专题03 一元一次方程56道计算题专项训练（7大题型）-2026-2027学年沪教版（五四制）六年级数学上册

第03讲 一元一次方程56道计算题专项训练（7大题型） 题型一 一元一次方程的简单解法 题型二 解含分母的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 根据两个一元一次方程的关系求解 题型五 一元一次方程的新定义问题 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 有规律的一元一次方程问题 【经典计算题一 一元一次方程的简单解法】 1．（26-27七年级上·黑龙江·期中）解方程： 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算步骤法则是解本题的关键． 将方程去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解． 【详解】解： ， 去括号： ， 移项： ， 合并同类项：， 系数化为1：． 2．（25-26七年级上·重庆渝北·阶段练习）解方程 ． 【答案】 【详解】解： 将方程中各分数分母的小数化为整数，得 方程两边同乘去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得． 3．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）解一元一次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 4．（25-26六年级上·上海闵行·期末）解方程： (1)； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： 移项，得 ； 合并同类项，得 ； 系数化为1，得 ． （2）解： 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． （3）解： 去分母，两边同乘分母的最小公倍数15，得 ； 去括号得 ； 移项得 ； 合并同类项得 ； 系数化为1，得 ． 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)． (2)． (3)． (4)． 【分析】（1）直接移项计算即可得结果； （2） 先去分母，再移项合并同类项，系数化为1求解； （3）移项合并同类项，系数化为1求解； （4）先去分母，再移项合并同类项，系数化为1求解． 【详解】（1）解：                  ． （2）解： 两边同乘18去分母得： 移项及合并得： 系数化为1得： ． （3）解： 移项及合并得： 系数化为1得：． （4）解： 两边同乘3去分母得： 移项及合并得： 系数化为1得：． 6．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）（2）先去括号，移项，合并同类项，系数化为进行计算，即可解答． （3）（4）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ， ． 7．（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 移项得 合并同类项得 系数化为1得 ； （2）解： 去括号得 合并同类项得 移项得 合并同类项得 系数化为1得； （3）解： 两边同乘去分母得 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得； （4）解： 将分子分母化为整数得 两边同乘去分母得 去括号得 移项得 合并同类项得 系数化为1得． 8．（2026七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解即可； （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解即可； （10）先化简方程，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （3）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （4）解： 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （5）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （6）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （7）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． （8）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （9）解：， 去分母，得 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （10）解：， 原方程可化为． 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 【经典计算题二 解含分母的一元一次方程】 9．（25-26六年级上·上海松江·阶段练习）解方程： 【答案】 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 两边都除以，得 10．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）解方程：． 【答案】 【分析】先去分母，再去括号，接着移项并合并同类项，最后化系数为1即可得到答案． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 11．（25-26六年级上·上海宝山·期中）解一元一次方程：． 【答案】 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 12．（2026六年级下·重庆·专题练习）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 13．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于数、定义新运算：，那么，求的值． 【答案】 【分析】根据新定义，列出方程，解方程即可． 【详解】解：由定义可知，， ∴原方程可化为： 故， 整理，得， 解得，． 14．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于y的方程与方程的解相同，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，先求出第二个方程的解，再将该解代入第一个方程，通过解一元一次方程即可求出m的值. 【详解】解：由方程 ∵关于y的方程与方程的解相同 ∴将代入得 解得. 15．（25-26七年级上·福建漳州·期末）下面是小红同学解方程的过程： 解：去分母，得       第①步 去括号，得               第②步 移项，得                 第③步 合并同类项，得                    第④步 系数化为1，得                        第⑤步 根据小红的解答过程，回答下列问题： (1)从第________步开始出现错误(填序号)： (2)写出正确解方程的过程． 【答案】(1)②； (2) 解：去分母，得； 去括号，得； 移项，得； 合并同类项，得； 系数化为，得． 【分析】本题考查一元一次方程的解法，关键是掌握去括号的法则：当括号前是负号时，去掉括号后括号内的每一项都要变号． （1）逐一排查小红的解题步骤，重点关注去括号环节的符号变化，确定错误的起始步骤； （2）按照一元一次方程的标准解法流程：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，逐步完成正确求解． 【详解】（1）解：观察小红的解答过程，第②步去括号时，对展开，根据去括号法则，应该得到，而小红写成了，符号处理错误，故从第②步开始出现错误； 故答案为：②． （2）略 16．（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2) 解： ， 去分母，得， 去括号，得 ， 移项，得 合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 【详解】（1）解：他从第一步开始出现错误； （2）略 【经典计算题三 解含绝对值的一元一次方程】 17．（25-26七年级上·全国·单元复习）解方程． 【答案】 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程求解，运用分类讨论思想，关键是先化简绝对值内表达式，再根据绝对值性质分情况解方程，易错点为忽略绝对值的非负性及解方程时的符号错误；解题思路是先化简绝对值内的式子，再根据绝对值的性质分两种情况去掉绝对值符号，进而解方程． 【详解】， 根据绝对值的意义，得：或， 当时： 当时： 检验：因为绝对值的结果为非负数， 所以，解得 当时，不满足，是增根，应舍去； 当时，满足， 故原方程的解为． 18．（2025六年级上·全国·专题练习）解绝对值方程：． 【答案】原方程无解 【分析】本题主要考查了绝对值方程，根据绝对值的意义分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，先化简绝对值，然后分别求出结果即可． 【详解】解：当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； ∴原方程无解． 19．（2026七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据绝对值的性质，分两种情况讨论，进一步解一元一次方程即可； （2）根据绝对值的性质，分三种情况讨论，进一步解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 分两种情况讨论： 当时，原方程可化为：， 解得：，符合； 当时，原方程可化为：， 解得：，符合， 原方程的解为：或． （2）解： 分三种情况讨论： 当时，原方程可化为：， 解得：，符合； 当时，原方程可化为：， 解得：，符合； 当时，原方程可化为：， 解得：，不符合，故舍去， 原方程的解为：或． 20．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）计算：已知，， (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)的值为或． (2)的值为或． 【分析】（1）根据绝对值的含义先求解，的值，再分类求解代数式的值即可； （2）根据绝对值的含义先求解，的值，再分类求解代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 综上：的值为或． （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 综上：的值为或． 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，求解代数式的值，清晰的分类讨论是解本题的关键． 21．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值方程，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；因此此题可根据绝对值方程的解法进行求解即可． 【详解】解：根据阅读材料的方法： 当，即时，原方程化为， 解得：； 当，即时，原方程化为， 解得：， 综上所述，方程的解为或． 22．（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）阅读下列解题过程并解答类似的题目． 解方程： 解：由，得 ①若，得 ②若，得 所以原方程的解是或 (1)解方程 (2)若方程的解也是方程的解，求m的值 【答案】(1)或 (2)m的值是或 【分析】本题主要考查绝对值方程及一元一次方程的解法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； （1）仿照题中所给方法进行求解即可； （2）先得出方程的解，然后再代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由得， ①若，则； ②若，则 所以原方程的解是或． （2）解：由，得， ①若，则； ②若，则． 所以的解是或． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以m的值是或． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分两种情况，当和时，先去掉绝对值符号，再解方程即可． 【详解】解：当，即时， 原方程为， 即， 解得； 当，即时， 原方程为， 即， 解得． 综上所述，方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解题的关键是能正确去掉绝对值符号． 24．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）定义新运算，如； 若，则称与互为“望一”数； 若，则称与互为“望外”数； (1)计算： ． (2)下列互为“望一”数的是 ；互为“望外”数的是 ．（填序号） ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)①④；③⑤ (3)0 【分析】本题考查了新定义运算、绝对值的化简、解一元一次方程等知识点，根据新定义将所给等式转化为带有绝对值的式子是解答本题的关键． （1）根据新定义的运算代入数值计算即可； （2）根据新定义的运算代入数值计算，再根据“望一”数和“望外”数的定义逐个进行判断即可； （3）根据新定义的运算化简后，得到，从而通或，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：． （2）①， 是互为“望一”数； ②， 既不是互为“望一”数，也不是互为“望外”数； ③， 是互为“望外数”； ④， 是互为“望一数”； ⑤， 是互为“望外数”； 综上所述：互为“望一”数的是①④，互为“望外”数的是③⑤． 故答案为：①④；③⑤． （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∴或， ∵方程无解， 解方程得， ∴x的值为0． 【经典计算题四 根据两个一元一次方程的关系求解】 25．（2026七年级上·全国·专题练习）若方程与关于的方程同解，求的值． 【答案】 【分析】先求出方程的解，然后将求出的解代入方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程，得． 将代入， 得， 解得． 【点睛】本题主要考查的是同解方程的定义，掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）求当为何值时，关于的方程的解比的解小2． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，先求出两个方程的解，根据已知得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：解方程得， 解方程得， 由题意可知， 解得． 27．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）已知关于的方程与方程的解互为倒数，求的值． 【答案】7 【分析】本题考查方程的解的关系，先求出方程的解，根据两个方程的解互为倒数，求出方程的解，代入方程，求出的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：解方程，得， ∵关于的方程与方程的解互为倒数， ∴方程的解为， 把代入，得：， 解得， ∴． 28．（25-26七年级上·北京石景山·期末）关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 【答案】(1)； (2)1或4 【分析】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． （1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，得是3的倍数，根据方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将代入方程， 得， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∵m是正整数，且是3的倍数，方程有正整数解， ∴或． 29．（25-26七年级上·安徽淮南·阶段检测）已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值． (2)若上述方程的解比方程的解小3，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解的关系，熟练掌握相关知识点，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）根据一元一次方程的定义，得到，进行求解即可； （2）先求出的解，根据解的关系，得到的解，代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：由（1）可知方程为， 解得； ∵上述方程的解比方程的解小3， ∴的解为， ∴， ∴． 30．（25-26七年级上·河南安阳·期中）按要求完成下列各题： (1)关于的方程的解与方程的解互为倒数，求的值． (2)小马虎在解关于的方程时，出现了一个失误：“在将移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为，求的值和原方程的解． 【答案】(1) (2)，原方程的解为 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于的方程是解题关键． （1）根据方程的解互为倒数，可得关于的方程，根据解方程，可得的值，再根据乘方的性质，可得答案； （2）先根据错误方程的解，求出的值，再列出正确的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：解方程，得， ∵方程的解与方程的解互为倒数， ∴方程的解为． ，解得． ． （2）由题意得：错误的方程为：， 将代入得：，解得， ∴原方程为：，解得． 31．（2025七年级上·全国·专题练习）若两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的“后移方程”． (1)若关于x的方程是关于x的方程的“后移方程”，求n的值． (2)当时，如果方程是方程的“后移方程”，请直接用等式表示满足的数量关系：________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程步骤是关键． （1）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值； （2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关系式即可． 【详解】（1）解:方程， 解得：， 方程， 解得： ， 根据题意得：， 解得：； （2）解：方程， 解得：， 方程， 解得：， 根据题意得：， 即 ， 整理得：． 即 故答案为： 32．（25-26六年级下·山东威海·期中）阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】求已知方程的解，再根据“成双方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2， ∴另一个方程的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解方程得， ∵两个方程互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程得， 解得． 【经典计算题五 一元一次方程的新定义问题】 33．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）规定一种新运算：，若，求的值． 【答案】 6 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次方程的求解，解题的关键是根据新运算的定义将转化为常规代数式，再解方程． 先根据新运算的定义，把展开为；再代入原方程，得到一元一次方程；最后通过移项、合并同类项、系数化为1求出的值． 【详解】解：根据新运算定义，得， 代入原方程，得． 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：． 34．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·期末）定义一种新运算“＊”，解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 首先得出方程，然后去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 将未知数的系数化为1，得． 35．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）定义一种新的运算：，例如：，如果，求的值． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，一元一次方程的应用，根据新定义列出关于x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ， 解得， 即的值为． 36．（25-26七年级上·青海海东·期末）定义一种新运算“※”，．例如：，．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的解法，利用新定义建立方程，再解方程即可． 【详解】解：依题意得：，， ∴， 解得：． 37．（25-26七年级上·江西宜春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求a的值． 【答案】(1)是“美好方程”， 解方程得， 解方程得， 因为， 所以这两个方程是“美好方程”； (2) 14 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． （1）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解方程得， 根据题意，方程的解为：， 所以， 解得． 38．（25-26七年级上·云南德宏·期末）【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如，方程的解为，因为，所以有：，即，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求与的值． 【答案】(1)① (2) (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出每个方程的解，再根据“友好方程”的定义逐个判断即可； （2）先根据等式的性质求出方程的解，再根据“友好方程”的定义得出，再求出即可； （3）先把代入方程，求出，求出，依题意得出，再求出答案即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ①为“友好方程”； ②， ， ， ②不是“友好方程”； ③， ， ， ③不是“友好方程”． 故答案为：①； （2）解：， 解得：， 关于的一元一次方程是“友好方程”， ， ， ， ， ； （3）解：是关于的一元一次方程的解， ， 解得：， 依题意得：，， ， ， ． 39．（25-26六年级上·上海徐汇·期中）阅读与思考 阅读下面的内容，并完成相应任务． 美好方程定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与互为“美好方程”． 任务： (1)请判断方程与是否互为“美好方程”，并说明理由． (2)若关于的方程与互为“美好方程”，求的值． 【答案】(1) 方程与不互为“美好方程”，理由如下： 解方程，得， 解方程，得， ， 方程与不互为“美好方程”； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解“美好方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义求解即可； （2）分别求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：解方程，得， 解方程，得， 关于的方程与互为“美好方程”， 解得． 40．（25-26七年级上·广东广州·期末）（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）先推出，进而得到或，进而解方程即可； （2）仿照题意进行求解即可； （3）先解方程得到或，，再根据新定义得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得或； （2） 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或； （3）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”， ∴或， 解得或． 【经典计算题六 一元一次方程的整数解问题】 41．（24-25七年级上·四川德阳·阶段检测）关于x的一元一次方程解为整数，求整数m的值． 【答案】或或或， 【分析】本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的定义，解题的关键是正确掌握一元一次方程的定义； 根据该方程有整数解，且m是整数，结合一元一次方程的解题步骤，得到关于m的一元一次方程，解方程即可， 【详解】∵方程有整数解， ∴， ∴， ∴， ∵m是整数， ∴或或或 解得：或或或． 42．（2026七年级·全国·模拟预测）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解方程，解题的关键是先将a看作已知数，得出，根据x为整数，得出或，再求出a的值即可． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：， 解得， 当或时，是整数， ∴． 43．（25-26七年级上·北京大兴·期末）已知关于的方程． (1)当时，求方程的解； (2)若，方程的解是整数，则有最 （填“大”或“小”）值，这个值是 ，此时， ． 【答案】(1) (2)小，1，2 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）当时，原方程为：，再根据解一元一次方程的步骤进行计算即可得出答案； （2）求出，由，得出，再结合方程的解是整数，得出有最小值，这个值是，从而得出答案． 【详解】（1）解：当时，原方程为：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，方程的解为； （2）解：， ， ， ， ∵， ∴原方程的解为． ∵原方程的解是整数，且， 则， 又∵最小的正整数为1， ∴当时，取得最小值，最小值， 即有最小值，这个值是1，此时，． 故答案为：小，1，2． 44．（24-25七年级上·北京房山·阶段检测）已知关于x的方程 ． (1)当时，求方程的解； (2)若方程的解是整数时，求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）当时，原方程为：，再根据解一元一次方程的步骤进行计算即可得出答案； （2）求出，再结合方程的解是整数，从而得出答案． 【详解】（1）解：当时，原方程为：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，方程的解为； （2）解：， ， ， ， ∵， ∴原方程的解为． ∵原方程的解是整数，为整数， ∴． 45．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 【答案】(1)2 (2)7 (3)或或或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程、一元一次方程的解等知识，熟练掌握一元一次方程的定义是解题关键． （1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，据此即可获得答案； （2）首先解方程可得，然后将代入方程并求解，即可获得答案； （3）根据题意，当时，，易知当取、时才能使该方程有整数解为整数，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程为关于的一元一次方程， ∴，， 解得，， ∴的值为2； （2）解方程，可得， 依题意得，方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得， ∴的值为7； （3）解：∵关于的一元一次方程有整数解， ∴当时，， ∵当取、时才能使该方程有整数解为整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，或或或． 46．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图是一个计算程序图： (1)若输入x的值为，求输出的结果y的值； (2)若输出的结果y的值为3，求输入x的值； (3)不论输入x的值为多少，输出的结果都不可能取到某些整数，请直接写出这些不可能取到的整数．（直接填写结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据程序流程图，进行计算即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可； （3）求出y的取值范围，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：当时：，解得：或（舍）； 当时，，解得：（舍）； 综上：； （3）当时： ∵， ∴； 当， ， ∴或， ∴不可能取到：这三个整数． 【点睛】本题考查程序流程图．严格按照流程图进行计算求解，是解题的关键．注意分类讨论． 47．（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 ，只显示不运算，接着再输入整数 后，显示 的结果．比如依次输入 ，，则输出的结果是 ；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值． (1)若小明依次输入 ，，，则最后输出的结果是多少？ (2)若将 ，，， 这 个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是多少？最小值是多少？ (3)若任意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 ，，，全部输入完毕后显示的最后结果为 ，已知 的最大值为 ，求 的最小值． 【答案】(1)4 (2)最大值是 ，最小值是 (3)6 【分析】（1）依据题干给出的定义列式计算即可； （2）每一次输出的结果均是非负，再结合依据题干给出的定义列式计算即可； （3）设 为较大数字，①当 ，即 时，根据最大值为10可得，，即 的最小值为 ；②当 时，根据最大值为10可得 ， 即故 的最小值为 ，问题随之得解． 【详解】（1）根据题意得：； 故输出结果为4； （2）根据题意得：，，， 对于 ，，，，按 ，，， 的次序输入完毕后显示的结果为最小值， 即 ， 按 ，，， 的次序输入完毕后显示的结果为最大值， 即 ， 故全部输入完毕后显示的结果的最大值是 ，最小值是 ； （3） 任意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 ，，，全部输入完毕后显示的最后结果为 ， 的最大值为 ， 设 为较大数字， ①当 ，即 时，， 解得 ， 故 的最小值为 ； ②当 时，， 则 ， ， 故 的最小值为 ． 综上所述， 的最小值为 ． 【点睛】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力． 48．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例  将化为分数形式 由于，设① 则② ②-①得，解得，于是得． 同理可得， 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） （1）基础训练：______，______； （2）参考（1）中的方法，比较与1的大小：____1；（填“”、“”或“”） （3）将化为分数形式，写出推导过程． （4）迁移应用：______；（注：） 【答案】（1），；（2）=；（3），见解析；（4） 【分析】（1）根据阅读材料的解答过程，循环部只有一位数时，用循环部的数除以9即为分数，进而求出答案． （2）根据阅读材料的解答过程，类比可得=1，即可求解； （3）循环部有两位数时，参照阅读材料的解答过程，可先乘以100，再与原数相减，即求得答案； （4）循环部有三位数时，参照阅读材料的解答过程，可先乘以1000，再与原数相减，即求得答案． 【详解】解：（1）由于，设① 则② ②-①得，解得，于是得． 同理可得， 故答案为：，； （2） 故答案为：=． （3）由于 设① 则② ②-①得，解得，于是得 （4）迁移应用：由于 设① 则② ②-①得，解得，于是得 故答案为： 【点睛】本题考查了有理数运算、比较大小，一元一次方程的解法．解题关键是，正确理解题意的解答过程并转化运用到循环部数字不一样的情况计算． 【经典计算题七 有规律的一元一次方程问题】 49．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期中）有一列数，按一定规律排列成，，，，，，……，其中某三个相邻数的和是，求这三个数各是多少？ 【答案】这三个数分别是，242，． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察可知后面一个数是前面一个数的倍，则可设所求三个数为从左到右分别为x，，，根据这三个数的和为可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设所求三个数为从左到右分别为x，，， 由题意得，， ∴， 解得， ∴， 答：这三个数分别是，242，． 50．（25-26七年级上·浙江台州·期末）观察下面三行数列： 第一行：1    4    9    16    25… 第二行：0    3    8    15    24… 第三行：2    6    12   20    30… 根据它们的规律，解答下列问题： (1)第一行第8个数是______； (2)第二行第n个数是______（用含n的式子表示）； (3)第三行第m个数与第二行第m个数的差为2026，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，列代数式，解一元一次方程； （1）根据题目中数字的特点，写出第一行第个数为：，即可求解； （2）根据题目中数字的特点，写出第二行第个数为：，即可求解； （3）根据题目中数字的特点，写出第三行第m个数为，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：第一行：1    4    9    16    25… ∴第一行第个数为：， ∴第一行第8个数是 故答案为：． （2）解：第一行：1    4    9    16    25… 第二行：0    3    8    15    24… ∴第一行第个数为：， ∴第二行第个数为：， 故答案为：． （3）解：第三行：2    6    12   20    30… 即，，，，，… ∴第三行第m个数为 ∵第三行第m个数与第二行第m个数的差为2026， ∴ 解得： 51．（25-26七年级上·河南漯河·期中）已知数轴上三点A、O、B对应的数分别为、0、1，点M为数轴上任意一点，其对应的数为x．请解决下列问题： (1)填空： ①A、B两点间的距离是 ； ②如果点M到点A、点B的距离相等，那么x的值是 ； ③如果点M从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动了2023次时，那么x的值是 ； (2)当x为何值时，点M到点A、点B的距离之和是8？ 【答案】(1)①6；②；③ (2)或 【分析】（1）此题主要考查了数轴上两点之间的距离和一元一次方程的应用， ①根据点A和点B对应的数，即可求得两点的距离； ②根据点之间的距离列出等式，求解即可； ③根据题意得到点P每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可； （2）根据题意列出等式，因为，即M在点A、点B的左右两侧，解方程即可． 【详解】（1）解：①A、B两点间的距离， ②∵点M到点A、点B的距离相等， ∴，则，解得， ③根据题意 ． （2）根据题意得， 因为，即M在点B的右侧，，有，解得， M在点A左侧，，有，解得， 故答案为：或． 52．（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测） 如图，直线AB上有一点P，点M，N分别为线段PA，PB的中点，AB＝14． (1)若点P在线段AB上，且AP＝8，求线段MN的长度； (2)若点P在直线AB上运动，设AP＝x，BP＝y，请分别计算下面情况时MN的长度： ①当P在AB之间； ②当P在A左边； ③当P在B右边； 你发现了什么规律？ 【答案】（1）7；（2）①７；②７；③７；规律：线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关，均为7． 【分析】（1）由线段的中点性质解得MP，NP的长，再结合线段的和差解题即可； （2）①当P在AB之间，根据中点性质，分别解得NP、MP的长，再结合图形根据线段的和差解题； ②当P在A左边，根据中点性质，分别解得NP、MP的长，再结合图形根据线段的和差解题； ③当P在B右边，根据中点性质，分别解得NP、MP的长，再结合图形根据线段的和差解题；由①②③得出的结论得到规律． 【详解】（1） 点M为线段PA的中点， 点N为线段PB的中点， ； （2）设AP＝x，BP＝y， 点M，N分别为线段PA，PB的中点， ， ①当P在AB之间， ； ②当P在A左边 ； ③当P在B右边， ； 我发现的规律：线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关，均为7． 【点睛】本题考查线段的中点、数轴上两点间的距离，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 53．（25-26七年级上·河南郑州·期末）小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程： ①； ②； ③； ④… （1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息； （2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由； （3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？ 【答案】（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2； （2）正确． 验证如下： 把代入到方程中，左边， 右边，所以是方程的解，小明的推测正确． 第四个方程为． （3）（为正整数，且）． 【分析】（1）观察方程，可得出规律； （2）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系即可直接写出方程，然后解方程即可； （3）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系直接写出方程 【详解】解：（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2（答案不唯一，答出一条即可）） （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了学生的观察分析能力，理解方程中每部分的数字与方程的解的关系是解题的关键． 54．（25-26七年级上·江苏南通·单元测试）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题： (1)若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则a的值为　　　； (2)若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则　　　； (3)若数轴上比a小2的数用b表示，比a大5的数用c表示，则的最小值为　　　； (4)若，，，…，．则式子的最小值为　　　． 【答案】(1)1或 (2)7 (3)14 (4)284 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可； （3）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可； （4）根据数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）∵点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：1或； （2）∵点P位于表示的点与表示2的点之间， ∴表示点P到2和的距离和， ∵， ∴， 故答案为：7； （3）∵数轴上比a小2的数用b表示， ∴， ∵比a大5的数用c表示， ∴， ∴， ∵表示数轴上表示数a的点到表示数与4的点的距离之和， 当时，有最小值14， 故答案为：14； （4）∵，，，…，， ∴ ， 根据绝对值的几何意义，相当于找到表示数a的点，使得这个点到表示数1，，9，，……81的点的距离和最小， 只能取， 当时，有最小值284， 故答案为：284． 【点睛】此题考查了数轴，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． 55．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，例如：若数轴上点A，B分别对应数a，b．则A，B两点之间的距离为． 【问题情境】如图，数轴上点A，B分别对应数a，b．其中． 【综合运用】 (1)当时，线段的长度是__________； (2)若该数轴上另有一点N对应着数n． ①在（1）的条件下，若点N在点A，B之间，且满足，则数n是__________； ②当，且时，探究a与n之间的数量关系． 【答案】(1)10 (2)①；②或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、一元一次方程、合并同类项． （1）根据两点之间的距离公式计算即可； （2）①根据两点之间的距离公式，得出，，再根据，列出一元一次方程，解出即可得出答案； ②根据题意，列出方程整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵当，时， ∴线段； 故答案为：10； （2）解：①∵数轴上另有一点N对应着数n，点N在点A，B之间，，， ∴，， 又∵， ∴， 解得：， ∴数n是； 故答案为：； ②∵， ∴， 整理得或， 即或． 56．（25-26七年级上·吉林·阶段检测）在学习整式加减法时，小明同学做了这样一道题目： 化简：（2x2 +ax）-（-2x2 +ax + 1） = 2x2 +ax+2x2-ax-1 = （2+ 2）x2+（a-a）x--1 = 4x2--1 小明发现，化简后含x项的系数和为0，所以整式（2x2 +ax）-（-2x2 +ax +1）的值和a的取值无关．请根据小明发现的规律，解决下列问题． 已知整式2（ax3 + 2bx2 +1）-4（-x3 -3x2 + 6）的值与a、b的取值无关．回答下列问题： (1)直接写出a = ，b= (2)求整式2ab2 + 3a3b的值； (3)解关于x的方程： – =1 【答案】(1)－2；－3 (2)36 (3) 【分析】（1）根据题中例题，将整式先进行化简合并同类项，然后依据整式的值与a，b的取值无关，得出，，求解即可得出结果； （2）把的值代入求值即可得； （3）根据（1）中结果确定方程，然后去分母，去括号，合并同类项进行求解即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ∵整式的值与a，b的取值无关， ∴，， 解得：，， 故答案为：；； （2）解：当，时 ， ； （3）由（1）可得方程为：， 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：． 【点睛】题目主要考查整式的化简求参数的取值，求代数式的值，解一元一次方程等，理解题意，综合运用这些运算法则是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一元一次方程56道计算题专项训练（7大题型） 题型一 一元一次方程的简单解法 题型二 解含分母的一元一次方程 题型三 解含绝对值的一元一次方程 题型四 根据两个一元一次方程的关系求解 题型五 一元一次方程的新定义问题 题型六 一元一次方程的整数解问题 题型七 有规律的一元一次方程问题 【经典计算题一 一元一次方程的简单解法】 1．（26-27七年级上·黑龙江·期中）解方程： 2．（25-26七年级上·重庆渝北·阶段练习）解方程 ． 3．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）解一元一次方程： (1) (2) 4．（25-26六年级上·上海闵行·期末）解方程： (1)； (2) ； (3) 5．（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)．   6．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）解方程： (1) (2) (3) (4) 7．（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（2026七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【经典计算题二 解含分母的一元一次方程】 9．（25-26六年级上·上海松江·阶段练习）解方程： 10．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）解方程：． 11．（25-26六年级上·上海宝山·期中）解一元一次方程：． 12．（2026六年级下·重庆·专题练习）解下列方程： (1) (2) 13．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于数、定义新运算：，那么，求的值． 14．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于y的方程与方程的解相同，求m的值． 15．（25-26七年级上·福建漳州·期末）下面是小红同学解方程的过程： 解：去分母，得       第①步 去括号，得               第②步 移项，得                 第③步 合并同类项，得                    第④步 系数化为1，得                        第⑤步 根据小红的解答过程，回答下列问题： (1)从第________步开始出现错误(填序号)： (2)写出正确解方程的过程． 16．（2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【经典计算题三 解含绝对值的一元一次方程】 17．（25-26七年级上·全国·单元复习）解方程． 18．（2025六年级上·全国·专题练习）解绝对值方程：． 19．（2026七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)． (2)． 20．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）计算：已知，， (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 21．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）【阅读与思考】 在解形如()的方程时，我们可以根据绝对值的意义，分情况讨论： 当时，原方程化为，解得； 当时，原方程化为，解得． 所以，方程()的解为或． 【理解与应用】 利用上述方法解方程：． 22．（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）阅读下列解题过程并解答类似的题目． 解方程： 解：由，得 ①若，得 ②若，得 所以原方程的解是或 (1)解方程 (2)若方程的解也是方程的解，求m的值 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 24．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）定义新运算，如； 若，则称与互为“望一”数； 若，则称与互为“望外”数； (1)计算： ． (2)下列互为“望一”数的是 ；互为“望外”数的是 ．（填序号） ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤； (3)若，则的值为多少？ 【经典计算题四 根据两个一元一次方程的关系求解】 25．（2026七年级上·全国·专题练习）若方程与关于的方程同解，求的值． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）求当为何值时，关于的方程的解比的解小2． 27．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）已知关于的方程与方程的解互为倒数，求的值． 28．（25-26七年级上·北京石景山·期末）关于的一元一次方程，其中是正整数． (1)当时，求方程的解； (2)若方程有正整数解，求的值． 29．（25-26七年级上·安徽淮南·阶段检测）已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值． (2)若上述方程的解比方程的解小3，求k的值． 30．（25-26七年级上·河南安阳·期中）按要求完成下列各题： (1)关于的方程的解与方程的解互为倒数，求的值． (2)小马虎在解关于的方程时，出现了一个失误：“在将移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为，求的值和原方程的解． 31．（2025七年级上·全国·专题练习）若两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的“后移方程”． (1)若关于x的方程是关于x的方程的“后移方程”，求n的值． (2)当时，如果方程是方程的“后移方程”，请直接用等式表示满足的数量关系：________． 32．（25-26六年级下·山东威海·期中）阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 【经典计算题五 一元一次方程的新定义问题】 33．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）规定一种新运算：，若，求的值． 34．（25-26七年级上·重庆沙坪坝·期末）定义一种新运算“＊”，解方程：． 35．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）定义一种新的运算：，例如：，如果，求的值． 36．（25-26七年级上·青海海东·期末）定义一种新运算“※”，．例如：，．若，求的值． 37．（25-26七年级上·江西宜春·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求a的值． 38．（25-26七年级上·云南德宏·期末）【定义】若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”，例如，方程的解为，因为，所以有：，即，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)①，②，③三个方程中，为“友好方程”的是 （填写序号）； (2)若关于的一元一次方程是“友好方程”，求的值； (3)若关于的一元一次方程是“友好方程”，且它的解为，求与的值． 39．（25-26六年级上·上海徐汇·期中）阅读与思考 阅读下面的内容，并完成相应任务． 美好方程定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与互为“美好方程”． 任务： (1)请判断方程与是否互为“美好方程”，并说明理由． (2)若关于的方程与互为“美好方程”，求的值． 40．（25-26七年级上·广东广州·期末）（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【经典计算题六 一元一次方程的整数解问题】 41． （24-25七年级上·四川德阳·阶段检测）关于x的一元一次方程解为整数，求整数m的值． 42．（2026七年级·全国·模拟预测）已知关于的方程有整数解，且是整数，求的值． 43．（25-26七年级上·北京大兴·期末）已知关于的方程． (1)当时，求方程的解； (2)若，方程的解是整数，则有最 （填“大”或“小”）值，这个值是 ，此时， ． 44．（24-25七年级上·北京房山·阶段检测）已知关于x的方程 ． (1)当时，求方程的解； (2)若方程的解是整数时，求整数的值． 45．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）已知关于的一元一次方程，其中为整数 (1)求的值 (2)若该方程与方程同解，求的值 (3)若该方程有整数解，求的值 46．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图是一个计算程序图： (1)若输入x的值为，求输出的结果y的值； (2)若输出的结果y的值为3，求输入x的值； (3)不论输入x的值为多少，输出的结果都不可能取到某些整数，请直接写出这些不可能取到的整数．（直接填写结果） 47．（25-26七年级上·广东梅州·阶段检测）有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 ，只显示不运算，接着再输入整数 后，显示 的结果．比如依次输入 ，，则输出的结果是 ；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值． (1)若小明依次输入 ，，，则最后输出的结果是多少？ (2)若将 ，，， 这 个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是多少？最小值是多少？ (3)若任意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 ，，，全部输入完毕后显示的最后结果为 ，已知 的最大值为 ，求 的最小值． 48．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例  将化为分数形式 由于，设① 则② ②-①得，解得，于是得． 同理可得， 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） （1）基础训练：______，______； （2）参考（1）中的方法，比较与1的大小：____1；（填“”、“”或“”） （3）将化为分数形式，写出推导过程． （4）迁移应用：______；（注：） 【经典计算题七 有规律的一元一次方程问题】 49．（25-26七年级上·辽宁抚顺·期中）有一列数，按一定规律排列成，，，，，，……，其中某三个相邻数的和是，求这三个数各是多少？ 50．（25-26七年级上·浙江台州·期末）观察下面三行数列： 第一行：1    4    9    16    25… 第二行：0    3    8    15    24… 第三行：2    6    12   20    30… 根据它们的规律，解答下列问题： (1)第一行第8个数是______； (2)第二行第n个数是______（用含n的式子表示）； (3)第三行第m个数与第二行第m个数的差为2026，求m的值． 51．（25-26七年级上·河南漯河·期中）已知数轴上三点A、O、B对应的数分别为、0、1，点M为数轴上任意一点，其对应的数为x．请解决下列问题： (1)填空： ①A、B两点间的距离是 ； ②如果点M到点A、点B的距离相等，那么x的值是 ； ③如果点M从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动了2023次时，那么x的值是 ； (2)当x为何值时，点M到点A、点B的距离之和是8？ 52．（25-26七年级上·河南新乡·阶段检测） 如图，直线AB上有一点P，点M，N分别为线段PA，PB的中点，AB＝14． (1)若点P在线段AB上，且AP＝8，求线段MN的长度； (2)若点P在直线AB上运动，设AP＝x，BP＝y，请分别计算下面情况时MN的长度： ①当P在AB之间； ②当P在A左边； ③当P在B右边； 你发现了什么规律？ 53．（25-26七年级上·河南郑州·期末）小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程： ①； ②； ③； ④… （1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息； （2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由； （3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？ 54．（25-26七年级上·江苏南通·单元测试）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题： (1)若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则a的值为　　　； (2)若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则　　　； (3)若数轴上比a小2的数用b表示，比a大5的数用c表示，则的最小值为　　　； (4)若，，，…，．则式子的最小值为　　　． 55．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，例如：若数轴上点A，B分别对应数a，b．则A，B两点之间的距离为． 【问题情境】如图，数轴上点A，B分别对应数a，b．其中． 【综合运用】 (1)当时，线段的长度是__________； (2)若该数轴上另有一点N对应着数n． ①在（1）的条件下，若点N在点A，B之间，且满足，则数n是__________； ②当，且时，探究a与n之间的数量关系． 56．（25-26七年级上·吉林·阶段检测）在学习整式加减法时，小明同学做了这样一道题目： 化简：（2x2 +ax）-（-2x2 +ax + 1） = 2x2 +ax+2x2-ax-1 = （2+ 2）x2+（a-a）x--1 = 4x2--1 小明发现，化简后含x项的系数和为0，所以整式（2x2 +ax）-（-2x2 +ax +1）的值和a的取值无关．请根据小明发现的规律，解决下列问题． 已知整式2（ax3 + 2bx2 +1）-4（-x3 -3x2 + 6）的值与a、b的取值无关．回答下列问题： (1)直接写出a = ，b= (2)求整式2ab2 + 3a3b的值； (3)解关于x的方程： – =1 学科网（北京）股份有限公司 $