第01讲 菱形的性质与判定（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦菱形的性质和判定核心知识点，系统梳理菱形的定义（有一组邻边相等的平行四边形）、性质（四条边相等，对角线互相垂直且平分一组对角，轴对称）及判定方法（定义法，对角线垂直的平行四边形，四条边相等的四边形），构建从概念到应用的学习支架。 资料通过9类题型（如性质求角度、判定证明等）及变式训练，结合探究式学习和课后检测，培养学生几何直观与推理能力，例如探究题引导学生经历感知、探究到应用的过程，发展创新意识，课后复盘助力查漏补缺，提升用数学语言表达的应用意识。

简一数理 初中专题讲义 第01讲 菱形的性质和判定 （新教材北师大版） 知识点一、菱形的定义 2 知识点二、菱形的性质 2 知识点三、菱形的判定 2 【题型1 利用菱形的性质求角度】 2 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 5 【题型3 利用菱形的性质求面积】 8 【题型4 利用菱形的性质证明】 11 【题型5 添加一个条件使四边形是菱形】 13 【题型6 证明四边形是菱形】 16 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 18 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 21 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 24 【探究式学习】 28 【课后检测】 41 【复盘笔记】 62 知识点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱 形分成完全全等的两部分. （2） 菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在 四边形的基础上加上四条边相等. 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【例1】如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形的性质得出的度数及平分，结合和，利用同角的余角相等即可求解． 【详解】解： 四边形是菱形，， ，平分，， ，， ， ， ， ， ． 【变式1-1】如图，在菱形中，点E在边上，连接、，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质得，，由等边对等角得，， 结合平行线的性质可推出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式1-2】如图，，是菱形的对角线，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得，，求出，然后可得的度数． 【详解】解：∵，是菱形的对角线， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴． 【变式1-3】如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数是（     ） A．55° B．75° C．60° D．65° 【答案】D 【详解】由题意得， ， ， ， ， ． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 【例2】如图，四边形是菱形，于点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理求得的长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于边长乘以高解题． 【详解】解∶四边形为菱形， ． 设与交于点O， ， ，． ． ， 解得． 【变式2-1】如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，连接，若，，则菱形的周长为（     ） A．4 B． C． D．28 【答案】C 【分析】根据中位线定理得到，利用菱形的性质，得到线段、的长、和，结合直角三角形勾股定理得到线段的长，进而得出周长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵、分别是、边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴菱形的周长为：． 【变式2-2】如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分求边长，再结合面积法求． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， ，即， 解得． 【变式2-3】如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】作交的延长线于点，利用平行四边形的性质求得，，再利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 【例3】如图，菱形的边长为5，对角线的长为8，延长至点平分，点G是上任意一点，则的面积为（     ） A．6 B．12 C．20 D．24 【答案】B 【分析】连接交于，由菱形的性质和勾股定理求出，得出的面积，依据，得出，进而得出的面积的面积即可解题． 【详解】解：如图所示，连接交于， ∵四边形是菱形， ，， ∴， ， ∴的面积， ∵平分， ， ∴， ∴， ∴的面积的面积． 【变式3-1】道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线，边长，则该标志的占地面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形的性质，结合勾股定理与完全平方公式，求出，进而算出菱形面积． 【详解】解：四边形为菱形，， ，，， ， ，即， ， ，即， ， ∴， 故该标志的占地面积为． 【变式3-2】如图，菱形的周长为，，垂足为E，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】由菱形周长求边长，设，，利用勾股定理列方程求出，进而求出、菱形面积，在中利用勾股定理求出，根据菱形面积等于对角线乘积的一半列方程求出，即可验证各结论． 【详解】解：菱形的周长为， ， 设，，在中，， ，解得， ，，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； 在中，， ∵， ∴，解得，故④正确； 综上所述，正确的结论有个． 【变式3-3】如图，菱形的边长为4，，点从点出发，沿匀速运动，终点为，设点运动的路程为，的面积为（不妨设当点与点或点重合时，），则关于的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分段求出关于的函数解析式，再根据解析式画出函数图象． 【详解】解：①当，即点在上时， 如下图所示，过点作，交的延长线于点，则， ， ， ， ， ，即； ②当，即点在上时， 如下图所示，过点作，交的延长线于点，则， 四边形为边长为4的菱形， ，， ， ， ，即； ③当，即点在上时， 如下图所示，过点作于点，则，， 四边形为边长为4的菱形， ，， ， ，即； ， 综上所述，， 函数图象如下图所示：． 【题型4 利用菱形的性质证明】 【例4】如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交两边于点，再分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接、，则下列说法可能错误的是（     ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图步骤可得：，从而判定四边形为菱形，利用菱形的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据作图步骤可得：、， ， 四边形为菱形， 平分、、， 选项、、说法正确，不符合题意； ，当时， 不是等边三角形， 无法说明， 选项说法错误，符合题意． 【变式4-1】如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以、为圆心，以长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接、、、，则下列说法不正确的是（     ） A．四边形是平行四边形 B．四边形是菱形 C． D． 【答案】D 【分析】由作图可得，从而可得四边形为菱形，由此逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由作图可得， ∴四边形为菱形，故B选项正确， ∴，故C选项正确， ∵菱形是特殊的平行四边形， ∴四边形是平行四边形，故A选项正确； 由已知条件无法得出，故D选项说法错误． 【变式4-2】下列命题中，正确的是（    ） A．菱形的对角线相等 B．六边形的内角和为 C．正五边形的外角和为 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查菱形性质，多边形内角和与外角和定理，轴对称图形的概念，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：对于A选项，∵菱形的对角线互相垂直平分，对角线不相等，∴A错误； 对于B选项，∵多边形内角和公式为，六边形边数，∴内角和为，∴B正确； 对于C选项，∵任意多边形的外角和都为，∴正五边形外角和为，∴C错误； 对于D选项，∵一般平行四边形不是轴对称图形，只有特殊平行四边形才是轴对称图形，∴D错误； 综上，正确答案是B． 【变式4-3】如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点，且，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴，，， ∴， ∴，则A选项正确； 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，故B选项正确； 则， ∴； 仅菱形才一定成立，故D选项错误． 【题型5 添加一个条件使四边形是菱形】 【例5】已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，故B、D不符合题意； 当时，不能判定四边形是菱形，故A不符合题意； 当时，可以根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明四边形是菱形，故C符合题意． 【变式5-1】如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】 解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形） ∴当时，四边形是菱形． 【变式5-2】如图，已知，对角线，相交于点，则添加下列条件不能判定是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、添加，能判定是菱形，故本选项不符合题意； B、添加， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形，故本选项不符合题意； C、添加，能判定是菱形，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定是菱形，故本选项符合题意； 【变式5-3】要使如图所示的成为菱形，需增加的一个条件是（     ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【详解】解：、由，则是矩形，故不符合题意； 、由，不能判定是菱形，故不符合题意； 、由平分，则，因为，所以，所以，所以，则是菱形，故符合题意； 、由，不能判定是菱形，故不符合题意； 【题型6 证明四边形是菱形】 【例6】活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是菱形，以下测量方案正确的是（     ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两条对角线是否相等 C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量四条边是否相等 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】解：∵四条边都相等的四边形是菱形， ∴现要判断这个四边形是否为菱形，可以测量四条边是否相等． 【变式6-1】如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（     ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】先证明四边形是菱形，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：过点A分别作、， 由题意知，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 在中，， ∴， ∴， 即， 根据勾股定理得，， 即， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴四边形的周长为． 【变式6-2】根据图中所标数据，不足以判定四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的判定定理，逐一分析选项； 【详解】A．已知两个相邻内角和为，仅可推出一组对边平行，因此该四边形不能判断出是平行四边形；邻边长度都为5，也无法判定四边相等或对角线垂直，因此不足以判定为菱形． B．三个内角为、、，可得第四个角，然后根据对角相等，可判定是平行四边形；又有一组邻边长度都为5，即邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定为菱形． C．四边形四条边都相等，根据“四边相等的四边形是菱形”，可判定为菱形． D．四边形对角线互相平分且垂直，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可判定为菱形． 【变式6-3】小明利用菱形的性质与判定作的平分线，作法如下：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；②分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E．则下列说法错误的是（     ） A．四边形是菱形 B．平分 C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的判定及性质和勾股定理判断即可． 【详解】解：由题意得，， ，故C正确； 四边形是菱形，故A正确； 平分，故B正确； 如图，连接，则、相互垂直平分， ，化简得， ， 这里不知道的度数，无法推出，即无法推出，故D错误． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 【例7】小美同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】小虹同学按如下步骤作四边形：①画，②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D，③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C，④连接，，．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据作图得出，证明四边形为菱形，根据菱形的性质得出，平分，根据平行线的性质得出，最后得出答案即可． 【详解】解：根据作图可得：， ∴四边形为菱形， ∴，平分， ∴， ∴． 【变式7-2】小馨同学按如下步骤作四边形； （1）画； （2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，； （3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点； （4）连接，，．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据作图步骤判断四边形的边长关系，因为，所以四边形是菱形，利用菱形性质得到对角相等的性质，得到与的等量关系，结合等腰的角度关系推导的度数． 【详解】解：从作图过程可知：， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 【变式7-3】如图，四边形中，，，，过点B作的平行线，过点D作的平行线，两平行线相交于点E，连接AE，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，是等边三角形，求得，，再求得，再利用等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例8】如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，然后分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据尺规作图可得，平分，证明是菱形可得，再运用勾股定理可得，进而可求出的长． 【详解】解：如图所示：连接，交于点O， 由题中作图可知：，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【变式8-1】如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，画直线分别与、交于点、．则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】连接，根据题意，得，得四边形是菱形，连接，根据菱形的对称轴性质，得，根据三线合一，平行线的性质，证明，利用三角形中位线求解即可； 【详解】解：连接，根据题意，得， 故四边形是菱形， ， ，，， ， ， 连接，根据菱形的对称轴性质，得， 根据等腰三角形三线合一，得， ， ， ， ； 【变式8-2】如图，平行四边形的周长为40，点E为的中点，若对角线于点O，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明平行四边形是菱形，得到，再根据三角形中位线定理作答即可． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线 ∴平行四边形是菱形，是的中点， ∵菱形四条边相等，周长为， ∴边长， ∵点E为的中点， ∴． 【变式8-3】如图，是边长为的等边三角形，分别取，边的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作…照此规律作下去，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理、等边三角形的性质，证明四边形是菱形，可求出，进而得出的值，找出规律即可计算出的值． 【详解】解：∵点D、E是、边的中点， ∴，且，， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理求得 ， …… ， ∴. 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 【例9】如图，在的两边上分别截取，，使，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，，与相交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图过程可知，可得四边形是菱形，则，由勾股定理求得，再求得两条对角线的长，利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图过程可知， 四边形是菱形， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式9-1】如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点A作于点G，证明四边形为菱形，得出，，，，根据勾股定理求出，根据，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点G，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式9-2】如图，中，，，，点D是上的一个动点，D点关于，的对称点分别是E和F，若四边形是平行四边形，则四边形的面积的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、对称的性质、解直角三角形；熟练掌握证明四边形是菱形是解决问题的关键． 由对称的性质和菱形的定义证出四边形是菱形，得出，根据菱形的性质可得四边形的面积为，当时，的值最小，即的值最小，此时菱形面积最小，求出的长，即可得出四边形的面积的最小值． 【详解】解：连接，如图， 由对称性质得， ，， ， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴边上的高为， ∴四边形的面积为， 当时，的值最小，即的值最小，此时菱形面积最小， ∵，， ∴， ∴， 故四边形的面积为． 故选：B． 【变式9-3】如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：C． 【探究式学习】 1．综合与探究 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M是线段的中点，点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，过点A作交的延长线于Q，交y轴于点C，连接，． (1)线段的长______． (2)①求证：四边形是平行四边形；②当______，时，四边形是菱形． (3)若点N是上一动点，当有最小值时，点N的坐标是______． 【答案】(1)5； (2)①证明：∵， ∴， ∵M是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； ②； (3) 【分析】（1）令直线解析式中、，求得，，由勾股定理得．在中，是斜边中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可； （2）①由得内错角相等，结合是中点，用证，得．四边形对角线互相平分，故是平行四边形；②菱形需邻边相等，即．设，由勾股定理表示，，列方程，进行求解即可； （3）作点关于直线的对称点，则，当P、N、共线时最小．先由面积法求垂足坐标，再得坐标，求直线解析式后与联立，进行求解即可． 【详解】（1）解：令， 解得， ∴； 令，， ∴， ∴，， 在中，， ∵M是斜边的中点， ∴； （2）解：①略 ②由题意得，且， ∴， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ 解得； （3）解：作点关于直线的对称点，连接交于点H，连接交于点N，连接，如图， ∴，是的中点，， ∴， ∴当P，N，三点共线时，线段和最小， 由图可得，， ∴ 解得， 设， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∵， ∴， 将代入得， 解得， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入和， 得， 解得， ∴， 联立直线与的解析式， 得， 解得， ∴． 2．【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图①，若点是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图②，当点为边上任意一点时，判断上述结论是否仍然成立，请说明理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，线段的长为________． 【答案】(1)； (2)成立，理由如下： 连接，如下图所示： 由（1），同理可得与为等边三角形， ． ， ． ． 在和中， ． ． (3)或． 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点A作交于点E，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，分当点P在点E的上方和点P在点E的下方两种情况进行讨论，可得出最后的结果． 【详解】（1）解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形，且， ． 为菱形的角平分线， ． 故与为等边三角形， 即． ∵点P为中点，， 故平分， ． 在和中， ． ． （2）略 （3）解：过点A作交于点E，连接， 当点P在点E上方时，如下图所示： 由得，E为中点， ， ． 由勾股定理得， ， ． 故． ． 当点P在点E下方时，如下图所示： 同理可得， 故． ． 综上，的长度为或． 3．综合与实践 【问题情境】 如图1，在菱形中，点在边上，，点在上，． 【初步探究】 (1)求证：． 【深入探究】 (2)将图1中的绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，． ①如图2，当线段经过点时，直线分别与边，交于点，，求证：． ②已知，，在旋转过程中，交于点，所在直线交于点，延长交于点，若，请在图3中画出示意图并求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)①证明：∵是菱形的对角线，， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； ②， 【分析】（1）根据菱形的性质及垂直的定义得，，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①根据菱形的性质及垂直的定义得，，，根据旋转的性质得，继而得到，，，，证明得，即可得证； ②如图，过点作于点，连接，，根据菱形的性质及垂直的定义得，，，进一步得，，，，证明得，证明得，推出，根据旋转的性质得，继而得到，，，推出，然后根据等角对等边及勾股定理得，可得答案． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：如图，过点作于点，连接，设， 由（1）知：，， ∵是菱形的对角线，，，， ∴，，， ∴，， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．已知在菱形中，，，N是上的一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接． (1)如图1，的度数为___________；线段与线段的数量关系为_________； (2)如图2，连接，，试探究线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若点N是射线上的动点，且，求的长． 【答案】(1)， (2)解：，理由如下：    ∵是菱形的对角线，， ∴，，， ∴，； 又∵， ∴； 又∵，， ∴；    ∴，； 又∵， ∴； 在中 ∴， 又∵， ∴； (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质和平行线的性质即可求出的度数；证明，即可得出线段与线段的数量关系； （2）根据菱形的性质可求出，证明，得出，，则，在中，根据勾股定理得出，，即可得出结论； （3）过作，交延长线点E，根据菱形的性质，勾股定理以及含角的直角三角形的性质可求出，，，； 然后分两种情况讨论：①当N在线段上时，②当N在的延长线时，结合（2）中求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴； 又∵，， ∴；    ∴； （2）略 （3）解：过作，交延长线点E， ∵四边形是菱形，，∠． ∴，， 在中，，， ∴，． 在中，，． ∴； ①当N在线段上时，如上图 ∵． ∴； 由（2）， ∴ ； ②当N在的延长线时，如下图    ∵． ∴； 由（2） ∴， 综上，长为或． 【课后检测】 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，则，根据翻折得出，最后根据即可求解. 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴. 2．菱形的边长为6，有一个内角为，则菱形的面积为（     ） A． B． C．36 D． 【答案】B 【分析】利用菱形的性质求得，再利用解直角三角形求得，的长度，进而得出菱形对角线的长度，从而利用菱形面积公式求出结果． 【详解】解：如图，设与交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，先根据菱形的性质可得，，，，，再根据勾股定理和含度角的直角三角形的性质求出和的长，然后利用菱形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵菱形的周长为， ∴，，，， ， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 4．如图，菱形中，，对角线、交于点O，平分交于点E，且，菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作于点F，首先利用角平分线的性质定理得到，求出，得到，利用勾股定理求出，得到，然后利用含角直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ∵四边形是菱形 ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，即 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 5．如图菱形的周长为，对角线，相交于点，，垂足为E，且，则下列结论：①；②；③；④；⑤，正确的是（   ） A．①②⑤ B．②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】D 【分析】由菱形的性质可求得菱形的边长，结合可判断①正确；根据可判断⑤正确；在中由勾股定理可求得，则可求得，可判断②正确；在中由勾股定理可求得，可判断③正确；根据，可判断④不正确． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故⑤正确； 在中，， ∴，故②正确； 在中，，故③正确； ∵，， ∴，故④不正确； 综上所述正确的有①②③⑤． 6．如图，四边形为菱形，，，作，垂足为H，交于G点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用等积法可求得的长，在中，利用勾股定理可求得，设，则，在中，由勾股定理列方程求出x，再由勾股定理求出的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，可得， ∴，即， 解得， 在中，由勾股定理可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理可得． 7．如图，在菱形中，点是边上一点，连接、，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， 8．在菱形中，对角线，，则菱形的边长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算边长． 【详解】解：令菱形的对角线交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴菱形的边长为． 9．如图，在中，，作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形性质和角平分线证得，进而可知是菱形，是平行四边形即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 过点作于点，延长交于点G ，连接， ， 在中，， ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴是菱形， ∴ ∵， ∴ ∴是平行四边形， ． 10．如图，在菱形中，，为的中点，点沿对角线从点向点运动，连接，．设，，图是点运动时随变化的关系图像，其中右端点的纵坐标为，则图像最低点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用菱形右端点条件求出菱形的边长，再根据菱形的对称性将转化为，当点B、F、E三点共线时，y取得最小值，即y的最小值为线段的长度；证明是等边三角形，进而可得，，由勾股定理可解得，即图像最低点P的纵坐标为；证明为含有30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理解得，的长度，进而可得答案． 【详解】解：如下图，连接，连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴， 当点F运动到点C时，， ∵图像右端点Q的纵坐标为3， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴，解得， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴点D与点B关于对称， ∴， ∴， 当点B、F、E三点共线时，如下图，y取得最小值，即最小值为线段的长， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵E为的中点， ∴，， 在中，， ∴图像最低点P的纵坐标为， ∵，， ∴， 又∵， ∴，即， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∴图像最低点P的坐标为． 11．如图，菱形中，，，，，垂足分别为、，连接，则的面积是_____． 【答案】 【分析】先证明，推出，，再证明是等边三角形，据此计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 在中，， ∴， ∴， 作于点， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，以为边向右作菱形，点在轴上，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】先求点的坐标，计算的长度，再利用菱形的性质推导点的坐标． 【详解】解：对于直线， 令，代入得， 解得， 点坐标为． 令，代入得， 点坐标为． ． 四边形是菱形， ，，即轴， 点的纵坐标和点的纵坐标相同，都为，点的横坐标为， 点的坐标是． 13．如图，已知菱形的一个内角，对角线、相交于点，点在上，且，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，结合等腰三角形的性质可得，作差求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】连接交于，先利用菱形的性质和勾股定理，求得，接着利用菱形的面积，即可算得答案． 【详解】解：连接交于，如图所示： 四边形是菱形，，， ，，，， ， ， ∵， ∴菱形的面积， 即， 解得：． 15．如图，，，连接． (1)尺规作图：在上作点，连接，使得平分（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)点如图所示： (2)证明：如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图流程进行作图即可； （2）利用平行线和角平分线的性质可证明，从而得到，再结合可得，命题即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 16．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点且与边分别交于点和点． (1)请你判断和的数量关系，并说明理由； (2)过点作交的延长线于点，当，时，求的周长． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据四边形是菱形，得出，，进而证明，根据全等三角形对应边相等即可得出结论； （2）根据菱形性质可得：，，先在中求出，再证明四边形是平行四边形，进而得出、，由此即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：∵在菱形中， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴的周长 ， 即的周长是． 17．如图，四边形中，，连接，的角平分线分别交于点O，E． (1)连接，求证：四边形为菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)如图， ∵， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； (2) 【分析】（1）证明，可得四边形为平行四边形，即可求证； （2）根据勾股定理可得的长，再结合菱形的性质可得的长，设，则，在中，利用勾股定理可得的长，可得到的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴． 18．如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，证明，得出，从而可得四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）设，则，由菱形的性质可得，，，，求出，由平行四边形的性质可得，结合勾股定理求出，最后由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：设，则， 由（1）可得四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 19．如图，在菱形中，，M为的中点，P为对角线上的一个动点，的最小值是3．求的长． 【答案】 【分析】连接交于点，点与点关于直线对称，连接交于点，得出就是的最小值，求出，结合直角三角形的性质可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴点与点关于直线对称， 连接交于点， ∴，即就是的最小值， ∵，且在菱形中，， ∴是等边三角形， ∵M为的中点， ∴， ∵的最小值是3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，在菱形中，，点E、F、G分别在边、上，，平分，点H是线段上一动点（与点A不重合）． (1)求证：； (2)当，时，求周长的最小值． 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴和均为等边三角形， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， 在和中，， ∴； (2) 【分析】（1）先根据证明得到，再结合角平分线，即可利用证明； （2）过点D作交的延长线于M，连接，根据题意可得点E和点G关于对称，由此可得，要使的周长最小，则最小，当、、三点共线时，最小，最小为，根据勾股定理求出的长即可； 【详解】（1）略 （2）解：如图， 过点D作交的延长线于M，连接， ∵，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴点和点关于对称， ∴， 要使的周长最小，则最小， 当、、三点共线时，最小，最小为， 在中，，， ∴ ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，最短路径问题，知识点较多，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 61 页 第 1 页 共 61 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第01讲 菱形的性质和判定 （新教材北师大版） 知识点一、菱形的定义 2 知识点二、菱形的性质 2 知识点三、菱形的判定 2 【题型1 利用菱形的性质求角度】 2 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 3 【题型3 利用菱形的性质求面积】 4 【题型4 利用菱形的性质证明】 5 【题型5 添加一个条件使四边形是菱形】 6 【题型6 证明四边形是菱形】 7 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 8 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 9 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 10 【探究式学习】 12 【课后检测】 16 【复盘笔记】 22 知识点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱 形分成完全全等的两部分. （2） 菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 知识点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在 四边形的基础上加上四条边相等. 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【例1】如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在菱形中，点E在边上，连接、，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，，是菱形的对角线，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数是（     ） A．55° B．75° C．60° D．65° 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 【例2】如图，四边形是菱形，于点，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，菱形的对角线、相交于点，、分别是、边上的中点，连接，若，，则菱形的周长为（     ） A．4 B． C． D．28 【变式2-2】如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 【题型3 利用菱形的性质求面积】 【例3】如图，菱形的边长为5，对角线的长为8，延长至点平分，点G是上任意一点，则的面积为（     ） A．6 B．12 C．20 D．24 【变式3-1】道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线，边长，则该标志的占地面积为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，菱形的周长为，，垂足为E，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3-3】如图，菱形的边长为4，，点从点出发，沿匀速运动，终点为，设点运动的路程为，的面积为（不妨设当点与点或点重合时，），则关于的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【题型4 利用菱形的性质证明】 【例4】如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交两边于点，再分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接、，则下列说法可能错误的是（     ） A．平分 B． C． D． 【变式4-1】如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以、为圆心，以长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接、、、，则下列说法不正确的是（     ） A．四边形是平行四边形 B．四边形是菱形 C． D． 【变式4-2】下列命题中，正确的是（    ） A．菱形的对角线相等 B．六边形的内角和为 C．正五边形的外角和为 D．平行四边形是轴对称图形 【变式4-3】如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点，且，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【题型5 添加一个条件使四边形是菱形】 【例5】已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，已知，对角线，相交于点，则添加下列条件不能判定是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】要使如图所示的成为菱形，需增加的一个条件是（     ） A． B． C．平分 D． 【题型6 证明四边形是菱形】 【例6】活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是菱形，以下测量方案正确的是（     ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两条对角线是否相等 C．测量两条对角线是否互相垂直 D．测量四条边是否相等 【变式6-1】如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（     ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【变式6-2】根据图中所标数据，不足以判定四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】小明利用菱形的性质与判定作的平分线，作法如下：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；②分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E．则下列说法错误的是（     ） A．四边形是菱形 B．平分 C． D． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 【例7】小美同学按如下步骤作四边形；（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（4）连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】小虹同学按如下步骤作四边形：①画，②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D，③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C，④连接，，．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】小馨同学按如下步骤作四边形； （1）画； （2）以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，； （3）分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点； （4）连接，，．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，四边形中，，，，过点B作的平行线，过点D作的平行线，两平行线相交于点E，连接AE，则（     ） A． B． C． D． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例8】如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，然后分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，画直线分别与、交于点、．则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-2】如图，平行四边形的周长为40，点E为的中点，若对角线于点O，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，是边长为的等边三角形，分别取，边的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作；分别取，的中点，，连接，作，得到四边形，它的周长记作…照此规律作下去，则等于（     ） A． B． C． D． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 【例9】如图，在的两边上分别截取，，使，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，，与相交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，在平行四边形中，平分，，若，，平行四边形的面积为144，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式9-2】如图，中，，，，点D是上的一个动点，D点关于，的对称点分别是E和F，若四边形是平行四边形，则四边形的面积的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式9-3】如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【探究式学习】 1．综合与探究 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M是线段的中点，点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，过点A作交的延长线于Q，交y轴于点C，连接，． (1)线段的长______． (2)①求证：四边形是平行四边形；②当______，时，四边形是菱形． (3)若点N是上一动点，当有最小值时，点N的坐标是______． 2．【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图①，若点是边的中点，小明经过探索发现了线段与之间的数量关系，请直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图②，当点为边上任意一点时，判断上述结论是否仍然成立，请说明理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，线段的长为________． 3．综合与实践 【问题情境】 如图1，在菱形中，点在边上，，点在上，． 【初步探究】 (1)求证：． 【深入探究】 (2)将图1中的绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，． ①如图2，当线段经过点时，直线分别与边，交于点，，求证：． ②已知，，在旋转过程中，交于点，所在直线交于点，延长交于点，若，请在图3中画出示意图并求线段的长． 4．已知在菱形中，，，N是上的一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接． (1)如图1，的度数为___________；线段与线段的数量关系为_________； (2)如图2，连接，，试探究线段，，的数量关系，并说明理由； (3)若点N是射线上的动点，且，求的长． 【课后检测】 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．菱形的边长为6，有一个内角为，则菱形的面积为（     ） A． B． C．36 D． 3．如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 4．如图，菱形中，，对角线、交于点O，平分交于点E，且，菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 5．如图菱形的周长为，对角线，相交于点，，垂足为E，且，则下列结论：①；②；③；④；⑤，正确的是（   ） A．①②⑤ B．②③④ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 6．如图，四边形为菱形，，，作，垂足为H，交于G点，则的长度为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，点是边上一点，连接、，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．在菱形中，对角线，，则菱形的边长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．如图，在中，，作的角平分线交于点，过点作的垂线交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，，为的中点，点沿对角线从点向点运动，连接，．设，，图是点运动时随变化的关系图像，其中右端点的纵坐标为，则图像最低点的坐标为（） A． B． C． D． 11．如图，菱形中，，，，，垂足分别为、，连接，则的面积是_____． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，以为边向右作菱形，点在轴上，则点的坐标是___________． 13．如图，已知菱形的一个内角，对角线、相交于点，点在上，且，则的度数为_____________． 14．如图，在菱形中，过点作于点，连结．若，，则的长为________． 15．如图，，，连接． (1)尺规作图：在上作点，连接，使得平分（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形是菱形． 16．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点且与边分别交于点和点． (1)请你判断和的数量关系，并说明理由； (2)过点作交的延长线于点，当，时，求的周长． 17．如图，四边形中，，连接，的角平分线分别交于点O，E． (1)连接，求证：四边形为菱形； (2)若，求的长． 18．如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 19．如图，在菱形中，，M为的中点，P为对角线上的一个动点，的最小值是3．求的长． 20．如图，在菱形中，，点E、F、G分别在边、上，，平分，点H是线段上一动点（与点A不重合）． (1)求证：； (2)当，时，求周长的最小值． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 61 页 第 1 页 共 61 页 学科网（北京）股份有限公司 $