专题07 方程和列方程（三大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年六年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教版五四制2024）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题07 方程和列方程（三大题型，40题） 目录 题型一：判断各式是否是方程 1 题型二：列方程 6 题型三：方程的解 8 一、题型一：判断各式是否是方程 1．下列式子是方程的是（       ） A． B． C． D． 2．下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 3．下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列式子：①；②；③；④．其中，方程有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．下列各式中，不属于方程的是（ ）． A． B． C． 7．下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 8．下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 10．判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 二、题型二：列方程 11．用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 12．把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 13．根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（    ） A． B． C． D． 14．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 15．列等式表示“的2倍与10的和等于8” ． 16．比a的3倍大5的数等于a的4倍，依题意列出的方程是 ． 17．根据“比a的2倍大5的数等于8”可列方程为 ． 18．“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为 19．列等式表示“x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差”为 ． 20．蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ． 三、题型三：方程的解 21．一元一次方程中的部分数字被墨渍污染，翻看答案知此方程的解为，则被墨渍污染的数字“”为（    ） A． B． C． D． 22．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值，则关于x的方程的解为（    ） x 0 1 2 4 2 0 A． B． C． D． 23．小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（    ） A． B．4 C． D．2 24．若一元一次方程的解是，则的关系为（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为负倒数 25．若关于的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 26．已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ． 27．方程的解也是方程的解时，则 28．已知是关于x的方程的解，n满足关系式，则的值是 ． 29．整式（a、b为常数，）的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ． 0 2 0 30．已知a，b为定值，x的方程，无论k为何值，它的解总是2．则 ． 31．（原创）若关于x的方程的解与它的相反数在数轴上对应的点之间相距10个单位长度，则m的值为 ． 32．已知关于x的方程的解是负整数，那么整数k的所有取值之和为 ； 33．关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 34．已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是 ． 35．关于x的方程 （1）当a、b满足 ，此方程为一元一次方程． （2）当a、b满足 时，此方程无解． 36．已知关于的方程的解是，求的值． 37．已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 38．已知 是方程的解，求a的值 39．若关于的两个方程与的解互为相反数，求的值． 40．检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 4 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 1 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题07 方程和列方程（三大题型，40题） 目录 题型一：判断各式是否是方程 1 题型二：列方程 6 题型三：方程的解 8 一、题型一：判断各式是否是方程 1．下列式子是方程的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义．根据题意利用方程定义“等式两边含有未知数的等式叫方程”知识点即可得到本题答案． 【详解】解：∵不是等式， ∴A选项不是方程， ∵不是等式， ∴B选项不是方程， ∵是代数式，没有等号， ∴C选项不是方程， ∵符合方程的定义， ∴是方程， 故选：D． 2．下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可。 【详解】解：①符合方程的定义，故本小题正确； ②不含有未知数，不是方程，故本小题错误； ③不是等式，故本小题错误； ④符合方程的定义，故本小题正确； ⑤不是等式，故本小题错误； ⑥不是等式，故本小题错误． ⑦符合方程的定义，故本小题正确； ⑧ 符合方程的定义，故本小题正确． 故选C． 3．下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 根据方程的定义求解即可． 【详解】解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程； 综上，方程有2个． 故本题选：A． 4．下列式子：①；②；③；④．其中，方程有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义解答． 【详解】解：：①，不是等式，故不是方程，不符合题意； ②，不含有未知数，故不是方程，不符合题意； ③，符合方程的定义，符合题意； ④，符合方程的定义，符合题意． 故选：B． 5．已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是方程的定义，根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：不是等式，所以它不是方程； 是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程； 不是等式，所以它不是方程； 都具备方程的两个条件，所以都是方程． 故选：C． 6．下列各式中，不属于方程的是（ ）． A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查方程，明确方程的定义是解题的关键．含有未知数的等式就是方程，据此判断即可． 【详解】A．含有未知数且是等式，所以是方程，不符合题意； B．含有未知数且是等式，所以是方程，不符合题意； C．是等式，但不含未知数，所以不是方程，符合题意． 故选：C 7．下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的概念，根据方程的定义逐项判断即可，掌正确理解方程的定义是解题的关键． 【详解】、，不是方程，不符合题意； 、是代数式，不是方程，不符合题意； 、是不等式，不符合题意； 、是方程，符合题意； 故选：． 8．下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答． 【详解】解：，，，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程． 不是等式，因而不是方程． （a，b为已知数）不含未知数，所以不是方程． 故有3个式子是方程． 故选：C． 9．下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 【详解】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 10．判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 二、题型二：列方程 11．用方程表示“比它的多3”正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：表示“比它的多3”，可列方程为． 故选：B． 12．把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图书的数量不变，列出等量关系式，即可求解， 本题考查了列一元一次方程，解题的关系式：根据图书数量不变，列出等量关系式． 【详解】解：根据题意得：， 故选：． 13．根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件x与5的和的3倍即为，x的少2即为，然后列出等量关系即可 【详解】解：由题意可得：， 故选：C 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系． 14．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【答案】B 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【详解】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 15．列等式表示“的2倍与10的和等于8” ． 【答案】 【分析】此题考查了列方程，根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为： 16．比a的3倍大5的数等于a的4倍，依题意列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列方程，理清题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 17．根据“比a的2倍大5的数等于8”可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列方程，a的2倍为，则比a的2倍大5的数为，据此列出方程即可． 【详解】解：“比a的2倍大5的数等于8”可列方程为， 故答案为：． 18．“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程；的倍与的和可以表示为，的与的差可以表示为，由两个代数式相等，即可列出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得， 故答案为：． 19．列等式表示“x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差”为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，x的5倍与2的和可表示为，x的3倍与4的差可表示为，据此建立方程即可． 【详解】解：由题意得，列等式表示“x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差”为， 故答案为：． 20．蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共列方程，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 【详解】解：设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，则碳水化合物含量为，依题意可列方程，， 故答案为：． 三、题型三：方程的解 21．一元一次方程中的部分数字被墨渍污染，翻看答案知此方程的解为，则被墨渍污染的数字“”为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程即可求解，熟知方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得， ， ∴， 故选：． 22．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值，则关于x的方程的解为（    ） x 0 1 2 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解的定义，将整理为，再根据表格数据分析，即可解题． 【详解】解：， 解得：， 由表可知：当时，， 故选：C． 23．小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，将代入求解即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得：， 故选：C． 24．若一元一次方程的解是，则的关系为（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为负倒数 【答案】B 【分析】把解代入方程，求得关系计算即可．本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，熟练掌握方程的解是解题的关键． 【详解】∵关于x的方程的解是， ∴, 解得， 故选B． 25．若关于的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握换元法是解答本题的关键． 设，将替换为x代入方程可得，据此求解即可． 【详解】解：设， 则变形为， ∴，解得：． 故选：． 26．已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的方程的整数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是方程的整数根问题，根据已知条件可知，，，，是五个不同的整数，再把分解成五个整数积的形式，再把，，，，五个整数相加可得它们的和，最后把代入计算即可求解，根据题意把分解成几个整数积的形式是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的整数根， ∴， ∵，且，，，，是五个不同的整数， ∴，，，，也是五个不同的整数， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 27．方程的解也是方程的解时，则 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，由方程得到，代入方程即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， 把代入方程得， ， ∴， 故答案为：． 28．已知是关于x的方程的解，n满足关系式，则的值是 ． 【答案】或1 【分析】此题考查了一元一次方程的解，本题求、的思路是根据某数是方程的解，把代入方程，求出的值，把的值代入关系式，求出的值，进而求出的值． 【详解】解：将代入方程中， 得． 解得． 将代入关系式中，得． 解得或． 所以的值为或1． 29．整式（a、b为常数，）的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ． 0 2 0 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及代数式求值，据表格提供的数据可直接得出方程的解． 【详解】解：由，化简得： 根据表格得：当时，， 故的的解为． 故答案为：． 30．已知a，b为定值，x的方程，无论k为何值，它的解总是2．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，方程无数解的条件，求代数式的值，熟练掌握解是解题的关键． 【详解】∵方程的解总是2， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 31．（原创）若关于x的方程的解与它的相反数在数轴上对应的点之间相距10个单位长度，则m的值为 ． 【答案】或/或/或/或 【分析】本题考查了相反数的定义，方程的解，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反数，使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 【详解】解：∵该方程的解与它的相反数在数轴上对应的点之间相距10个单位长度， ∴． 把代入原方程，得， 解得． 把代入原方程，得， 解得． 故m的值为或． 故答案为：或． 32．已知关于x的方程的解是负整数，那么整数k的所有取值之和为 ； 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可得出原方程的解为，结合原方程的解是负整数且k为整数，可得出k的值，再将其相加即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵原方程的解是负整数，且k为整数， ∴或， ∴整数k的所有取值之和为． 故答案为：． 33．关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为 ． 【答案】 【分析】把代入方程得到关于a与b的关系式，再将关系式代入即可求解． 【详解】把代入方程，得：，即， 代入所求方程，得：， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 34．已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是 ． 【答案】5 【分析】根据一元一次方程解的定义,把 代入原方程得到关于 的方程,求出 的值，然后解关于 的方程即可； 【详解】解：把 代入方程 ， 得 ， 解得 ， 把 代入方程 ， 得 ， ， ， ， ； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等 35．关于x的方程 （1）当a、b满足 ，此方程为一元一次方程． （2）当a、b满足 时，此方程无解． 【答案】 为任意数 【分析】（1）方程移项合并整理得到结果，根据一元一次方程的定义即可得出答案； （2）方程移项合并整理得到结果，由方程无解，确定出a的值，及b的范围即可． 【详解】解：（1） 移项得：， 合并同类项得：， ∴为任意数，此方程为一元一次方程， 故答案为：为任意数． 解：（2）由原方程得， 则时，此方程无解， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值． 36．已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解的定义以及代数式求值，掌握解的定义是解答本题的关键． 将代入，解出，再将代入计算即可求解． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， ． 37．已知关于的方程，当，为何值时： (1)方程有唯一解； (2)方程有无数个解； (3)方程无解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次方程的解； （1）方程移项合并，根据有唯一解确定出条件即可； （2）根据方程有无数解确定出条件即可； （3）根据方程无解确定出条件即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴当时，即，方程有唯一解 （2）∵方程有无数个解， ∴，即 （3）∵方程无解， ∴， ∴ 38．已知 是方程的解，求a的值 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将方程的解代入方程求解即可得到答案； 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 39．若关于的两个方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，先求出两个方程的解，根据两解互为相反数即可求出的值，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的定义和掌握互为相反数的两数之和为零． 【详解】解：由，解得：， 由， ， 解得：， ∵两个方程的解互为相反数， ∴ 解得：． 40．检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 【详解】（1）解：当时， 左边， 右边， 左边=右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边≠右边， ∴不是方程的解． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$