第30章 直线与圆的位置关系 综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

数学（人教版）九年级上 半，1∠EAC=3×72×2=72.同理 对应练习 8.如图，正方形ABCD内接于⊙O,M为 ∠AED=号×72X3=108.∠EAC+ AD的中点，连接BM,CM. (1)求证：△MBC是等腰三角形 ∠AED=180°..AC∥DE (2)若AB=2,求点M到BC的距离. (2),五边形ABCDE是正五边形， .∠EAB= (5-2)×180° 5 =108°，AE= AB.∠ABB=∠ABE=2(180 ∠EAB)=36°..∠EAC=72°， (第8题) ∴.∠EMA=180°-∠AEB-∠EAC=72°. ∴.∠EAM=∠EMA.∴.ME=AE. 小结 解决正多边形有关问题的思路一般有： (1)与圆结合，利用正多边形和圆的关系解题； (2)添加正多边形的半径和边心距，利用正多边 形的性质解题， 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图，PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A,B,点C在⊙O上.如果∠ACB=113°，那么 ∠AOP的度数为 () A.65 B.66° C.67° D.68° (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点I为△ABC的内心.若∠BIO=2∠AIO, IO=1,则AO的长是 () A.√2+1 B.5+1 C.2√2 D.√5 3.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，边长AB=2,G为AB的中点.若P为CB边 上的动点，则PO十PG的最小值为 () A.2√3 B.3 C.1+3 46 第三十章直线与圆的位置关系 4.如图，P是抛物线y=x2一4x十3上的一点，以点P为圆心，1为半径作⊙P,当⊙P与直 线y=0相切时，点P的坐标为 y=x-4x+3 0 G (第4题) (第5题) (第6题) 5.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，G为AB的中点，连接FG.若AB=4,则FG 的长为 6.如图，⊙O经过矩形ABCD的顶点A,B,且与边CD相切于点E,与边AD交于点F,若 AF=9DP.则C的值为 7.阅读材料： 如图①，△ABC的周长为1，内切圆（⊙O)的半径为r,切点为D,E,F,连接OA, OB,OC,OD,OE,OF,△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC,S△OAB,S△Oc,S△0CA分 别表示△ABC,△OAB,△OBC,△OCA的面积 易得S2s-ABr.Sa=2 BC= 2CA·r, :SAAIC=SAOAB+S△OBc+S△0xA, Sac-ABr十号BC7+CAr=(可作为求三商形内切国丰径的公式). (1)理解与应用：利用公式计算边长分别为5,12,13的三角形内切圆半径 (2)类比与推理：如图②，若四边形ABCD存在内切圆，且面积为S,各边长分别为a,b, c,d,试推导四边形的内切圆半径公式. (3)拓展与延伸：若一个边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S,各边长 分别为a1,a2,a3,…,am,合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）. ① ② (第7题) 47 数学（人教版）九年级上 8.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB,垂足为E,交⊙O于点D,点P在 AB的延长线上，连接BC,CP,OD,且∠BOD=2∠BCP.求证：CP是⊙O的切线， (第8题) 9.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上不同于A,B的两点，∠ABD=2∠BAC,连接 CD.过点C作CE⊥DB,垂足为E,直线CE,AB相交于点F. (1)求证：CF是⊙O的切线 (2)若∠F=30°，BD=6,求BF的长， (第9题) 10.如图，点A,B,C在⊙O上，AC是⊙O的直径，AD平分∠BAC,与⊙O相交于点D.连 接OD,与BC相交于点E, (1)求∠OE℃的度数. (2)过点A作⊙O的切线，与CB的延长线相交于点F,过点D作DGFA,与AC相交 于点G.若AD=2√35，DE=4,求DG的长. (第10题) 486B如图，记AB,AD与⊙O相切于点G,F,连接OE, OF,OG.根据题意，得OE⊥DE,OG⊥AB,OF⊥AD, DF=DE.四边形ABCD为正方形，AB=11,∴.∠A= 90°，AB=AD=11.∴.∠A=∠AGO=∠AF0=90°.∴.四 边形AGOF为矩形.∴.AF=OG=5.∴.DE=DF=AD- AF=11-5=6. (第6题) ⑦18设⊙O与AB,BC,AC分别相切于点D,F,E,连 接OF,OE.∠ACB=90°，AC=12,AB=15,.BC= √JAB2-AC=√15-12=9.AB,BC,AC是⊙0的 切线，.AE=AD,BF=BD,CF=CE.∴AE+BF= AD+BD=AB..CF+CE=2CE=AC+BC-(AE+ BF)=AC+BC-AB=12+9-15=6.,∴.CE=3.,BC, AC是⊙O的切线，∴.BC⊥OF,AC⊥OE.∴.∠OFC ∠OEC=90°=∠FCE.∴.四边形OFCE是矩形.，OF OE,.四边形OFCE是正方形.∴.OE=CE=3. ·5aAe=2AC0E=3×12X3=18. ⑧(1)：'四边形ABCD是正方形，∴AB=CD.∴.AB CD.,M为AD的中点，.AM=DM..AB+AM CD+DM,即BM=CM.∴.BM=CM.∴.△MBC是等腰 三角形.(2)如图，连接OB,OC,连接MO并延长，交BC 于点F.BM=CM,OB=OC,∴.MF是线段BC的垂直 平分线.四边形ABCD是正方形，∴，BC=AB=2, ∠BOC=90°.OB=OC,∴.BC=√OB2+OC= √2OB..2=√2OB,解得OB=2.,∴.OM=√2.易知 OF=号=1MF=OM+0F=-E+1,即点M到 BC的距离为√2十1. 0 (第8题) [综合素养提升] ①C在优弧AB上取一点E,连接AE,BE.:'四边形 ACBE是⊙O的内接四边形，..∠E+∠ACB=180 附：答案与解析 ∴.∠E=180°-∠ACB=67°..∠AOB=2∠E=134°. PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A,B,.PA= PB.又：OA=OB,OP=OP,.△AOP≌△BOP. ·∠A0P=∠BOP.∠AOP=∠A0B=6. ②D延长BI交⊙O于点D,连接AD.,AB是⊙O的 直径，∴.∠C=∠D=90°.∴.∠CAB+∠CBA=90°.：点 I为△ABC的内心，∠IAB=∠IAC=号∠CAB, ∠IBA=∠IBC=∠CBM.·∠DIA=∠IAB+ ∠IBA=2∠CAB+2∠CBA=45.·∠DAI- ∠DIA=45°，∠AIB=180°-∠DIA=135°..AD=ID. :∠BIO=2∠AIO,∠AIO+∠BI0=∠AIB=135, ∴.∠AI0+2∠AIO=135.∴.∠AI0=45°.∴.∠BI0= 90.OI LBD..AD-ID-IB BD.AO-OB, .AD=2IO=2.∴.BD=4..AB=√BD2+AD2= 2w5..A0=√5. ③B如图，延长AB,DC交于点T,连接OB,OC,PT :六边形ABCDEF是正六边形，∴.AB=OB=OC= BC=2,∠ABC=∠BCD=120°.∴.∠TBC=∠TCB= 60°..△TBC是等边三角形.∴.BC=BT=CT.∴.易得 点O,T关于BC对称.∴.OP=PT.∴.PG十OP=PG+ PT≥GT.G是AB的中点，∴.AG=GB=1.BT= BC=2,.GT=3.∴.OP+PG≥3.∴.OP+PG的最小值 为3. (第3题) ④(2十2,1)或(2-√2,1)或(2，-1)⊙P与直线 y=0相切，∴.点P到直线y=0的距离等于⊙P的半径， 即1.∴.点P的纵坐标为士1.当y=1时，x2-4x+3=1, 解得x=2士2，∴.P(2十√2,1)或(2-√2,1).当y=-1 时，x2-4x十3=-1，解得x1=x2=2,∴P(2,-1).综上 所述，点P的坐标为(2十√2,1)或(2-√2,1)或(2，一1). ⑤27如图，连接OG,OB,OF,OA.G为AB的中 点，点O为正六边形ABCDEF的中心，∴.OG⊥AB,OF= 0B=0A,∠P0A=∠A0B=合X360=60,BG= 63 数学（人教版）九年级上 AB=2△FOA,△4OB是等边三角形，∠AOG 1 2∠A0B=30°.·OF=OB=AB=4,∠F0G= ∠FOA+∠AOG=90°.：OG=WOB2-BG=2√3， ∴.FG=√OF2+0G=√4+(2√3)2=2/7. G B (第5题) O如图，过点O作OMLAD于点M,延长M0交 BC于点N,连接OA,OB.0E.AM=号AR.:四边形 ABCD是矩形，∴.BC=AD,AD∥BC,∠BAD=∠ABC= ∠D=90°.∴.ON⊥BC,四边形ABNM是矩形..AB= MN,AM=BN.DE是⊙O的切线，∴.OE⊥CD,即 ∠OED=90°.又：∠D=∠OMD=90°，∴.四边形OEDM 是矩形.∴.DM=OE.设DF=x,则AF=9x,BC=AD 104M-号x:0E=M=10-号当0M OE-11 x.·在R△AOM中，OM=VOA-AM= Dx,:OB=OA-号，BN=AM=号，在 Rt△BON中，ON=√OB2-BN=√0x.∴.AB= MN=OM+ON=2而x.BC ,AB_2√10x√10 10x 5 M D (第6题) ⑦(1)5+122=13，.边长为5,12,13的三角形为直 角三角形.设其面积为S,周长为1.S=号×5×12= 30,l=5+12+13=30.设边长为5,12,13的三角形内切圆 半径为r.:S= 号.130=×0X,解得r=2 .边长为5,12,13的三角形内切圆半径为2.(2)如图， 设内切圆的圆心为点O,切点为E,F,G,H,连接OA, OB,OC,OD,OE,OF,OG,OH,设内切圆半径为r.易得 S-m+ommr 1 r+4r=日a+6+ct40r= 1 64 2S 2S a+b+c+d' (3)猜想：r一a,+a2十…+a, 0 B (第7题) ⑧连接OC,AC.:'AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°. CD⊥AB,∴.∠CEO=∠DEO=90°OC=OD, ∴.∠COE=∠DOE..∠BOD=2∠BCP,∴.∠COE= 2∠BCP.OA=OC,.∠CAE=∠ACO.∴.∠COE= 2∠CAE.∴.∠CAE=∠BCP.∴.∠BCP=∠ACO. ∠ACO+∠OCB=90°，∴.∠BCP+∠OCB=90° ∴.OC⊥CP.OC是⊙O的半径，∴.CP是⊙O的切线. ⑨(1)如图，连接OC.:OA=OC,∴.∠1=∠2.又 :∠BOC=∠1+∠2，.∠BOC=2∠1.∠ABD= 2∠1，∴.∠ABD=∠BOC.∴.OC∥DB.∴.∠OCF= ∠DEF.:CE⊥DB,∴.∠DEF=90°.∴.∠OCF=90°.又 OC为⊙O的半径，∴CF为⊙O的切线.(2)如图， 连接AD.AB是⊙O的直径，.∠ADB=90° ∴.∠ADB=∠FED..CF∥AD.∴.∠BAD=∠F=30° .AB=2BD=12.∴.OB=0C=6.∴.OF=2OC=12. .BF=OF-OB=12-6=6. D (第9题) ⑩(1)：AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠OAD.:OA= OD,∴.∠OAD=∠ODA.∴.∠BAD=∠ODA.∴.AB∥ OD.∴.∠ABC=∠OEC.AC是⊙O的直径， ∴.∠ABC=90°.∴.∠OEC=90°.(2)连接DC.AC 是⊙O的直径，∴.∠ADC=90°设⊙O的半径为r,则 OA=OD=OC=r,OE=r-4,AC=2.由(1)得OE⊥ BC,.E为BC的中点.O为AC的中点，∴AB= 2OE=2r-8.在Rt△ADC中，DC2=AC2-AD2;在 Rt△CED中，DC2=CE+DE,∴.AC2-AD2=CE+ DE2.又在Rt△OCE中，CE2=OC2-OE2,.AC2- AD2=OC2-OE2+DE2,即(2r)2-(2√/35)2=x2-(r- 4)2+4,解得r,=7,r2=-5(不合题意，舍去).∴.AC 14.∴.DC=√AC-AD=2√14.AF是⊙O的切 线，.AF⊥AC.:DG∥FA,∴.DG⊥AC.∴.S△c= AD·c=合AC·G.G=Dc= AC 235×24=20. 14