第三讲 正方形的性质与判定 讲义 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册同步讲义 第3讲 讲 正方形的性质与判定 一、知识讲解 知识点1 正方形的定义 邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点2 正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 知识点3 正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条： · 先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）； · 先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点4 特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点5 中点四边形 要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释： （1） 若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2） 若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3） 若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 二、例题精析 【正方形的性质】 探究点一：正方形的性质 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OD＝2. 在Rt△AOD中，由勾股定理，得 AD＝＝＝. ∴正方形的周长为4AD＝4＝8，面积为AD2＝()2＝8. 方法总结：结合勾股定理，充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线相等且互相垂直平分的性质，是解决与正方形有关的题目的关键． 探究点二：正方形的性质的应用 【类型一】 利用正方形的性质求角度 四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小． 解析：等边△ADE可以在正方形的内部，也可以在正方形的外部，因此本题分两种情况． 解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC的大小为30°或150°. 易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部． 【类型二】 利用正方形的性质求线段长 如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长． 解析：线段BE是Rt△ABE的一边，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件可证△ABE≌△AFE，问题转化为求EF的长，结合已知条件易获解． 解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm. ∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE， ∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE. 在Rt△ABC中，AC＝＝＝(cm)，∴FC＝AC－AF＝－1(cm)， ∴BE＝－1(cm)． 方法总结：正方形被对角线分成4个等腰直角三角形，因此在正方形中解决问题时常用到等腰三角形的性质与直角三角形的性质． 【类型三】 利用正方形的性质证明线段相等 如图，已知过正方形ABCD的对角线BD上一点P，作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，求证：AP＝EF. 解析：由PE⊥BC，PF⊥CD知四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需说明AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分可知AP＝CP. 证明：连接AC，PC，如图．∵四边形ABCD为正方形，∴BD垂直平分AC，∴AP＝CP. ∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF，∴AP＝EF. 方法总结：(1)在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等；(2)无论是正方形还是矩形，经常连接对角线，这样可以使分散的条件集中． 【正方形的判定】 探究点一：正方形的判定 【类型一】 先证明是矩形再证明是正方形 已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形． 解析：欲证明四边形CEDF是正方形，先根据∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可． 证明：如图所示，过点D作DG⊥AB于点G. ∵DF⊥AC，DE⊥BC， ∴∠DFC＝∠DEC＝90°. 又∠C＝90°， ∴四边形CEDF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)． ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB， ∴DF＝DG. 同理可得DE＝DG.∴DE＝DF. ∴四边形CEDF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)． 【类型二】 先证明是菱形再证明是正方形 如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形． 解析：已知EG⊥FH，要证四边形EFGH为正方形，则只需要证四边形的对角线EG，HF互相平分且相等即可，根据题意可通过三角形全等来证OE＝OH＝OG＝OF. 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠COH＋∠BOH. ∵EG⊥FH，∴∠BOE＋∠BOH＝90°，∴∠COH＝∠BOE，∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH. 同理可证：OE＝OF＝OG， ∴OE＝OF＝OG＝OH. 又∵EG⊥FH， ∴四边形EFGH为菱形． ∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝HF， ∴四边形EFGH为正方形． 方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 探究点二：正方形、菱形、矩形与平行四边形之间的关系 填空： (1)对角线________________的四边形是矩形； (2)对角线____________的平行四边形是矩形； (3)对角线__________的平行四边形是正方形； (4)对角线________________的矩形是正方形； (5)对角线________________的菱形是正方形． 解：(1)相等且互相平分　(2)相等　(3)垂直且相等　(4)垂直　(5)相等 方法总结：从对角线上分析特殊四边形之间的关系应充分考虑特殊四边形的性质与判别，防止混淆．菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形，特殊之处在于：矩形是有一个角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；而正方形是兼具两者特性的更特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形． 课后作业 1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻边相等 解析： 菱形性质：对角线互相垂直、对角相等、邻边相等； 菱形对角线不一定相等，正方形对角线相等。 答案：B 2. 已知某正方形的面积为 36，则该正方形的对角线长为（ ） A. 6 B. ​ C. 9 D. ​ 解析： 正方形面积 36，则边长a=​=6。 由勾股定理，对角线=​=​​=​。 答案：B 3. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，下列说法不正确的是（ ） A. AC⊥BD B. AD=AO C. DO=CO D. ∠DAO=∠BAC 解析： 正方形对角线互相垂直，AC⊥BD，A 正确； 对角线相等且平分，DO=CO，C 正确； 对角线平分内角，∠DAO=∠BAC=45，D 正确； 设边长为，对角线一半AO=，AD=，ADAO，B 错误。 答案：B 4. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△ADE是等边三角形，连接 BD，BE，则∠DBE的度数为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 解析： 正方形ABCD：AB=AD，∠ABD=45。 等边△ADE：AD=AE，∠DAE=60。 ∴AB=AE，∠BAE=∠BAD+∠DAE=90+60=150。 等腰△ABE中：∠ABE==15。 ∠DBE=∠ABD−∠ABE=45−15=30。 答案：D 5. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90∘．如果添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么所添加的条件可以是（ ） A. ∠D=90 B. AB=CD C. AD=BC D. BC=CD 解析： 三个角是直角，四边形已经是矩形； 矩形再加一组邻边相等即为正方形，BC=CD是一组邻边相等。 答案：D 6. 对角线相等，并且互相垂直平分的四边形是（ ） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 解析： 对角线互相平分 → 平行四边形； 对角线相等 → 矩形；对角线互相垂直 → 菱形； 既是矩形又是菱形，即为正方形。 7. 如图，以正方形 ABCD 的中心 O 为原点建立平面直角坐标系，已知点 A 的坐标为(2,2)，则点 D 的坐标为________． 解析： 正方形对角线交点 O 是坐标原点，A 与 D 关于 y 轴对称； A(2,2)，则D(−2,2)。 答案：(−2,2) 8. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，连接 AE，CE．若AE=2，则 CE 的长为____． 解析： 正方形对角线 BD 是对称轴，△ABE≅△CBE，∴CE=AE=2。 答案：2 9. 将两个完全相同的含45∘角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，所得的四边形的形状是________． 解析： 两个等腰直角三角板，得到四边形四个角均为90∘，且邻边相等，是正方形。 答案：正方形 10. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，要使菱形 ABCD 是正方形，还需添加的条件是________________．（只填一个即可） 解析： 菱形变成正方形，条件：对角线相等，或者有一个内角为90∘。 参考答案：AC=BD（或∠ABC=90∘，写一个即可） 11. 如图，在正方形 ABCD 中，点 P 在边 AB 上，AE⊥DP于点 E，CF⊥DP于点 F，求证：△ADE≅△DCF． 解析： 证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADC=90 ∵AE⊥DP，CF⊥DP， ∴∠AED=∠DFC=90。 ∵∠ADE+∠CDF=90，∠DCF+∠CDF=90， ∴∠ADE=∠DCF。 在△ADE和△DCF中 ​∠AED=∠DFC，∠ADE=∠DCF，AD=DC​ ∴△ADE≅△DCF(AAS)。 答案：证明如上。 12. 如图，在菱形 ABCD 中，E，F 是对角线 BD 所在直线上的两点，且∠AED=45∘，DF=BE=3，连接 CE，AF，CF． (1) 求证：四边形 AECF 是正方形； (2) 若BD=4，则菱形 ABCD 的面积为________． 解析： (1) 证明： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD。 ∵BE=DF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF。 又OA=OC，∴对角线互相平分，四边形AECF是平行四边形。 又AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形。 ∵∠AED=45，∠AOE=90， ∴△AOE是等腰直角三角形，OA=OE。 ∴AC=2OA，EF=2OE，得AC=EF。 对角线相等的菱形是正方形。 ∴四边形AECF是正方形。 (2) 解： 已知BD=4，∴OB=OD=2。 BE=3，∴OE=OB+BE=2+3=5。 由 (1)OA=OE=5，AC=2OA=10。 菱形面积=​⋅AC⋅BD=​​×10×4=20。 答案：(1) 证明如上；(2)20 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册同步讲义 第3讲 讲 正方形的性质与判定 一、知识讲解 知识点1 正方形的定义 邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 知识点2 正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 知识点3 正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条： · 先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）； · 先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 知识点4 特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 知识点5 中点四边形 要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释： （1） 若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2） 若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3） 若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 二、例题精析 【正方形的性质】 探究点一：正方形的性质 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积． 探究点二：正方形的性质的应用 【类型一】 利用正方形的性质求角度 四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小． 【类型二】 利用正方形的性质求线段长 如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长． 【类型三】 利用正方形的性质证明线段相等 如图，已知过正方形ABCD的对角线BD上一点P，作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，求证：AP＝EF. 【正方形的判定】 探究点一：正方形的判定 【类型一】 先证明是矩形再证明是正方形 已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形． 【类型二】 先证明是菱形再证明是正方形 如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形． 探究点二：正方形、菱形、矩形与平行四边形之间的关系 填空： (1)对角线________________的四边形是矩形； (2)对角线____________的平行四边形是矩形； (3)对角线__________的平行四边形是正方形； (4)对角线________________的矩形是正方形； (5)对角线________________的菱形是正方形． 课后作业 1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻边相等 2. 已知某正方形的面积为 36，则该正方形的对角线长为（ ） A. 6 B. 62​ C. 9 D. 92​ 3. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，下列说法不正确的是（ ） A. AC⊥BD B. AD=AO C. DO=CO D. ∠DAO=∠BAC 4. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△ADE是等边三角形，连接 BD，BE，则∠DBE的度数为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 5. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90∘．如果添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么所添加的条件可以是（ ） A. ∠D=90 B. AB=CD C. AD=BC D. BC=CD 6. 对角线相等，并且互相垂直平分的四边形是（ ） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 7. 如图，以正方形 ABCD 的中心 O 为原点建立平面直角坐标系，已知点 A 的坐标为(2,2)，则点 D 的坐标为________． 8. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，连接 AE，CE．若AE=2，则 CE 的长为____． 9. 将两个完全相同的含45∘角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，所得的四边形的形状是________． 10. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，要使菱形 ABCD 是正方形，还需添加的条件是________________．（只填一个即可） 11. 如图，在正方形 ABCD 中，点 P 在边 AB 上，AE⊥DP于点 E，CF⊥DP于点 F，求证：△ADE≅△DCF． 12. 如图，在菱形 ABCD 中，E，F 是对角线 BD 所在直线上的两点，且∠AED=45∘，DF=BE=3，连接 CE，AF，CF． (1) 求证：四边形 AECF 是正方形； (2) 若BD=4，则菱形 ABCD 的面积为________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $