1.3 矩形的性质与判定（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦矩形的性质与判定核心知识点，系统梳理从平行四边形到矩形的知识脉络，以性质（四角直角、对角线相等、对称性）和判定（角、对角线两类）为学习支架，结合即学即练夯实基础。 资料通过12类题型（含角度计算、折叠问题等）系统整合中考真题，融入勾股定理、方程思想等方法，培养抽象能力与推理意识。典例与变式结合助教师授课，课后可查漏补缺，提升学生解决综合问题的能力。

第六章 特殊平行四边形 1.3 矩形的性质与判定 知识点一 菱形的性质（边角关系） 定义 有的叫做矩形. 性质 符号语言 图示 角 四个角都是 ∵四边形ABCD是矩形 ∴ 对角线 两条对角线 ∵四边形ABCD是矩形 ∴ 具有平行四边形的一切性质：①对边平行；②对角相等；③对角线互相平分 ∵四边形ABCD是菱形，∴① ；② ；③ 对称性 ①是轴对称图形：2条对称轴；②是中心对称图形 即学即练 1．（25-26八年级下·上海虹口·期末）菱形具有且矩形不一定具有的性质是（     ） A．四条边都相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相平分 D．对称轴互相垂直 2．（2025·四川泸州·中考真题）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 3．（2026·辽宁盘锦·三模）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B．C． D． 4．（2026·福建·中考真题）某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，四边形 恰好为矩形，点E，F分别在 ， 上，则等于____________度． 5．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 6．矩形的两邻边分别为和，则其对角线为_____，矩形面积为_____． 7．（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 8．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为_______． 9．（2026·四川自贡·中考真题）如图，在矩形中，点，分别为边，上的点，且，连接，． 求证：． 知识点二 矩形的性质（边角关系） 判定定理 符号语言 图示 按角 讨论 已知 四边形 的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵ ， ∴四边形ABCD是矩形 已知平行四边形 的是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵ ， ∴平行四边形ABCD是矩形 按对角线 讨论 已知 四边形 且 的四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵ ， ∴▱ABCD是菱形 已知平行四边形 的是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵ ， ∴平行四边形ABCD是矩形 即学即练 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，的平分线和的平分线交于点，以，为邻边作．求证：四边形是矩形． 2．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，在中，点E，F分别在边上，，与对角线相交于点O． (1)求证：； (2)请你添加一个条件：________________，使得平行四边形成为矩形． 3．（2025·云南·中考真题）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 题型01 根据矩形的性质计算角度 ①遇对角线，找等腰三角形：矩形的对角线相等且互相平分，会生成多个等腰三角形，结合外角定理可快速转换角度。 ②灵活使用直角三角形两锐角互余→等角（同角）的余角相等转化角度 误以为矩形对角线平分对角（这是正方形的性质），对角线仅平分对角当且仅当矩形为正方形。 典｜例｜精｜析 1．如图，延长矩形的边至点 ，使，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）在矩形中，点在边上，点关于直线的对称点为点，连接、、，如果四边形是菱形，那么________度． 2．如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，，连接，则的度数为______． 题型02 根据矩形的性质计算边长 ①构造直角三角形，善用勾股定理。矩形中只要出现对角线或斜线段，立刻寻找所在的直角三角形（Rt△ABC或Rt△BDC）。 ②思想预备方法：方程思想、等面积法 典｜例｜精｜析 1．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）矩形中，，且．在，上取点，，使，沿剪掉正方形后，剩余的小矩形的宽与长的比值为________． 2．（2024·广东·模拟预测）中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，矩形中，，点在边上，，作矩形，连接，则______． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，为对角线，，．点、分别在边，上， 连接，．作点关于的对称点，点关于的对称点、，恰好落在对角线上，连接，，则四边形的周长为_____________． 题型03 根据矩形的性质转化线段·计算面积 除了长×宽，若已知对角线与夹角θ，可用 S = () d²·sinθ（小题可直接用） 计算面积时混淆“对角线乘积的一半”是菱形的公式，切勿套用。 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为___________． 2．如图，矩形的面积为，对角线交于点O；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形…；依此类推，则平行四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，矩形中，，两条对角线交于点O，且，则矩形的面积是（     ） A．16 B．18 C． D． 2．（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 题型04 添加条件判断矩形 1.根据判定定理：①有一个角是直角的平行四边形；② 对角线相等的平行四边形；③ 有三个角是直角的四边形。 2.步骤：有图形的先标注条件，明确已知和未知，结合定理分析所需条件 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）若添加一个条件，使得是矩形，则这个条件可以是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海·期中）如图所示，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，为上一点，，．增加下列条件能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C．点在的平分线上 D．点为的中点 2．如图，点是任意四边形中的中点，若四边形是矩形，则四边形需要满足的条件是（    ） A． B． C． D． 题型05 根据矩形的性质判断结论 ·结论排除法：面对多结论题，盯紧“对角线相等”、“对边平行且相等”、“四个角90°”这三个铁律，排除“邻边相等”（那是菱形）或“对角线垂直”等干扰项。 ·举反例 ·忽略“四边形”与“平行四边形”的前提差异： 例如，对角线相等的四边形不一定是矩形（也可能是等腰梯形），必须是“平行四边形 + 对角线相等”。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期末）下列命题中为假命题的是（     ） A．有三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 2．（24-25八年级下·福建泉州·阶段检测）如图，在矩形中，，的平分线交于点E，，垂足为H，连接并延长，交于点F，交于点O．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个角都相等 B．矩形的对角线相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形为菱形 2．（24-25八年级下·全国·期中）有一组对角是直角，且另一组对角不相等的四边形叫作准矩形．有下列命题：①直角梯形是准矩形；②准矩形中，夹一个直角的两边的平方和等于夹另一个直角的两边的平方和；③准矩形的对角互补．其中，真命题有（   ）． A．①②③ B．② C．③ D．②③ 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图是平行四边形剪拼成等面积矩形的示意图，下列关于图形剪拼的说法，正确的是（     ） A．平行四边形只能沿从顶点出发的高剪开，才能拼出等面积矩形 B．平行四边形剪拼为等面积矩形时，周长不发生改变 C．任意四边形可以剪拼成等面积矩形 D．任意三角形都可以通过剪拼得到一个等面积矩形，且矩形的一组邻边为原三角形的底的一半和高的一半 题型06 根据矩形的性质进行证明和计算 ·解题思路： ①明确已知和所证（求）并在图中标注；②分析条件得出结论；③联系问题进行证明和计算 ·涉及知识、方法：①计算配合全等（通常需要先利用矩形性质得出边角相等，再证三角形全等求线段） ②勾股定理解直角三角形+方程思想 典｜例｜精｜析 1．如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 2．（浙江省部分校2026年初中学业水平考试数学）已知：如图，在矩形中，E是上一点，且，于点F． (1)给出 的证明； (2)若，求的度数． 变｜式｜巩｜固 1．如图，矩形的对角线、相交于点，点与点关于对称． (1)连接、，求证：四边形是菱形； (2)若，，求点、之间的距离． 2．（2026·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，是上一点，连结，，过点作于点． (1)求证：； (2)连接，交于点，若，，求的长． 3．（25-26八年级下·四川巴中·期中）如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型07 证明一个四边形为矩形 ①优先证“平行四边形+直角”或“平行四边形+对角线相等”； ②若图形复杂，直接用“三个直角证四边形”。 ·证明过程逻辑跳跃：先证矩形必须从“四边形”或“平行四边形”出发，格式要严谨，不可默认其为平行四边形。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图，已知四边形中，，对角线和相交于点，点 、 、 、分别在、、、上，且．证明：四边形是一个矩形． 2．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知：在中，，点、分别是边、的中点，点在边上，，连接、． 求证：四边形是矩形． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北武汉·二模）如图，平行四边形中，对角线相交于点，点是对角线的三等分点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)不添加辅助线的情况下，添加一个与有关的条件 ，可使四边形是矩形． 2．（2026·贵州黔东南·三模）如图，在中，，E、F分别是、的中点，连接、． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 3．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE＝15°，求∠DOE； 题型08 利用矩形性质进行尺规作图 ·尺规作矩形：本质是作垂线或垂直平分线 ①利用矩形性质作直角（垂直平分线或过点作垂线）和作相等线段（截取对角线）。 ②若作矩形顶点：一般先作一个直角，再在两条边上截取已知长度，最后过端点作平行线。 ·根据矩形的性质转化为其他基本作图 典｜例｜精｜析 1．（2026·福建·中考真题）如图，四边形是矩形，，点在的延长线上． (1)求作点 ，使点 在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·宁夏银川·三模）如图，在中，点E，F分别是， 的中点，连接，，是的一个外角． (1)用尺规完成以下基本作图：作角平分线，交的延长线于点G，连接．（只保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若，证明：四边形是矩形． 题型09 以矩形为基本模型的动点问题 ·分类讨论矩形存在性：引入时间t，用代数式表示动点形成的线段长度。 ·方程思想：利用矩形对边相等或对角线相等建立方程 动点问题中忽略取值范围（0≤t≤边界时间），导致多解或答案超出实际运动时间。 典｜例｜精｜析 1．如图，在矩形中，，点P从点出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，连接．设点P、Q运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)求整个运动过程中，线段扫过的面积是多少？ 变｜式｜巩｜固 1．（2026·甘肃天水·中考真题）在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答． (1)【初步尝试】如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长． (2)【类比探究】如图2，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展迁移】如图3，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 题型10 矩形与坐标 ·利用平移性质：矩形ABCD中，若A(x₁,y₁)，B(x₂,y₁)，D(x₁,y₂)，则C(x₂,y₂)； ·中点坐标公式求对角线交点：在平面直角坐标系中，设两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，则它们的中点P的坐标为：P； ·勾股定理求任意两点间距离：两点坐标距离公式； ·按对角线对矩形进行分类讨论； ·构造全等的直角三角形转化线段（转化线段） 坐标系中未分类讨论顶点的顺序（顺时针/逆时针）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，且，则顶点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴上，，将矩形沿直线折叠使点与点重合，直线与、、的交点分别为，，． (1)直接写出点和点的坐标为：________；________； (2)若点在轴上，点为平面直角坐标系中任意一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，求满足上述条件的点的坐标． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，将矩形纸片放入平面直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接，将矩形纸片沿折叠，使点C恰好落在边 上的点处，若 ，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为，点，分别是，的中点，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知点A是第二象限的一点，点P是x轴上一动点，以为边作正方形； (1)如图1，当点A的坐标为，点P的坐标为时，则点C的坐标为______； (2)如图2，若点P与原点O重合，与y轴交于点E，连接，点F是线段上一点，连接，，若，①求证；②设的面积为，的面积为，若，求的值（用表示）； (3)如图3，点若A的坐标为，点D的坐标为，在点P的运动过程中，请直接写出的最小值______． 题型11 最值问题 ·基本模型： ①三角形三边关系：两边之和大于第三步，两边之差小于第三边。例：将军饮马问题，求PA+PB最小值，找对称点化折为直。 ②垂线段最短：求点到边上某点的距离最值，往往转化为求点到直线的垂线段长。 ·基本方法：构造全等、利用轴对称的性质转化线段 典｜例｜精｜析 1．（2026·新疆·中考真题）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 2．（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接．M，N分别是的中点，连接，则的最小值是（     ） A． B．5 C．6 D．7 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，在边上运动，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论： ①四边形是矩形； ②若点E是的中点，则； ③当时，线段长度的最大值为1.5； ④当点E在边上，且时，是等边三角形，其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）综合探究与应用 【阅读材料】 如图1，两定点A、B在直线l异侧，点P是直线l上任意一点，当点P为线段与直线l的交点时，的值最小，最小值为线段的长．理由：在直线l上另取一点，连结，因为三角形的两边之和大于第三边，所以，即最小值为的长． 【类比应用】 (1)根据阅读材料中的相同道理，类比解决下面的问题： 如图2，两定点A、B在直线l同侧，点P是直线l上任意一点，当点P为线段延长线与直线l的交点时，的值最大，最大值为线段的长．请说明理由． 【拓展提升】 (2)如图3，在矩形中，，为对角线的中点，点H在边上，且，点E在边上，连结，，求的最大值． 题型12 矩形的折叠问题 ①基本模型：折痕是轴对称轴：折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点的连线。 ②基本方法：勾股定理+方程思想：将未知线段设为x，利用折叠转移边长，在直角三角形中列勾股方程（这是解决折叠边长的通法）。 ③特殊关系：平行出等腰（矩形的对边平行，折叠后常出现角平分线与平行线结合，推导出等腰三角形，简化计算） ①找错折叠前后的对应点，导致相等的边或角配对错误。 ②未考虑折叠后顶点的落点位置（可能在边上，也可能在形外），漏掉分类讨论。 典｜例｜精｜析 1．（2026年天津和平区中招考前模拟数学试卷）如图，有一张矩形纸片，，，为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海·模拟预测）如图，已知矩形纸片，将该矩形纸片的四个角向内折叠，折痕分别为、、、，折叠后点、点落在点处，点、点落在点处，点、在直线上． (1)现有如下判断：①是的中点；②；③四边形是矩形；④四边形的面积是矩形面积的一半；⑤四边形的周长是矩形周长的一半． 其中正确的是_________________________；（写出所有正确判断的序号） (2)如果，，求与的长（上述正确结论可直接使用）． 3．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在矩形中，、，点在线段上（点不与点重合），连结，将沿翻折得到、点的对应点为． (1)求的长度； (2)求证：当时，四边形为正方形； (3)若点在线段上，且，连接、将沿翻折得到、点的对应点为，设点与点之间的距离为，求的取值范围． 变｜式｜巩｜固 1．（天津市南开区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）将矩形按图①的方式折叠得到四边形（如图②所示），四边形恰为菱形，若，则的长是（     ）     A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，点A落在点E处(图1)，连接．设与相交于点F，求的长； (2)图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合(图2)，求折痕的长． 3．（2026·广东广州·三模）综合与探究 【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”． 【示例】如图1，在四边形中，，平分，则四边形为“旋直四边形”，为“旋直分割线”． 【概念辨析】 (1)用分别含有或的直角三角形纸板拼出下面3个四边形，其中是“旋直四边形”的有____________（填序号）； 【问题解决】 (2)如图1，在“旋直四边形”中，，为“旋直分割线”．求证：； 【拓展应用】 (3)如图2，四边形是矩形，，，与交于点．若，求的值； 4．（25-26八年级下·江苏南京·期末）综合与探究 【问题情境】 如图1，小明将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．         【活动猜想】 (1)如图2，当点与点重合时，连接，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 (2)如图3，在矩形纸片中，边，，与交于点． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，直接写出此时的长． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）按照国际标准， 系列的纸为长方形．国际标准化组织（ ）的 标准定义一张 纸的标准尺寸为 厘米 厘米．如图所示，一张 纸边长 厘米， 厘米． 为 上一点，先沿着 折叠， 对应点为，再沿 折叠， 对应点为，即可得到一个简易纸袋形状，如下图所示： (1)如图，求证： ； (2)如图 ，当时，作 平分 ， 平分，求 的度数； (3)如图 ，当刚好落在线段 上时，连接，为线段（不与端点重合）上任意一点，过点作 于 ，若 （为常数）为定值，请直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 特殊平行四边形 1.3 矩形的性质与判定 知识点一 菱形的性质（边角关系） 定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 性质 符号语言 图示 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 具有平行四边形的一切性质：①对边平行；②对角相等；③对角线互相平分 ∵四边形ABCD是菱形，∴①AB//CD，AD//BC；②∠ABD=∠ADC，∠BAD=∠BCD；③AO=CO，BO=DO 对称性 ①是轴对称图形：2条对称轴；②是中心对称图形 即学即练 1．（25-26八年级下·上海虹口·期末）菱形具有且矩形不一定具有的性质是（     ） A．四条边都相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相平分 D．对称轴互相垂直 【答案】A 【分析】根据菱形和矩形的性质逐一判断选项即可求解． 【详解】解：、菱形的四条边都相等，矩形的四条边不一定都相等，该选项符合题意； 、矩形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角，该选项不符合题意； 、菱形和矩形的对角线都互相平分，该选项不符合题意； 、菱形和矩形的对称轴都互相垂直，该选项不符合题意． 2．（2025·四川泸州·中考真题）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 【答案】A 【详解】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意； C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意； D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（2026·辽宁盘锦·三模）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 4．（2026·福建·中考真题）某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，四边形 恰好为矩形，点E，F分别在 ， 上，则等于____________度． 【答案】75 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， 又∵，， ∴，， ∴. 5．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 【答案】10 【详解】解：∵垂直且平分线段， ∴， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点，， ∴， ∴． 6．矩形的两邻边分别为和，则其对角线为_____，矩形面积为_____． 【答案】 10 48 【详解】解：矩形的对角线长为， 面积． 故答案为：10；48． 7．（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. 8．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为_______． 【答案】 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，， ∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点， ，． ∴， 同理可得：， ∴四边形的周长为； 故答案为： 9．