专题03 正方形的性质与判定重难点九大题型突破 讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学正方形的性质与判定核心知识点，通过九大题型搭建从基础应用到综合拓展的学习支架，涵盖性质求角度、线段、面积、坐标，判定证明，综合应用及“十字架”“对角互补”模型等内容。 资料以分层题型设计为特色，从基础计算到复杂证明逐步提升，融入经典模型培养学生模型意识与推理能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生强化练习，查漏补缺。

专题03正方形的性质与判定重难点九大题型突破 题型归纳 【题型1利用正方形的性质求角度】 【题型2利用正方形的性质求线段长度】 【题型3利用正方形的性质求面积】 【题型4求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5正方形的判定证明】 【题型6正方形的性质与判定综合】 【题型7求正方形形中最值问题】 【题型8正方形中“十字架”模型】 【题型9正方形中“对角互补”模型】 专题训练 【题型1利用正方形的性质求角度】 1.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向右侧作一个等边△CDE,则∠CAE= () B A.25° B.30° C.35° D.45° 【答案】B 【分析】利用正方形和等边三角形性质得出AD=DE及∠ADE度数，求出∠DAE, 结合∠CAD=45°计算即可 【详解】解：.四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD,∠ADC=90°，∠CAD=45°， ,△CDE是等边三角形， ∴.CD=DE,∠CDE=60°， ∴.AD=DE,∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150°， .∠DAE=180-∠ADE=号180-150=15， ∴.∠CAE=∠CAD-∠DAE=45°-15°=30° 2.如图，点E为正方形ABCD内部的一点，△BCE为等边三角形，则∠BAE的度数为 () D E A.45° B.55° C.65° D.75° 【答案】D 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可推出∠ABE=30°，AB=BC=BE, 再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案. 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=90°， ,△BCE为等边三角形， ∴.BE=BC,∠CBE=60°， .∠ABE=∠ABC-∠CBE=30°： .AB=BC=BE, :∠BAE=∠BEA=180°-∠ABE=750, 2 3.如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE、BD交于点F,若 ∠AEC=120°，则∠AFD的度数为() A.100° B.105 C.110° D.120° 【答案】B 【分析】先根据邻补角定义求出∠AED的度数，再在Rt△ADE中求出∠DAE的度数， 最后在△ADF中利用三角形内角和定理即可求解. 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠ADC=90°，∠ADB=45°， ,点E在CD边上，∠AEC=120°， .∠AED=180°-∠AEC=180°-120°=60°， 在Rt△ADE中，∠DAE=90°-∠AED=90°-60°=30°， 在△ADF中，∠AFD=180°-∠ADB-∠DAE=180°-45°-30°=105°. 4.如图，在正方形ABCD右侧作等边三角形CDE,连接BD,BE,∠1的度数为() D A.15° B.30° C.35° D.45 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出△BCE为顶角度数是150度的 等腰三角形，进而求出∠CBE的度数，再根据角的和差关系进行求解即可。 【详解】解：在正方形ABCD右侧作等边三角形CDE, ∴，BC=CD=CE,∠BCD=90°，∠DCE=60°，∠CBD=45°， ∠BCE=150,∠CBE=∠CEB=180-∠BCE=150, 2 ∴.ㄥ1=∠CBD-∠CBE=30° 5.如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，连接DE并延长，交AB于点F,连接 BE.若AD=CE,则∠BEF的度数为() D B A.30° B. 459 C.60° D.67.5° 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到BC=CD=AD,∠ACB=∠ACD=45°，由 AD=CE推出BC=CE=CD,利用等边对等角和三角形内角和定理求出 ∠BEC=∠CED=67.5°，再根据平角定义求出∠BEF. 【详解】解：四边形ABCD是正方形， .BC=CD=AD,∠ACB=∠ACD=45°， AD=CE. ∴BC=CE=CD, &∠BEC=∠CED=180°-45=67.5， ∴.∠BEF=180°-∠CED-∠BEC=45° 【题型2利用正方形的性质求线段长度】 6.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E、F分别为AO、AD的中点， 若EF=3,则OA的长是() D B A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，得到OA=OD;利用三角形中位线，得到OD=2EF,结 合已知求解即可， 【详解】解：.`正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O, ..OA=OD .E、F分别为AO、AD的中点， ∴.OD=2EF, EF=3, .OD=6, .∴.OA=6 4 7.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，若BE=3,AE=1,则正方形ABCD的对 角线的长为() A.22 B.4 C.8 D.8V2 【答案】B 【分析】连接BD,由正方形的性质得到∠A=90°，AB=AD,然后利用勾股定理求 解即可. 【详解】解：如图，连接BD, B D ,在正方形ABCD中，点E在边AD上，若BE=3,AE=1, .∠A=90°，AB=AD ∴.AD2=AB2=BE2-AE2=32-12=8, BD-RAB+AD=4 ∴.正方形ABCD的对角线的长为4. 8.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E,F分别为CD,BC的中点，连接AE,AF, EF,M,N分别为AE,AF的中点，连接MN,则MN的长为() O M 的 A.1 B.2 c.2 D.2V2 5 【答案】B 【分析】根据点M,N分别是AE和AF的中点，即可得到MN是△AEF的中位线，故 MN的长即为EF的长的一半，在Rt△CEF中，根据勾股定理求得EF的长，即可得出 结论 【详解】解：.在边长为4的正方形ABCD中，E,F分别为CD,BC的中点， ∴.CF=2,CE=2 在Rt△CEF中，EF=2+2=22 ,'点M,N分别是AE和AF的中点， .MN是△AEF的中位线， .MN=EF=1x2V2=9/2. 2 9.如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC,PF⊥BC,E、F分别为垂 足，若CF=3,CE=4,则AP的长为() A D A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【分析】连接AP、CP,由正方形的性质可得AD=CD,∠ADB=∠CDB=45°， ∠BCD=90°，证明△ADP≌△CDP SAS,得出AP=CP,证明四边形PFCE为 矩形，得出CP=EF,再结合勾股定理计算即可得出结果. 【详解】解：如图，连接AP、CP, 6 B ,四边形ABCD为正方形， .AD=CD,∠ADB=∠CDB=45°，∠BCD=90°， 在△ADP和△CDP中， AD=CD ∠ADP=∠CDP=45° DP=DP .△ADP≌△CDP SAS, ∴.AP=CP, ,PE⊥DC,PF⊥BC, ∴，四边形PFCE为矩形， ..CP=EF, ,CF=3,CE=4, 六EF=CF2+CE=5 ∴.AP=CP=EF=5. 10.数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为√2的正方形ABCD与边长 为5的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一 条直线上，如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG 上时，此时BE的长为() G 图1 图2 A.1 B.3 c.2 D 3V2-4 【答案】B 【分析】连接AC,交BD于点O,由正方形性质得到相关线段长及角度，再由全等三 角形的判定与性质得到BE=DG,在Rt△AOG中，由勾股定理得到OG,数形结合 表示出DG,代入线段长度计算即可. 【详解】解：连接AC,交BD于点O,如图所示： 图2 在正方形ABCD中，AD=AB=V2,∠BAD=90°， 则 AC=BD=VAD2+AB2=2 .∴.OA=OD=1,AC⊥BD, 在正方形AEFG中，AG=AE,∠EAG=90°， .'∠BAE=∠BAG+∠EAG=∠BAG+90°， ∠DAG=∠BAG+∠BAD=∠BAG+90°， ∴.∠DAG=∠BAE, 在△DAG和△BAE中， AD=AB ∠DAG=∠BAE AG=AE .△DAG≌△BAE SAS, ∴.BE=DG, 在Rt△A0G中，OA=1'AG=S:则由勾股定理可得0G=VAG2-0A=2 .∴.BE=DG=OD+OG=3 【题型3利用正方形的性质求面积】 11.如图1，小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开，围成如图2所示的一个 大正方形，则空白部分的面积是() 图1 图2 A.5 B.5 C.3 D.3 【答案】B 【分析】求得小长方形的面积和大正方形的面积即可求解 【详解】解：由题意，小长方形的面积为2×1=2，大正方形的边长为1+2=3， .大正方形的面积为32=9， ∴.空白部分的面积是9-2×2=9-4=5 12.“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对 数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲.如图，“赵爽弦图”是由与 Rt△AOB全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形ABCD,中间的部分是 一个小正方形，过正方形ABCD的顶点作正方形EFGH,且EF⊥OB.若中间最小 的正方形的面积为1，AB=5,则正方形EFGH的面积为() 6 D A.25 B.36 c.49 D.64 【答案】C 【分析】设直角三角形两直角边分别为Q,b,利用勾股定理和完全平方公式求出 (a+b)的值，通过证明四边形EBOA为矩形，结合矩形性质，以及全等三角形性质得 出正方形EFGH的边长为Q+b,进而即可求出正方形EFGH的面积. 【详解】解：设Rt△AOB的短直角边OB=b,长直角边OA=a, ‘中间最小正方形的面积为1， (a-bP=1即a-b=1 .AB=5, .a2+b2=25, .EF⊥OB, .∴.∠EB0=90°， ,四边形EFGH为正方形， ∴.∠E=90°， .∠AOB=90°， ∴.四边形EBOA为矩形， .∴.BE=OA=a,AE=OB=b :“赵爽弦图”是由与Rt△AOB全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形 ABCD, ,AB=BC,∠ABC=90°， .∠EBA+∠FBC=90°， ,四边形EFGH是正方形， .∠E=∠F=90° .∠EBA+∠EAB=90°， ∴.∠FBC=∠EAB, .△EAB≌△FBCAAS, .BF=EA=b. .∴.EF=EB+BF=b+a, .(a-b2=a2+b2-2ab=1' .∴.25-2ab=1,解得2ab=24, :.正方形EFGH的面积=EF2=(a+b?=a2+b2+2ab=25+24=49 13.如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，M、N是 AE、AF与对角线BD的交点.若BM=3,DN=4,则正方形ABCD的面积为 () 10 B E A.60 B.64 C.72 D.98 【答案】C 【分析】过点A作AH⊥AN,且使得AH=AN,连接BH,MH,证明 △BAH≌△DAN,得到BH=DN=4,∠ABH=∠ADN,则可证明 ∠HBM=90°，可求出MH=5;再证明△AHM≌△ANM,得到MN=MH=5, 则BD=12:由勾股定理得BD=AB2+AD2=2AB,则AB2=72,据此可得答案. 【详解】解：如图所示，过点A作AH⊥AN,且使得AH=AN,连接BH,MH B ,四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠BAD=90°： AH⊥AN, .∠HAN=90°=∠BAD, ∴.∠HAN-∠BAN=∠BAD-∠BAN,即∠BAH=∠DAN, ∴.△BAH≌△DAN SAS, ∴，BH=DN=4,∠ABH=∠ADN, :∠ABD+∠ADB=90, .∠ABD+∠ABH=90°，即∠HBM=90°， 六MH-VBH+BM2=5 ,∠EAF=45°， .∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=45°， .∠BAE+∠BAH=45° 11 .∠HAM=45°=∠NAM, 又，AH=AN,AM=AM, .△AHM≌△ANMSAS, ∴.MN=MH=5, .BD=BM+MN+DN=12: 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=AB+AD2=2AB2, ∴.2AB=122,即AB=72, ∴.正方形ABCD的面积为72. 14.如图，矩形ABCD内有两个正方形ABFE和GHIJ,点G、H在EF上，点I、J在CD 上，若正方形ABFE的面积为6，正方形GHJ的面积为1，则图中两块阴影部分的面 积之和为() B A.1 B.6-1 C.3 D.6 【答案】B 【分析】根据正方形面积计算公式可得正方形ABFE和正方形GHJ的边长分别为6 1,据此可得AD=V6+1,AB=V6,,再根据 Sm=S长方形ABCD~SE方形ABFE-SE方形GH,列式求解即可. 【详解】解：，正方形ABFE和正方形GHJ的面积分别为6,1， .正方形ABFE和正方形GHJ的边长分别为√6,1， .AD=V6+1,AB=6 ∴.S9=S长方形ABcD-SE方8ABrE-SE方形GH=√6+1×V6-6-1=/6-1 15.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是另一个正方形ABCO的一个项顶 点.如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为() 12 A.3 B.6 c.9 D.4 【答案】C 【分析】设AB与AO交于点E,BC与CO交于点F,根据题意可得 ∠AOE=∠BOF,结合正方形的性质证明△AOE≌△BOF,则两个正方形重叠 部分的面积等于S△AoB,即正方形ABCD面积的四分之一，己知正方形的边长，可据 此求出重叠部分的面积. 【详解】解：如图，设AB与AO交于点E,BC与CO交于点F, ABCD ABCO 正方形 、正方形 .∴.∠AOB=∠AOC=90°，AO=BO,∠OAE=∠OBF=45°， ∴.∠AOE=∠BOF, 在△AOE和△BOF中， ∠OAE=∠OBF AO=BO ∠AOE=∠BOF .∴.△AOE≌△BOF ASA, ∴.S△AOE=S△BOF, 则两个正方形重叠部分的面积为 56a+5ar=Saoe+5⅓ae=5a0e=5swD×62=9, 4 【题型4求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 16.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为0,2，点B 13 的坐标为-3,0，则点C的坐标是() 4 A.5,3 B.5,2 c.-5,3 D.-3,5 【答案】C 【分析】过点C作CE⊥x轴于点E,证明△CBE≌△BAO AAS,根据全等的性质 得到边的关系，从而求出点C的坐标 【详解】解：点A的坐标为0,2，点B的坐标为-3,0， .A0=2,B0=3, 过点C作CE⊥x轴于点E, ∴.∠CEB=∠BOA=90° 0 .∠ECB+∠CBE=90°， .四边形ABCD是正方形， ∴.CB=BA,∠CBA=90°， ∴∠CBE+∠ABO=90°， .∠ECB=∠OBA, 在△CBE和△BAO中， ∠ECB=∠OBA ∠CEB=∠BOA CB=BA .∴.△CBE≌△BAO AAS, .∴.CE=OB=3,BE=OA=2, .∴.OE=OB+BE=5, ∴.C-5,3 14 17.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在X轴上，点A的坐标为-2,0， 点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为0,6，则点 E的坐标为() A.2,8 B.2,10 c.3,8 D.3,10 【答案】D 【分析】设正方形ABCD的边长为a,CD与y轴相交于G,先判断四边形AOGD是矩 形，得出OG=AD=a,DG=AO,∠EGF=90°，根据折叠的性质得出 BF=BC=a,CE=FE,在Rt△BOF中，利用勾股定理构建关于Q的方程，求出a的 值，在Rt△EGF中，利用勾股定理构建关于CE的方程，求出CE的值，即可求解. 【详解】解：设正方形ABCD的边长为a,CD与y轴相交于G, y本 ABCD AB x B 正方形 的边 在轴上， .∴∠BOG=∠CBO=∠CEB=∠CGO=∠D=∠BAD=90° 四边形AOGD是矩形， ∴.OG=AD=a,DG=AO,∠EGF=90°， 折叠， ∴.BF=BC=a,CE=FE, .点A的坐标为-2,0，点F的坐标为0,6， .∴.AO=2,F0=6, .∴.BO=AB-AO=a-2, 在Rt△BOF中，BO+FO=BF2, 15 .a-22+62=a2 解得a=10, .'FG=OG-OF=4,=CD-DG-CE=8-CE, 在Rt△EGF中，GE2+FG2=EF2, .8-CE2+42=CE2 解得CE=5, .i=3, ∴.点E的坐标为3,10 18.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC中C点的坐标为2,4则A点的坐标为 () A.-2,4 B.2,-4 c.