专题1.3 矩形的性质与判定（3大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“矩形的性质与判定”核心知识点，先以平行四边形为基础梳理矩形的边、角、对角线及对称性等专属性质，再衔接直角三角形斜边上的中线定理及其逆定理，最后系统归纳矩形的三种判定方法，构建完整知识支架。 资料采用分层题型设计，从基础巩固到压轴素养，结合例题与变式题，通过折叠、最值等问题培养几何直观与推理意识，利用勾股定理列方程提升抽象能力与模型意识，课中辅助教师梯度教学，课后助力学生查漏补缺。

专题1.3 矩形的性质与判定 知识点1：矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，同时具有以下专属性质： 1.核心性质汇总 性质分类 具体内容 数学语言表述 图例 边 对边平行且相等 ∵四边形是矩形 ∴，，， 角 四个角都是直角 ∵四边形是矩形 ∴ 对角线 对角线相等且互相平分 ∵四边形是矩形，对角线AC、BD交于点 ∴，， 对称性 既是轴对称图形，也是中心对称图形 对称轴：过对边中点的直线，对称中心：点 2.常用推论 矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，且相对的两个三角形全等； 若矩形对角线与一边的夹角为，则该角所对的直角边等于对角线长度的一半。 知识点2：直角三角形斜边上的中线 1.定理内容 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 数学语言：在中，，为中点，则。 2.逆定理 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 数学语言：在中，为中点，若，则。 知识点3：矩形的判定 1.三种基本判定方法 判定依据 判定定理 数学语言表述 图例 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵四边形是平行四边形，且 ∴四边形是矩形 角判定 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵ ∴四边形是矩形 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 ∵四边形是平行四边形，且 ∴四边形是矩形 2.拓展判定结论 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 【基础巩固题型】 【题型1】利用矩形性质求线段长度 1.核心知识点 矩形对角线相等且平分的性质；勾股定理；等腰三角形性质 2.解题方法技巧 ①矩形对角线相等且平分，可得到多组等线段，结合勾股定理计算边长与对角线长； ②对角线夹角为或时，可得到等边三角形，快速转化线段关系； ③遇到中点条件时，可结合中位线或直角三角形斜边中线性质简化计算。 【例题1】.（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得的长，在中，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】在矩形中，对角线，交于点，， ，， 在中，． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的长是__________． 【答案】 【分析】由题意可知垂直平分，得到，再由矩形的性质推出，则，，由此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，是边的中点，，，则______． 【答案】 【分析】由矩形的性质得出，利用含30度角的直角三角形的性质得出，再由勾股定理确定，利用中点的性质得出，求矩形的面积即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·四川南充·期中）在矩形中，，，P为边上的一个动点，过点P分别作、的垂线，垂足分别为N，M两点，则__________________． 【答案】 【分析】设与交于点O，连接，首先利用勾股定理求出，得到，然后求出，然后利用求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点O，连接， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与交于点O， ∴，， ∴， ∴． 【题型2】利用矩形性质求角度大小 1.核心知识点 矩形四个角为直角的性质；等腰三角形角度性质；角平分线定义 2.解题方法技巧 ①利用矩形的直角条件，结合互余关系推导未知角的度数； ②对角线平分得到等腰三角形，利用“等边对等角”转化底角与顶角的关系； ③遇到角平分线、垂直平分线等条件时，先推导等角或等边，再逐步计算目标角度。 【例题2】.（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在矩形中，于点E，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质推出，再根据得，然后根据角的和差即可求解． 【详解】∵在矩形中，，， ∴， ∵于点E， ∴， ∴． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，根据三角形外角的性质可知． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是的外角， ． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则等于_____． 【答案】28 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得，利用等边对等角可得，再结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是的外角， ， ， ， ． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在边上，且，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出及，结合已知条件求出的度数，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数；由利用等腰三角形性质求出的度数，最后利用角的和差关系求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型3】矩形判定的条件补充 1.核心知识点 矩形的三种判定定理；平行四边形的性质 2.解题方法技巧 ①已知四边形是平行四边形时，补充“一个角为直角”或“对角线相等”即可判定为矩形； ②已知是一般四边形时，需补充“三个角是直角”或“对角线互相平分且相等”才能判定； ③可通过反例排除错误选项，例如“对角线互相垂直”是菱形的特征，无法判定矩形。 【例题3】.（25-26八年级下·湖北随州·期末）如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确基础图形是平行四边形，需回忆平行四边形判定为矩形的定理，包括对角线相关、内角相关的判定条件。逐一分析各选项对应的几何性质，结合判定定理匹配符合要求的选项． 【详解】解：选项A：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中对角线，满足条件，可以判定它是矩形，该选项正确． 选项B：邻边相等（）的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，该选项错误． 选项C：平行四边形本身就具有对边平行的性质，本来就是平行四边形的已有性质，无法判定它是矩形，该选项错误． 选项D：对角线互相垂直（）的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项错误． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 【答案】或（合理即可） 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 由矩形的判定，添加或（合理即可）． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，在中，点E，F分别在边上，，与对角线相交于点O． (1)求证：； (2)请你添加一个条件：________________，使得平行四边形成为矩形． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵点E，F分别在边上，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵与对角线相交于点O， ∴； (2)（答案不唯一） 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，即可得证； （2）根据有一个角是直角的平行四边形，添加，即可. 【详解】（1）略 （2）略 【变式题3-3】.（2026·湖北武汉·一模）如图，在中，是对角线的中点，点，分别在边，上，过点． (1)求证：； (2)连接，添加一个与线段有关的条件，使为直角．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形对边平行的性质，得到，结合点O是中点的条件，可证明，从而得出结论； （2）由于平行四边形中与相等，要使为直角，需让平行四边形变为矩形，结合矩形对角线的性质，添加与相关的满足矩形判定的条件即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是对角线的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：连接，添加条件为：，此时为直角； 连接、， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形， ． 【题型4】矩形面积的计算 1.核心知识点 矩形面积公式；勾股定理；矩形对角线与面积的关系 2.解题方法技巧 ①基础计算直接使用“长×宽”公式； ②已知对角线和一边长时，先用勾股定理求出另一边，再计算面积； ③利用中心对称性，可将分散的阴影面积转化为规则图形的面积，简化计算。 【例题4】.（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】首先根据，判定四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，最后利用平行四边形的性质得出即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 与互相平分， ， 四边形是平行四边形， ． 【变式题4-1】.（2026·福建漳州·模拟预测）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质证明，得到图中阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：矩形， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，交的延长线于点 (1)求证：； (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ； (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，则可证明四边形是平行四边形，得到，据此可证明 ； （2）由矩形的性质得到，求出，则可证明是等边三角形，得到，，再由勾股定理得到，进而求得矩形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理求出长，即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，， 由（1）可知，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 【培优提升题型】 【题型5】直角三角形斜边中线的综合应用 1.核心知识点 直角三角形斜边中线定理；等腰三角形性质；垂直平分线性质 2.解题方法技巧 ①题干出现“直角+斜边中点”时，直接连接中线，利用“中线等于斜边一半”转化线段相等关系； ②多个直角三角形共斜边时，斜边上的中线长度相等，可构造等腰三角形推导角度； ③逆用定理：若三角形一边中线等于该边一半，可直接判定该三角形为直角三角形。 【例题5】.（25-26八年级下·天津红桥·期末）如图，在中，，，分别是，，的中点．若，，，则线段的长为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由勾股定理逆定理判断是直角三角形，由三角形中位线定理求出的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可． 【详解】∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，∵为的中点， ∴． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为（     ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可得，再利用三角形中位线定理可得． 【详解】解：∵为的中位线， ∴点D是的中点，， ∴在中，， ∴， ∴． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，是边上的中线，以为邻边作，与交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，是边上的中线， ， ， ，， ， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得出，再由平行四边形的性质及判定即可证明； （2）根据题意得出四边形是平行四边形，得出，确定，再由平行四边形的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 又， ； ， ，， ， ， ． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·上海静安·期末）如图，已知：在四边形中，平分，，为的中点，过点作，交边于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； (2)1.4 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质得出，根据等边对等角得出，结合角平分线的定义得出，则，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）证明平行四边形是矩形，得出，，，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，从而得出，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 在中，， 在中， ， ∴， 解得． 【题型6】矩形的判定证明 1.核心知识点 平行四边形的判定；矩形的判定定理；全等三角形的判定与性质 2.解题方法技巧 ①常规证明思路：先证四边形是平行四边形，再证一个角为直角或对角线相等； ②已知多个直角条件时，可直接用“三个角为直角的四边形是矩形”完成证明； ③遇到菱形+平行线的组合，可利用菱形对角线垂直的特征，证明平行四边形有一个直角，进而判定矩形。 【例题6】.（25-26八年级下·江苏徐州·期末）已知：如图，在中，，垂足为，点在边上，．求证：四边形为矩形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ，． ， ，即． ∴四边形为平行四边形． ， ， ∴四边形为矩形． 【分析】根据平行四边形的性质可得，，结合已知可得，即可证明四边形为平行四边形，根据，得出，即可得证． 【详解】略 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在中，点为线段的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，，若．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 【分析】由平行四边形的性质和平行线的性质得到，证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，再证明即可证明平行四边形是矩形． 【详解】略 【变式题6-2】.（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，在中，D，E分别是的中点，延长至点F，使，连接． (1)从条件①；②中选择合适的一个，完成四边形为矩形的证明． (2)在（1）的结论下，若平分，且，求四边形的面积． 【答案】(1)解：选择条件①；不能选择条件②； ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 选择①， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； (2) 【分析】（1）根据，，得出四边形为平行四边形，选择①，根据等腰三角形性质，证明，再根据矩形的判定证明四边形为矩形即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再证明，根据等腰三角形的判定得出，根据勾股定理得出，根据平行四边形的面积公式得出． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得：， ∵四边形为平行四边形， ∴． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，交的延长线于点， (1)求证：四边形是矩形； (2)已知为的中点，连接，．，，求的长． 【答案】(1)证明： 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 【题型7】矩形性质与判定综合计算 1.核心知识点 矩形的性质与判定；勾股定理；线段中点性质 2.解题方法技巧 ①先根据判定定理证明目标四边形是矩形，再利用矩形性质转化线段与角度关系； ②结合角平分线、平行线等条件，推导等腰三角形，得到线段等量关系； ③利用直角条件构造直角三角形，通过勾股定理列方程求解未知线段长度。 【例题7】.（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，进而得到，可知四边形是矩形，根据勾股定理求出的值，可知的面积 （2）连接，根据矩形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，证明是等边三角形，可知． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ． ， ， ∴四边形是矩形． ， ， ； （2）解：连接， ∵矩形， ∴， ∵点F是的中点， ， 是等边三角形，点E是的中点， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ． 【变式题7-1】.（2026·江苏南京·一模）如图，在中，点E、F分别在上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，，则的长为 ． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴平行四边形是矩形； (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质和已知条件可证明，，则可证明四边形是平行四边形，由垂线的定义得到，据此可证明平行四边形是矩形； （2）证明，得到，则，由勾股定理可得，由矩形的性质可得，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，连接，过点作，交于点． (1)试判断四边形的形状，并证明； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是矩形， 证明：四边形是平行四边形， ． 点是的中点， 是的中位线． ． 又， 四边形是平行四边形． ， ， ． 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：，是的中位线， ， ， ， ， 矩形的面积． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在中，，交于点，是的中点，过点作于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为平行四边形，交于点O， ∴，即为中点， ∵E是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是矩形； (2)1 【分析】（1）首先证明为的中位线，易得，再证明，可知四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”，即可获得答案； （2）首先根据平行四边形的性质以及勾股定理解得，再证明为等腰直角三角形，易得，进而确定的长度，进一步由三角形中位线的性质确定，由矩形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型8】折叠情境中的矩形问题 1.核心知识点 折叠的性质；矩形的性质；勾股定理 2.解题方法技巧 ①折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线； ②矩形折叠后常出现等腰三角形，结合平行线内错角相等可推导边相等； ③设未知数表示相关线段，在直角三角形中用勾股定理列方程求解。 【例题8】.（2026·吉林松原·三模）如图，在矩形中，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据折叠的性质得到，再利用全等三角形的判定证得结果． 【详解】证明：由折叠的性质知，． 四边形是矩形， ， 在和中， ， ． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】； 【分析】本题主要考查勾股定理相关的翻折问题．先根据翻折，得到．在中，运用勾股定理，求出，从而求得，设，在中，运用勾股定理建立关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：∵和关于对称， ∴． ∴，． ∵矩形，，， ∴，． 在中， 由勾股定理，得， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． 设，则， 在中， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·贵州黔南·期中）如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点与原点重合，顶点，分别在轴、轴上，，，为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度为______； (2)如图2，当点与点重合时，沿将折叠得，与轴交于点，求的面积． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，折叠的性质得到，再利用线段的和差关系进行求解即可； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解，再利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质得， ； （2）解：四边形是矩形， ， ， 由折叠得：， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：； ， . 【变式题8-3】.（2026·内蒙古通辽·三模）如图，在矩形中，，． (1)如图，将矩形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图，将沿翻折，若交于点，求的长； (3)如图，为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点，，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在中， ， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在中，， 解得， ∴． 【题型9】矩形中的最值问题 1.核心知识点 矩形的性质；两点之间线段最短；垂线段最短；斜边中线定理 2.解题方法技巧 ①单线段最值常转化为“垂线段最短”或“点到直线的距离”求解； ②两线段和的最值可利用对称性转化为两点之间线段最短； ③含中点的动态问题可结合斜边中线定理，将动线段转化为定长线段分析。 【例题9】.（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图所示，已知为坐标原点，矩形（点与坐标原点重合）的顶点、分别在轴、轴上，且点C的坐标为，连接，将沿直线翻折至，交于点，试在轴上找一点，使的长度最短，则最短距离为_______． 【答案】/ 【分析】由点坐标，求得矩形的边长，连接，与交于点，过作于点，由三角形的面积公式求得，设，由勾股定理列出的方程求得，再求得，可得点的坐标；作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则的值最小，根据两点距离公式求出即可． 【详解】解：点的坐标为，四边形是矩形， ，， 如图所示，连接，与交于点，过作于点，   由折叠知，，，， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得，即， ， ； 如图所示，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则的值最小，    ， ， 故的长度的最短距离为． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·湖北·期中）勾股定理是重要的几何工具，它既能解决生活中的实际问题，又能帮助数形结合破解一些含根号代数式的最值难题．如图，码头潭公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台A、凉亭B，观景台A到马路的距离（的长）为，凉亭B到马路的距离（的长）为，的长为．为方便游客，现计划在路段之间离点处放置一个自动售货点G． (1)请用含x的代数式表示：______，______；若要使G到A、B两处的距离相等，则_______． (2)若要使从点A走到点G买东西后再走到点B的总路径最短，求点G应修建在离点C多远处？最短总路程为多少？ (3)直接写出代数式的最小值为______． 【答案】(1)，，； (2)点G应修建在离点C处，最短总路程为； (3)5． 【分析】（1）根据勾股定理求出，的值，进而根据G到A、B两处的距离相等列方程求解即可； （2）作点B关于对称的点，连接交于点G，连接，作交延长线于H，则，，可知四边形是矩形，得到，，即，根据勾股定理求出，根据等边对等角得到，根据三角形内角和得到，根据等角对等边得到即可； （3）可看作两直角边分别为m和1的的斜边长，可看作两直角边分别是和2的的斜边长，构造图形，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∵G到A、B两处的距离相等， ∴， 即， 解得：； （2）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点G，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即点G应修建在离点C处，最短总路程为； （3）解：可看作两直角边分别为m和1的的斜边长，可看作两直角边分别是和2的的斜边长， 如图，构造矩形，使，，取，进而构造和， 依题意，得，，， 求代数式的最小值，就是求的最小值，当与共线时，为最小，最小值为的长． ∵，， ∴由勾股定理，得， ∴代数式的最小值是5． 【变式题9-2】.（2024·山东潍坊·一模）“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用． 例：求的最小值． 解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，x和，2的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5．      【类比求值】 （1）类比上面解题思路，完成下面的填空： ①求的最小值为______； ②求（a，b，c为正数，）的最小值为______． 【解决问题】 （2）如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设两条小路，点E在上．要使最小，设米．    ①请用（1）中的结论，求最小值是多少？ ②若不用（1）中的结论，你还有其他解决方案吗？请写下来． 【答案】（1）①13② （2）①100 ②作点关于的对称点，连接，    则：，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为100． 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，利用轴对称求最短距离，掌握数形结合的思想，是解题的关键． （1）类比题干给出的方法，进行求解即可； （2）①直接利用结论求解即可；②作点关于的对称点，连接，得到，进行求解即可． 【详解】解：（1）①如图：作线段，分别构造直角边为2，x和，3的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为13．    故答案为：13. ②如图，同法①可得：的最小值为：；    故答案为： （2）①∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得：， ∴ 由（1）中结论可得：的最小值为：； ②略 【变式题9-3】.（25-26八年级下·湖北恩施·期中）活动与实践： 教材重现（新人教版八年级上册数学教材第94页综合与实践牧民饮马问题） 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 抽象为数学问题：如图2，已知点、在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小． 探究活动1（问题转化） 如图3，若点、在直线的异侧时，连接，交直线于点，由“两点之间线段最短”知，对于直线上任意一点，均有，故、、三点在同一条直线上时最小，得所求点即为点． (1)问题1：如图3，若、两点距直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 针对图2点、在直线的同侧，利用轴对称知识，如图4，作出点关于直线的对称点，连接交直线于点．由轴对称性质知直线是线段的垂直平分线，故，同（1）可知所求点即为点． (2)问题2：如图4，若、两点到直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 探究活动2（数形结合） 例：求代数式的最小值． 解：代数式的几何意义： 如图5，线段，分别以、为垂足在线段的同侧作的垂线段和，且，在线段上取点，设，则． (3)问题3：中，根据勾股定理用含的代数式表示 ，同理 ．那么求的几何意义就是求线段、的长度和．此时的最小值为 ． (4)问题4：已知，利用几何意义探究代数式的最小值为 ． 探究活动3（拓展迁移） (5)问题5：求代数式的最小值为 ． (6)问题6：已知、均为正数，且是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是 ．（用含、的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)；； (4) (5) (6) 【分析】（1）利用勾股定理计算出即可； （2）由轴对称的性质可得，，点到直线的距离为，则，利用勾股定理计算出，结合可得，的最小值为； （3）由勾股定理计算出和，仿照（2）的解法，得出的最小值； （4）构造线段，在两侧构造垂线段，，在上取点，使得，，则，仿照（1）的解法进行计算即可； （5）构造线段，在两侧构造垂线段，，在上取点，使得，则，仿照（1）的解法进行计算即可； （6）构造矩形，，，、分别为、的中点，由勾股定理可得，，，因此即为所求三角形，使用割补法计算面积即可． 【详解】（1）解：∵、两点距直线的距离分别为和， ∴， 在中，， ∵， ∴的最小值为； （2）解：∵点到直线的距离为， 又∵点和点关于直线对称， ∴点到直线的距离为，， ∵点到直线的距离为， ∴， 在中，， ∵， ∴的最小值为； （3）解：在中，， 在中，， 如图，作点关于直线的对称点，连接、，作于点， 由轴对称的性质可得，，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值； （4）解：如图，点在线段上，线段，，，，且，，作，交的延长线于点，连接， 在中，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （5）解：如图，点在线段上，线段，，，，且，，作，交的延长线于点，连接， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （6）解：如图，矩形中，，，、分别为、的中点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵、分别为、的中点， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴即为所求三角形， ． 易错点 1、判定矩形忽略前提：误将“对角线相等的四边形”直接判定为矩形，正确结论是“对角线相等的平行四边形”才是矩形，或对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 2、混淆对角线性质：记错矩形对角线的特征，误认矩形对角线互相垂直，实际矩形对角线相等且平分，仅特殊矩形（正方形）对角线才垂直。 3、斜边中线定理误用：在非直角三角形中套用“斜边上的中线等于斜边一半”，该定理仅在直角三角形中成立。 4、折叠问题漏用性质：忽略折叠前后对应边、对应角相等的核心性质，未结合矩形的直角条件构造勾股定理方程。 重点 1、矩形的核心性质：四个角都是直角，对角线相等且互相平分。 2、矩形的三种判定方法，能根据已知条件灵活选择判定思路完成规范证明。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的定理及其逆定理的应用。 难点 1、矩形性质与判定的综合应用，结合折叠、动点等几何变换的推理与计算。 2、矩形中的存在性问题与最值问题，分类讨论思想与数形结合方法的应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，要使成为矩形，给出下列条件：①；②；③，其中正确的是（     ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】B 【分析】对于①，可得四边形为菱形；对于②，可得，继而可得四边形为矩形；对于③，根据定理可直接判定． 【详解】解：①，邻边相等的平行四边形为菱形，故①不符合题意； ②， 在中，， （两直线平行，同旁内角互补）， ，有一个内角为直角的平行四边形为矩形，故②符合题意； ③，对角线相等的平行四边形为矩形，故③符合题意； 综上，其中正确的是②③． 2．如图，在矩形中，，，是上一点，连接，将矩形沿折叠后，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，，从而得到的长，，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】在矩形中，，，， ， 由折叠的性质得：，，， ，， 设，则， 在中，， ， 解得， 即． 3．如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，则，由折叠的性质可得，，，，进而可得，推出，设，则，由勾股定理求出，，作于点，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，从而可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， ∴， 如图，作于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 二、填空题 4．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】由题意可得，，，由勾股定理可得，从而可得，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，， 由勾股定理可得， ∵以为圆心，为半径画弧交射线于点， ∴， ∴， ∴． 5．如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和轴对称的性质，求出，然后根据等腰三角形的判定，求出，再根据直角三角形的性质求得，所以，，即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 6．如图，在中，，点为边上一动点，于点于点，连接为的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】连接，由勾股定理逆定理可得是直角三角形，，进而得出四边形是矩形，推出，由垂线段最短可知，当时，有最小值，有最小值，利用三角形面积公式求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 在中，，且 ， 是直角三角形，且， ，， ， 四边形是矩形， ，且、互相平分， 为的中点， 为的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ， ， ，即的最小值为． 三、解答题 7．如图，在平行四边形中，，相交于点，点，分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当四边形是矩形时，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证明； （2）根据矩形的对角线相等，得到，从而得到，再根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．一堂几何拓展课中对平行四边形和矩形的边和对角线之间的数量关系进行了研究． (1)如图①，矩形中，求证：． (2)如图②，在中，可以发现（1）中的结论仍然成立，请证明之． 【答案】(1)证明：如图1， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； (2) （1）中的结论仍然成立， 证明：作于E，于 F， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，可得， 在中，由勾股定理，可得 ∴， 在中，由勾股定理，可得， ∴． 【分析】（1）根据矩形的性质得到，由勾股定理得到，即可得到结论； （2）作于E，于 F，证明，得到，，根据勾股定理得，，，再由，代入即可得到结论． 【详解】（1）略； （2）略 9．下面是某校数学“综合与实践”活动小组开展的一个项目化学习，阅读下列材料，解决后面的问题． 项目 名称 测量吊车起重臂顶端与地面的距离 对象 简介 吊车作业时是通过液压杆的伸缩使起重臂绕点转动的，从而使得起重臂完成升降作业（起重臂的长度也可以伸缩） 重新上传 下载 删除 操作 示意图 操作 数据 起重臂米，点到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点到的距离米． 解决问题 (1)求证：四边形是矩形； (2)求吊车起重臂的顶端到地面的距离． 【答案】(1)证明：由题意可得，，， ∴， ∴四边形是矩形； (2)米 【分析】（1）有三个角是直角的四边形是矩形； （2）由矩形的性质可得米，由勾股定理得出米，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是矩形； ∴米， ∵米，米， ∴米， ∴米． 10．我们把宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形的一种折叠方式的步骤如下： 第一步，在宽为的矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平； 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，得到图4． (1)请说明矩形是黄金矩形； (2)求证：； (3)在图4中仅用圆规在折痕，上作，，使得四边形为黄金矩形（要求：写出作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)证明：根据第一步，可知四边形是正方形，正方形的边长为． 根据第二步，可知． 在中，根据勾股定理，得． 根据第三步，可知， ∴四边形是平行四边形， ， ． ， 矩形是黄金矩形． (2)解：∵，，， ∴，， ∴； (3)根据作图可得， ∴ ∴四边形为黄金矩形 【分析】（1）根据折叠可知，由勾股定理可得，易得出的值，再求的值即可判断； （2）将数据代入计算即可； （3）分别以为圆心，的长为半径作弧，分别交于点，即可求解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 矩形的性质与判定 知识点1：矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质，同时具有以下专属性质： 1.核心性质汇总 性质分类 具体内容 数学语言表述 图例 边 对边平行且相等 ∵四边形是矩形 ∴，，， 角 四个角都是直角 ∵四边形是矩形 ∴ 对角线 对角线相等且互相平分 ∵四边形是矩形，对角线AC、BD交于点 ∴，， 对称性 既是轴对称图形，也是中心对称图形 对称轴：过对边中点的直线，对称中心：点 2.常用推论 矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，且相对的两个三角形全等； 若矩形对角线与一边的夹角为，则该角所对的直角边等于对角线长度的一半。 知识点2：直角三角形斜边上的中线 1.定理内容 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 数学语言：在中，，为中点，则。 2.逆定理 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 数学语言：在中，为中点，若，则。 知识点3：矩形的判定 1.三种基本判定方法 判定依据 判定定理 数学语言表述 图例 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵四边形是平行四边形，且 ∴四边形是矩形 角判定 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵ ∴四边形是矩形 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 ∵四边形是平行四边形，且 ∴四边形是矩形 2.拓展判定结论 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 【基础巩固题型】 【题型1】利用矩形性质求线段长度 1.核心知识点 矩形对角线相等且平分的性质；勾股定理；等腰三角形性质 2.解题方法技巧 ①矩形对角线相等且平分，可得到多组等线段，结合勾股定理计算边长与对角线长； ②对角线夹角为或时，可得到等边三角形，快速转化线段关系； ③遇到中点条件时，可结合中位线或直角三角形斜边中线性质简化计算。 【例题1】.（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的长是__________． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，是边的中点，，，则______． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·四川南充·期中）在矩形中，，，P为边上的一个动点，过点P分别作、的垂线，垂足分别为N，M两点，则__________________． 【题型2】利用矩形性质求角度大小 1.核心知识点 矩形四个角为直角的性质；等腰三角形角度性质；角平分线定义 2.解题方法技巧 ①利用矩形的直角条件，结合互余关系推导未知角的度数； ②对角线平分得到等腰三角形，利用“等边对等角”转化底角与顶角的关系； ③遇到角平分线、垂直平分线等条件时，先推导等角或等边，再逐步计算目标角度。 【例题2】.（25-26八年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在矩形中，于点E，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，则是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则等于_____． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在边上，且，若，则的度数为__________． 【题型3】矩形判定的条件补充 1.核心知识点 矩形的三种判定定理；平行四边形的性质 2.解题方法技巧 ①已知四边形是平行四边形时，补充“一个角为直角”或“对角线相等”即可判定为矩形； ②已知是一般四边形时，需补充“三个角是直角”或“对角线互相平分且相等”才能判定； ③可通过反例排除错误选项，例如“对角线互相垂直”是菱形的特征，无法判定矩形。 【例题3】.（25-26八年级下·湖北随州·期末）如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 【变式题3-2】.（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，在中，点E，F分别在边上，，与对角线相交于点O． (1)求证：； (2)请你添加一个条件：________________，使得平行四边形成为矩形． 【变式题3-3】.（2026·湖北武汉·一模）如图，在中，是对角线的中点，点，分别在边，上，过点． (1)求证：； (2)连接，添加一个与线段有关的条件，使为直角．（不需要说明理由） 【题型4】矩形面积的计算 1.核心知识点 矩形面积公式；勾股定理；矩形对角线与面积的关系 2.解题方法技巧 ①基础计算直接使用“长×宽”公式； ②已知对角线和一边长时，先用勾股定理求出另一边，再计算面积； ③利用中心对称性，可将分散的阴影面积转化为规则图形的面积，简化计算。 【例题4】.（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式题4-1】.（2026·福建漳州·模拟预测）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为___________． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，交的延长线于点 (1)求证：； (2)若，求矩形的面积． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【培优提升题型】 【题型5】直角三角形斜边中线的综合应用 1.核心知识点 直角三角形斜边中线定理；等腰三角形性质；垂直平分线性质 2.解题方法技巧 ①题干出现“直角+斜边中点”时，直接连接中线，利用“中线等于斜边一半”转化线段相等关系； ②多个直角三角形共斜边时，斜边上的中线长度相等，可构造等腰三角形推导角度； ③逆用定理：若三角形一边中线等于该边一半，可直接判定该三角形为直角三角形。 【例题5】.（25-26八年级下·天津红桥·期末）如图，在中，，，分别是，，的中点．若，，，则线段的长为（） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为（     ） A． B．4 C． D．5 【变式题5-2】.（25-26八年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，是边上的中线，以为邻边作，与交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·上海静安·期末）如图，已知：在四边形中，平分，，为的中点，过点作，交边于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的长． 【题型6】矩形的判定证明 1.核心知识点 平行四边形的判定；矩形的判定定理；全等三角形的判定与性质 2.解题方法技巧 ①常规证明思路：先证四边形是平行四边形，再证一个角为直角或对角线相等； ②已知多个直角条件时，可直接用“三个角为直角的四边形是矩形”完成证明； ③遇到菱形+平行线的组合，可利用菱形对角线垂直的特征，证明平行四边形有一个直角，进而判定矩形。 【例题6】.（25-26八年级下·江苏徐州·期末）已知：如图，在中，，垂足为，点在边上，．求证：四边形为矩形． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在中，点为线段的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，，若．求证：四边形是矩形． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，在中，D，E分别是的中点，延长至点F，使，连接． (1)从条件①；②中选择合适的一个，完成四边形为矩形的证明． (2)在（1）的结论下，若平分，且，求四边形的面积． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，交的延长线于点， (1)求证：四边形是矩形； (2)已知为的中点，连接，．，，求的长． 【题型7】矩形性质与判定综合计算 1.核心知识点 矩形的性质与判定；勾股定理；线段中点性质 2.解题方法技巧 ①先根据判定定理证明目标四边形是矩形，再利用矩形性质转化线段与角度关系； ②结合角平分线、平行线等条件，推导等腰三角形，得到线段等量关系； ③利用直角条件构造直角三角形，通过勾股定理列方程求解未知线段长度。 【例题7】.（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 【变式题7-1】.（2026·江苏南京·一模）如图，在中，点E、F分别在上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，，则的长为 ． 【变式题7-2】.（2026·贵州遵义·二模）如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，连接，过点作，交于点． (1)试判断四边形的形状，并证明； (2)若，，求四边形的面积． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在中，，交于点，是的中点，过点作于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，，求的长． 【压轴素养题型】 【题型8】折叠情境中的矩形问题 1.核心知识点 折叠的性质；矩形的性质；勾股定理 2.解题方法技巧 ①折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线； ②矩形折叠后常出现等腰三角形，结合平行线内错角相等可推导边相等； ③设未知数表示相关线段，在直角三角形中用勾股定理列方程求解。 【例题8】.（2026·吉林松原·三模）如图，在矩形中，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．求证：． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·贵州黔南·期中）如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点与原点重合，顶点，分别在轴、轴上，，，为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度为______； (2)如图2，当点与点重合时，沿将折叠得，与轴交于点，求的面积． 【变式题8-3】.（2026·内蒙古通辽·三模）如图，在矩形中，，． (1)如图，将矩形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图，将沿翻折，若交于点，求的长； (3)如图，为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点，，且，求的长． 【题型9】矩形中的最值问题 1.核心知识点 矩形的性质；两点之间线段最短；垂线段最短；斜边中线定理 2.解题方法技巧 ①单线段最值常转化为“垂线段最短”或“点到直线的距离”求解； ②两线段和的最值可利用对称性转化为两点之间线段最短； ③含中点的动态问题可结合斜边中线定理，将动线段转化为定长线段分析。 【例题9】.（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图所示，已知为坐标原点，矩形（点与坐标原点重合）的顶点、分别在轴、轴上，且点C的坐标为，连接，将沿直线翻折至，交于点，试在轴上找一点，使的长度最短，则最短距离为_______． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·湖北·期中）勾股定理是重要的几何工具，它既能解决生活中的实际问题，又能帮助数形结合破解一些含根号代数式的最值难题．如图，码头潭公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台A、凉亭B，观景台A到马路的距离（的长）为，凉亭B到马路的距离（的长）为，的长为．为方便游客，现计划在路段之间离点处放置一个自动售货点G． (1)请用含x的代数式表示：______，______；若要使G到A、B两处的距离相等，则_______． (2)若要使从点A走到点G买东西后再走到点B的总路径最短，求点G应修建在离点C多远处？最短总路程为多少？ (3)直接写出代数式的最小值为______． 【变式题9-2】.（2024·山东潍坊·一模）“数形结合”是一种重要的数学思想，有着广泛的应用． 例：求的最小值． 解题思路：如图，作线段，分别构造直角边为1，x和，2的两个直角三角形，当点A，D，E在一条直线上时，转化为两点之间线段最短，在中，由勾股定理，得，即，所以求得的最小值为5．      【类比求值】 （1）类比上面解题思路，完成下面的填空： ①求的最小值为______； ②求（a，b，c为正数，）的最小值为______． 【解决问题】 （2）如图，在矩形花园中，米，米，计划要铺设两条小路，点E在上．要使最小，设米．    ①请用（1）中的结论，求最小值是多少？ ②若不用（1）中的结论，你还有其他解决方案吗？请写下来． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·湖北恩施·期中）活动与实践： 教材重现（新人教版八年级上册数学教材第94页综合与实践牧民饮马问题） 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 抽象为数学问题：如图2，已知点、在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小． 探究活动1（问题转化） 如图3，若点、在直线的异侧时，连接，交直线于点，由“两点之间线段最短”知，对于直线上任意一点，均有，故、、三点在同一条直线上时最小，得所求点即为点． (1)问题1：如图3，若、两点距直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 针对图2点、在直线的同侧，利用轴对称知识，如图4，作出点关于直线的对称点，连接交直线于点．由轴对称性质知直线是线段的垂直平分线，故，同（1）可知所求点即为点． (2)问题2：如图4，若、两点到直线的距离分别为和，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段的长）为，请求出此时的最小值为 ． 探究活动2（数形结合） 例：求代数式的最小值． 解：代数式的几何意义： 如图5，线段，分别以、为垂足在线段的同侧作的垂线段和，且，在线段上取点，设，则． (3)问题3：中，根据勾股定理用含的代数式表示 ，同理 ．那么求的几何意义就是求线段、的长度和．此时的最小值为 ． (4)问题4：已知，利用几何意义探究代数式的最小值为 ． 探究活动3（拓展迁移） (5)问题5：求代数式的最小值为 ． (6)问题6：已知、均为正数，且是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是 ．（用含、的式子表示）． 易错点 1、判定矩形忽略前提：误将“对角线相等的四边形”直接判定为矩形，正确结论是“对角线相等的平行四边形”才是矩形，或对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 2、混淆对角线性质：记错矩形对角线的特征，误认矩形对角线互相垂直，实际矩形对角线相等且平分，仅特殊矩形（正方形）对角线才垂直。 3、斜边中线定理误用：在非直角三角形中套用“斜边上的中线等于斜边一半”，该定理仅在直角三角形中成立。 4、折叠问题漏用性质：忽略折叠前后对应边、对应角相等的核心性质，未结合矩形的直角条件构造勾股定理方程。 重点 1、矩形的核心性质：四个角都是直角，对角线相等且互相平分。 2、矩形的三种判定方法，能根据已知条件灵活选择判定思路完成规范证明。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的定理及其逆定理的应用。 难点 1、矩形性质与判定的综合应用，结合折叠、动点等几何变换的推理与计算。 2、矩形中的存在性问题与最值问题，分类讨论思想与数形结合方法的应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，要使成为矩形，给出下列条件：①；②；③，其中正确的是（     ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 2．如图，在矩形中，，，是上一点，连接，将矩形沿折叠后，点恰好落在对角线上的点处，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，在矩形中，连接，以为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，若，，则的长为________． 5．如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则的长为________． 6．如图，在中，，点为边上一动点，于点于点，连接为的中点，连接，则的最小值为______． 三、解答题 7．如图，在平行四边形中，，相交于点，点，分别在，上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，当四边形是矩形时，求的长． 8．一堂几何拓展课中对平行四边形和矩形的边和对角线之间的数量关系进行了研究． (1)如图①，矩形中，求证：． (2)如图②，在中，可以发现（1）中的结论仍然成立，请证明之． 9．下面是某校数学“综合与实践”活动小组开展的一个项目化学习，阅读下列材料，解决后面的问题． 项目 名称 测量吊车起重臂顶端与地面的距离 对象 简介 吊车作业时是通过液压杆的伸缩使起重臂绕点转动的，从而使得起重臂完成升降作业（起重臂的长度也可以伸缩） 重新上传 下载 删除 操作 示意图 操作 数据 起重臂米，点到地面的距离米，钢丝绳所在直线垂直地面于点，点到的距离米． 解决问题 (1)求证：四边形是矩形； (2)求吊车起重臂的顶端到地面的距离． 10．我们把宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形．黄金矩形的一种折叠方式的步骤如下： 第一步，在宽为的矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平； 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，得到图4． (1)请说明矩形是黄金矩形； (2)求证：； (3)在图4中仅用圆规在折痕，上作，，使得四边形为黄金矩形（要求：写出作法，保留作图痕迹）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $