1.4正方形的性质与判定 讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形 1.4正方形的性质与判定 知识梳理 一、 正方形的性质 1.正方形的四个角都是直角，四条边相等 几何语言： ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分 几何语言： ∵四边形ABCD是正方形 ∴AC⊥BD于点O,OA=OC=OB=OD，AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC 3.正方形既是中心对称图形,又是轴对称图形.对称中心是对角线的交点,有四条对称轴(分别为过两组对边中点的直线和两条对角线所在的直线) 4.周长:;面积: 例1.已知:如图，正方形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AC=4cm。 则:(1)图中∠DAC= ，∠A0D= ． (2)与OA相等的线段有 ；AD= cm (3)正方形的周长是 ，面积是 ． 二、正方形的判定 1.有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形是正方形 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形 2.有一组邻边相等的矩形是正方形 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形,AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形 3.对角线互相垂直的矩形是正方形 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形 4.有一个直角的菱形是正方形 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形 5.对角线相等的菱形是正方形 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形,AC=BD ∴四边形ABCD是正方形 例2.如图，在矩形ABCD中，AB=AD.求证:矩形ABCD是正方形. 例3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直、求证:矩形 ABCD是正方形. 例4.如图，在菱形ABCD中，∠A=90°，求证:菱形ABCD是正方形. 例5.如图，在菱形ABCD中，AC=BD.求证:菱形ABCD是正方形. 三、边、角、对角线的性质对比 边 角 对角线 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 菱形 对边平行,四条边相等 对角相等 对角线互相垂直平分 正方形 对边平行,四条边相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等 四、中点四边形 概念 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形 原图形 任意四边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且相等的四边形 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形 如下各图所示： 例6.如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD 四条边上的点，且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是正方形. 1.4正方形的性质与判定 同步练习 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.四条边都相等的四边形是正方形 2.如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A.当AB=BC时，四边形 ABCD 是菱形 B.当AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形 C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 3.如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（ ） A.60° B.65° C.75° D.80° 4.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角 5.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A.四个角相等 B.对角线互相垂直 C.对角互补 D.对角线相等 6.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形，则∠AED=（ ） A.60° B.65° C.70° D.75° 7.如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE//AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C.6cm D.8cm 8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45°.若∠BAE=α，则∠FEC一定等于（ ） A.2α B.90°-2α C.45°-α D.90°-α 9.如图，点E在正方形ABCD的边CD上:若△ABE的面积为8,CE=3，则线段BE的长为 ． 10.一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则∠ACB= ． 11.如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 ． 12.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O.若点A的坐标是(2,1)，则点C的坐标是 ． 13.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F,若AD=4，则EF= ． 14.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为 dm². 15.如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD. 求证:△APB≌△DPC. 16.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形. 17.如图,正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在BC、CD上，若∠EAF=45°,求证:BE+DF=EF. 18.如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系?请说明理由。 19.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N. (1)求证:∠ADB=∠CDB; (2)若∠ADC=90°，求证:四边形MPND是正方形. 20.已知:如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC. (1)求证:△EAB≌△ECB; (2)若∠AEC=45°，求证:DC=DE. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章特殊平行四边形 1.4正方形的性质与判定 知识梳理 一、 正方形的性质 1.正方形的四个角都是直角，四条边相等 几何语言： ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分 几何语言： ∵四边形ABCD是正方形 ∴AC⊥BD于点O,OA=OC=OB=OD，AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC 3.正方形既是中心对称图形,又是轴对称图形.对称中心是对角线的交点,有四条对称轴(分别为过两组对边中点的直线和两条对角线所在的直线) 4.周长:;面积: 例1.已知:如图，正方形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AC=4cm。 则:(1)图中∠DAC= ，∠A0D= ． (2)与OA相等的线段有 ；AD= cm (3)正方形的周长是 ，面积是 ． 例1.答案为：（1）45°，90°；（2）0D,0B,0C，；（3）cm，8cm². 二、正方形的判定 1.有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形是正方形 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形 2.有一组邻边相等的矩形是正方形 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形,AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形 3.对角线垂直的矩形是正方形 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形,AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形 4.有一个直角的菱形是正方形 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形 5.对角线相等的菱形是正方形 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形,AC=BD ∴四边形ABCD是正方形 例2.如图，在矩形ABCD中，AB=AD.求证:矩形ABCD是正方形. 例2.证明:∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC， 又∵AB=AD， ∴AB=BC=CD=AD ∴矩形 ABCD 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. 例3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直、求证:矩形 ABCD是正方形. 例3.证明:∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OB=OD，OA=OC, 又∵AC⊥BD. ∴∠AOD=∠AOB=90°， 在△AOB和△AOD中，OB=OD，∠AOB=∠AOD，OA=OA， ∴△AOB≌△AOD（SAS）， ∴AB=AD ∴矩形ABCD 是正方形（对角线互相垂直的矩形是正方形）. 例4.如图，在菱形ABCD中，∠A=90°，求证:菱形ABCD是正方形. 例4.证明:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠C，∠B=∠D 又∵∠A=90°， ∴∠C=90° ∵∠A+∠B=180°， ∴∠B=90° ∴菱形ABCD是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）. 例5.如图，在菱形ABCD中，AC=BD.求证:菱形ABCD是正方形. 例5.证明:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=BC=CD=DA, 在△ABD和△BAC中，AB=BA，AD=BC，BD=AC， ∴△ABD≌△BAC（SSS）， ∴∠DAB=∠CBA. ∵∠DAB+∠CBA=180° ∴∠DAB=∠CBA=90° ∴菱形 ABCD 是正方形（对角线相等的菱形是正方形）. 三、边、角、对角线的性质对比 边 角 对角线 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 菱形 对边平行,四条边相等 对角相等 对角线互相垂直平分 正方形 对边平行,四条边相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等 四、中点四边形 概念 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形 原图形 任意四边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且相等的四边形 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形 如下各图所示： 例6.如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD 四条边上的点，且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是正方形. 例6.证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=DA. ∵AE=BF=CG=DH, ∴AH=DG=CF=BE 又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,. △AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE(SAS). ∴EF=EH=HG=GF,∠EHA=∠HGD. ∴四边形 EFGH 是菱形. ∵∠HGD+∠GHD=90°, ∴∠EHA+∠GHD=90° ∴∠EHG=90°. ∴四边形 EFGH 是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形). 1.4正方形的性质与判定 同步练习 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.四条边都相等的四边形是正方形 1.答案为：B 2.如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A.当AB=BC时，四边形 ABCD 是菱形 B.当AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形 C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 2.答案为：D 3.如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN=30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（ ） A.60° B.65° C.75° D.80° 3.答案为：C 4.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角 4.答案为：A 5.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A.四个角相等 B.对角线互相垂直 C.对角互补 D.对角线相等 5.答案为：B 6.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC边上，△AEF是等边三角形，则∠AED=（ ） A.60° B.65° C.70° D.75° 6.答案为：D 7.如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE//AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（ ） A. 3cm B. 4cm C.6cm D.8cm 7.答案为：B 8.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45°.若∠BAE=α，则∠FEC一定等于（ ） A.2α B.90°-2α C.45°-α D.90°-α 8.答案为：A 9.如图，点E在正方形ABCD的边CD上:若△ABE的面积为8,CE=3，则线段BE的长为 ． 9.答案为：5 10.一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则∠ACB= ． 10.答案为：15° 11.如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 ． 11.答案为：2 12.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O.若点A的坐标是(2,1)，则点C的坐标是 ． 12.答案为：(-2,-1) 13.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F,若AD=4，则EF= ． 13.答案为：2 14.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部分的面积为 dm². 14.答案为：2 15.如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD. 求证:△APB≌△DPC. 15.解:∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABC=∠DCB=90° ∵PB=PC, ∴∠PBC=∠PCB. ∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB 即∠ABP=∠DCP 又∵AB=DC，PB=PC ∴△APB≌△DPC. 16.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形. 16.证明:过点D作DG⊥AB，垂足为G. ∵DE⊥AC， DF⊥AB ∴∠DEC=∠DFC=90° 又∵∠C=90° ∴四边形ADFC是矩形 ∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB ∴DE=DG. 同理得DG=DF, ∴ED=DF, ∴四边形ADFC是正方形. 17.如图,正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在BC、CD上，若∠EAF=45°,求证:BE+DF=EF. 17.证明:延长CB到G，使GB=DF，连接AG ∵四边形ABCD为正方形 ∴∠ABC=∠ADF=90°，AB=AD ∴∠ABG=180°-∠ABC=180°-90°=90° ∴∠ABG=∠ADF 在△ABG与△ADF中 AB=AD，∠ABG=∠ADF，GB=DF ∴△ABG≌△ADF (SAS) ∴∠3=∠2，AG=AF ∵∠BAD=90°，∠EAF=45° ∴∠1+∠2=45° ∴∠GAE=∠1+∠3=45° ∴∠GAE=∠EAF 在△AGE与△AFE中 AE=AE，∠GAE=∠EAF，AG=AF ∴△AGE≌△AFE (SAS) ∴GE=EF ∴GB+BE=EF ∴DF+BE=EF. 18.如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系?请说明理由。 18.解:BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下: ∵四边形ABCD是正方形 ∴BC=DC，∠BCE=90° ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90° ∴∠BCE= ∠DCF 在△BCE与△DCF中 BC=CD，∠BCE=∠DCF，CE=CF ∴△BCE≌△DCF（SAS） ∴BE=DF 如下图所示，延长BE交DE于点M, ∵△BCE≌△DCF ∴∠CBE=∠CDF ∵∠DCF=90° ∴∠CDF+∠F=90° ∴∠CBE+∠F=90° ∴∠BMF=90° ∴BE⊥DF. ∴BE与DF的关系相等并且垂直. 19.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N. (1)求证:∠ADB=∠CDB; (2)若∠ADC=90°，求证:四边形MPND是正方形. 19.证明:(1)∵BD平分∠ABC ∴∠ABD=∠CBD 又∵BA=BC，BD=BD, ∴△ABD≌△CBD(SAS) ∴∠ADB=∠CDB; (2)∵PM⊥AD，PN⊥CD, ∴∠PMD=∠PND=90° 又∵∠ADC=90° ∴四边形MPND是矩形: ∵∠ADB=∠CDB, ∴PM⊥AD,PN⊥CD, ∴PM= PN, ∴四边形MPND是正方形. 20.已知:如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC. (1)求证:△EAB≌△ECB; (2)若∠AEC=45°，求证:DC=DE. 20.(1)证明:∵四边形ABCD为正方形 ∴AB =BC，∠ABE=∠CBE=45° 在△EAB和△ECB中， AB=BC，∠ABC=∠CBE，BE= BE ∴△EAB≌△ECB(SAS); (2)∵四边形ABCD为正方形 ∴∠BDC=∠CDA=45°, ∵△EAB≌△∠ECB, ∠AEC =45°, ∴∠CED=∠AED=∠AEC=22.5°, ∴∠BDC=∠CED+∠DCE=45° ∴∠DCE=45°-22.5°=22.5°， ∴∠CED=∠DCE, ∴DC=DE. 学科网（北京）股份有限公司 $