第二讲 矩形的性质与判定 讲义 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册同步讲义 第2讲 讲 矩形的性质与判定 一、知识讲解 知识点1 矩形的定义 有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形. 知识点2 矩形的性质 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 知识点3 矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点4 直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. 性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 二、例题精析 【矩形的性质】 探究点一：矩形的性质 【类型一】 矩形的四个角都是直角 如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC.若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为(　　) A．15 B．30 C．45 D．60 解析：如图，过E作EF⊥AC，垂足为F. ∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，BE⊥AB，∴EF＝BE＝4， ∴S△AEC＝AC·EF＝×15×4＝30.故选B. 方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件． 【类型二】 矩形的对角线相等 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD＝OA＝AC，由∠AOD＝60°得△AOD为等边三角形，即可求出AC的长． ∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD， ∴OA＝OD.∵∠AOD＝60°，∴△AOD为等边三角形， ∴OA＝OD＝2，∴AC＝2OA＝4. 故选B. 方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，当两条对角线的夹角为60°或120°时，图中有等边三角形，从而可以利用等边三角形的性质解题． 探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE. 解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理． 解：连接EG，DG.∵BD，CE是△ABC的高，∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点，∴EG＝BC，DG＝BC.∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点，∴GF⊥DE. 方法总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 探究点三：矩形的性质的应用 【类型一】 利用矩形的性质求有关线段的长度 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长． 解析：先判定△AEF≌△DCE，得CD＝AE，再根据矩形的周长为32列方程求出AE的长． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠CED＋∠ECD＝90°. 又∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠CED＝90°，∴∠AEF＝∠ECD. 而EF＝EC，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD. 设AE＝xcm，∴CD＝xcm，AD＝(x＋4)cm，则有x＋4＋x＝16，解得x＝6. 即AE的长为6cm. 方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角的条件解决直角三角形中的问题． 【类型二】 利用矩形的性质求有关角度的大小 如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数． 解析：先判定△AEF≌△DCE，得CD＝AE，再根据矩形的周长为32列方程求出AE的长． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠CED＋∠ECD＝90°. 又∵EF⊥EC，∴∠AEF＋∠CED＝90°，∴∠AEF＝∠ECD. 而EF＝EC，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD. 设AE＝xcm，∴CD＝xcm，AD＝(x＋4)cm，则有x＋4＋x＝16，解得x＝6. 即AE的长为6cm. 方法总结：矩形的各角为直角，常作为全等的一个条件用来证三角形全等，可借助直角的条件解决直角三角形中的问题． 【类型三】 利用矩形的性质求图形的面积 如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的(　　) A. 　　B. C. 　　D. 解析：由∠BAE与∠DAE之和为90°及这两个角之比可求得这两个角的度数，从而得∠ABO的度数，再根据矩形的性质易得∠EAO的度数． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°， AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD， ∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO. 又∵∠DAE：∠BAE＝3：1， ∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°. ∵AE⊥BD， ∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°， ∴∠OAB＝∠ABE＝67.5° ∴∠EAO＝67.5°－22.5°＝45°. 方法总结：矩形的性质是证明线段相等或倍分、角的相等与求值及线段平行或垂直的重要依据． 【类型四】 矩形中的折叠问题 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠2＝∠3. 又由折叠知△BC′D≌△BCD， ∴∠1＝∠2. ∴∠1＝∠3.∴BE＝DE. 设BE＝DE＝x，则AE＝8－x. ∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(8－x)2＝x2.解得x＝5， 即DE＝5. ∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10. 方法总结：矩形的折叠问题是常见的问题，本题的易错点是对△BED是等腰三角形认识不足，解题的关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析． 【矩形的判定】 探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形 如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形． 解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AM＝BP＝CN＝DQ，∴OM＝OP＝ON＝OQ. ∴四边形MPNQ是平行四边形．又∵OM＋ON＝OQ＋OP，∴MN＝PQ. ∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)． 方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形． 探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形 如图，GE∥HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线，求证：四边形ADBC是矩形． 解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角． 证明：∵GE∥HF，∴∠GAB＋∠ABH＝180°. ∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线，∴∠1＝∠GAB，∠4＝∠ABH， ∴∠1＋∠4＝(∠GAB＋∠ABH)＝×180°＝90°，∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°. 同理可得∠ACB＝90°.又∵∠ABH＋∠FBA＝180°，∠4＝∠ABH，∠2＝∠FBA， ∴∠2＋∠4＝(∠ABH＋∠FBA)＝×180°＝90°，即∠DBC＝90°.∴四边形ADBC是矩形． 方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形． 探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形 如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF. (1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝CD；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC. 解：(1)BD＝CD.理由如下： ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE. ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE. 在△AEF和△DEC中， ∴△AEF≌△DEC(AAS)， ∴AF＝DC. ∵AF＝BD， ∴BD＝DC； (2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下： ∵AF∥BD，AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形． ∴AB＝AC，BD＝DC， ∴∠ADB＝90°. ∴四边形AFBD是矩形． 方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 课后作业 1、矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等　 B. 对角相等 C. 邻边相等　 D. 对角线相等 解析： 矩形对边相等、对角相等、对角线相等；邻边不一定相等，邻边相等是正方形。 答案：C 2、如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，CD=2，则AB的长为（ ） A. 1 　B. 2　 C. 4　 D. 6 解析： 直角三角形斜边上中线等于斜边一半，CD=21​AB，AB=2CD=4。 答案：C 3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ） A.∠ABC=90　 B.AC=BD C.OA=OB　 D.△ABO≅△ADO 解析： 矩形四个角直角，对角线相等且平分，A、B、C 正确； 一般矩形 AB≠AD，△ABO与△ADO不全等。 答案：D 4、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O。若∠AOB=60，AC=8，则AB的长为（ ） A. 4　 B.43​　 C. 3　 D. 5 解析： 矩形，OA=OB=21​AC=4，∠AOB=60∘，△AOB 等边三角形，AB=OA=4。 答案：A 5、下列结论正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 解析： A：对角线相等的平行四边形才是矩形； B：互相平分只能判定平行四边形； C：垂直平分是菱形； D：互相平分→平行四边形，再加对角线相等→矩形。 答案：D 6、下列图形中，一定是矩形的是（ ） 解析： 矩形判定：四边形有三个角是直角即为矩形。 A 只有两个直角；B 三个内角为直角；C 两个直角；D 两个直角。 答案：B 7、如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。下列条件不能判定□ABCD为矩形的是（ ） A.∠ABC=90∘　 B.AC=BD C.AD=AB　 D.∠BAD=∠ADC 解析： A：一个直角的平行四边形是矩形； B：对角线相等的平行四边形是矩形； C：AD=AB，邻边相等，判定菱形，不能判定矩形； D：平行四边形AB∥CD，∠BAD+∠ADC=180∘，又∠BAD=∠ADC，得∠BAD=90∘，可判定矩形。 答案：C 8、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是BC，CD的中点。已知AC=10，则EF的长是 ​。 解析： 矩形对角线相等，BD=AC=10。 E、F 为 BC、CD 中点，EF 是△BCD 中位线。 EF=21​BD=21​×10=5。 答案：5 9、如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，DE⊥AC于点E。若∠AOD=110∘，则∠CDE的度数为 ​。 解析： 矩形，OD=OC，∠AOD=110∘，∠DOC=180∘−110∘=70∘。 △ODC 等腰，∠ODC=∠OCD=2180∘−70∘​=55∘。 DE⊥AC，Rt△DEC，∠CDE=90∘−55∘=35∘。 答案：35∘ 10、工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一把直角尺，则他用到的判定方法是 ​。​ 解析： 用直角尺量出四边形有三个内角都是直角，则这个四边形是矩形。 答案：有三个角是直角的四边形是矩形。 11、如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，连接DE，DF。要使四边形AFDE为矩形，∠A的度数应是 ​​。 解析： D、E、F 是三边中点，DE∥AB，DF∥AC，四边形 AFDE 是平行四边形。 平行四边形要有一个直角才是矩形，故∠A=90∘。 答案：90∘ 12、如图，P为矩形ABCD内一点，PB=PC，连接PA，PD。求证：PA=PD。 解析： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90∘。 ∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB。 ∠ABC−∠PBC=∠DCB−∠PCB，即∠ABP=∠DCP。 在△ABP 与△DCP 中 ​AB=DC，∠ABP=∠DCP，PB=PC​ ∴△ABP≅△DCP(SAS)。 ∴PA=PD。 答案：证明如上 13、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD。 (1) 求证：四边形ABCD是矩形； (2) 若AD=5，∠AOD=60∘，求AB的长。 解析： (1) 证明： ∵AB=CD，AD=BC ∴两组对边分别相等，四边形 ABCD 是平行四边形。 ∴OA=OC，OB=OD。 又∵OA=OD，∴AC=2OA，BD=2OD，得到AC=BD。 对角线相等的平行四边形是矩形。 ∴四边形 ABCD 是矩形。 (2) 解： ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠BAD=90∘，OA=OD。 又∠AOD=60∘，∴△AOD 是等边三角形，∴BD=2AD=10。 在 Rt△ABD 中，由勾股定理： 答案：(1) 证明如上；(2)AB=​。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册同步讲义 第2讲 讲 矩形的性质与判定 一、知识讲解 知识点1 矩形的定义 有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形. 知识点2 矩形的性质 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 知识点3 矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点4 直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. 性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 二、例题精析 【矩形的性质】 探究点一：矩形的性质 【类型一】 矩形的四个角都是直角 如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC.若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为(　　) A．15 B．30 C．45 D．60 【类型二】 矩形的对角线相等 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE. 探究点三：矩形的性质的应用 【类型一】 利用矩形的性质求有关线段的长度 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长． 【类型二】 利用矩形的性质求有关角度的大小 如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数． 【类型三】 利用矩形的性质求图形的面积 如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的(　　) A. 　　B. C. 　　D. 【类型四】 矩形中的折叠问题 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积． 【矩形的判定】 探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形 如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形． 探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形 如图，GE∥HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线，求证：四边形ADBC是矩形． 探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形 如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF. (1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 课后作业 1、矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等　 B. 对角相等 C. 邻边相等　 D. 对角线相等 2、如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，CD=2，则AB的长为（ ） A. 1 　B. 2　 C. 4　 D. 6 3、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ） A.∠ABC=90　 B.AC=BD C.OA=OB　 D.△ABO≅△ADO 4、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O。若∠AOB=60，AC=8，则AB的长为（ ） A. 4　 B.43​　 C. 3　 D. 5 5、下列结论正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 6、下列图形中，一定是矩形的是（ ） 7、如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。下列条件不能判定□ABCD为矩形的是（ ） A.∠ABC=90∘　 B.AC=BD C.AD=AB　 D.∠BAD=∠ADC 8、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是BC，CD的中点。已知AC=10，则EF的长是 ​。 9、如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，DE⊥AC于点E。若∠AOD=110∘，则∠CDE的度数为 ​。 10、工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一把直角尺，则他用到的判定方法是 ​。​ 11、如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，连接DE，DF。要使四边形AFDE为矩形，∠A的度数应是 ​​。 12、如图，P为矩形ABCD内一点，PB=PC，连接PA，PD。求证：PA=PD。 13、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD。 (1) 求证：四边形ABCD是矩形； (2) 若AD=5，∠AOD=60∘，求AB的长。 1 学科网（北京）股份有限公司 $