-4,2 D.4,-2 【答案】C 【分析】如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,根据正 方形的性质，可证Rt△AOD≌Rt△OCE(ASA),可得DO=EC,AD=OE,根 据点C的坐标可确定OE,CE的长，由此即可求解. 【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E, 6 ,四边形OABC是正方形 :.OA=AB=BC=OC,∠AOC=90°， ,∠AOD+∠EOC=90°，∠AOD+∠OAD=90°， .∠OAD=∠EOC, 在Rt△AOD与Rt△OCE中， ∠OAD=∠COE ∠ADO=∠OEC=90° AO=CO :.Rt△AOD≌Rt△OCE(AAS), ∴.DO=EC,AD=OE, C2,4 .OE=2,CE=4, .OD=4,AD=2,且点A在第二象限， .A(-4,2 19.如图，将正方形ABCD放在平面直角坐标系xOy中，点A,B分别在x轴，y轴上，点 C,D在第一象限内.若点B的坐标为0,1，正方形ABCD的面积为5，则点C的坐标 是() A.1,5 B.1,26+1 c.1,3 D.3,1 【答案】c 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，过点C作CH⊥y 轴于H,根据题意可得OB=1,由正方形的性质得到AB=BC=V5,∠ABC=90°， 则由勾股定理可得OA=2,证明△OBA≌△HCB|AAS,得到 CH=OB=1,BH=OA=2,则OH=OB+BH=3,据此可得C1,3. 【详解】解：如图所示，过点C作CH⊥y轴于H, :点B的坐标为0,1， .OB=1, 17 ,正方形ABCD的面积为5 ∴.AB=BC=V5,∠ABC=90°， OA-AB-0B=2 :CH⊥y轴， ∴.∠CHB=∠BOA=90°， .∠OBA+∠OAB=∠OBA+∠HBC=90°， .∠OAB=∠HBC, :.△OBA≌△HCBAAS, ..CH=OB=1,BH=OA=2, ..OH=OB+BH=3. .C1,3, 故选：C H中- A 20.如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3,0)，点 P(1,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°， 第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2025 次后，点P的坐标为() 第一次 第二次 B P P … P2 A ① ② A.(6074,1) B.（6075,1 c.(6076,2) D (6077,2)】 【答案】D 18 【分析】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标，全等三角形的性质和判定， 旋转的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常 考题型 首先求出P1~P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题 【详解】解：A(3,0),P(1,2),根据题意点P也是绕正方形右下角的顶点按顺时 针方向依次旋转90°， VA 第一次 第二次 B P 1入2 A ①W ② 过点P和点P1作PM⊥OA,P1N⊥OA, 则∠PAP1=90°，AP=AP1 .∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°. ∠2=∠3， △APM≌△P1 AN AAS) .AM=P N=2,PM=AN=2. .0N=5 .第次旋转后P1(5,2), 同理第二次旋转后P2(8,1), 第三次旋转后P3（10,1), 第四次旋转后P4(13,2), 第五次旋转后P5（17,2), 发现点P的位置4次一个循环， .2025÷4=506..1, Pm,的纵坐标与p,相同为2，横坐标为5+12×506=6077： ∴P202s6077,2, 故选：D. 19 【题型5正方形的判定证明】 21.已知：如图，四边形ABCD是矩形，AD=2AB,M是AD的中点，N是矩形 ABCD外一点，且BNCM,CN‖BM.求证：四边形BNCM是正方形. D 【答案】证明： .BN‖CM,CN‖BM .四边形BNCM是平行四边形 ,四边形ABCD是矩形 ∴.AB=DC,∠A=∠D=90° ,:M是AD的中点，.AM=MD AD=2AB,.AB=AM.MD=DC .'.△ABM、△DCM都是等腰直角三角形 . BM=CM .∴.口BNCM是菱形 又'.△ABM是等腰直角三角形 .∴.∠AMB=45° ,:△DCM是等腰直角三角形 .∴.∠DMC=45 .∴.∠BMC=180°-∠AMB-∠DMG=180°-45°-45°=90° .四边形BNCM是正方形 【分析】根据已知条件先证明四边形BNCM是平行四边形（两组对边分别平行的四边 形是平行四边形)，再证明四边形BNCM是菱形，最后证明四边形BNCM有一个内 角是直角，根据正方形的判定定理（有一个角是直角的菱形是正方形）得出证明. 【详解】略 22.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线BE交对角线AC于点E,EM⊥AB于点 M,EN⊥BC于点N,求证：四边形BMEN是正方形. 20 D M 【答案】证明：四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90, ,EM⊥AB于点M,EN⊥BC于点N, :.∠BME=∠BNE=90°， ∴四边形BMEN是矩形， ,BE是∠ABC的平分线，且EM⊥AB,EN⊥BC, ∴EM=EN, .四边形BMEN是正方形. 【分析】先推出∠BME=∠BNE=∠ABC=90°，根据有三个角是直角的四边形是 矩形，证明四边形BMEN是矩形，再由角平分线的性质，得到EM=EN,即可证明 四边形BMEN是正方形. 【详解】略 23.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线交于点G,乙⊥BC于 点E,GF⊥AC于点F.求证：四边形GECF是正方形 G E 【答案】证明：如图，过点G作GD⊥AB于点D, 21 .'∠CAB∠CBA G乙⊥BC EGF⊥AC D G 的平分线交于点， 于点， 于点F, .∴.DG=EG,DG=FG, .∴.EG=FG :∠C=90°，i⊥BC,GF⊥AC, .∠C=∠CEG=∠CFG=90°， ∴.四边形GECF是矩形， EG=FG, 四边形GECF是正方形 【分析】作GD⊥AB,利用角平分线性质得EG=FG,先证四边形GECF是矩形， 再用邻边相等推出四边形GECF是正方形， 【详解】略 24.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D,DE‖AB ,DF‖AC. (1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由： (2)若AD=2,请求出四边形AFDE的面积. 【答案】(1)四边形AFDE是正方形，理由如下： :DE‖AB,DF AC, ∴，四边形AFDE是平行四边形， ,AD平分∠BAC, ∠FAD=∠EAD, ,DE‖AB, 22 ∴.∠EDA=∠FAD ∠EDA=∠EAD, ..AE=DE ∴.平行四边形AFDE是菱形， ,∠BAC=90°， “.四边形AFDE是正方形： (22 【分析】(1)先证明四边形AFDE是平行四边形，再证明AE=DE,推出平行四边 形AFDE是菱形，由∠BAC=90°，可证明四边形是AFDE正方形： (2)利用正方形的性质结合勾股定理求解即可. 【详解】(1)解：略 (2)解：由(1)知四边形AFDE是正方形， ..AE+DE=2AE2=4, .AE=2, ∴.四边形AFDE的面积为2. 【题型6正方形的性质与判定综合】 25.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,EF⊥AD于F, DG⊥AE于点G,DG与EF交于点O. (1)求证：四边形ABEF是正方形： (2)若AD=AE,求证：AB=AG: (3)在(2)的条件下，已知AB=1,求OG的长. 【答案】(1)证明：，矩形ABCD, ∴.∠BAF=∠ABE=90° ,EF⊥AD ∴.∠B=∠BAF=∠AFE=90 23 ,∴，四边形ABEF是矩形 :AE平分∠BAD .∠DAE=∠BAE :矩形ABCD中，AD‖BC, ·,∠DAE=∠AEB ∴.∠AEB=∠BAE, ..BA=BE :.四边形ABEF是正方形： (2)证明：：DG⊥AE,而由(1)得∠B=90°， ∴.∠AGD=∠ABE=90°， AE平分∠BAD, ∴.∠DAG=∠BAE 在△AGD和△ABE中， ∠DAG=∠BAE ∠AGD=∠ABE AD=AE ∴△AGD≌△ABEAAS, ..AB=AG; 3)0G=2-1 【分析】(1)根据角平分线的定义证得EF=EB,根据正方形的判定即可证得结论： (2)根据三角形全等的判定证得△AGD≌△ABEAAS,由全等三角形的性质即 可得到结论： (3)连接AO,证明Rt△AGO≌Rt△AFO HL,设OG=OF=x,则OE=1-x, 可得△OGE为等腰直角三角形，G0=之元，则OE=V2x=1-x,即可求解. 【详解】(1)略： (2)略： (3)解：连接AO 24 ,四边形ABEF是正方形， .AB=AF=EF=1,∠AFO=90°，∠AEF=45°， .AB=AG. ..AG=AF=1, :DG⊥AE, .∠AGO=∠AF0=90°， ,AO=A0」 :.Rt△AGO≌Rt△AFO|HL, ∴.OG=OF, 设OG=OF=X, ..OE=EF-OF=1-x, :DG⊥AE,∠AEF=45°， ∴.△OGE为等腰直角三角形，GO=之心， .由勾股定理得：OG2+GE=0E2, :.OE=V2x=1-x, 解得：x=2-1, :.0G=V2-1. 26.如图，在口ABCD中，点M是边BC上的点，连接AM,CN‖AM交AD于点N, AM=AN,CE⊥AB于点E,交AM于点F,∠CFM=∠B B M (1)求证：四边形AMCN是正方形： (2)连接AC,若CE平分∠ACB,BC=42,求DN的长， 【答案】(1) 25 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD‖BC,即ANMC, 又.CN‖AM ∴.四边形AMCN是平行四边形， .AM=AN, ∴.平行四边形AMCN是菱形， .CE⊥AB, .∠CEB=90, .∠B+∠BCE=90°， ,∠CFM=∠B ∴.∠CFM+∠BCE=90°， 在△CFM中 ∠AMC=180°-（∠CFM+∠BCE)=90°， 有一个内角为直角的菱形是正方形 “.四边形AMCN是正方形： 2)49V/2-4 【分析】(1)先利用平行四边形对边平行结合CN‖AM证出四边形AMCN是平行四 边形，再由一组邻边相等判定其为菱形，接着借助直角三角形两锐角互余和等角代换 推出∠AMC=90°，最后依据有一个直角的菱形是正方形完成证明. (2)先通过角平分线、垂直得到相等角，用ASA证明△ACE与△BCE全等，推出 AC=BC,再结合正方形性质得到等腰直角△AMC,利用勾股定理求出正方形边长 MC即AN,最后根据平行四边形对边相等得到AD长度，作差算出DN 【详解】(1)略 (2)解：，CE平分∠ACB .∠ACE=∠BCE CE⊥AB ∴.∠AEC=∠BEC=90 在△ACE与△BCE中 ∠ACE=∠BCE CE=CE ∠AEC=∠BEC 26 .△ACE≌△BCE(ASA) ..AC=BC. :BC=42, AC=42, 由(1)得四边形AMCN是正方形 ..2 AMC=90,AM=MC,AN=MC, 在Rt△AMC中，由勾股定理得 AC2=AM2+MC2, .AM=MC. ..AC2=2MC2, 将AC=4V2代入得 (492=2MC2 32=2MC2, MC2=16, 边长为正数， .MC=4, .AN=4, :四边形ABCD是平行四边形， :.AD=BC=42 ..DN=AD-AN=42-4. 27.如图，AC是口ABCD的对角线，AB=BC,点E是边CD的延长线上一点，连接AE, 过点C作CF⊥AE于点F,交AD于点G,且∠E=∠CGD E D (1)求证：四边形ABCD是正方形： (2)若点F是AE的中点，AB=2,求CE的长， 【答案】(1)证明：口ABCD中AB=BC, 27 ,∴，四边形ABCD是菱形， ,CF⊥AE, ∴.∠CFE=90° .∠E+∠ECF=90°， ,∠E=∠CGD ∴.∠CGD+∠ECF=90°， ∠ADC=90, “.四边形ABCD是正方形： (2)2只V2 【分析】(1)先证明四边形ABCD是菱形，再结合CF⊥AE,∠E=∠CGD,可 得∠ADC=90°，即可求证； (2)根据勾服定理可得AC=AB+BC=22再根据线段垂直平分线的性质解 答即可， 【详解】(1)略 (2)解：四边形ABCD是正方形，AB=2, ∴.BC=AB=2,∠B=90°， 六AC=8VAB2+BC=22 点F是AE的中点，CF⊥AE, “.CF垂直平分AE ∴CE=AC=2V2. 28.综合与实践 问题情境：如图，在正方形ABCD中，AB=8,动点E在AC上（不与A、C重合）， 连接DE,作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作口DEFG,连接 CG. 备用图 28 (1)求证：口DEFG是正方形. 解决问题 2)若AE=2V2,求CF的长； (3)求DG的最小值， 【答案】(1)过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点， ABCD B MF H 正方形 .∴∠BCD=90°，∠ECN=45°， .∴.∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC, ∴.四边形EMCN为正方形， ∴.EM=EN, .四边形DEFG是平行四边形，且EF⊥DE, 四边形DEFG是矩形， ∴.∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°， ∴.∠DEN=∠MEF, 又∠DNE=∠FME=90, 在△DEN和△FEM中， ∠DNE=∠FME EN=EM ∠DEN=∠FEM .'.△DEN≌△FEM ASA, ∴.ED=EF, ∴.平行四边形DEFG为正方形： 2CF=4 3)DG的最小值为42 【分析】(1)作出如图的辅助线，由△DEN≌△FEM ASA,得到ED=EF,即 可求解： 29 (2)证明△APE是等腰直角三角形，求得AP=EP=2,据此计算即可求解： (3)先求得∠DCG=45°，点G在∠DCH的角平分线上，当DG⊥CG时，DG取 得最小值，此时△CDG是等腰直角三角形，据此计算即可求解。 【详解】(1)解：略 (2)解：过E作EM⊥BC于M点，交AD于P点，过E作EN⊥CD于N点， B MF :正方形ABCD ∴.∠EAP=45°，AD‖BC, .EP⊥AD ∴.△APE是等腰直角三角形， :AE=2V2, .'AP=EP=2, .AD=BC=8. ∴PD=6, ,∠EPD=∠PDC=∠END=90°， ∴四边形PEND是矩形， ..EN=PD=6,DN=PE=2, :四边形EMCN为正方形， ∴.CM=EN=6, ,△DEN≌△FEM, ..FM=DN=2, ∴.CF=CM-FM=4: (3)解：.矩形DEFG为正方形， ∴.DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°， ,四边形ABCD是正方形 ∴.AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°， .∴.∠ADE=∠CDG, 30 .△ADE≌△CDG|SAS, ∴.∠DAE=∠DCG=45°， ,点G在∠DCH的角平分线上， 当DG⊥CG时，DG取得最小值， 此时△CDG是等腰直角三角形， .CD=8,CG2+DG2=CD2, :DG-2CD=42. ∴.DG的最小值为42. 29.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F均在对角线BD上，且 BE=DF,AC=EF,连接AE,CE,CF,AF (1)求证：四边形AECF是正方形， (2)若AE=22,OB=3,求BC的长. 【答案】(1)证明：，四边形ABCD是菱形， OA=OC,OB=OD,AC⊥BD BE=DF, ∴.OB-BE=OD-DF,即OE=OF. ∴，四边形AECF是平行四边形. 又：AC⊥BD .四边形AECF是菱形. 又，AC=EF, ∴，四边形AECF是正方形： 213 【分析】(1)利用菱形的性质得出AO=CO,BO=DO,AC⊥EF,再利用 BE=DF,得出EO=FO,得出四边形AECF是平行四边形，再由AC=EF, 31 AC⊥BD,即可得证： (2)根据正方形的性质得到EC=AE=2V2,OE=OC,∠EOC=90°，根据勾股 定理求解即可. 【详解】(1)略： (2)解：，四边形AECF是正方形， ∴.EC=AE=2V2,OE=OC,∠EOC=90°， .0E2+0C2=EG2, 解得：OE=OC=2(负值舍去)， OB=3, BC=22+3=13 30.综合与实践 问题情境：如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE, 过点E作EF⊥DE,交直线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG 备用图 (1)猜想证明：证明四边形DEFG是正方形. (2)解决问题：求∠DCG的度数. (3)解决问题：已知BC=4,CF=2,请直接写出CG的长， 【答案】(1)证明：过E作EM⊥BC于M点，EN⊥CD于N点， B M :正方形ABCD 32 ∴.∠BCD=90°，∠ECN=45, ∴.∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，∠NEC=∠ECN=45°，则NE=NC, ,四边形EMCN为正方形， ∴.EM=EN,∠MEN=90°， ,四边形DEFG是矩形， ∴.∠g=∠MEN=90° ∴.∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°， .∠DEN=∠MEF, :∠DNE=∠FME=90°， ,△DEN≌△FEM ASA, .ED=EF, ∴，矩形DEFG为正方形， (2)∠DCG=45 3cG=2或32 【分析】(1)过E作EM⊥BC于M点，EN⊥CD于N点，由 △DEN≌△FEM ASA,得到ED=EF,即可求解； (2)证明△ADE≌△CDG SAS,得到∠DAE=∠DCG=45°， (3)由正方形EMCN,正方形ABCD,得到BM=DN,由△DEN≌△FEM,得 到FM=DN,依次求出BM,FM,MC,EC,AC的长，最后由△ADE≌△CDG, 得到AE=CG,即可求解，注意分情况讨论 【详解】(1)略 (2)解：，矩形DEFG为正方形， ∴.DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°， ,四边形ABCD是正方形， .AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°，∠DAE=45°， ·.∠ADE=∠CDG ,△ADE≌△CDG SAS, :.∠DAE=∠DCG=45, (3)解：过E作EM⊥BC于M点，EN⊥CD于N点，由(1)得正方形EMCN, 33 △DEN≌△FEM, ①当F在线段BC上时， E B M H ,正方形EMCN,正方形ABCD ..BC=DC,MC=NC. .BC-MC=DC-NC,即：BM=DN, :△DEN≌△FEM, ∴.FM=DN .BC=4,CF=2, :.DN=BM=FM=BC-FC=4-2=1, 2 .MC=MF+FC=1+2=3, .EC=2MC=32,AC=V2BC=42, ,△ADE≌△CDG, ..AE=CG=AC-EC=42-32=2 ②当F在BC延长线上时，如图： N B ,正方形EMCN,正方形ABCD, ∴.BC=DC,MG=NC. ∴.BC-MC=DC-NC,即：BM=DN, :△DEN≌△FEM, ..FM=DN, 34 BC=4,CF=2, :.DN=BM=FM-BC+FC-4+2=3. 2 2 ∴.MC=MF-FC=3-2=1. ..EC=V2MC=V2,AC=2BC=42 :△ADE≌△CDG :AE=CG=AC-EC=4/2-2=32: 综上所述，CG=V2或3V2 31.如图，已知正方形ABCD边长为2，点P是对角线AC上一点. (1)过点P作PE⊥BC于E,PF⊥CD于F,求证：四边形PECF为正方形： (2)在(1)的基础上，过点P作PQ⊥BP,PQ交射线DC于点Q, ①当点Q在边CD上时，求证：PB=PQ: ②当以P、B、C、Q为顶点的四边形的面积为乙时，请求出PC的长. 【答案】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.∠BCD=90°，AC平分∠BCD ∠ACD=∠ACB=克∠BCD=45, PE⊥BC,PF⊥CD ∴，四边形PECF是矩形. :PF⊥CD,即∠PFC=90°， ∴.∠FPC=90°-∠ACD=45°， ∴.∠FPC=∠PCF, ∴FP=FC, ∴.四边形PECF是正方形 (2)①证明：由(1)有四边形PECF是正方形， 35 .PE=PF,∠EPF=90°， ∴.∠EPQ+∠QPF=90°， ,PQ⊥BP, ∴.∠BPQ=90, ,∠BPE+∠EPQ=90°， ∴.∠BPE=∠QPF, PE⊥BC,PF⊥CD, .∠PEB=∠PFQ=90°， .△BPE≌△QPF ASA, ..PB=PQ ②23 3 【分析】(1)由正方形的性质得到∠BCD=90°， ∠ACD=∠ACB=号∠BCD=45·,根据PE⊥BC,PF⊥CD,得到四边形 PECF是矩形，证明∠FPC=∠PCF得到FP=FC,即可得证结论： (2)①由正方形PECF得到PE=PF,∠EPF=90°，由同角的余角相等得到 ∠BPE=∠QPF,结合PE⊥BC,PF⊥CD证明△BPE≌△QPF ASA,即可 得出结论： ②分两种情况：当点Q在线段CD上时，作PE⊥BC于E,PF⊥CD于F;当点Q在 DC的延长线上时，作PG⊥AB于G,延长GP交CD于H;分别求解即可. 【详解】(1)略 (2)①略 ②解：如图，当点Q在线段CD上时，作PE⊥BC于E,PF⊥CD于F, D 由(1)可得四边形PECF为正方形，由①可得△BPE≌△QPF, 36 ∴.SABPE=SAQF ∴.S四边形BPQc=S△BPE+S四边形PEcQ=S△QPF+S四边形PEcQ=SE方形PECF, ?、B、C、Q为顶点的四边形的面在 2 ∴.SE方形PECF 即PE-cE-号 3 PEC,GE+CE得号2 当点Q在DC的延长线上时，作PG⊥AB于G,延长GP交CD于H,则 ∠BGH=90°， :四边形ABCD为正方形， :∠ABC=∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=∠BCD=450, ∴.∠ABC=∠BCD=∠HGB=90°， ∴四边形GBCH为矩形， ∴.∠GHC=90°，BG=CH,GH=BC=2, 、,∠CPH=90°-∠PCH=90°-45°=45°， .∠CPH=∠PCH, ∴PH=CH=BG PQ⊥BP, ∴.∠BPQ=90°， .∠GPB+∠QPH=180°-∠BPQ=90° ,∠GBP+∠BPG=180°-∠BGP=90°， .∠GBP=∠HPQ, .△BPG≌△PQH ASA, 37 ∴.BP=PQ,GP=QH, 设BG=PH=CH=a,则QH=GP=2-a, :以P、B、C、Q为顶点的四边形的面积为行 S8m0=5s05e-58m-2la*2-a×2-2a×12-a小- 2a×a 3 得a号剂 即BG=CH- 3, ∴PH=CH= 4 3 △uc-C--4 2 :在正方形ABCD中，AD=CD=2,∠D=90°， AC=VAD2+DC2=V22+2=22 ~当点P运动到AC中点时，PC=号AC=2<42 故此情况不存在。 3 续上所述，PC的长是23 3 【题型7求正方形形中最值问题】 32.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=8,E为BC的中点，F为AB上的动点且 FG⊥CD,连接DF,EG,则DF+EG的最小值为() B A.13 B.V89 c.41 D.12 【答案】A 38 【分析】连接EF,根据矩形的性质和全等三角形的性质证明EF=EG,在CB的延长 线上截取BK=BE=4,连接FK,DK,证明EG=FK,当点D、F、K三点共线时， DF+FK最小，即DF+EG最小，最小值为DK,在Rt△CDK中，根据勾股定理求 解即可； 【详解】解：连接EF, 在矩形ABCD中，∠ABC=∠C=90°，AB=CD=5,AD=BC=8, E是BC中点， “.BE=EC=4, ,FG⊥CD, ∴.∠ABC=∠C=∠CGF=90°， ∴.四边形BCGF是矩形， ..BF=CG ∴.△FBE≌△GCESAS, .EF=EG, 在CB的延长线上截取BK=BE=4,连接FK,DK, ,∠FBE=∠FBK=90°， 又BF是公共边， ∴，△FBE≌△FBK SAS, .EF=FK. ∴EG=FK ∴.DF+EG=DF+FK≥DK, ∴.当点D、F、K三点共线时，DF+FK最小，即DF+EG最小，最小值为DK, 在Rt△CDK中，CD=5,CK=BC+BK=8+4=12, 由勾股定理得： DK=CD2+CK2=V12+52=13' :.DF+EG的最小值为13 39 33.如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF交BD于 点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 () A. 5-1 B.1-5 c.5-1 D.1-5 2 2 【答案】c 【分析】先通过正方形性质证明两组三角形全等，推导出∠AHB=90°确定动点H的 运动轨迹，再取AB中点构造定长线段，结合勾股定理与三角形三边关系，进而求出 线段DH长度的最小值 【详解】解：`四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴.AB=BC=CD=AD,∠BAE=∠CDF=90°，∠ADG=∠CDG=45°， 在△ABE和△DCF中， AE=DF ∠BAE=∠CDF AB=CD .∴.△ABE≌△DCF SAS, ∴.∠ABE=∠DCF, 在△ADG和△CDG中， DG=DG ∠ADG=ㄥCDG AD=CD .∴.△ADG≌△CDG SAS, .∴.∠DAG=∠DCF, .∴.∠ABE=∠DAG, .'∠DAG+∠BAH=∠BAD=90°， 40 ∴.∠ABE+∠BAH=90°， 在△ABH中，∠AHB=180°-（∠ABE+∠BAH)=180°-90°=90°， 即△ABH是直角三角形，∠AHB=90°， 取AB的中点O,连接OH、OD, .Rt△ABH 0 AB 在 中，是斜边 的中点， :o28 .正方形边长为2，即AB=2, 0H=x2= O是AB中点， A0=3AB=-1, 又AD=2,∠OAD=90, ∴0D=VA02+AD=V12+2=V5 在△OHD中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，即DH≥OD-OH, 当且仅当O、H、D三点共线时，等号成立，此时DH取得最小值， .'D Hmin =5-1 34.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线AC上一动点，PE⊥AB, PF⊥BC,则EF的最小值为() 41 A.6V2 B.6 c.3V2 D.4/2 【答案】C 【详解】解：连接BP,如图， D ABCD 四边形 是正方形， ∴.∠ABC=90°，AB=BC=6, .PE⊥AB,PF⊥BC 四边形PEBF是矩形， ∴.EF=BP, 当BP⊥AC时，BP最短， 在Rt△BPC中，BP=PC,BC=6, .'BP2+PC2=BC=36, ∴.BP2=18,解得BP=32(负值已舍去)， ∴.EF=BP=3V2, 则EF的最小值为3V2 35.如图，正方形ABCD的边长为3，E是BC边上的一动点，以AE为边向左作正方形 AEFG,连接BG,则AE+BG的最小值是() D B A.6V2 B.3V5 c.V5+V/3 D.3+/2 【答案】B 【分析】延长AB到M,使BM=AB=3,连接EM,DM,证明 △ADE≌△ABG SAS,得DE=BG,根据∠ABC=90°，AB=BM=3,得BC 是线段AM的垂直平分线，则AE=ME,由此得AE+BG=ME+DE,因此当 42 ME+DE为最小时，AE+BG为最小，根据“两点之间线段最短”得ME+DE≥MD, 据此得当点M,E,D共线时，ME+DE为最小，最小值为线MD的长，继而得 AE+BG的最小值为线段MD的长，然后在Rt△AMD中，由勾股定理求出MD即可 得出答案 【详解】解：延长AB到M,使BM=AB=3,连接EM,DM,如图所示： B ,四边形ABCD是正方形，且边长为3， .AD=AB=3,∠BAD=∠ABC=90°， ,四边形AEFG是正方形， ∴.AE=AG,∠GAE=90°， ,∠BAD=∠GAE=90. .∠DAE+∠BAE=∠BAE+∠BAG, ∴∠DAE=∠BAG, 在△ADE和△ABG中， AD=AB ∠DAE=∠BAG AE=AG ∴.△ADE≌△ABG SAS, ∴.DE=BG ,∠ABC=90°，AB=BM=3, .BC是线段AM的垂直平分线， .AE=ME. ∴.AE+BG=ME+DE ,当ME+DE为最小时，AE+BG为最小，根据“两点之间线段最短”得： ME+DE≥MD, :.当点M,E,D共线时，ME+DE为最小，最小值为线段MD的长 43 .AE+BG的最小值为线段MD的长， 在Rt△AMD中，AD=3,AM=AB+MB=6, 由勾股定理得：MD=AD2+AM=32+62=35 ∴AE+BG的最小值是35， 36.如图，正方形ABCD的边长为12，点E在AB上，且AE=3,点F是BD上一动点， 则FE+A的最小值是() A.15 B.92 c.12V2 D.12 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短路线问题、勾股定理以及正方形的性质的运用，凡是涉 及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况 要作点关于某直线的对称点。 连接CP,依据CF=AF,可得AF+FE=CF+FE,当C,F,E在同一直线上时， CF+FE的最小值等于CE的长，再根据勾股定理即可得到CE的长即为FE+FA的最 小值 【详解】如图所示，连接CF, D 点A与点C关于BD对称， ∴.CF=AF, .∴.AF+FE=CF+FE, 44 当C,F,E在同一直线上时， CF+FE的最小值等于CE的长， .‘AE=3,AB=BC=12 .∴.BE=AB-AE=12-3=9 .'.CE=BE2+CE2=92+122=15 ∴.AF+FE的最小值等于15， 故选：A. 【题型8正方形中“十字架”模型】 37.结合图形，证明以下结论： 图1 图2 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE⊥DF,垂足为点 G.求证：△ADE≌△DCF (2)如图2，在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF,延长BC 到点H,使CH=DE,连接DH.求证：∠ADF=∠H 【答案】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC, .∠CDF+∠DFC=90°， ,AE⊥DF, ∴.∠DGE=90°， .∠CDF+∠AED=90°， ∴.∠AED=∠DFC, 在△ADE和△DCF中， ∠AED=∠DFC ∠ADE=∠DCF AD=DC 45 ∴.△ADE≌△DCF AAS: (2)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AD=DC,AD‖BC,∠ADE=∠DCF=90°， .AE=DF, .∴.△ADE≌△DCF HL, .DE=CF, 又.CH=DE, .CF=CH, ,点H在BC的延长线上， .∴.∠DCH=∠DCF=90°， DC=DC, ..△DCF≌△DCH SAS, ∴.∠H=∠DFC, .AD‖BC .∠ADF=∠DFC=∠H 【分析】(1)根据正方形的性质得到边和角的关系，再结合已知的垂直条件，利用全 等三角形的判定定理证明△ADE≌△DCF (2)先证明△ADE≌△DCH,得到对应角相等，再通过等量代换证明 ∠ADF=∠H】 【详解】(1)略 (2)略 38.综合与实践 数学活动课上，老师呈现了正方形的三个图形，请同学们针对每个图形，分别探究其 中线段之间的数量关系与位置关系 如图1，在正方形ABCD中，点M,N分别是边AB,BC上的点，且BM=CN,连接 AN与DM,交于点P. 图1 46 如图2，在正方形ABCD中，点E,F,G分别是边AD,BC,CD上的点， BG⊥EF,垂足为点H. G 图2 如图3，在正方形ABCD中，点E,F,M分别在边AD,BC,AB上，且AE=2, BM=1,BF=5.将正方形ABCD沿EF折叠，点M的对应点恰好落在CD边上的点 N处. 图3 (1)任务一：在图1中， ①求证：AN=DM: ②求∠APM的度数； (2)任务二：在图2中，求证：EF=BG: (3)任务三：在图3中，直接写出CN的值. 【答案】(1)①证明：，四边形ABCD是正方形， .AB=BC=AD,∠BAD=∠B=90°， .BM=CN, ..AB-BM=BC-CN. ∴.AM=BN, .△ABN≌△DAM SAS, ..AN=DM: ②90° (2)证明：如图2所示，过点C作CT‖EF,交BG于点Q交AD于点T, 47 图2 :四边形ABCD是正方形， :.CD=BC,AD‖BC,∠BCD=∠D=90°， 又.CT‖EF, :,四边形CFET是平行四边形， ∴.CT=EF； :BG⊥EF ∴.BG⊥CT ∴∠CQG=∠CBG+∠BCT=90°， 又，∠BCT+∠DCT=90°， .∠CBG=∠DCT, .△CBG≌△DCT ASA, ..BG=CT, .EF=BG. (3)4 【分析】(1)①由正方形的性质得到AB=BC=AD,∠BAD=∠B=90°，证明 AM=BN,则可证明△ABN≌△DAM,进而可证明AN=DM;②由全等三角形 的性质得到∠ADM=∠BAN,则可推出∠APM=∠ADM+∠DAN=90°： (2)过点C作CT‖EF,交BG于点Q,交AD于点T,证明四边形CFET是平行四 边形，得到CT=EF;再证明△CBG≌△DCT,得到BG=CT,即可证明EF=BG: (3)连接MN,过点B作BL‖MN交CD于点L,过点C作CK‖EF交AD于点K, 同理可证明四边形BLNM和四边形EFCK都是平行四边形，则CF=EK,NL=BM=1; 同理可证明△BCL≌△CDK,则CL=DK,可求出DK=BF-AE=3,据此可得 答案 【详解】(1)①略： ②解：由(1)①得△ABN≌△DAM, .∠ADM=∠BAN, ,∠BAD=∠BAN+∠DAN=90, .∠APM=∠ADM+∠DAN=90° (2)略 (3)解：如图3所示，连接MN,过点B作BL‖MN交CD于点L,过点C作 CK‖EF交AD于点K, M 图3 同理可证明四边形BLNM和四边形EFCK都是平行四边形， ∴CF=EK,NL=BM=1: 由折叠的性质可得MN⊥EF,则CK⊥BL, 同理可证明△BCL≌△CDK, ..CL=DK 由正方形的性质可得AD=BC, .AE+EK+DK=BF +CF, .DK=BF-AE=3, ∴CL=3, ..CN=NL+CL=4. 39.在综合与实践活动中，数学兴趣小组对正方形截两条互相垂直的直线得到的线段长度 关系进行了如下探究： 如图，在正方形ABCD中，点M为射线BC上的一个动点，连接AM,线段AM的垂 直平分线分别交直线AB、CD于E、F两点，交直线AM于点H. 49 M M 图1 图2 备用图 (1)【初步感知】：当点M在线段BC上时，如图1，求证：EF=AM: (2)【深入探究】：在(1)的条件下，如图2，连接BD交直线EF于点G,试探究线段 HG与EF之间的数量关系； (B)【拓展延伸】：过点A且垂直于AM的直线与直线CD相交于点P,当DF=号DP时， 米 BC的值 【答案】(1)证明：过点F作FQ⊥AB,如图所示： B M ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=AB=BC, ,FQ⊥AB, ∴.∠FQE=∠AQF=∠D=∠BAD=90°， “,四边形AQFD是矩形， ..FQ=AD=AB. ,EF⊥AM, .∠BAM+∠AMB=∠BAM+∠FEQ=90°， ∴.∠AMB=∠FEQ, ,∠B=∠FQE=90°， .△AMB≌△FEQ AAS, ..EF=AM: 50 ②HG=EE B)BM=4-7 BC 3 【分析】(1)过点F作FQ⊥AB,由题意易得 ∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=AB=BC,则有四边形AQFD是矩形， FQ=AD=AB,然后可得∠AMB=∠FEQ,进而可得△AMB≌△FEQ AAS, 则问题可求证； (2)连按BH,由题意易得AH=HM,则有BH=M=号AM,然后可符 ∠CFE=∠AEF=∠HBM,则有∠HBG=∠DGF=∠HGB,进而问题可求解： (3)连接EM,由题意易得四边形AEFP是平行四边形，则有AE=FP,AP=EF, 然后可得△ABM≌△ADPHL,则BM=DP,由DF=号DP可设 DF=X,DP=3x,则有BM=DP=3x,AE=FP=DF+DP=4X,进而根据勾股定 理可进行求解. 【详解】(1)证明：略： (2)解：HG=2EF,理由如下： 连接BH,如图所示： 9 G E H ,EF垂直平分AM, .AH =HM. ∠ABC=90°， :.BH-HM-AM. ∴.∠HBM=∠HMB, :∠AEF=∠AMB, 51 .∠HBM=∠AEF, 在正方形ABCD中，∠CBD=∠CDB=45°，AB‖CD, ,∠CFE=∠AEF=∠HBM, ,∠HBM=∠HBG+∠CBD,∠CFE=∠CDB+∠DGF, ,∠HBG=∠DGF=∠HGB. .BH=GH, GH-2AM-]EF: (3)解：连接EM,如图所示： M .'AP⊥AM,EF⊥AM AP‖EF, :AB‖CD, ,∴，四边形AEFP是平行四边形， .AE=FP,AP=EF, ,EF=AM,∠ADC=90°， AP=AM,∠ADP=90°=∠B, .AB=AD “.Rt△ABM≌Rt△ADP|HL, .BM=DP, :DF=号DP,故设DF=x,DP=3x, ..BM=DP=3x,AE=FP=DF+DP=4x, EF垂直平分AM, ∴.AE=EM=4x, 52 六在Rt△EBM中，由勾股定理得：BE=/EM-BM=16X-9X=/7X AB=AE+BE=4+7)x=BC' ∴.BM 3x 4-7 BC 4+7x3 【题型9正方形中“对角互补”模型】 40.在正方形ABCD中，点E为对角线BD上任意一点（不与B,D重合），连接AE,过 点E作EF⊥AE,交边BC于点F. B F 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AE=EF: (2)如图2，过点F作FM⊥BD,垂足为M,求证：DE+BM=EM; (3)如图3，过点E作EG⊥BD,交边CD于点G,连接BG与EF相交于点H,若点H 恰好是线段BG的中点，AE=V6,直接写出线段FH的长. 【答案】(1)证明：如图1，过E作PQ⊥BC交AD于点P,交BC于点O,则 ∠APE=∠DPE=90° E ABCD 图1 四边形 是正方形， ∴.ADBC, .∴.∠EQF=180°-∠APE=90°， ∴.∠APE=∠EQF, 53 :∠PAB=∠ABQ=90, ∴.四边形ABQP是矩形， ∴.AP=BQ .∠C=90°，BC=DC, ∴.∠CBD=∠CDB=45°， .∴.∠QEB=45°， ∴.∠QEB=∠CBD, .∴.BQ=EQ, ∴.AP=EQ, ,EF⊥AE, .∠AEF=90°， ∴.∠AEP=90°-∠FEQ=∠EFQ, .∴△AEP≌△EFQ AAS, .∴.AE=EF (2)证明：连接AC交BD于点O, E M ABCD 四边形 是正方形， .∴.BD=AC=2OA, .'FM⊥BD,EF⊥AE, .∴.∠AOE=∠FME=∠AEF=90°， .∴.∠AEO+∠FEM=∠EFM+∠FEM, ∴.∠AEO=∠EFM, AE=EF, .∴△AOE≌△EMF ASA, OA=M证-BD, .∴.DE+BM=EM: 54 3)/6-3 【分析】(1)过E作PQ⊥BC交AD于点P,交BC于点Q,证明 △AEP≌△EFQ AAS,即可得出结论： (2)连接AC交BD于点O,根据正方形的性质得BD=AC=2OA,证明 △AOE≌△EMF(ASA得到OA=ME=BD,即可得出结论： (3)连结CE、CH,则CE、CH都是直角三角形斜边上的中线，可证明 ∠EHC=90°，从而证明△EHC是等腰直角三角形，则CE=2EH,再证明 △CDE≌△ADE SAS得到CE=AE,则AE=V2EH=V6,即可求出EH=V3, 再由(1)得AE=EF,根据FH=EF-EH即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图，连接CE、CH, ,EG⊥BD ∴.∠BEG=∠BCG=90°， ,点H是BG的中点， EH=CH=号BG=BH, ∴.∠HEB=∠HBE,∠HCB=∠HBC, ∴，∠EHG=∠HEB+∠HBE=2∠HBE. ∠CHG=∠HCB+∠HBC=2∠HBC, :.∠EHC=∠EHG+∠CHG=2∠HBE+∠HBC=2∠CBD=90°， ∴.CE2=CH2+EH=2EH2, ..CE=2 EH, :在正方形ABCD中，∠ADB=∠CDB=45°，CD=AD, 55 .∠ADE=∠CDE=45°， 又：DE=DE ,△CDE≌△ADE SAS,, ..CE=AE, ..AE=2EH=6 ..EH=3. 由(1)得AE=EF, ·EF=6, ∴FH=EF-EH=V6-V3 41.【问题情境】数学兴趣小组从一种地板图案中抽象并变化得到如图(1)(2)(3)所 示的几何模型：在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，点O是对角线 AC上不与点C重合的一动点，分别连接OE、OF,且∠EOF=90°. HE 地板图案 图(1) 图(2) 图(3) 【初步感知】 (1)如图(1)，当点O是AC,BD的交点时，证明：BE=CF: 【尝试探究】 (2)如图(2)，当OC=6V2时，过点O作OH⊥BC于点H,作OG⊥CD于点G,求 CE+CF的值； 【深化探究】 (3)如图(3)，请直接写出线段OC,CE,CF之间的数量关系. 【答案】(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠BOC=90°，OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°， .∠BOC=90°，∠EOF=90°， ∴，∠BOE+∠EOC=∠COF+∠EOC=90°， ∴.∠BOE=∠COF, 在△BOE和△COF中， 56 ∠OBE=ㄥOCF OB=OC ∠BOE=COF .△BOE≌△COF ASA, ..BE=CF: (2)12: (3)CE+CF=20C 【分析】(1)根据正方形的性质证明△BOE≌△COF ASA,即可证出BE=CF: (2)根据正方形的性质证明四边形OHCG是正方形，得出∠HOG=90°， CH=CG=OG=OH,根据勾股定理和已知条件求出CH=CG=6,证明 △OHE≌△OGF,得出HE=FG,即可得CE+CF=CH+CG=12, 3)由(2)的推导同理可得：CE+CF=CH+CG=2CH,结合OC=V2CH, 即可得CE+CF=V2OC: 【详解】(1)略 (2)解：，四边形ABCD是正方形，∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45, OH⊥BC,OG⊥CD, ∴.OH=OG,四边形OHCG是矩形， 又OH=OG, “.四边形OHCG是正方形， .∴.∠HOG=90°，CH=CG=OG=OH, OC=O+CH2=2CH' .0C=6V2, ∴CH=CG=6, .∠EOF=90°=ㄥHOG, ∴.∠EOH+∠EOG=∠FOG+∠EOG=90°， .∠EOH=∠FOG, 又，∠OHE=∠OGF=90°，OH=OG, ∴.△OHE≌△OGF(ASA), ..HE=FG. 57 ..CE+CF=(CH-HE)+(CG+FG)=CH+CG=6+6=12. 即CE+CF=12 (3)解：CE+CF=V2OC 证明：如图3，过点O作OH⊥BC于点H,作OG⊥CD于点G, G B EH 图3) 由(2)的推导同理可得：CE+CF=CH+CG=2CH, 在正方形OHCG中，OC=2CH,即CH=OC :cE+CF=29%-850c. ..CE+CF=20C 42.在正方形ABCD中，点M在对角线BD上，连接AM,过点M作MN⊥AM,交直线 BC于点N. D D M M B B (图1) (图2) (1)如图1，当点N在BC上时，求证：AM=MN: (2)如图2，当点N在CB的延长线上时，MD=2V2,BN=1,求AD的长， 【答案】(1)证明：如图1，过点M作MP⊥AB于点P,MQ⊥BC于点Q, 58 P M (图1) .∠APM=∠NQM=90, :四边形ABCD是正方形， :.∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°， ∴.四边形BQMP是矩形，MP=MQ, ∴“.四边形BQMP是正方形， .∠PMQ=90°， :MN⊥AM, .∠AMN=90°， ∴.∠AMP=∠NMQ=90°-∠PMN. .∠APM=∠NQM=90°， ∴.△APM≌△NQM ASA, ∴.AM=MN: (2)3 【分析】(1)过点M作MP⊥AB于点P,MQ⊥BC于点Q,证明四边形BQMP是 正方形，进而证明△APM≌△NQMASA,由全等三角形的性质得出MA=MN; (2)过点M作VT⊥AD于点V,交BC于点T,证出四边形ABTV是矩形，由矩形的 性质得出∠BTM=∠AVM=90°，AV=BT,AB=VT,证明 △AVM≌△MTN AAS,由全等三角形的性质得出MV=NT,再根据勾股定理即 可得出答案 【详解】(1)略： (2)解：如图2，过点M作VT⊥AD于点V,交BC于点T, 59 D M B T (图2) .∠AVM=90°， 在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠AM=90°，∠CBD=∠ADB=45°， “四边形ABTV是矩形， ∴.∠BTM=∠AVM=90°，AV=BT,AB=VT, .∠CBD=45°， .∠BMT=180°-∠BTM-∠CBD=45°， .∠CBD=∠BMT, .BT=MT=AV, ,∠AMN=90°， .∠AMV=90°-∠NMT=∠MNT, ∴.△AVM≌△MTN AAS, ..MV=NT, ∠ADB=45°， “,△MD是等腰直角三角形， .MV=DV,MV2+DV2=MD2, 2MV2=22, MV=DV=2(负值舍去)， ∴.MV=NT=2, BN=1, ∴.BT=MT=AV=NT-BN=1, ∴.AD=AV+DV=1+2=3 60 专题03 正方形的性质与判定重难点九大题型突破 【题型1 利用正方形的性质求角度】 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 【题型3 利用正方形的性质求面积】 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 【题型5 正方形的判定证明】 【题型6 正方形的性质与判定综合】 【题型7 求正方形形中最值问题】 【题型8 正方形中“十字架”模型】 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 【题型1 利用正方形的性质求角度】 1．如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，点为正方形内部的一点，为等边三角形，则的度数为（     ） A．45° B．55° C．65° D．75° 3．如图，在正方形中，点是边上一点，连接、交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形右侧作等边三角形，连接，，的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，点是正方形对角线上一点，连接并延长，交于点，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 6．如图，正方形的对角线交于点分别为的中点，若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 8．如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，是正方形对角线上一点，，，、分别为垂足，若，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按图位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上，如图，小明将正方形绕点逆时针旋转，当点恰好落在线段上时，此时的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 【题型3 利用正方形的性质求面积】 11．如图，小明把长为，宽为的两个长方形沿对角线剪开，围成如图所示的一个大正方形，则空白部分的面积是（     ） A． B． C． D． 12．“赵爽弦图”是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，它体现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．如图，“赵爽弦图”是由与全等的四个直角三角形（黑色）围成的一个正方形，中间的部分是一个小正方形，过正方形的顶点作正方形，且．若中间最小的正方形的面积为，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 13．如图，正方形中，、分别在边、上，且，、是、与对角线的交点．若，，则正方形的面积为（     ） A．60 B．64 C．72 D．98 14．如图，矩形内有两个正方形和，点、在上，点、在上，若正方形的面积为，正方形的面积为，则图中两块阴影部分的面积之和为（     ） A． B． C． D． 15．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为，则两个正方形重叠部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 16．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 17．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系中，正方形中点的坐标为则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 19．如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，点，在第一象限内．若点的坐标为，正方形的面积为5，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 20．如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，……，则正方形铁片连续旋转2025次后，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型5 正方形的判定证明】 21．已知：如图，四边形是矩形，，M是的中点，N是矩形外一点，且，．求证：四边形是正方形． 22．如图，在矩形中，的平分线交对角线于点，于点，于点，求证：四边形是正方形． 23．如图，在中，，、的平分线交于点，于点，于点．求证：四边形是正方形． 24．如图，在中，，的平分线交于点D，，． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，请求出四边形的面积． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 25．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 26．如图，在中，点是边上的点，连接，交于点，，于点，交于点，． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，若平分，，求的长． 27．如图，是的对角线，，点E是边的延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)若点F是的中点，，求的长． 28．综合与实践 问题情境：如图，在正方形中，，动点E在上（不与A、C重合），连接，作，交射线于点F，以，为邻边作，连接． (1)求证：是正方形． 解决问题 (2)若，求的长； (3)求的最小值． 29．如图，在菱形中，对角线相交于点，点均在对角线上，且，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，求的长． 30．综合与实践 问题情境：如图，四边形为正方形，点E为对角线上的一动点，连接，过点E作，交直线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)猜想证明：证明四边形是正方形． (2)解决问题：求的度数． (3)解决问题：已知，，请直接写出的长． 31．如图，已知正方形边长为2，点P是对角线上一点． (1)过点P作于E，于F，求证：四边形为正方形； (2)在（1）的基础上，过点P作，交射线于点Q． ①当点Q在边上时，求证：； ②当以P、B、C、Q为顶点的四边形的面积为时，请求出的长． 【题型7 求正方形形中最值问题】 32．如图，在矩形中，，，为的中点，为上的动点且，连接，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 33．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 34．如图，在边长为6的正方形中，点P为对角线上一动点，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 35．如图，正方形的边长为是边上的一动点，以为边向左作正方形，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 36．如图，正方形的边长为12，点E在AB上，且，点F是上一动点，则的最小值是（    ） A．15 B． C． D．12 【题型8 正方形中“十字架”模型】 37．结合图形，证明以下结论： (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． (2)如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 38．综合与实践 数学活动课上，老师呈现了正方形的三个图形，请同学们针对每个图形，分别探究其中线段之间的数量关系与位置关系． 如图1，在正方形中，点，分别是边，上的点，且，连接与，交于点． 如图2，在正方形中，点，，分别是边，，上的点，，垂足为点． 如图3，在正方形中，点，，分别在边，，上，且，，．将正方形沿折叠，点的对应点恰好落在边上的点处． (1)任务一：在图1中， ①求证：； ②求的度数； (2)任务二：在图2中，求证：； (3)任务三：在图3中，直接写出的值． 39．在综合与实践活动中，数学兴趣小组对正方形截两条互相垂直的直线得到的线段长度关系进行了如下探究： 如图，在正方形中，点为射线上的一个动点，连接，线段的垂直平分线分别交直线、于、两点，交直线于点． (1)【初步感知】：当点在线段上时，如图1，求证：； (2)【深入探究】：在（1）的条件下，如图2，连接交直线于点，试探究线段与之间的数量关系； (3)【拓展延伸】：过点且垂直于的直线与直线相交于点，当时，求的值． 【题型9 正方形中“对角互补”模型】 40．在正方形中，点E为对角线上任意一点（不与B，D重合），连接，过点E作，交边于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点F作，垂足为M，求证：； (3)如图3，过点E作，交边于点G，连接与相交于点H，若点H恰好是线段的中点，，直接写出线段的长． 41．【问题情境】数学兴趣小组从一种地板图案中抽象并变化得到如图（1）（2）（3）所示的几何模型：在正方形中，点在边上，点在边上，点是对角线上不与点重合的一动点，分别连接、，且． 【初步感知】 (1)如图（1），当点是，的交点时，证明：； 【尝试探究】 (2)如图（2），当时，过点作于点，作于点，求的值； 【深化探究】 (3)如图（3），请直接写出线段，，之间的数量关系． 42．在正方形中，点M在对角线上，连接，过点M作，交直线于点N． (1)如图1，当点N在上时，求证：； (2)如图2，当点N在的延长线上时，，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $