专题06分式的运算暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固) 2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

专题06分式的运算暑假预习讲义 1. 识记：类比分数运算，熟记分式乘除、乘方、同分母加减、异分母加减全部运算法则，牢记分式运算全程分母不能为0的硬性要求。 2. 转化：掌握分式除法运算核心技巧，除法统一转化为乘法（颠倒除式分子分母）；多项式分式运算前优先因式分解，便于提前约分简化计算。 3. 实操：熟练分式乘方运算，明确分子、分母整体分别乘方，重点把控负数分式乘方后的符号判定；规范单项式、多项式分式的乘除基础运算。 4. 掌握：理解通分定义，学会求解最简公分母（系数取最小公倍数、字母取最高次幂），能够对多个异分母分式完成通分变形。 5. 运算：区分两类分式加减运算，同分母分式直接分子相加减；异分母分式先通分转化为同分母，再开展加减计算，结果化为最简分式。 6. 统筹：理清分式混合运算顺序，先乘方、再乘除、最后算加减，括号内运算优先，合理运用乘法分配律简化复杂算式。 7. 求值：熟练分式化简求值题型，先对分式整体化简，再代入数值计算；代入前检验未知数取值，杜绝分母等于0的无效取值。 8. 辨析：区分约分与通分的不同用途，约分用于简化单个分式，通分用于统一分母完成分式加减，避免两种变形操作混淆。 9. 应用：结合工程、路程、浓度类实际问题，列分式算式完成运算，利用分式运算求解简单实际数量问题。 10. 避错：规避高频易错点，乘方遗漏括号、通分漏乘分子项、加减时分母擅自相减、运算结果未约分为最简分式、符号处理失误。 预习必备 知识梳理 1.分式乘法 2.分式除法 3.分式乘方 4.同分母分式加减法 5.异分母分式加减法 6.分式混合运算 7.四则运算法则汇总 8.高频易错点汇总 1.分式的乘法 2.分式的除法 3.分式的乘除混合运算 4.含乘方的分式乘除混合运算 常考题型 精讲精练 5.分式乘方 6.同分母分式加减法 7.异分母分式加减法 8.整式与分式相加减 9.分式恒等式确定分子或分母 10.分式加减混合运算 11.分式加减的实际应用 12.分式加减乘除混合运算 13.分式化简求值 14.负整数指数幂 15.整数指数幂的运算 16.最简公分母 17.通分 强化题型 解答题8题 知识点 1 分式的乘法 1. 运算法则 文字：两个分式相乘，分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母。 公式：（b、d 均不为 0） 2. 计算标准步骤 (1)若分子、分母是多项式，先因式分解； (2)分子分母交叉约分，消去全部公因式； (3)剩余因式分别相乘，结果化为最简分式。 3. 补充说明 整式与分式相乘，把整式看成分母为 1 的分式再计算。 ： 知识点 2 分式的除法 1. 运算法则 文字：分式除以分式，等于被除式乘除式的倒数。 公式：：​（b、c、d 均不为 0） 2. 关键要点 (1)除法第一步必须先变乘法，同时颠倒除式分子分母； (2)不可直接分子分母分别相除； (3)含多项式依旧先分解、再约分。 分式乘除对比表 运算类型 核心法则 关键操作 分式乘法 分子乘分子，分母乘分母 直接约分、因式分解后消公因式 分式除法 除式取倒数，转化为乘法 先变乘法再约分，禁止直接相除 3 分式的乘方 1. 运算法则 文字：分式乘方，分子、分母分别乘方。 公式：()n=(（b0，n 为正整数） 2. 符号规律 分式负数次幂：(-)n，n奇数结果为负，n偶数结果为正。 3. 混合运算顺序 先乘方，再乘除；同级运算从左往右依次计算。 知识点 4 同分母分式加减法 1. 运算法则 文字：分母不变，分子相加减。 公式：±（C0） 2. 重要注意 分子是多项式时，加减必须给分子整体加括号，避免符号出错。 知识点 5 异分母分式加减法 1. 运算法则 文字：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减计算。 步骤：找最简公分母→通分→分子相加减→约分至最简 公式：（b、d 均不为 0） 2. 整式加分式处理方法 把整式写成分母为 1 的分式，再通分计算。 知识点 6 分式混合运算通用完整顺序 1.有括号，先算括号内的加减； 2.无括号先算分式乘方； 3.再从左到右完成乘除运算； 4.最后算分式加减； 5.每一步计算后及时约分，最终结果必须是最简分式或整式。 知识点 7四则运算法则总汇总表 运算类别 运算公式 核心注意点 分式乘法 多项式先分解，提前约分 分式除法 == 除式颠倒，转化乘法 分式乘方 ()n= 分子分母同时乘方，区分奇偶次符号 同分母加减 ± 多项式分子整体加括号 异分母加减 ±= 先通分，再合并分子 知识点 8 高频易错点 1.分式除法忘记颠倒除式直接分子分母相除，运算规则完全错误； 2.分子为多项式做减法时不加括号，去括号后符号全部出错； 3.乘除混合运算不先因式分解，无法约分，计算量大且结果不是最简； 4.分式乘方只给分子乘方、忽略分母乘方，或负号幂次判断错误； 5.异分母加减直接分子、分母分别相加减，跳过通分步骤； 6.混合运算不遵循 “先乘方，再乘除，后加减” 顺序，随意计算； 7.计算完成后不检查约分，结果保留可化简的公因式，不是最简分式； 8.整式与分式运算时，错误把整式直接和分子合并，忘记通分； 9.约分、乘除过程中忽略分母不能为 0 的隐含取值条件。 题型1.分式的乘法 【典例】．计算的结果是______． 【答案】 【分析】根据分式的乘法法则计算即可得出结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平方差公式分解多项式，再约去分子分母的公因式，即可得到最简结果． 【详解】解：∵， ∴ 原式 ， 约去分子分母的公因式和，得原式 ． 【跟踪专练2】计算的结果是___． 【答案】 【分析】先把分子分母因式分解，然后约分即可求解． 【详解】解：原式． 【跟踪专练3】计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 题型2.分式的除法 【典例】化简：________． 【答案】 【分析】按照分式除法法则进行运算即可． 【详解】解：． 【跟踪专练1】化简的结果是（     ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】利用分式除法法则，先对分子分母因式分解，再约分计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】计算：_________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【跟踪专练3】化简分式：，则“”部分的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型3.分式的乘除混合运算 【典例】计算：________． 【答案】 【分析】利用分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到计算结果． 【详解】解：原式 ． 【跟踪专练1】计算______． 【答案】− 【分析】先根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到计算结果． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】计算：=________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练3】化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原式括号内的部分通分合并，再将除法转化为乘法，然后把每个选项代入“”的位置，化简后检验结果是否为． 【详解】解：∵ 原式 = = 又 ∵ ∴ 原式 = = = ． 又 ∵ 化简结果为 ． ∴ ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分及乘除运算法则，通过化简原式建立关于“”的等式来求解． 题型4.含乘方的分式乘除混合运算 【典例】计算_______． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的乘除运算，根据分式的乘除运算即可求出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，解题的关键是掌握分式的运算法则．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可求解． 【详解】解： 故选：D． 【跟踪专练2】化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除运算，掌握分式的乘方运算法则以及分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则，对原式逐步进行乘方、化简和约分计算，得到最简分式的结论，即可解决分式的乘方与乘除混合运算化简问题． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘方运算，运用指数运算法则：及幂的运算性质是解题的关键． 逐个选项运用分式乘方法则和幂的运算性质计算，判断结果是否正确，注意符号和指数的运算． 【详解】解：A、∵，∴A错误，不符合题意； B、∵， ∴B错误，不符合题意； C、∵，∴C错误，不符合题意； D、∵，∴ ， 与右边相等，∴ D正确，符合题意． 故选：D． 题型5.分式乘方 【典例】计算：（其中n为正整数）________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 【跟踪专练2】_________． 【答案】 【分析】先算乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 【答案】C 【分析】先根据分式的乘方法则和幂的运算法则化简已知等式左边的表达式，再通过指数运算得出结果，从而求出的值. 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的乘方和除法运算，在进行分式运算时，要牢记分式乘方、除法的运算法则，注意符号的处理. 题型6.同分母分式加减法 【典例】化简：__________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同分母分式减法法则计算，约分后即可得到结果． 【详解】解：． ．【跟踪专练2】对于两个分式M和N，我们定义一种新的运算“※”如下：，其中，．例如：，则_______． 【答案】 【分析】按照新运算规则代入对应分式，再根据同分母分式的减法运算法则、因式分解、约分化简即可得到结果． 【详解】解：根据新运算定义，令，代入运算得： ． 【跟踪专练3】当分别取2024，2023，2022，…，2，1，0，1，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（        ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求分式的值，数字的变化规律，通过计算发现当时与当时所得的代数式的值和为是解题的关键． 根据当时，，当时，，可得，求和即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时与当时相加所得的代数式的值为， 当时所求的代数式的值为， 这些分式的值的和等于， 故选：D． 题型7.异分母分式加减法 【典例】．已知，，则________． 【答案】 【分析】先对所求分式进行通分变形，再将已知的和的值整体代入计算即可得到结果，本题运用了整体代入的思想解题． 【详解】解：∵ 把，代入得： 原式 ． 【跟踪专练1】计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：原式 ． 【跟踪专练2】已知，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】先对分式进行整理得出，然后化简代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴将代入上式得， 原式． 【跟踪专练3】南宋时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》记载着如下图表，后人把这个图表称作“杨辉三角”．图中两条平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则_________． 【答案】 【分析】根据杨辉三角中数的排列规律，归纳出第 个数 的通项公式为 ，进而得到 ，最后利用裂项相消法计算求和即可． 【详解】由题意可知： ． 题型8.整式与分式相加减 【典例】若，则分式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，将所求分式化为，然后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简，根据题意表示出，，，，即可求得每个数为一个循环，进而根据分式有意义的条件得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：，，，， ∴且，，即且 故选：D 【跟踪专练2】若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查分式的性质及化简求值，由可得，进而得到，然后分情况讨论即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 即， 当时，，即，此时； 当时，； 故答案为：或． 【跟踪专练3】对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 【答案】C 【分析】根据分式的加减计算，进而判断①②，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ①若，则， ∴，故①正确； ②若，即，则，则，故②正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 题型9.分式恒等式确定分子或分母 【典例】若常数M，N满足，则_______． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 将等式左边通分后与右边比较分子，得到关于和的方程组，再利用平方差公式求解的值． 【详解】解：由，左边通分得， 则， 展开得， 即， 比较系数得， 则， 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式加法运算，利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 故的值为3． 故选：A． 【跟踪专练2】若等式成立，则________，若，则________． 【答案】 【分析】（1）等式两边分母的最简公分母为，再利用平方差公式和完全平方公式求解的表达式； （2）等式两边分母的最简公分母为，再展开得到的表达式． 【详解】解：根据题意得：； ． 【跟踪专练3】若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式右侧通分，根据左右两侧分子恒等得到与的值，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可. 【详解】解： 又， ∴， ∴. 题型10.分式加减混合运算 【典例】化简的结果是__________ 【答案】 【分析】先通分，再用平方差公式计算，再合并同类项即可求出最终结果． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的加减混合运算，平方差公式等知识，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键． 【跟踪专练1】照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 【跟踪专练2】如果，那么________，________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，利用分式的加法法则变形即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：，． 【跟踪专练3】对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减，读懂题目信息，理解新定义的运算方法是解题的关键．根据，可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 题型11.分式加减的实际应用 【典例】某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】用原行驶时间减去提速后的行驶时间计算即可. 【详解】解：. 【跟踪专练1】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【分析】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键．先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可． 【详解】解：由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为， 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为， 则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高， 故选：B． 【跟踪专练2】某人用语音转文字的速度是手动录入文字速度的3倍，设他手动录入的速度为字，那么他语音录入字比手动录入少用_______．（结果化成最简形式） 【答案】 【分析】根据题意得到语音录入的速度，利用时间等于录入总量除以录入速度，分别求出两种录入方式的用时，计算时间差后化简即可得到结果． 【详解】解：由题意可得，手动录入速度为字，语音转文字的录入速度为字． 手动录入字所用时间为． 语音录入字所用时间为． ． 故答案为：． 【跟踪专练3】小明骑自行车从家到学校的路程共，其中有的上坡路，的下坡路．若小明走上坡路的速度是，走下坡路的速度是，则他放学回家所用的时间比上学所用的时间多（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】上学和放学的上下坡路程相反，根据时间路程速度，分别计算上学到校和放学回家的总时间，再求时间差即可得到结果． 【详解】∵上学时，上坡路长，速度，下坡路长，速度， ∴上学总时间为， ∵放学回家时，原下坡路变为上坡路，原上坡路变为下坡路，即上坡路长，下坡路长， ∴放学总时间 ∴时间差为：， 即放学回家所用时间比上学到校慢． 题型12.分式加减乘除混合运算 【典例】计算的结果为______． 【答案】3 【分析】先对分式约分，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 【跟踪专练2】化简：_______． 【答案】 【详解】解：原式 . 【跟踪专练3】小蕊在作业本上写完一个题的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原题的一部分（被墨水遮住的部分用⊕代替），其计算过程为，则被墨水遮住部分⊕所表示的代数式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将⊕单独整理到等式一侧，利用分式运算法则计算即可，注意符号的处理和约分． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 即⊕表示的代数式为． 题型13.分式化简求值 【典例】若，则的值为________． 【答案】2 【分析】将已知等式左边利用分式的加法法则拆分，得到含的式子，再通过移项计算即可求出结果； 【详解】解：， ， 解得； 【跟踪专练1】若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的拆分法则，将所求分式变形后代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练2】已知，则的值是__________． 【答案】 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴原式． 【跟踪专练3】已知：，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先根据已知条件推导出与的关系，再变形所求分式后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，整理得． ． 题型14.负整数指数幂 【典例】计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】已知，，，将，，按从小到大的顺序排列，结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据运算法则分别计算出，，的值，再比较大小即可得到排序结果． 【详解】解：∵任何非零数的次幂都等于， ∴， ∵， ， 又， ∴ ． 【跟踪专练2】已知，则的值为________． 【答案】 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式求出的值，再乘以2即可得到所求结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整数指数幂的运算法则，可得，进一步即可求出n的值. 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， 解得. 题型15.整数指数幂的运算 【典例】计算：________． 【答案】 【详解】解：． 【跟踪专练1】若等式恒成立，则_____． 【答案】9 【分析】本题考查了多项式乘法法则和等式恒成立的性质．熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将等式右边的式子展开，然后根据等式两边对应项系数相等的原则，求出m与n的值，最后再计算的值． 【详解】解：将展开可得： ， 因为恒成立， 所以，． 把，代入，可得． 故答案为：9． 【跟踪专练2】把化为只含有正整数指数幂的代数式，结果为_________． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的法则，分式的除法法则和乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【跟踪专练3】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整数指数幂的运算法则计算，然后判断即可． 【详解】解：A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，解题关键是按照整数指数幂的运算法则进行计算，会进行负指数的运算． 题型16.最简公分母 【典例】分式与的最简公分母是________． 【答案】 【分析】确定最简公分母的方法为取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积，据此计算即可． 【详解】解：两个分式的分母分别为和，系数和的最小公倍数为，字母因式中的最高次幂为，的最高次幂为，因此最简公分母为． 【跟踪专练1】分式，，的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最小公倍数和各字母的最高次幂，再相乘得到结果． 【详解】三个分母的系数分别为，，，它们的最小公倍数是， 相同字母的最高次幂为，相同字母的最高次幂为， ∴三个分式的最简公分母为． 【跟踪专练2】在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母________________． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的知识，先把分母和因式分解，即可求得分式的最简公分母，熟练解分式方程是解题的关键． 【详解】解：，， 分式和的最简公分母为， 去分母时，需方程两边都乘以最简公分母． 故答案为：． 【跟踪专练3】把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键． 先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确． 【详解】解：A、最简公分母为， 正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、正确通分应为，但选项D中分子为，错误，符合题意； 故选：D． 题型17.通分 【典例】分式和通分后的结果分别为_________，_________． 【答案】 【分析】本题考查了通分，求出最简公分母是解题的关键．先确定最简公分母为是，再按照通分的规则通分即可． 【详解】解：，， 和的最简公分母是， ， ， 故答案为：， ． 【跟踪专练1】若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 【跟踪专练2】已知，则代数式的值为______． 【答案】4 【分析】先对已知等式通分变形，得到与的数量关系，再将所求分式的分子分母分组提公因式变形，最后整体代入计算求值. 【详解】解：已知，对等式左边通分，得，整理得，即. ∴ 【跟踪专练3】若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方，分式混合运算法则，进行计算即可； （2）先计算括号内的分式加减运算，再根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．化简分式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先依据分式乘方法则算出括号立方，再将除法转化为乘以倒数统一为连乘形式，接着把分子、分母分别相乘，利用同底数幂乘除法则化简字母，约分常数系数后得到最简分式结果； （2）先对括号内各项通分合并成单一分式，完全平方公式对分子因式分解，同时将除式颠倒转化为乘法并利用平方差公式分解分母，最后约去分子分母的公因式与，化简得到最简分式． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解： ， ， ， ． 5．通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)， ， (2)，， 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先对原分式的分母用提公因式法、平方差公式进行因式分解，求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母为， ， ， ； （2）解：，，， 最简公分母为， ， ， ． 6．先化简，再从，，，中，选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；当时，原式 【详解】解： ， 分式有意义时分母不为0， ， 解得：， 因此，原式． 7．如果分式与分式的差等于它们的积，即，那么称分式是分式的“智慧分式”，如分式与，因为，，所以是的“智慧分式”． (1)分式_____分式的“智慧分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知关于的分式是关于的分式的“智慧分式”，求的值． (3)已知分式是分式的“智慧分式”，求分式． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求出分式与的差和积，然后根据“智慧分式”的定义判断即可； （2）分别求出分式与的差和积，然后根据“智慧分式”的定义列方程求解即可； （3）根据“智慧分式”的定义可得，再将代入运用分式的混合运算法则化简即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，即分式是分式的“智慧分式”． （2）解：∵关于的分式是关于的分式的“智慧分式”， ∴， ， ， ，解得：． （3）解：∵分式是分式的“智慧分式”， ∴，即， ， ， ∵ ． 8．甲、乙两名采购员去同一家超市各自购买两次大米，两次购买的大米售价分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲采购员每次购买千克，乙采购员每次购买用去元，而不管购买到多少千克的大米． (1)甲、乙两名采购员各自购买两次大米的平均售价分别是多少元/千克？（用含有字母，的式子表示并化简） (2)请通过计算说明谁的购买方式更合算？ 【答案】(1) 甲两次购买大米的平均售价为元/千克，乙两次购买大米的平均售价为元/千克 (2) 乙的购买方式更合算 【分析】（1）根据平均售价=总花费÷总购买重量，分别计算甲、乙两次购买的总花费和总重量，化简即可得到结果； （2）利用作差法比较两个平均售价的大小，平均售价更低的购买方式更合算． 【详解】（1） 解：甲两次购买总重量为：(千克) ， 甲两次购买总花费为：(元) ， 因此甲的平均售价为：(元/千克)； 乙两次购买总花费为： (元) ， 乙两次购买总重量为：(千克) ， 因此乙的平均售价为：(元/千克)． （2）解：比较两个平均售价的大小，作差得： ， 由题意得， 因此，， 可得， 即， 因此乙的平均售价更低，乙的购买方式更合算． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06分式的运算暑假预习讲义 1. 识记：类比分数运算，熟记分式乘除、乘方、同分母加减、异分母加减全部运算法则，牢记分式运算全程分母不能为0的硬性要求。 2. 转化：掌握分式除法运算核心技巧，除法统一转化为乘法（颠倒除式分子分母）；多项式分式运算前优先因式分解，便于提前约分简化计算。 3. 实操：熟练分式乘方运算，明确分子、分母整体分别乘方，重点把控负数分式乘方后的符号判定；规范单项式、多项式分式的乘除基础运算。 4. 掌握：理解通分定义，学会求解最简公分母（系数取最小公倍数、字母取最高次幂），能够对多个异分母分式完成通分变形。 5. 运算：区分两类分式加减运算，同分母分式直接分子相加减；异分母分式先通分转化为同分母，再开展加减计算，结果化为最简分式。 6. 统筹：理清分式混合运算顺序，先乘方、再乘除、最后算加减，括号内运算优先，合理运用乘法分配律简化复杂算式。 7. 求值：熟练分式化简求值题型，先对分式整体化简，再代入数值计算；代入前检验未知数取值，杜绝分母等于0的无效取值。 8. 辨析：区分约分与通分的不同用途，约分用于简化单个分式，通分用于统一分母完成分式加减，避免两种变形操作混淆。 9. 应用：结合工程、路程、浓度类实际问题，列分式算式完成运算，利用分式运算求解简单实际数量问题。 10. 避错：规避高频易错点，乘方遗漏括号、通分漏乘分子项、加减时分母擅自相减、运算结果未约分为最简分式、符号处理失误。 预习必备 知识梳理 1.分式乘法 2.分式除法 3.分式乘方 4.同分母分式加减法 5.异分母分式加减法 6.分式混合运算 7.四则运算法则汇总 8.高频易错点汇总 1.分式的乘法 2.分式的除法 3.分式的乘除混合运算 4.含乘方的分式乘除混合运算 常考题型 精讲精练 5.分式乘方 6.同分母分式加减法 7.异分母分式加减法 8.整式与分式相加减 9.分式恒等式确定分子或分母 10.分式加减混合运算 11.分式加减的实际应用 12.分式加减乘除混合运算 13.分式化简求值 14.负整数指数幂 15.整数指数幂的运算 16.最简公分母 17.通分 强化题型 解答题8题 知识点 1 分式的乘法 1. 运算法则 文字：两个分式相乘，分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母。 公式：（b、d 均不为 0） 2. 计算标准步骤 (1)若分子、分母是多项式，先因式分解； (2)分子分母交叉约分，消去全部公因式； (3)剩余因式分别相乘，结果化为最简分式。 3. 补充说明 整式与分式相乘，把整式看成分母为 1 的分式再计算。 ： 知识点 2 分式的除法 1. 运算法则 文字：分式除以分式，等于被除式乘除式的倒数。 公式：：​（b、c、d 均不为 0） 2. 关键要点 (1)除法第一步必须先变乘法，同时颠倒除式分子分母； (2)不可直接分子分母分别相除； (3)含多项式依旧先分解、再约分。 分式乘除对比表 运算类型 核心法则 关键操作 分式乘法 分子乘分子，分母乘分母 直接约分、因式分解后消公因式 分式除法 除式取倒数，转化为乘法 先变乘法再约分，禁止直接相除 3 分式的乘方 1. 运算法则 文字：分式乘方，分子、分母分别乘方。 公式：()n=(（b0，n 为正整数） 2. 符号规律 分式负数次幂：(-)n，n奇数结果为负，n偶数结果为正。 3. 混合运算顺序 先乘方，再乘除；同级运算从左往右依次计算。 知识点 4 同分母分式加减法 1. 运算法则 文字：分母不变，分子相加减。 公式：±（C0） 2. 重要注意 分子是多项式时，加减必须给分子整体加括号，避免符号出错。 知识点 5 异分母分式加减法 1. 运算法则 文字：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减计算。 步骤：找最简公分母→通分→分子相加减→约分至最简 公式：（b、d 均不为 0） 2. 整式加分式处理方法 把整式写成分母为 1 的分式，再通分计算。 知识点 6 分式混合运算通用完整顺序 1.有括号，先算括号内的加减； 2.无括号先算分式乘方； 3.再从左到右完成乘除运算； 4.最后算分式加减； 5.每一步计算后及时约分，最终结果必须是最简分式或整式。 知识点 7四则运算法则总汇总表 运算类别 运算公式 核心注意点 分式乘法 多项式先分解，提前约分 分式除法 == 除式颠倒，转化乘法 分式乘方 ()n= 分子分母同时乘方，区分奇偶次符号 同分母加减 ± 多项式分子整体加括号 异分母加减 ±= 先通分，再合并分子 知识点 8 高频易错点 1.分式除法忘记颠倒除式直接分子分母相除，运算规则完全错误； 2.分子为多项式做减法时不加括号，去括号后符号全部出错； 3.乘除混合运算不先因式分解，无法约分，计算量大且结果不是最简； 4.分式乘方只给分子乘方、忽略分母乘方，或负号幂次判断错误； 5.异分母加减直接分子、分母分别相加减，跳过通分步骤； 6.混合运算不遵循 “先乘方，再乘除，后加减” 顺序，随意计算； 7.计算完成后不检查约分，结果保留可化简的公因式，不是最简分式； 8.整式与分式运算时，错误把整式直接和分子合并，忘记通分； 9.约分、乘除过程中忽略分母不能为 0 的隐含取值条件。 题型1.分式的乘法 【典例】．计算的结果是______． 【跟踪专练1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算的结果是___． 【跟踪专练3】计算的结果为（     ） A． B． C． D． 题型2.分式的除法 【典例】化简：________． 【跟踪专练1】化简的结果是（     ） A． B．6 C． D． 【跟踪专练2】计算：_________． 【跟踪专练3】化简分式：，则“”部分的整式为（   ） A． B． C． D． 题型3.分式的乘除混合运算 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】计算______． 【跟踪专练2】计算：=________． 【跟踪专练3】化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（   ） A．1 B． C． D． 题型4.含乘方的分式乘除混合运算 【典例】计算_______． 【跟踪专练1】（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简：______． 【跟踪专练3】下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5.分式乘方 【典例】计算：（其中n为正整数）________． 【跟踪专练1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】_________． 【跟踪专练3】已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 题型6.同分母分式加减法 【典例】化简：__________． 【跟踪专练1】化简的结果是（     ） A． B． C． D． ．【跟踪专练2】对于两个分式M和N，我们定义一种新的运算“※”如下：，其中，．例如：，则_______． 【跟踪专练3】当分别取2024，2023，2022，…，2，1，0，1，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（        ） A． B．1 C． D． 题型7.异分母分式加减法 【典例】．已知，，则________． 【跟踪专练1】计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则代数式的值为__________． 【跟踪专练3】南宋时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》记载着如下图表，后人把这个图表称作“杨辉三角”．图中两条平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则_________． 题型8.整式与分式相加减 【典例】若，则分式的值为______． 【跟踪专练1】已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 【跟踪专练2】若，则的值为______． 【跟踪专练3】对于，，有以下两个结论：①若，则；②若，则．对于这两个结论，说法正确的是（    ） A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②都对 D．①②都不对 题型9.分式恒等式确定分子或分母 【典例】若常数M，N满足，则_______． 【跟踪专练1】若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【跟踪专练2】若等式成立，则________，若，则________． 【跟踪专练3】若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 题型10.分式加减混合运算 【典例】化简的结果是__________ 【跟踪专练1】照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果，那么________，________． 【跟踪专练3】对于正数，规定，例如：．的值为（   ） A． B． C． D． 题型11.分式加减的实际应用 【典例】某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 【跟踪专练1】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【跟踪专练2】某人用语音转文字的速度是手动录入文字速度的3倍，设他手动录入的速度为字，那么他语音录入字比手动录入少用_______．（结果化成最简形式） 【跟踪专练3】小明骑自行车从家到学校的路程共，其中有的上坡路，的下坡路．若小明走上坡路的速度是，走下坡路的速度是，则他放学回家所用的时间比上学所用的时间多（     ）． A． B． C． D． 题型12.分式加减乘除混合运算 【典例】计算的结果为______． 【跟踪专练1】化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简：_______． 【跟踪专练3】小蕊在作业本上写完一个题的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原题的一部分（被墨水遮住的部分用⊕代替），其计算过程为，则被墨水遮住部分⊕所表示的代数式可能是（     ） A． B． C． D． 题型13.分式化简求值 【典例】若，则的值为________． 【跟踪专练1】若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则的值是__________． 【跟踪专练3】已知：，则的值为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型14.负整数指数幂 【典例】计算：__________． 【跟踪专练1】已知，，，将，，按从小到大的顺序排列，结果为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则的值为________． 【跟踪专练3】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型15.整数指数幂的运算 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】若等式恒成立，则_____． 【跟踪专练2】把化为只含有正整数指数幂的代数式，结果为_________． 【跟踪专练3】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型16.最简公分母 【典例】分式与的最简公分母是________． 【跟踪专练1】分式，，的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母________________． 【跟踪专练3】把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 题型17.通分 【典例】分式和通分后的结果分别为_________，_________． 【跟踪专练1】若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则代数式的值为______． 【跟踪专练3】若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)． 3．化简分式： (1)； (2)． 4．化简： (1) (2) 5．通分： (1)，，； (2)，，． 6．先化简，再从，，，中，选择一个合适的数作为的值代入求值． 7．如果分式与分式的差等于它们的积，即，那么称分式是分式的“智慧分式”，如分式与，因为，，所以是的“智慧分式”． (1)分式_____分式的“智慧分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知关于的分式是关于的分式的“智慧分式”，求的值． (3)已知分式是分式的“智慧分式”，求分式． 8．甲、乙两名采购员去同一家超市各自购买两次大米，两次购买的大米售价分别为元/千克和元/千克，且，两名采购员的采购方式也不同，其中甲采购员每次购买千克，乙采购员每次购买用去元，而不管购买到多少千克的大米． (1)甲、乙两名采购员各自购买两次大米的平均售价分别是多少元/千克？（用含有字母，的式子表示并化简） (2)请通过计算说明谁的购买方式更合算？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $