拼成，求其中一个小长方形长和宽分别是多少？ （2）如图1、图2，都是由8个形状、大小相同的小长方形拼（围）成的大矩形，且图2中的阴影部分（小矩形）的面积为，求小长方形的长． （3）如图3，在大长方形中放置9个形状、大小相同的小长方形，则所有阴影部分面积的和是___________．（说明：图中的单位为）    54．（24-25七年级下·浙江·期中）小叶用如图的长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形的“接口”用来折叠后粘贴或封盖． （1）若小叶用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等．求该茶叶包装盒底面正方形的边长和“接口”的宽度分别是多少？ （2）小叶爸爸的茶叶专卖店以每盒150元购进一批茶叶，按进价增加20%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小叶的包装后，马上售完了余下的茶叶，但成本增加了每盒5元，售价仍不变．已知在整个买卖过程中共盈利1500元，求这批茶叶共进了多少盒？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二元一次方程组章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 题型二 二元一次方程组的特殊解法 题型三 二元一次方程组的错解复原问题 题型四 构造二元一次方程组求解 题型五 三元一次方程组的压轴题型 题型六 二元一次方程组的应用之方案问题 题型七 二元一次方程组的应用之行程问题 题型八 二元一次方程组的应用之销售、利润问题 题型九 二元一次方程组的应用之几何问题 【经典例题一 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）已知当时，关于的二元一次方程和有相同的解，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把代入中求出，再把代入即可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：把代入中得，， 解得：， ∴相同的解为， ∴ 代入方程得， ∴ ． 2．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）已知都是关于的二元一次方程的解,且求的值． 【答案】b=± 【分析】将方程的解代入方程，得到关于m、n的方程的方程组，从而得到m-n=2b-1，结合已知条件列出关于b的方程求解即可． 【详解】因为都是关于的二元一次方程的解， 所以，解得：， 又m-n=b2+2b-4， ∴b+1-2+b=b2+2b-4， 整理，得：b2=3， 解得：b=±. 【点睛】考查的是二元一次方程的解，得到关于b的式子是解题的关键． 3．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）小颖求出方程组的解为由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了方程组和解中的●，▲两个数．你能帮助她确定这两个数吗？ 【答案】●为5，▲为1 【分析】本题考查二元一次方程组的解的含义．先将变形得，再将代入中得，再将代入与中即可计算出▲，●的值． 【详解】解：∵， ∴整理为：， ∴将代入中得：， ∵， ∴，， ∴●为5，▲为1； 4．（24-25七年级下·河南周口·月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值等知识点． （1）将代入得到关于a、b的二元一次方程组，然后再运用加减消元法求解即可； （2）将a、b的代入，计算即可． 【详解】（1）解：把代入关于，的二元一次方程组， 得：， 解得：； ∴，； （2）解：由（1）得：，，， ∴， 解得，， ∴的值为． 5．（2025六年级下·上海青浦·专题练习）如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组从左至右依次记作方程组1，方程组2，方程组3…方程组n (1)将方程组1的解填入图中； (2)请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入图中； (3)若方程组的解是．求a，b的值，并判断该方程组及方程组的解是否属于上述集合． 【答案】(1) (2) (3)，，方程组属于上述集合． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）由前面方程组的解发现未知数x的值为一列自然数，对应的未知数y的值为x的相反数与1的和，从而可总结出规律得答案； （3）将代入原方程组求解，的值，再观察方程组的结构从而可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 把两个方程相加可得：， 解得：， 把代入上面一个方程可得：， 方程组1的解为； （2）根据方程组的解的变化规律可得： 方程组n为，解为； （3）∵， 将代入①得：， 解得， 把，代入②，得，解得， ∴该方程组及方程组的解属于上述集合． 【点睛】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，方程组的解的含义，方程组的解的规律探究与运用，理解题意，正确的归纳与总结规律是解本题的关键． 6．（2025·安徽马鞍山·三模）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)结论正确，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的解． （1）观察表格，找到规律，即可填空； （2）根据规律求解即可； （3）假设是方程的一个解，令，，代入求解即可证明结论正确． 【详解】（1）解：观察规律，x每次增加6，y每次减少5， 所以，填写表格如下： x … 5 11 17 … y … 1 … （2）解：根据规律知，这表中相邻的下一列的两个数分别是和； 故答案为：，； （3）解：结论正确，理由如下， 5和3的最大公约数为1，能被1整除， ∵1能整除任意正整数k， ∴必有整数解， 假设是方程的一个解， ∴， 对于任意整数，令，， 代入方程左边得，， ∴是方程的解， 由于整数有无数个， ∴方程有无数组整数解， 综上，对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立． 【经典例题二 二元一次方程组的特殊解法】 7．（2025六年级下·上海长宁·专题练习）对于方程组，不妨设，，则原方程组变为以、为未知数的方程组，解得，从而原方程组的解是，这种解题的方法称为换元法． 【答案】，． 【分析】此题考查了用换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解本题的关键．根据设出的与，将方程组变形，求出解确定出与的值，进而求出与的值． 【详解】解：∵设，， ∴整理成， 将各个式子去分母化简为：， 由由得： ， ， ， ， 将代入①中得：，即， ∴综上． ∵将代入，中， 整理得， 由③④得： ， ， ， 将代入③中得：，即， ∴综上． 8．（25-26六年级下·上海奉贤·月考）解方程组，若设，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 令，代入原方程组求出、的值，进而建立二元一次方程组再求出，的值． 【详解】解：方程组，变形为 假设， 原方程组变形为， 解得， ∴，解方程组得， 故方程组的解为． 9．（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 例如：解方程组 解：方程②变形得：，即③． 把方程①代入③得：，解得： 把代入方程①得：，解得： 所以方程组的解为 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，则________． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可； （2）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：方程②变形得：， 即③． 把方程①代入③得：， 解得：， 把代入方程①得：， 解得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 把③代入④得：， 解得：． 10．（25-26七年级下·浙江金华·期中）【发现问题】已知，求的值． 方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值． 方法二：将①②，求出的值． 【提出问题】怎样才能得到方法二呢？ 【分析问题】为了得到方法二，可以将①②，可得．令等式左边，比较系数可得，求得． 【解决问题】 (1)请你选择一种方法，求的值； 【迁移应用】 (2)对于方程组利用方法二的思路，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）方法一根据消元法求解即可，方法二题中提供的方法求解即可； （2）根据题中提供的方法求解即可． 【详解】（1）解：方法一： ， ，得：， 解得：， 将代入②，得：， 解得：， ∴； 方法二： ， 得：， 令， ∴， 解得：， ∴； （2）解：， 得：， 令， ∴， 解得：， ∴． 11．（24-25六年级下·上海长宁·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知，． (1)直接写出a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，直接写出关于x，y的方程组的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，正确理解新定义并准确地计算是解题的关键． （1）利用新定义列出关于、的方程组，解方程组求出a，b的值； （2）将a，b的值；代入方程组，得出关于x，y的方程组，解方程组，用表示x，y，代入方程中，即可求出m的值； （3）由题意，将方程组化为，即， 根据方程组的解为，得出，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 得， 解得， （2）由题意，方程组可化为， 得， ， ， ； （3）由题意，方程组可化为， 方程组可化为， 即， 由方程组的解为， ，解得， 则方程组的解为． 12．（24-25七年级下·山东淄博·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②-①得：③ ③得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知求的值； （2）若关于x、y的二元一次方程组的解是，那么关于x、y的二元一次方程组的解______． 【实际应用】 （3）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）18；（2），（3）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）对比两个方程组，利用换元、整体代换方法解方程组即可； （3）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）解： 关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴关于x、y的二元一次方程组中，， 解得：， （3）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 【经典例题三 二元一次方程组的错解复原问题】 13．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，由题意可知是的解，是的解，分别代入，求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：由题意是的解， ∴， 解得：， 又是的解， ∴， 解得：， ． 14．（24-25七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入方程组的第二个方程，代入方程组的第一个方程，分别求出a与b的值，即可求出所求式子的值． 【详解】解：把代入②，得， 解得； 把代入①，得， 解得； 所以． 15．（24-25七年级下·重庆北碚·月考）已知方程组，由于甲看错了方程ax+5y＝15中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程中的b，得到方程组的解为．求a，b的值． 【答案】a＝﹣1， b＝50 【分析】根据方程组的解的定义，应满足方程4x﹣by＝﹣2，据此可得b的值；应满足方程ax+5y＝15，据此可得a的值． 【详解】解：由于甲看错了方程ax+5y＝15中的a，解得，所以4×（﹣13）+b＝﹣2，解得：b＝50； 由于看错了方程中的b，解得，所以5a+5×4＝15，解得a＝﹣1． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是二元一次方程组解的定义． 16．（24-25七年级下·河南商丘·期末）甲，乙两同学在解方程组时，甲因看错了b的符号，解得．乙因忽略了c，解得，试求的值． 【答案】1 【分析】把代入ax+by＝13得出3a+2b＝13③，把代入②得出3c﹣2＝4，求出c，把代入①得出5a﹣b＝13④，由③和④组成方程组，再求出方程组的解即可． 【详解】解：， ∵甲因看错了b的符号，解得， ∴把代入ax+by＝13，得3a+2b＝13③， 把代入②，得3c﹣2＝4， 解得：c＝2，∵乙因忽略了c，解得， ∴把代入①，得5a﹣b＝13④， 由③和④组成方程组， 解得：， ∴（a﹣b﹣c）2022＝（3﹣2﹣2）2022＝（﹣1）2022＝1． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能求出a、b、c的值是解此题的关键． 17．（24-25六年级下·上海松江·月考）上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x、y的方程组，并请小方和小龙两位同学到黑板上板演．可是小方同学看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小龙同学看错了方程②中的b，得到方程组的解为，你能按正确的a、b值求出方程组的解吗？ 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组； 分别把给出的方程组的解代入到没有看错的方程中求出a、b的值，得到原方程组，再利用加减消元法求解即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组为， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故方程组的解为． 18．（24-25七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得 (1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？ (2)试求原方程组的解． 【答案】(1)甲把m错看成了2，乙把n错看成了1 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，二元一次方程解的定义： （1）把代入中求出m的值，把代入求出n的值即可得到答案； （2）根据题意可得甲的结果满足②，则是方程的解，同理可得是方程的解，据此求出m、n的值，然后得到正确的原方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解： 把代入中得，解得， 把代入中得，解得， ∴甲把m错看成了2，乙把n错看成了1； （2）解：∵甲解题看错了①中的m， ∴甲的结果满足②， ∴是方程的解， ∴， ∴， 同理可得是方程的解， ∴， ∴； ∴原方程组为 解得． 【经典例题四 构造二元一次方程组求解】 19．（24-25七年级下·山东青岛·单元测试）若二元一次方程组的解也是二元一次方程 的解，求的值． 【答案】 【分析】根据题意组成新的方程组，求出方程组的解，再把方程组的解代入方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解， ∴可建立方程组， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， 把代入中得：，解得． 【点睛】本题考查的是二元一次方程同解问题，掌握根据同解的含义构建新的方程组是解题的关键． 20．（2025六年级下·上海奉贤·模拟预测）已知关于x，y的方程组和有公共解，求m，n的值． 【答案】 【分析】利用已知得出方程组与题干中的两个方程组的解相同，进行求解即可． 【详解】 和有公共解， 的解也是上述两个方程的解， 解得：， 故，即， ． ∴ 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，利用方程组的有公共解得出，的值是解题关键． 21．（24-25六年级下·上海宝山·期末）请你根据下图中所给的内容，完成下列各小题． 我们定义一个关于非零常数a，b的新运算，规定：．例如：． (1)如果，，求y的值； (2)，，求x，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得出方程组，解答即可； （2）根据题意，得出方程组，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 把代入， 得， 解得； （2）解∶根据题意，得， 解得． 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．理解新定义是解题的关键． 22．（24-25七年级下·四川南充·期末）如表中每一对x，y的值满足方程ax＋by＝2． x … 2 3 4 … y … ﹣2 ﹣4 ﹣6 … （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解满足方程3x﹣2y＝﹣10，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）在表格中任意取两组数据代入方程，用加减消元法求出、的值即可； （2）将，代入方程组可得，由加减消元法求出，再由，求出，即可求． 【详解】解：（1）将，和，代入方程， 得：， 由①得③， 将③代入②得，， 将代入③得，， ∴a，b的值为； （2）将，代入方程组， 得．   两方程相减，得． ∴． 把代入，得． ∴． ∴． 于是，． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的解的应用，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 23．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． (1)方程组的解x与y是否具有“友好关系”？说明理由； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； (3)已知未知数为x，y的方程组，其中a，x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“友好关系”？如果有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【答案】(1)方程组的解x与y具有“友好关系”，理由见解析 (2)或； (3)有，，方程组的解是 【分析】（1）先求出方程组的解，再代入验证即可； （2）由①②得，，则，根据方程组的解x与y具有“友好关系”得到，解得m的值即可； （3）根据该方程组的解x与y具有“友好关系”，则，即或，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程组的解x与y具有“友好关系”， 理由如下： ①②得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解是， ∵， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； （2） ①②得，， ∴， ∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴， 解得或； （3） 若该方程组的解x与y具有“友好关系”，则，即或， 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，解得， 与a，x，y都是正整数矛盾，故不成立； 当时，与②联立得，， 解得， 把代入①得，解得，符合题意， 综上可知，，方程组的解是； 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意是基础，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 24．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读以下内容：已知数满足，且，求的值． 以下共有三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 小明：先解以上关于的方程组，再把解代入，从而求的值； 小王：可先将原方程组中的两个方程直接相加，再求的值； 小丽：先解方程组，再把所得解代入，即求的值． (1)试选择其中一名同学的思路，完整地解答此题； (2)试说明关于的方程组，不论取何值，的值始终不变． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）选择其中一名同学的思路利用加减消元法求解即可； （2）两方程相加求出，再把得到的新方程与方程组中第二个方程相加求出即可得证． 【详解】（1）解：选择小明：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：； 选择小王：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； 选择小丽：， 得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入得：， 解得：； （2）证明：， 得：， 得：， ∴，即不论取何值，的值始终不变． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【经典例题五 三元一次方程组的压轴题型】 25．（2026六年级下·上海嘉定·专题练习）用简便方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二元一次、三元一次方程组的简便解法，掌握整体代入、换元法、设比例系数法和加减消元法等技巧，是快速解方程组的关键． （1）观察到第一个方程可整理为，第二个方程含，用整体代入法简化计算； （2）方程组中重复出现和，用换元法设，转化为关于的方程组，简化运算； （3）连比形式的方程组，用设比例系数法，设，将用表示，代入第二个方程求解； （4）两个方程的系数差相等，用加减消元法先相减得到，再整体代入原方程快速求解． 【详解】（1）解： 将①代入②： 将代入①： 解得：​ （2）解：设 ， 方程组变为：​ ①+②： 代入②： 即 ， 解得 （3）解：设 ， 则, 代入： 代入得 ： （4）解： 由①-②得： 由①：， 代入③： ， ， 将代入③：， 解得： 26．（25-26七年级下·北京·期中）现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．我们的目标是把矩阵变成下面这种样子：，这样就直接看出方程组的解为． (1)方程组对应的矩阵为_____． (2)关于的三元一次方程组的系数排成的矩阵为，则对应的方程组为_____，若为定值．求与满足的数量关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意即可写出方程组对应的矩阵； （2）由题意即可写出矩阵对应的方程组，由方程组即可得与满足的数量关系． 【详解】（1）解：由题意得，方程组对应的矩阵为：． （2）解：由题意得，矩阵对应的方程组为， 得，， ∴， ∵为定值， ∴，即． 27．（25-26六年级下·上海静安·月考）数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，三元一次方程组，整体代入消元，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将整体代入②式进行消元解方程组即可； （2）将①整体代入③即可求得c，然后即可求解其他未知数； （3）由第一个方程得，然后整体代入第二个方程即可求解． 【详解】（1）解：（1）， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 将①代入③得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 故原方程组的解为； （3）解：， 由①得， 把③代入②得， ， ， 化简得， 整理得， 故答案为：． 28．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①，得③， ③，得，所以，的值为3． (1)【类比迁移】已知，求的值． (2)【实际应用】某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元．本班共50位同学，则购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需多少钱？ 【答案】(1) (2)购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元 【分析】（1）计算即可； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为x元、y元、z元，根据“购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需66元”得，求出，可知的值． 【详解】（1）解：， ，得， ∴． （2）解：设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为x元、y元、z元． 根据题意，得 ∴，得． ∴（元）． 答：购买50本笔记本、50支签字笔、50支记号笔需500元． 29．（24-25七年级下·广西南宁·期末）【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把①代入②得： 把代入①得： 方程组的解为． （2）已知，求的值． 解：得：③ ，得： 【类比迁移】 （1）直接写出方程组的解； （2）若，求的值； 【实际应用】 （3）端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某食品店推出的肉粽、豆沙粽和蛋黄粽深受顾客喜欢．现采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽需要113元，那么采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要多少钱？ 【答案】（1）方程组的解为；（2）；（3）采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要230元 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组． （1）用整体代入法求解即可； （2）①－②得：，然后两边都乘以即可求解； （3）设1个肉粽元，1个豆沙粽元，1个蛋黄粽需要元，根据题意列出方程组，然后用整体的思想求解即可． 【详解】解：（1）， 把②代入①得： ∴ 把代入②得： ∴ ∴方程组的解为． （2）， ①－②得：③ ，得 ． （3）设1个肉粽元，1个豆沙粽元，1个蛋黄粽需要元： 则：， 得：③， ③得： 采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要230元． 30．（24-25七年级下·四川眉山·月考）在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：， 所以的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2），求的值； （3）试根据上面的方法解决下面的问题： 某校举办法治常识竞赛，确定前60名参赛者获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人，最后调整为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人．调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，已知原定二等奖的平均分比三等奖的高7分，问：调整后一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少？ 【答案】（1）18；（3）3；（3）5分 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及整体思想的应用等知识，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）由整体思想求值即可； （2）由整体思想求值即可； （3）先设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，由于总分不变，列出方程组，求出一等奖比二等奖平均分多的分数，最后根据调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分列出代数式，即可求出答案． 【详解】解：（1）， 得：， 得：， ∴的值为18； （2）， 得，， ∴， 得，， ∴； （3）设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分， 由于总分不变，得：， 由①得： ， 将②代入③得：， 解得：， 则原来一等奖比二等奖平均分多6分， 又调整后一等奖平均分降低3分，二等奖平均分降低2分， 则调整后一等奖比二等奖平均分数多（分）． 【经典例题六 二元一次方程组的应用之方案问题】 31．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）五一期间，正定打算举行各种迎游客活动，安排了两种货车来运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件物品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件物品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物品？ (2)现有3000件物资需要再次运送，准备同时租用这两种货车一次运送完，每辆货车均全部装满货物，请你通过计算确定共有哪几种租车方案 (3)在（2）的前提下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出3600元用于租车，请直接写出是否够用． 【答案】(1)一辆小货车一次满载可运300件，一辆大货车一次满载可运400件 (2)共两种方案，①小货车2辆，大货车6辆；②小货车6辆，大货车3辆 (3)不够 【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输件物品，1辆大货车一次满载运输件物品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车m辆，租用大货车n辆，根据解析（1）的结果列出方程，然后根据、均为正整数得出答案即可； （3）根据解析（2）的方案求出租车费用，再进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输件物品，1辆大货车一次满载运输件物品， 依题意得：， 解得：， 答：1辆小货车一次满载运输300件物品，1辆大货车一次满载运输400件物品． （2）解：设租用小货车m辆，租用大货车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴，， 答：共两种方案：①小货车2辆，大货车6辆；②小货车6辆，大货车3辆 （3）解：该组委会计划支出3600元用于租车，不够用，理由如下： 方案1：租用2辆小货车，6辆大货车，租车费为（元）； 方案2：租用6辆小货车，3辆大货车，租车费为； ；； 该组委会计划支出3600元用于租车，不够用． 32．（25-26六年级下·上海嘉定·单元测试）在一座小楼上挂满如下图所示的灯球，甲种灯球上有3个大球，下缀6个小球；乙种灯球上有3个大球，下缀18个小球．大球共396个，小球共1440个． (1)求甲、乙两种灯球的个数； (2)小明打算购买30个灯球，其中甲种灯球个数不少于乙种灯球个数的2倍，则最少购买多少个甲种灯球？ 【答案】(1)甲种灯球有78个，乙种灯球有54个． (2)20个 【分析】（1）根据大球和小球的总数，分别列出关于甲、乙两种灯球数量的方程，联立求解； （2）根据“甲种灯球个数不少于乙种灯球个数的倍”这一条件，设出未知数并列出不等式，求出满足条件的最小整数解． 【详解】（1）解：设甲种灯球有个，乙种灯球有个． 大球总数：； 小球总数：． 得 化简方程组： 得 ②① ． 代入①：． 故甲种灯球有个，乙种灯球有个． （2）解：设购买个甲种灯球，则购买个乙种灯球． 依题意，得， 解得． 故最少购买个甲种灯球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是：从题目中准确提取等量关系，建立方程组求解灯球数量以及根据不等关系建立不等式，求出满足条件的最小整数解． 33．（25-26六年级下·上海嘉定·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元 (2)当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案购进汽车的总辆数，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购进方案， 方案1：购进3辆A型汽车，4辆B型汽车，共购进（辆）； 方案2：购进7辆A型汽车，1辆B型汽车，共购进（辆）， ∵， ∴当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆． 34．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知某物流公司租用辆A型车和辆型车载满货物一次可运货吨；租用辆型车和辆型车载满货物一次可运吨． (1)问租用辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)该物流公司现有吨货物，计划租用型车辆，型车辆，每辆车都载满货物，且恰好一次运完为完成运输任务，且同时租用型车和型车两种车辆的条件下： ①请你帮该物流公司设计租车方案； ②若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，请写出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货吨，吨 (2)①两种租车方案，方案见解析；②省钱的租车方案为租型车辆，型车辆，租车费用为元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、代数式求值、二元一次方程的解等知识点，读懂题意列出方程组是解题的关键． （1）设辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货吨，吨．再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①由（1）可得，再根据二元一次方程的解可得或，据此即可确定租车方案；②分别确定两种租车方案所需费用，然后再比较即可． 【详解】（1）解：设辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货吨，吨． 根据题意，得，解得：． 答：辆型车和辆型车都载满货物一次可分别运货吨和吨． （2）解：①根据题意和（1），得． 根据题意可得a、均为正整数， 或． 共有两种租车方案： 方案租型车辆，型车辆； 方案租型车辆，型车辆． 方案的租金为：元， 方案的租金为：元． ， 最省钱的租车方案为方案，租车费用为元. 35．（25-26六年级下·上海闵行·期中）编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购两种不同材质的编钟配件，配件每个元，配件每个元，采购这两种配件的预算为元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹 (2)有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个 【分析】（）设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹，根据题意列出方程组即可求解； （）设配件要买个，配件要买个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 由题意得，， 解得， 答：大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个， 由题意得，， 整理得，， 即， ∵和都为正整数， ∴或或， ∴有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，配件个． 36．（25-26七年级上·安徽宣城·期末）2025年11月26日香港大埔发生重大火灾事故，造成一百余人遇难，此次灾情立即牵动内地市民的心．某市市民自发筹集了救灾必需物资120吨打算运往香港，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)现决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请直接写出所有的车辆安排方案． 【答案】(1)需甲车型8辆，需乙车型10辆 (2)共有三种运送方案： 方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； 方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； 方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程． （1）设需要x辆甲型车，y辆乙型车，根据全部物资都用甲、乙两种车型来运送且共需运费6400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需要a辆甲型车，b辆乙型车，则需要辆丙型车，根据18辆车共运送物资120吨，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b，均为自然数，即可得出各安排方案． 【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意， 得：， 解得， 答：需甲车型8辆，需乙车型10辆； （2）解：设需要a辆甲型车，b辆乙型车，则需要辆丙型车， 依题意得：， ∴， 又∵a，b，均为自然数， ∴或或， ∴共有3种运输方案， 方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； 方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； 方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 【经典例题七 二元一次方程组的应用之行程问题】 37．（2025·山东威海·二模）某景区的起点是一段上坡路，走过上坡路后便是一段通往终点的平路．如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从起点到终点需要，从终点返回到起点需要．求该景区起点到终点的路程． 【答案】该景区起点到终点的路程是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得， 则甲地到乙地全程是． 38．（2025七年级下·江苏·专题练习）在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动，若反向而行，40秒后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙． (1)你能求出甲、乙两人的速度吗？ (2)若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙，请问出发时，丙在甲、乙前方多少米？丙的速度是多少？ 【答案】(1)甲、乙两人的速度分别为：6米/秒，4米/秒 (2)丙在甲乙前方50米，丙的速度是3.5米/秒 【分析】（1）设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒；反向而行，两人相遇时所走的路程之和为400米；同向而行，两人相遇时甲比乙多走400米，据此列出方程组求解即可； （2）设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒，根据题意列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒； 根据题意得，， 解得：， 答：甲、乙两人的速度分别为：6米/秒，4米/秒； （2）解：设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒， 根据题意得，， 解得：， 答：丙在甲乙前方50米，丙的速度是3.5米/秒． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意找到等量关系是解题的关键． 39．（2025·江苏泰州·二模）问题：某校组织学生乘汽车去自然保护区野营， ，学校距自然保护区有多远？ 条件：①去野营时以60的速度走平路，以30的速度爬坡，共用了6.5h； ②回学校时以40的速度下坡，以50的速度走平路，共用了6h； ③行程中共分平路和坡路两种路型，其中平路长与坡路长之比为． 在上述三个条件中选择两个 （仅填写序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】①②；270 【分析】先选择条件①②，然后设平路长x，坡路长y，列出方程组求解即可． 【详解】解：选择①②； 设平路长x，坡路长y，由题意得： ， ∴， ∴， 答：学校距离自然保护区270． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，列出方程组是解题的关键． 40．（24-25七年级下·山西临汾·期中）小红和小明是好朋友，小红每天步行上学且所需时间保持不变．小明骑自行车或步行上学，骑自行车速度为240米/分，步行速度为80米/分．下面是两人的对话，请根据对话内容计算：小明从家到学校的路程和小红从家到学校的时间． 【答案】小明同学从家到学校的路程为720米，小红从家到学校所需时间是7分钟． 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少2分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用4分钟”．根据这两个等量关系可列出方程组． 【详解】解：设小明同学从家到学校的路程为x米，小红从家到学校所需时间是y分钟． 由题意，得 解得 答：小明同学从家到学校的路程为720米，小红从家到学校所需时间是7分钟． 【点睛】本题是行程问题，解题关键是找出题中存在两个等量关系，即“都步行时小红从家到校比小明少2分钟”和“小明骑车，小红步行时，小明比小红少用4分钟”． 41．（2025七年级上·全国·专题练习）马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息． ①在起点，沿途每隔5千米处及终点提供水，运动饮料，水果等补给，最后两个补给站之间为2千米； ②在起点，终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站 若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员． （1）本次马拉松比赛共设置______个补给站； （2）沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？ （3）沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？ 【答案】（1）10；（2）1.5千米；（3）15千米或30千米． 【分析】（1）根据在起点、沿途每隔5千米一个补给站，最后两个补给站相隔2千米，即可求出本次马拉松比赛设置的补给站数； （2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个，根据“若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值； （3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合，根据补给站和医疗站的间隔，即可得出m= n，由m、n均为正整数即可求出结论． 【详解】解：（1）∵在起点、沿途每隔5千米一个补给站，最后两个补给站相隔2千米， ∴共设置补给站（422）÷5+1+1=10（个）， 故答案为：10 （2）设有x个固定医疗站，两站重合的有y个， 根据题意得：， 解得：， ∴42÷（29-1）=1.5（千米）， 答：沿途中，每两个固定医疗站之间距离是1.5千米． （3）设从起点到终点方向上第m个补给站和第n个固定医疗站重合， ∵沿途中，每两个固定医疗站之间距离是1.5千米，在起点、沿途每隔5千米一个补给站， ∴5m=1.5n， ∴m=n， ∵m、n是正整数， ∴当n=10时，m=3，此时距离起点的距离=5×3=15（千米）， 当n=20时，m=6，此时距离起点的距离=5×6=30（千米）， 当n=30时，m=9，此时距离起点的距离=5×9=45＞42，不合题意，舍去， 综上所述：沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点15千米或30千米． 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）根据补给站的设置间隔，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据补给站和医疗站的间隔，找出m、n之间的关系． 42．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）代驾已成为人们酒后出行的常见方式，其计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 注：代驾费由里程费，时长费，远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式：行车里程7公里以内（含7公里）不收取远途费，超过7公里的，超出部分每公里收取1元． 小王和小张由于酒后出行，各自雇佣代驾，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的行车里程分别是6公里和8公里，两人所付代驾费相同． （1）求这两辆车的实际行车时间相差多少分钟； （2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一个人早，所以提前到达约定地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【答案】（1）这两辆车的实际行车时间相差10分钟；（2）小王的实际乘车时间为23分钟，小张的实际乘车时间为13分钟． 【分析】（1）设小王的实际车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，根据两人所付代驾费相同列方程求解即可； （2）根据“等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟”列二元一次方程，将其与（1）中的二元一次方程联立即可求解． 【详解】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得： 2×6+0.5x=2×8+0.5y+1×（8-7）， ∴0.5（x-y）=5， ∴x-y=10， ∴这两辆车的实际行车时间相差10分钟； （2）由（1）及题意得： ，解得 ∴小王的实际乘车时间为23分钟，小张的实际乘车时间为13分钟． 【点睛】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组是解题的关键． 【经典例题八 二元一次方程组的应用之销售、利润问题】 43．（2026·吉林松原·一模）年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元．求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价． 【答案】“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元 【分析】设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元，根据辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元． 44．（2026七年级下·江苏·专题练习）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价． 【答案】篮球的单价为60元，足球的单价为50元 【分析】设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，任取两个条件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选①②； 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； 选①③：根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； 选②③：根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元． 45．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）随着科技的不断进步，某城镇居民对家居智能开关的需求日益增加．某五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元． (1)求A、B两型智能开关的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用420元购进A、B两种智能开关（A、B两型开关均购买），销售1个A型开关可获利35元，销售1个B型开关可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如开关全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型智能开关的单价是75元，B型智能开关的单价是30元； (2)该商店共有2种购买方案：购进A型智能开关个，B型智能开关个或购进A型智能开关个，B型智能开关个，最大利润是205元． 【分析】（1）设A型智能开关的单价是x元，B型智能开关的单价是y元，根据五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A型智能开关m个，B型智能开关n个，根据该商店计划正好用420元购进A、B两种智能开关（A、B两型开关均购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A型智能开关的单价是x元，B型智能开关的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A型智能开关的单价是75元，B型智能开关的单价是30元； （2）解：设购进A型智能开关m个，B型智能开关n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A型智能开关个，B型智能开关个，利润为（元）； ②购进A型智能开关个，B型智能开关个，利润为（元）； ， 最大利润是205元． 46．（25-26六年级下·上海崇明·期末）商场销售，两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获利润12万元．[利润（售价进价）销售量] A B 进价（万元/套） 1.5 1.2 售价（万元/套） 1.8 1.4 (1)该商场计划购进，两种品牌的教学设备各多少套？ (2)现商场决定再用15万同时购进，两种设备，且每种设备至少购进一套，共有哪几种进货方案？并求出获利最高的方案． 【答案】(1)该商场计划购进A种品牌的教学设备20套，购进B种品牌的教学设备30套 (2)①购进A品牌的教学设备2套，购进B品牌的教学设备10套；②购进A品牌的教学设备6套，购进B品牌的教学设备5套；获利最高的方案是方案② 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据已知条件列出方程组是解题的关键． （1）设该商场计划购进种品牌的教学设备套，购进种品牌的教学设备套，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设种品牌的教学设备购进数量套，种品牌的教学设备购进数量套，根据题意可得，由于、都为正整数，则有2种方案，①购进品牌的教学设备2套，购进品牌的教学设备10套或②购进品牌的教学设备6套，购进品牌的教学设备5套，比较哪种方案获利最高即可． 【详解】（1）解：设该商场计划购进种品牌的教学设备套，购进种品牌的教学设备套， 根据题意得： 解得： 答：该商场计划购进种品牌的教学设备20套，购进种品牌的教学设备30套； （2）解：设种品牌的教学设备购进数量套，种品牌的教学设备购进数量套，根据题意得： 、都为正整数， 或 有2种方案 ①购进品牌的教学设备2套，购进品牌的教学设备10套， 获利：万元； ②购进品牌的教学设备6套，购进品牌的教学设备5套， 获利：万元， ， 获利最高的方案是购进品牌6套，品牌5套． 47．（2026六年级下·上海嘉定·专题练习）某校计划购置篮球、钢笔、笔记本作为期末奖品，采购员在某文体用品店购买完毕，回到学校后发现小票有几个数据不清楚，如下表所示： 单位 数量 单价 金额 篮球 个 6 100.00 600.00元 钢笔 支 15.00 元 笔记本 本 5.00 元 合计 — 46 — 900.00元 请根据现有的信息，帮助采购员复原并求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】购置钢笔支，金额元；购置笔记本本，金额元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设购买钢笔支，笔记本本，根据钢笔的数量笔记本的数量篮球的数量，购买钢笔的金额购买笔记本的金额购买篮球的金额，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：设购买钢笔支，笔记本本． 依题意得 解得 当时，（元） 当时，（元） 答：购置钢笔支，金额元；购置笔记本本，金额元． 48．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）骏马奔腾，新春吉祥，探亲访友之际，常备缤纷礼盒，满载幸福与甜蜜．某超市主打两款礼盒：坚果礼盒每盒150元，糖果礼盒每盒120元．为吸引顾客，该超市推出以下优惠活动： 购买礼盒金额 优惠政策 不超过700元 不享受优惠 超过700元，不超过1200元 总价享受9折优惠 超过1200元 总价享受8折优惠 (1)若购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，求优惠后应支付的费用． (2)小李爸爸购买了540元的礼盒，其中坚果礼盒的总价比糖果礼盒的总价多60元． ①求小李爸爸每种礼盒的购买数量． ②小李妈妈在下班途中也去该超市购买了一些礼盒，小李看到优惠政策后发现，爸爸妈妈支付的费用之和超过了1200元，因此若是他一个人去买这些礼盒还可以节省204元，求妈妈单独购买礼盒时支付的费用． 【答案】(1)购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，优惠后应支付的费用为元 (2)①坚果礼盒2盒，糖果礼盒2盒；②妈妈单独购买礼盒时支付的费用为元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，二元一次方程的应用． （1）根据题意列出算式，即可求解． （2）①设购买坚果礼盒盒，糖果礼盒盒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； ②设妈妈购买礼盒总费用（未优惠）为元，支付了元．分，，三种情况分类讨论，分别根据优惠政策，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒的费用为：（元） 超过700元，不超过1200元 ∴（元） 答：购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，优惠后应支付的费用为元 （2）①设购买坚果礼盒盒，糖果礼盒盒，根据题意得： ， 解得， 答：坚果礼盒2盒，糖果礼盒2盒， ②设妈妈购买礼盒总费用（未优惠）为元，支付了元， 由于总费用超过1200元，小李一个人购买可享8折优惠，节省204元， 说明合并后享受8折优惠（9折最多节省元，不足204元）， ， 当时，，解得：， 而，不符合题意； 当时，， 即， 解得：元， 妈妈支付元， 当时，无解； 答：妈妈单独购买礼盒时支付的费用为元 【经典例题九 二元一次方程组的应用之几何问题】 49．（24-25七年级下·河南南阳·期中）小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图①所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图②所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为3 mm的小正方形！求每个小长方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设每个长方形的宽为，长为，据长和宽的关系得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设每个长方形的宽为，长为．根据题意，得 解得 ∴面积为， 答：每个小长方形的面积为． 50．（24-25七年级下·湖南郴州·月考）刘爷爷计划在一块长为，宽为的长方形空地种上蔬菜，如图所示，在空地上留出三个完全相同的小长方形和四个完全相同的正方形来种植番茄（阴影部分），其余部分种植辣椒．已知正方形的边长与小长方形的宽相等，请分别求出种番茄和辣椒的面积． 【答案】种植番茄的面积为46平方米，种植辣椒的面积为． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用等知识点，设小长方形的宽为，长为，再结合图形可得方程组，然后解方程组求出的值，进而即可得解，结合图形找出等量关系列出方程组是解题的关键． 【详解】设小长方形的宽为，长为， 根据题图，得， 解得， 种植番茄的面积为， 种植辣椒的面积为， 答：种植番茄的面积为46平方米，种植辣椒的面积为． 51．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案： (1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长； (2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积． 【答案】(1)大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为； (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程组和方程是解题的关键． （1）设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为，得到，解得，即可得到答案； （2）设重叠部分小正方形的边长为，得到，解得，求出阴影部分的面积为． 【详解】（1）解：设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为， 根据题意，得 解得， 大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为； （2）解：设重叠部分小正方形的边长为， 根据题意，得． 解得， 阴影部分的面积为． 52．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 【答案】(1) (2)①；；②24，27，30 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． （1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：、； （2）①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：， 所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生B型板材为，， 所以两种裁法共产生B型板材为张； 故答案为：；． 由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张． ∵所裁得的板材恰好用完， ∴，化简得． ∵n，m皆为整数， ∴m为4的整数倍， 又∵， ∴m可取32，36，40， 此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30． 答：做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个． 53．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）（1）如图1，宽为的大长方形由8个形状、大小相同的小长方形拼成，求其中一个小长方形长和宽分别是多少？ （2）如图1、图2，都是由8个形状、大小相同的小长方形拼（围）成的大矩形，且图2中的阴影部分（小矩形）的面积为，求小长方形的长． （3）如图3，在大长方形中放置9个形状、大小相同的小长方形，则所有阴影部分面积的和是___________．（说明：图中的单位为）    【答案】（1）长和宽分别是，；（2）5；（3）738 【分析】（1）设这8个大小一样的小长方形的长为，宽为，根据图形中线段的关系可得方程组，解之可得； （2）设这8个大小一样的小长方形的长为，宽为．根据图1中3个长度个宽度，及小矩形的边长为列出方程组； （3）设小长方形宽为，长为，由图可知大长方形长为，宽为，根据题中数据列出方程组求解即可． 【详解】解：（1）设这8个大小一样的小长方形的长为，宽为． ， 解得， 一个小长方形的长和宽分别是，； （2）设这8个大小一样的小长方形的长为，宽为，由图可知，中间小正方形是边长为的小正方形， ， ， 小长方形的长为； （3）设小长方形宽为，长为， 由图可知大长方形长为，宽为， 则， ， 大长方形的宽为， 所有阴影部分面积的和． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键． 54．（24-25七年级下·浙江·期中）小叶用如图的长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形的“接口”用来折叠后粘贴或封盖． （1）若小叶用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等．求该茶叶包装盒底面正方形的边长和“接口”的宽度分别是多少？ （2）小叶爸爸的茶叶专卖店以每盒150元购进一批茶叶，按进价增加20%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小叶的包装后，马上售完了余下的茶叶，但成本增加了每盒5元，售价仍不变．已知在整个买卖过程中共盈利1500元，求这批茶叶共进了多少盒？ 【答案】（1）底面正方形的边长8cm，“接口”的宽度2cm；（2）56或55盒 【分析】（1）由一个“接口”宽加上4个盒底边长等于34和两个“接口”宽加上4.5个盒底边长等于40，列方程组可解； （2）设第一个月销售了盒茶叶，第二个月销售了盒茶叶，分别表示出第一个月和第二个月的利润，二者相加等于1500，再根据和均为正整数及整除的性质可解． 【详解】解：（1）设“接口”宽度为，盒底边长为， 由题意得：， 解得． ∴底面正方形的边长8cm，“接口”的宽度2cm； （2）设第一个月销售了盒茶叶，第二个月销售了盒茶叶，由题意得： ， 化简得：． 、为正整数，由上式知为5的倍数，且， 或， 或55盒． 答：这批茶叶共进了56或55盒． 【点睛】本题属于二元一次方程的应用题，结合图形分析出等量关系式解决本题的关键，同时本题还考查了不定方程的基本解法，难度略大． 学科网（北京）股份有限公司 $