（2026·四川自贡·中考真题）如图，在矩形中，点，分别为边，上的点，且，连接，． 求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵，点，分别为边，上的点， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴． 知识点二 矩形的性质（边角关系） 判定定理 符号语言 图示 按角 讨论 已知 四边形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 已知平行四边形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形 按对角线 讨论 已知 四边形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形 已知平行四边形 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形 即学即练 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，的平分线和的平分线交于点，以，为邻边作．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵和分别是和的平分线， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 2．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，在中，点E，F分别在边上，，与对角线相交于点O． (1)求证：； (2)请你添加一个条件：________________，使得平行四边形成为矩形． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵点E，F分别在边上，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵与对角线相交于点O， ∴； (2)（答案不唯一） 3．（2025·云南·中考真题）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为10． 题型01 根据矩形的性质计算角度 ①遇对角线，找等腰三角形：矩形的对角线相等且互相平分，会生成多个等腰三角形，结合外角定理可快速转换角度。 ②灵活使用直角三角形两锐角互余→等角（同角）的余角相等转化角度 误以为矩形对角线平分对角（这是正方形的性质），对角线仅平分对角当且仅当矩形为正方形。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，延长矩形的边至点 ，使，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接交于点， 矩形， ，，，，， ，， ， ， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）在矩形中，点在边上，点关于直线的对称点为点，连接、、，如果四边形是菱形，那么________度． 【答案】 【详解】解：如图，取中点，连接， 点关于直线的对称点为点， ， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形， ， ，即是直角三角形， 在中，是中点， ， 又， ， 是等边三角形， . 2．如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，，连接，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 题型02 根据矩形的性质计算边长 ①构造直角三角形，善用勾股定理。矩形中只要出现对角线或斜线段，立刻寻找所在的直角三角形（Rt△ABC或Rt△BDC）。 ②思想预备方法：方程思想、等面积法 典｜例｜精｜析 1．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）矩形中，，且．在，上取点，，使，沿剪掉正方形后，剩余的小矩形的宽与长的比值为________． 【答案】 【详解】解：设，由，得， ∵正方形的边长， ∴剩余小矩形的宽为， 长为， ∴剩余的小矩形的宽与长的比值为． 2．（2024·广东·模拟预测）中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则________． 【答案】 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵四边形是矩形，，， ∴四边形、是矩形， ∴， ∵点 M是矩形的对角线上一点，，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，矩形中，，点在边上，，作矩形，连接，则______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵矩形中，，点在边上，， ∴，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，为对角线，，．点、分别在边，上， 连接，．作点关于的对称点，点关于的对称点、，恰好落在对角线上，连接，，则四边形的周长为_____________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由轴对称的性质可知：，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 过点作于点，如图： ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴四边形的周长：． 题型03 根据矩形的性质转化线段·计算面积 除了长×宽，若已知对角线与夹角θ，可用 S = () d²·sinθ（小题可直接用） 计算面积时混淆“对角线乘积的一半”是菱形的公式，切勿套用。 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为___________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，矩形的面积为，对角线交于点O；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形…；依此类推，则平行四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：矩形面积为，且矩形对角线互相平分， ∴点到的距离是矩形边长的， ∴ 第一个平行四边形（即），底为，高为矩形高的， ∴面积， 同理，下一个平行四边形，点到的距离是点到的距离的， ∴面积， 可得规律：平行四边形的面积为； ∴平行四边形的面积为：当时， ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，矩形中，，两条对角线交于点O，且，则矩形的面积是（     ） A．16 B．18 C． D． 【答案】D 【详解】解：根据矩形性质得 ，． ， 是等边三角形， ， ． 由勾股定理得： ， 矩形面积 ． 2．（24-25八年级下·四川南充·阶段检测）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．若，则四边形的面积为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴四边形的面积为． 故选：C 题型04 添加条件判断矩形 1.根据判定定理：①有一个角是直角的平行四边形；② 对角线相等的平行四边形；③ 有三个角是直角的四边形。 2.步骤：有图形的先标注条件，明确已知和未知，结合定理分析所需条件 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·福建泉州·期末）若添加一个条件，使得是矩形，则这个条件可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知四边形是平行四边形，对各选项逐一判断如下： 选项：平行四边形对边相等，是平行四边形固有性质，添加该条件不能判定是矩形，故选项不符合题意； 选项：根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，因此添加可判定是矩形，故选项符合题意； 选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，因此添加不能判定是矩形，故选项不符合题意； 选项：一组邻边相等的平行四边形是菱形，不是矩形，因此添加不能判定是矩形，故选项不符合题意. 2．（25-26八年级下·上海·期中）如图所示，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ． A．无法判断四边形为矩形； B．已知条件，无法判断四边形为矩形； C．若添加条件， ， ，即为的中点， ， 四边形是矩形（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）； D．无法判断四边形为矩形． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，为上一点，，．增加下列条件能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C．点在的平分线上 D．点为的中点 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为矩形，故A选项符合题意； 当，点在的平分线上，点为的中点时，均不能得到四边形为矩形；故B，C，D选项不符合题意； 故选A． 2．如图，点是任意四边形中的中点，若四边形是矩形，则四边形需要满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形中、、、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 要使四边形是矩形，那么要满足，即要满足， 故选：A． 题型05 根据矩形的性质判断结论 ·结论排除法：面对多结论题，盯紧“对角线相等”、“对边平行且相等”、“四个角90°”这三个铁律，排除“邻边相等”（那是菱形）或“对角线垂直”等干扰项。 ·举反例 ·忽略“四边形”与“平行四边形”的前提差异： 例如，对角线相等的四边形不一定是矩形（也可能是等腰梯形），必须是“平行四边形 + 对角线相等”。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期末）下列命题中为假命题的是（     ） A．有三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【详解】解：A、有三个角都是直角的四边形是矩形，是真命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理，是真命题； C、对角线互相平分可得四边形是平行四边形，结合对角线相等，可判定该四边形是矩形，是真命题； D、等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形，因此对角线相等的四边形不一定是矩形，原命题是假命题，故选项D符合题意． 2．（24-25八年级下·福建泉州·阶段检测）如图，在矩形中，，的平分线交于点E，，垂足为H，连接并延长，交于点F，交于点O．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵在矩形中， ∴，, ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， , ∴， ∴，，, 又∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故③正确； ∵， ∴． 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个角都相等 B．矩形的对角线相等 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直的四边形为菱形 【答案】B 【详解】A、菱形的性质是四条边相等，对角相等，而不是四个角都相等，不符合题意； B、矩形的对角线相等，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·全国·期中）有一组对角是直角，且另一组对角不相等的四边形叫作准矩形．有下列命题：①直角梯形是准矩形；②准矩形中，夹一个直角的两边的平方和等于夹另一个直角的两边的平方和；③准矩形的对角互补．其中，真命题有（   ）． A．①②③ B．② C．③ D．②③ 【答案】D 【详解】解：①直角梯形并不是对角是直角，故不是准矩形，①错误； 准矩形中，， ， ， 夹一个直角的两边的平方和等于夹另一个直角的两边的平方和，②正确； 准矩形中，，故， 四边形的内角和为， ，故③正确； 故选D． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图是平行四边形剪拼成等面积矩形的示意图，下列关于图形剪拼的说法，正确的是（     ） A．平行四边形只能沿从顶点出发的高剪开，才能拼出等面积矩形 B．平行四边形剪拼为等面积矩形时，周长不发生改变 C．任意四边形可以剪拼成等面积矩形 D．任意三角形都可以通过剪拼得到一个等面积矩形，且矩形的一组邻边为原三角形的底的一半和高的一半 【答案】C 【详解】解：A、如图， 平行四边形可以沿任意一条高剪开，可以拼出等面积矩形，故A不符合题意； B、平行四边形剪拼为等面积矩形时，周长变小；故B不符合题意； C、分别取四边中点，连接，分别过作的垂线，垂足分别为，再拼接如下图： ∴任意四边形可以剪拼成等面积矩形，故C符合题意， D、如图， 任意三角形沿过两边中点且垂直于第三边的直线剪开，可以拼得到一个等面积矩形，但是矩形的一组邻边不为原三角形的底的一半和高的一半，故D不符合题意. 题型06 根据矩形的性质进行证明和计算 ·解题思路： ①明确已知和所证（求）并在图中标注；②分析条件得出结论；③联系问题进行证明和计算 ·涉及知识、方法：①计算配合全等（通常需要先利用矩形性质得出边角相等，再证三角形全等求线段） ②勾股定理解直角三角形+方程思想 典｜例｜精｜析 1．如图，在四边形中，，，为上一点，且，为上一点，交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 2．（浙江省部分校2026年初中学业水平考试数学）已知：如图，在矩形中，E是上一点，且，于点F． (1)给出 的证明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵,且，，， ∴, ∴． 变｜式｜巩｜固 1．如图，矩形的对角线、相交于点，点与点关于对称． (1)连接、，求证：四边形是菱形； (2)若，，求点、之间的距离． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点， 四边形是矩形， ，，， ， 点与点关于对称． 垂直平分， ，， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是矩形， ， 由（1）得，又， 是等边三角形， ， ∵四边形是菱形， ，，， ， ， 点、之间的距离为． 2．（2026·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，是上一点，连结，，过点作于点． (1)求证：； (2)连接，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形 ∴，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， 设， ， ， 即， ， 在中，， ， 解得， ， ． 3．（25-26八年级下·四川巴中·期中）如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵ 四边形是矩形， ∴， ∴，． 在和 中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵，， ∴ ，即． 设 ，由题得， ∴ ， 即， ， ∴ ． ∵四边形是矩形，， ∴，， 由得，即是矩形对角线 的中点， ， ∴ ，即． 在中，，即， 解得，即． ∵， ∴， 由勾股定理得：． 题型07 证明一个四边形为矩形 ①优先证“平行四边形+直角”或“平行四边形+对角线相等”； ②若图形复杂，直接用“三个直角证四边形”。 ·证明过程逻辑跳跃：先证矩形必须从“四边形”或“平行四边形”出发，格式要严谨，不可默认其为平行四边形。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·上海闵行·期末）如图，已知四边形中，，对角线和相交于点，点 、 、 、分别在、、、上，且．证明：四边形是一个矩形． 【答案】证明：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形． 2．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知：在中，，点、分别是边、的中点，点在边上，，连接、． 求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北武汉·二模）如图，平行四边形中，对角线相交于点，点是对角线的三等分点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)不添加辅助线的情况下，添加一个与有关的条件 ，可使四边形是矩形． 【答案】(1)证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴，， ∵是的三等分点， ∴， ∴，即， ∴ 四边形的对角线、互相平分， ∴四边形是平行四边形； （2）添加一个条件时，四边形是矩形， 理由如下： ∵点是对角线的三等分点， ∴， ∵， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 2．（2026·贵州黔东南·三模）如图，在中，，E、F分别是、的中点，连接、． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ∴是等腰三角形， ∵E为的中点， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 在中，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， 由(1)得， 在中，， 矩形的面积为． 3．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 在中，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， ∴． 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BDE＝15°，求∠DOE； 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【详解】证明：（1）， ， ， 四边形是矩形； （2）四边形是矩形， ， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 题型08 利用矩形性质进行尺规作图 ·尺规作矩形：本质是作垂线或垂直平分线 ①利用矩形性质作直角（垂直平分线或过点作垂线）和作相等线段（截取对角线）。 ②若作矩形顶点：一般先作一个直角，再在两条边上截取已知长度，最后过端点作平行线。 ·根据矩形的性质转化为其他基本作图 典｜例｜精｜析 1．（2026·福建·中考真题）如图，四边形是矩形，，点在的延长线上． (1)求作点 ，使点 在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2) 【详解】（1）解：作，的边与的交点即为所求作的点； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，即点即为所求． （2）解：∵四边形是矩形，， ，． ， ， ， ． ， ， 设，则， 在中，，， 由勾股定理得， ，解得， 即． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·宁夏银川·三模）如图，在中，点E，F分别是， 的中点，连接，，是的一个外角． (1)用尺规完成以下基本作图：作角平分线，交的延长线于点G，连接．（只保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，若，证明：四边形是矩形． 【答案】(1)如图所示即为所求； (2)证明：是的角平分线， ． 点E，F分别是 ， 的中点， ． ． ． ， ． ∵点E，F分别是， 的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形 ，， ． ∴四边形是矩形． 题型09 以矩形为基本模型的动点问题 ·分类讨论矩形存在性：引入时间t，用代数式表示动点形成的线段长度。 ·方程思想：利用矩形对边相等或对角线相等建立方程 动点问题中忽略取值范围（0≤t≤边界时间），导致多解或答案超出实际运动时间。 典｜例｜精｜析 1．如图，在矩形中，，点P从点出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位长度，连接．设点P、Q运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形是矩形； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)求整个运动过程中，线段扫过的面积是多少？ 【答案】(1)8 (2)四边形为菱形，理由见解析 (3)64 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ， 由已知可得， ， 在矩形中，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得：， ∴当时，四边形是矩形． （2）解：四边形为菱形，理由如下： 当时，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 在中，由勾股定理得， ， ∴四边形为菱形； （3）解：连接与相交于点，则整个运动当中，线段扫过的面积是的面积的面积， ， ∴整个运动当中，线段扫过的面积． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·甘肃天水·中考真题）在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究内容，请你思考并解答． (1)【初步尝试】如图1，在中，，过点作，，连接．点在线段上，满足，求的长． (2)【类比探究】如图2，在中，，以为对角线的矩形的顶点在上，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展迁移】如图3，在矩形中，，分别是线段，上的动点（不含端点），．当时，用等式表示出和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：∵， ． ， ， ． ，，， ， ． (2)解：，理由如下： 如图1，连接． 四边形为矩形， ∴， ，，， ∴， ， ∴， 即． ， ， 四边形为矩形， ，， ， ． (3)解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接，． ， ． ， ． 由（2）同理可得，， ． ， ， ． 四边形为矩形， ， ， ． ， ． 题型10 矩形与坐标 ·利用平移性质：矩形ABCD中，若A(x₁,y₁)，B(x₂,y₁)，D(x₁,y₂)，则C(x₂,y₂)； ·中点坐标公式求对角线交点：在平面直角坐标系中，设两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，则它们的中点P的坐标为：P； ·勾股定理求任意两点间距离：两点坐标距离公式； ·按对角线对矩形进行分类讨论； ·构造全等的直角三角形转化线段（转化线段） 坐标系中未分类讨论顶点的顺序（顺时针/逆时针）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·吉林长春·期末）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，且，则顶点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点作轴并交轴于点，如下图所示： ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故点的坐标为， 故选：C． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴上，，将矩形沿直线折叠使点与点重合，直线与、、的交点分别为，，． (1)直接写出点和点的坐标为：________；________； (2)若点在轴上，点为平面直角坐标系中任意一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，求满足上述条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)，，， 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵将矩形沿直线折叠使点与点重合， ∴是线段的垂直平分线， 如图所示，连接，则， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴ ， ①如图所示，当，为菱形的邻边时， ， ∵轴，， ∴轴， 当点在位置，当点在位置时，， ∴； 当点 在位置，当点在位置时， ， ∴； ②如图所示，当，为菱形的邻边时， 由，点得点在轴负半轴上，， ∴； ③如图所示，当，为菱形的邻边时，，，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上的坐标为：，，，． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接 交 于点 ， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点 的坐标为， ∵， ∴点 的坐标为，即． 2．如图，将矩形纸片放入平面直角坐标系中，边在x轴上且过原点，连接，将矩形纸片沿折叠，使点C恰好落在边 上的点处，若 ，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在矩形纸片中， ，， ∴，， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， 又∵点在第二象限， ∴点的坐标为． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点的坐标为，点，分别是，的中点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 4．（2026·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在矩形中，，， ， ，即， ∵将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时， ∴点的对应点坐标，即矩形向左平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为． 5．（24-25八年级下·广东珠海·期中）已知点A是第二象限的一点，点P是x轴上一动点，以为边作正方形； (1)如图1，当点A的坐标为，点P的坐标为时，则点C的坐标为______； (2)如图2，若点P与原点O重合，与y轴交于点E，连接，点F是线段上一点，连接，，若，①求证；②设的面积为，的面积为，若，求的值（用表示）； (3)如图3，点若A的坐标为，点D的坐标为，在点P的运动过程中，请直接写出的最小值______． 【答案】(1) (2)①见详解；② (3) 【分析】（1）过点作轴，过点作轴，证明，得出，即可求解． （2）①过点作交于点，交于点，根据题意可得，得出四边形是矩形，，证明，再证明，得出，即可得，，证出是等腰直角三角形，根据勾股定理可得． ②根据，得出，根据四边形是矩形，得出，表示出，，得出，根据，得出，结合，根据勾股定理得出，即可得． （3）如图，连接，过点作轴，根据题意得出轴，，证明，得出，证明是等腰直角三角形，得出，故点C在直线上运动，作点D关于直线的对称点，则，故，当点三点共线时，最小，即最小，过点A作轴于点H，则，根据勾股定理即可得出． 【详解】（1）解：过点作轴，过点作轴， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点P的坐标为， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． （2）解：①过点作交于点，交于点， 根据题意可得， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ②∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作轴， ∵点A的坐标为，点D的坐标为， ∴轴，， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故点C在直线上运动， 作点D关于直线的对称点， 则， 故， 当点三点共线时，最小，即最小， 过点A作轴于点H， 则， ∴， 即的最小值为． 题型11 最值问题 ·基本模型： ①三角形三边关系：两边之和大于第三步，两边之差小于第三边。例：将军饮马问题，求PA+PB最小值，找对称点化折为直。 ②垂线段最短：求点到边上某点的距离最值，往往转化为求点到直线的垂线段长。 ·基本方法：构造全等、利用轴对称的性质转化线段 典｜例｜精｜析 1．（2026·新疆·中考真题）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点在墙面上滑动，另一顶点在地面上滑动，，，，在同一平面内，若，，则木块顶点到墙角的距离的最大值为____________． 【答案】/ 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， 即木块顶点到墙角的距离的最大值为． 2．（2026·河南平顶山·三模）如图，在矩形中，，，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接．M，N分别是的中点，连接，则的最小值是（     ） A． B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：∵，M，N分别是的中点， ∴，． ∴，即当的值最小时，有最小值． 如图，作点C关于直线的对称点，连接，，则， 即当B，P，三点共线时，的值最小，最小值就是的长． 在中，，， ∴． ∴的最小值． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，在边上运动，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论： ①四边形是矩形； ②若点E是的中点，则； ③当时，线段长度的最大值为1.5； ④当点E在边上，且时，是等边三角形，其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：， 四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形，故①正确，符合题意； ∵O，F分别是，的中点，点在上， ， 点E是的中点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，故②正确； 当点E与点B重合时，的值最大， ， 的最大值是3， ，即线段长度的最大值是1.5，故③正确，符合题意； 当时，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 不是等边三角形，故④错误，不符合题意． 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）综合探究与应用 【阅读材料】 如图1，两定点A、B在直线l异侧，点P是直线l上任意一点，当点P为线段与直线l的交点时，的值最小，最小值为线段的长．理由：在直线l上另取一点，连结，因为三角形的两边之和大于第三边，所以，即最小值为的长． 【类比应用】 (1)根据阅读材料中的相同道理，类比解决下面的问题： 如图2，两定点A、B在直线l同侧，点P是直线l上任意一点，当点P为线段延长线与直线l的交点时，的值最大，最大值为线段的长．请说明理由． 【拓展提升】 (2)如图3，在矩形中，，为对角线的中点，点H在边上，且，点E在边上，连结，，求的最大值． 【答案】(1)解：理由如下： 如图，在直线上另取一点，连结，， ∵三角形的两边之差小于第三边， ∴， 当点为线段延长线与直线的交点时，， ∴对于直线上的任意一点，都有， ∴当点为线段延长线与直线的交点时，的值最大，最大值为线段的长． （2）解：如图，取的中点，连接， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点，点为对角线的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 在中，， 由（1）可知，当点为与延长线的交点时，的值最大，最大值为线段的长，即为． 题型12 矩形的折叠问题 ①基本模型：折痕是轴对称轴：折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点的连线。 ②基本方法：勾股定理+方程思想：将未知线段设为x，利用折叠转移边长，在直角三角形中列勾股方程（这是解决折叠边长的通法）。 ③特殊关系：平行出等腰（矩形的对边平行，折叠后常出现角平分线与平行线结合，推导出等腰三角形，简化计算） ①找错折叠前后的对应点，导致相等的边或角配对错误。 ②未考虑折叠后顶点的落点位置（可能在边上，也可能在形外），漏掉分类讨论。 典｜例｜精｜析 1．（2026年天津和平区中招考前模拟数学试卷）如图，有一张矩形纸片，，，为上一点，将纸片沿折叠，的对应边恰好经过点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． 根据折叠的性质，得，，，，． ∵经过点， ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴． 设，则， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即． 解得． ∴． 2．（2026·上海·模拟预测）如图，已知矩形纸片，将该矩形纸片的四个角向内折叠，折痕分别为、、、，折叠后点、点落在点处，点、点落在点处，点、在直线上． (1)现有如下判断： ①是的中点； ②； ③四边形是矩形； ④四边形的面积是矩形面积的一半； ⑤四边形的周长是矩形周长的一半． 其中正确的是_________________________；（写出所有正确判断的序号） (2)如果，，求与的长（上述正确结论可直接使用）． 【答案】(1)①②③④ (2) ， 【分析】（1）根据折叠前后对应边相等可判断①正确；根据折叠的性质和矩形的性质证明，，，即可证出，可判断②正确；根据全等三角形的性质得出，结合，证出，再根据折叠前后对应角相等证出，即可证明四边形是矩形，可判断③正确；根据折叠前后对应图形面积相等可判断④正确；根据折叠的性质和三角形三边关系可判断⑤错误； （2）由勾股定理求出，证明点三点共线，，由（1）可知，则，得出，求得，在中，根据等面积法求出，即可求出． 【详解】（1）解：在矩形中，，，， 根据折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴是中点，①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，②正确； ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，③正确； 根据折叠可得， ∴，④正确； ⑤矩形的周长， 矩形的周长， ∴四边形的周长不等于矩形周长的一半，⑤错误； 故正确序号为 ①②③④； （2）解：∵，， 由（1）可知， ∴由勾股定理得：， 由折叠可得，，，，， ∴点三点共线，， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由（1）可知，是中点， ∴． 3．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在矩形中，、，点在线段上（点不与点重合），连结，将沿翻折得到、点的对应点为． (1)求的长度； (2)求证：当时，四边形为正方形； (3)若点在线段上，且，连接、将沿翻折得到、点的对应点为，设点与点之间的距离为，求的取值范围． 【详解】（1）解：沿翻折得到， ∴， 又∵， ∴； （2）(2)证明：法一：沿翻折得到， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形； 法二： ∵四边形是矩形， ∴． 又∵△沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （3）解：①当与重合时， 此时． ②当点与点重合（点与点重合）时， ∵四边形是矩形，、， ∴，，， ∴， 由折叠可得 ，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴． ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（天津市南开区2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）将矩形按图①的方式折叠得到四边形（如图②所示），四边形恰为菱形，若，则的长是（     ）     A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分，即， 由折叠的性质得出， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即， 解得． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，点A落在点E处(图1)，连接．设与相交于点F，求的长； (2)图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合(图2)，求折痕的长． 【详解】（1）解∶由折叠可知，， 又∵， ∴， ∴，故， 又∵，， 设，则， 在中，由勾股定理可得 解得 即的长为 （2）四边形是等腰梯形，理由如下： 由翻折可得，， 由(1)知， 故，即， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形是等腰梯形； （3）解：如图1所示，连接，则被垂直平分，故，， 又由(1)中同理可证， 故，即四边形为菱形， 设，则， 在中，由勾股定理可得 ， 解得 由勾股定理可得， 根据菱形的面积可得 ， ∴ ． 3．（2026·广东广州·三模）综合与探究 【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”． 【示例】如图1，在四边形中，，平分，则四边形为“旋直四边形”，为“旋直分割线”． 【概念辨析】 (1)用分别含有或的直角三角形纸板拼出下面3个四边形，其中是“旋直四边形”的有____________（填序号）； 【问题解决】 (2)如图1，在“旋直四边形”中，，为“旋直分割线”．求证：； 【拓展应用】 (3)如图2，四边形是矩形，，，与交于点．若，求的值； 【详解】（1）解：根据“旋直四边形”的定义，只要②符合题意； （2）证明：过点作，如图所示： ∵在“旋直四边形”中，，为“旋直分割线”， ∴平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴． （3）解：过点C作于点H， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期末）综合与探究 【问题情境】 如图1，小明将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．        【活动猜想】 (1)如图2，当点与点重合时，连接，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 (2)如图3，在矩形纸片中，边，，与交于点． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，直接写出此时的长． 【答案】(1)四边形是菱形； 证明将矩形纸片折叠，点与点重合， 垂直平分， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； (2)解：①理由如下： 四边形是矩形， ，，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 是等边三角形， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ； ②或 设 与交于点， 当在上时，，则， 由（2）可知，在中，， ∴，，， ∴， ∴， 作，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 当在延长线上时，，则，同理可得. 综上所述，或. 5．（24-25七年级下·重庆·期末）按照国际标准， 系列的纸为长方形．国际标准化组织（ ）的 标准定义一张 纸的标准尺寸为 厘米 厘米．如图所示，一张 纸边长 厘米， 厘米． 为 上一点，先沿着 折叠， 对应点为，再沿 折叠， 对应点为，即可得到一个简易纸袋形状，如下图所示： (1)如图，求证： ； (2)如图 ，当时，作 平分 ， 平分，求 的度数； (3)如图 ，当刚好落在线段 上时，连接，为线段（不与端点重合）上任意一点，过点作 于 ，若 （为常数）为定值，请直接写出的值． 【答案】(1)由折叠的性质得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∴ ①； 又∵ ∴ ②， ①+②得： ， 在 中， ， 代入得： ， ∴ ； (2)设 ，则 ， 由折叠性质： ，，且 ， ∴ ， 又∵， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ， ∵作 平分 ， 平分， ∴ ,, ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵ , ∴ , ∴ ， 即 ； (3) 解：∵厘米 ，厘米， ∴, 设，则， ∵四边形为矩形， ∴ ,， 当刚好落在线段 上时，由折叠的性质可得 ， , ， 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ∵ ，设 ∴整理得 ， 把 代入①得 ∴ ， 设直线的解析式为 ， ∴解得 ∴直线解析式为： ， 设 ， ，得 ， ， ∴ 要使该式为定值，则 ∴ ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $