第一讲 菱形的性质与判定 讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册同步讲义 第1讲 讲 菱形的性质与判定 一、知识讲解 知识点1 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 知识点2 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1. 菱形的四条边都相等； 2. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3. 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 知识点3 菱形的面积 菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）. 知识点4 菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 二、例题精析 【菱形的性质】 探究点一：菱形的性质 【类型一】 菱形的四条边相等 如图所示，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是(　　) A．10 B．12 C．15 D．20 解析：根据菱形的性质可判断△ABD是等边三角形，继而根据AB＝5求出△ABD的周长． ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD. 又∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长＝3AB＝15.故选C. 方法总结：如果一个菱形的内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形． 【类型二】 菱形的对角线互相垂直 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 解析：由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理进行计算． 解：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD. 因为AC＝6cm，BD＝12cm， 所以AO＝3cm，BO＝6cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理，得 AB＝＝＝3(cm)． 所以菱形的周长＝4AB＝4×3＝12(cm)． 方法总结：因为菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解． 【类型三】 菱形是轴对称图形 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF. 解析：要证明AE＝AF，需要先证明△ACE≌△ACF. 证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 在△ACE和△ACF中， ∴△ACE≌△ACF.∴AE＝AF. 方法总结：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角． 探究点二：菱形的面积的计算方法 如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h. 解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离． 解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12，于是S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30， 所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120. 又因为菱形两组对边的距离相等， 所以S菱形ABCD＝AB·h＝13h， 所以13h＝120，得h＝. 方法总结：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半． 【菱形的判定】 探究点一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 如图所示，ABCD的对角线BD的垂直平分线与边AB，CD分别交于点E，F.求证：四边形DEBF是菱形． 解析：本题首先应用到平行四边形的性质，其次应用到菱形的判定方法．要证四边形DEBF是菱形，可以先证明其为平行四边形，再利用“对角线互相垂直”证明其为菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC.∴∠FDO＝∠EBO. 又∵EF垂直平分BD，∴OB＝OD.在△DOF和△BOE中， ∴△DOF≌△BOE(ASA)．∴OF＝OE.∴四边形DEBF是平行四边形． 又∵EF⊥BD，∴四边形DEBF是菱形． 方法总结：用此方法也可以说是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须强调对角线是互相垂直且平分的． 探究点二：四边相等的四边形是菱形 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形． 解析：根据平移的性质可得CF＝AD＝10cm，DF＝AC，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10cm，就可以根据四边相等的四边形是菱形得到结论． 证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC. ∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝＝＝10(cm)， ∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，∴四边形ACFD是菱形． 方法总结：当四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便． 探究点三：菱形的判定和性质的综合应用 如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． (1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形； (2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为2， ∴菱形的面积为4×2＝8. 方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形． 课后作业 1. 若菱形的一条边长为4 cm，则这个菱形的周长为（ ） A.20 cm B.18 cm C.16 cm D.12 cm 答案：C 解析：菱形四条边长相等，周长=4×4=16 cm。 2. 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O。若AC=6，BD=4，则AB的长是（ ） A.10 B. C.2 D.4 答案：B 解析：菱形对角线互相垂直平分。 AC=6⇒AO=3，BD=4⇒BO=2。 AOB是直角三角形， AB== ​=​。 3. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O。若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OC的长为（ ） A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 答案：B 解析：菱形面积=21​⋅AC⋅BD。 OB=6⇒BD=12。 54=21​×AC×12，解得AC=9， OC=21​AC=4.5。 4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，则下列结论不一定成立的是（） A.OA=OC B.OE=AD C.OE=OD D.AC⊥BD 答案：C 解析：菱形对角线互相平分、垂直，所以 A、D 一定成立； 在△COD中，E是CD中点，O是AC中点，OE是中位线，OE=AD，B 成立； OE=OD不一定成立。 5. 如图，AC，BD是菱形ABCD的两条对角线。若∠BAC=55，则∠ADB的度数是 ​ 答案：35 解析：菱形对角线互相垂直，AC⊥BD，∠AOB=90。 ∠BAC=55，∠ABD=90−55=35。 菱形AB=AD，∠ADB=∠ABD=35。 6. 如图，菱形ABCD的周长为200，对角线AC，BD相交于点O，AC=60。 (1)AB的长为​，OA的长为​； (2) 求对角线BD的长。 (1) 50；30 解析：周长为 200，边长AB=200÷4=50； AC=60，OA=​AC=30。 (2) 解： 菱形对角线互相垂直，△AOB为直角三角形。 OB== ​=40。 BD=2OB=80。 答：对角线BD长为80。 7. 如图，添加下列条件不能判定□ABCD是菱形的是（） A.∠ABD=∠ADB B.AC⊥BD C.AB=BC D.AC=BD 答案：D 解析： A.∠ABD=∠ADB⇒AB=AD，一组邻边相等的平行四边形是菱形； B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形； C.AB=BC，一组邻边相等的平行四边形是菱形； D.AC=BD是矩形的判定条件，不能判定菱形。 8. 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（） 答案：C 解析：C 选项，平行四边形内角度数可算出一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形；其余选项无法推出邻边相等或对角线垂直。 9. 如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB=OD，请你添加一个适当的条件： ​​，使四边形ABCD是菱形。 示例答案：OA=OC（答案不唯一，如AB=AD也可） 解析：已知OB=OD，添加OA=OC，对角线互相平分，四边形ABCD是平行四边形； 又对角线互相垂直，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 10. 如图，已知∠A，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，AD的长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接BC，DC，则四边形ABCD为菱形，其依据是 ​ ​​。 答案：四条边相等的四边形是菱形 解析：由作图：AB=AD，BC=DC=AD，∴AB=BC=CD=DA，四边相等，四边形为菱形。 11. 如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，且AE=CF，求证：□ABCD是菱形。 证明： ∵AE⊥BC，CF⊥AB，∴∠CFB=∠AEB=90∘。 在△ABE和△CBF中： ∠B=∠B,∠AEB=∠CFB,AE=CF​ ∴△ABE≅△CBF(AAS)，∴AB=BC。 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴□ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册同步讲义 第1讲 讲 菱形的性质与判定 一、知识讲解 知识点1 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 知识点2 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1. 菱形的四条边都相等； 2. 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3. 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 知识点3 菱形的面积 菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）. 知识点4 菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 二、例题精析 【菱形的性质】 探究点一：菱形的性质 【类型一】 菱形的四条边相等 如图所示，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是(　　) A．10 B．12 C．15 D．20 【类型二】 菱形的对角线互相垂直 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 【类型三】 菱形是轴对称图形 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF. 探究点二：菱形的面积的计算方法 如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h. 【菱形的判定】 探究点一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 如图所示，ABCD的对角线BD的垂直平分线与边AB，CD分别交于点E，F.求证：四边形DEBF是菱形． 探究点二：四边相等的四边形是菱形 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形． 探究点三：菱形的判定和性质的综合应用 如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 课后作业 1. 若菱形的一条边长为4 cm，则这个菱形的周长为（ ） A.20 cm B.18 cm C.16 cm D.12 cm 2. 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O。若AC=6，BD=4，则AB的长是（ ） A.10 B.13​ C.213​ D.413​ 3. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O。若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OC的长为（ ） A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE，则下列结论不一定成立的是（） A.OA=OC B.OE=AD C.OE=OD D.AC⊥BD 5. 如图，AC，BD是菱形ABCD的两条对角线。若∠BAC=55，则∠ADB的度数是 ​。 6. 如图，菱形ABCD的周长为200，对角线AC，BD相交于点O，AC=60。 (1)AB的长为​，OA的长为​； (2) 求对角线BD的长。 7. 如图，添加下列条件不能判定□ABCD是菱形的是（） A.∠ABD=∠ADB B.AC⊥BD C.AB=BC D.AC=BD 8. 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（） 9. 如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB=OD，请你添加一个适当的条件： ​​，使四边形ABCD是菱形。 10. 如图，已知∠A，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D；②分别以点B，D为圆心，AD的长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接BC，DC，则四边形ABCD为菱形，其依据是 ​ ​​。 11. 如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，且AE=CF，求证：□ABCD是菱形。 1 学科网（北京）股份有限公司 $