第30章 直线与圆的位置关系 高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

数学（人教版）九年级上 DC,∠ADC'=∠BDC.∴.∠ADC'-∠ADC=∠BDC ∠ADC,即∠CC=∠ADB=120同解法-，有 IBC ACIIACACICC3. DC DC DC 0· 0. ① ② (第8题) 第三十章 直线与圆的位置关系 高频考点突破] ①如图，过点A作AB⊥MN,垂足为B,以点A为圆心， 200m为半径画圆，交MN于点E,F,连接AE,AF,则 AE=AF=200m.在Rt△AOB中，∠AOB=30°，AO= 240m,AB=号A0=120m120<200.居民楼会 受到噪声的影响.在Rt△ABE中，BE=√AE一AB= 160 m.'AE=AF,AB L MIN,.'EF=2BE =320 m. ~72kmh=20m/s:0三16(S.居民楼受噪声影 响的时间为16s. P= M (第1题) ②(1)连接BD.:'四边形ABCD内接于⊙O,∠ADC= 124°，∴.∠ABC=180°-∠ADC=56°.AB为⊙0的直 径，∴.∠ACB=90°.∴.∠CAB=90°-∠ABC=90°- 56=34.:D为AC的中点，∴.AD=CD.∠ABD= ∠CBD=3∠ABC-号X56-28÷∠CAD ∠CBD=28°.(2)连接BD,OC,BD与OC相交于点F. CE与⊙O相切于点C,∴.OC⊥CE,即∠CCE=90°. AB为⊙O的直径，.∠ADB=∠EDB=90°.：C为 BD的中点，OC为⊙O的半径，∴.OC⊥BD,DF=BF= 号BD.∠CFD=∠0E=∠EDB=90.四边形 CEDF为矩形..CE=DF.在Rt△ABD中，AB=10, AD=4,∴.由勾股定理，得BD=√AB-AD=2√2I. ∴CE=DF=2BD=VA. 62 ③(1)连接OC.:AB与⊙O相切于点C,∴.AB⊥OC :DF⊥AB,.DF∥OC..∠DEO=∠COE. :∠COE=2∠D=74°，.∠DE0=74°.(2)连接OC, CE,则OC=OE,∠COE=2∠CGE.∠DOE 2∠CGE,∴.∠COE=∠DOE.由(1)，得DF∥OC, ∴.∠COE=∠OED.∴.∠DOE=∠OED.∴.DE=OD= OE.∴.△DOE是等边三角形.∴.∠DEO=∠COE=60°. ∴.△COE是等边三角形.⊙0的半径为5，EG是⊙0 的直径，∴.CE=OE=5,EG=2OE=10,∠ECG=90°. ∴.CG=√EG-CE=√102-5=55. ④(1)连接OD.:AB=AC,OB=OD,∴.∠C= ∠ABC,∠OBD=∠ODB.∠ABC=∠OBD,∴.∠C= ∠ODB.DE⊥AC,.∠E=90°.∴.∠C+∠EDC= 90°.∴.∠ODB+∠EDC=90°，即∠ODE=90°.∴.OD⊥ DE.:OD是⊙O的半径，.DE是⊙O的切线.(2)连 接OT.⊙O与直线AC相切于点T,∴.OT⊥AE .∠ODE=∠E=90°，.四边形ODET是矩形.OD= OT,.四边形ODET是正方形.∴.DE=ET=OD= OT=3.设AB=AC=x,则AT=EC-ET-AC=9-3- x=6-x,OA=OB+AB=3+x.在Rt△OAT中，OA2= OT+TA,即(3+x)2=3+(6-x)2,解得x=2, ∴.AB=2. ⑤(1)如图，连接BE,BD.AB是⊙O的直径， ∴.∠AEB=90°..∠BED=90°.四边形ABCD为菱 形，∴BD平分∠ADC.∴.∠ADB=∠CDB.在△BDE和 DE=DF, △BDF中，∠EDB=∠FDB,∴.△BDE≌△BDF. DB=DB. ∴.∠BED=∠BFD=90°.∴.DF⊥BF.四边形ABCD 为菱形，∴.CD∥AB.∴.OB⊥BF.:OB为⊙O的半径， .BF是⊙O的切线.(2)由(1)，知△BDE≌△BDF, ∴.BE=BF=3.:AB是⊙O的直径，∴.∠AEB=90° ∴.AE+BE=AB.:四边形ABCD为菱形，.AB AD=BC.设AB=AD=BC=x,则AE=x-1,.(x 1)2十32=x2.x=5..BC=5.四边形ABCD为菱 形，.AD∥CB.∴.∠EBC=∠AEB=90°.∴.CE= √BC2+BE=√52+3=√/34. (第5题) 6B如图，记AB,AD与⊙O相切于点G,F,连接OE, OF,OG.根据题意，得OE⊥DE,OG⊥AB,OF⊥AD, DF=DE.四边形ABCD为正方形，AB=11,∴.∠A= 90°，AB=AD=11.∴.∠A=∠AGO=∠AF0=90°.∴.四 边形AGOF为矩形.∴.AF=OG=5.∴.DE=DF=AD- AF=11-5=6. (第6题) ⑦18设⊙O与AB,BC,AC分别相切于点D,F,E,连 接OF,OE.∠ACB=90°，AC=12,AB=15,.BC= √JAB2-AC=√15-12=9.AB,BC,AC是⊙0的 切线，.AE=AD,BF=BD,CF=CE.∴AE+BF= AD+BD=AB..CF+CE=2CE=AC+BC-(AE+ BF)=AC+BC-AB=12+9-15=6.,∴.CE=3.,BC, AC是⊙O的切线，∴.BC⊥OF,AC⊥OE.∴.∠OFC ∠OEC=90°=∠FCE.∴.四边形OFCE是矩形.，OF OE,.四边形OFCE是正方形.∴.OE=CE=3. ·5aAe=2AC0E=3×12X3=18. ⑧(1)：'四边形ABCD是正方形，∴AB=CD.∴.AB CD.,M为AD的中点，.AM=DM..AB+AM CD+DM,即BM=CM.∴.BM=CM.∴.△MBC是等腰 三角形.(2)如图，连接OB,OC,连接MO并延长，交BC 于点F.BM=CM,OB=OC,∴.MF是线段BC的垂直 平分线.四边形ABCD是正方形，∴，BC=AB=2, ∠BOC=90°.OB=OC,∴.BC=√OB2+OC= √2OB..2=√2OB,解得OB=2.,∴.OM=√2.易知 OF=号=1MF=OM+0F=-E+1,即点M到 BC的距离为√2十1. 0 (第8题) [综合素养提升] ①C在优弧AB上取一点E,连接AE,BE.:'四边形 ACBE是⊙O的内接四边形，..∠E+∠ACB=180 附：答案与解析 ∴.∠E=180°-∠ACB=67°..∠AOB=2∠E=134°. PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A,B,.PA= PB.又：OA=OB,OP=OP,.△AOP≌△BOP. ·∠A0P=∠BOP.∠AOP=∠A0B=6. ②D延长BI交⊙O于点D,连接AD.,AB是⊙O的 直径，∴.∠C=∠D=90°.∴.∠CAB+∠CBA=90°.：点 I为△ABC的内心，∠IAB=∠IAC=号∠CAB, ∠IBA=∠IBC=∠CBM.·∠DIA=∠IAB+ ∠IBA=2∠CAB+2∠CBA=45.·∠DAI- ∠DIA=45°，∠AIB=180°-∠DIA=135°..AD=ID. :∠BIO=2∠AIO,∠AIO+∠BI0=∠AIB=135, ∴.∠AI0+2∠AIO=135.∴.∠AI0=45°.∴.∠BI0= 90.OI LBD..AD-ID-IB BD.AO-OB, .AD=2IO=2.∴.BD=4..AB=√BD2+AD2= 2w5..A0=√5. ③B如图，延长AB,DC交于点T,连接OB,OC,PT :六边形ABCDEF是正六边形，∴.AB=OB=OC= BC=2,∠ABC=∠BCD=120°.∴.∠TBC=∠TCB= 60°..△TBC是等边三角形.∴.BC=BT=CT.∴.易得 点O,T关于BC对称.∴.OP=PT.∴.PG十OP=PG+ PT≥GT.G是AB的中点，∴.AG=GB=1.BT= BC=2,.GT=3.∴.OP+PG≥3.∴.OP+PG的最小值 为3. (第3题) ④(2十2,1)或(2-√2,1)或(2，-1)⊙P与直线 y=0相切，∴.点P到直线y=0的距离等于⊙P的半径， 即1.∴.点P的纵坐标为士1.当y=1时，x2-4x+3=1, 解得x=2士2，∴.P(2十√2,1)或(2-√2,1).当y=-1 时，x2-4x十3=-1，解得x1=x2=2,∴P(2,-1).综上 所述，点P的坐标为(2十√2,1)或(2-√2,1)或(2，一1). ⑤27如图，连接OG,OB,OF,OA.G为AB的中 点，点O为正六边形ABCDEF的中心，∴.OG⊥AB,OF= 0B=0A,∠P0A=∠A0B=合X360=60,BG= 63第三十章 直线与圆的位置关系 P朝高频考点突破 聚焦高频考点，各个击破 直线与圆的位置关系的判断 对应练习 考点 和应用 1.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交 典例1某市计划在学校C的不远处修建 会，∠QON=30°，在点A处有一栋居民 条东西方向的马路，要求学校周围240m的 楼，AO=240m,如果火车行驶时周围 范围内（含240m)不能有噪声.如图①，在学 200m以内会受到噪声的影响，当火车以 校北偏东45°的方向上有一个勘测点A,北 72km/h的速度行驶时，求居民楼受噪声 偏西60°的方向上有一个勘测点B,两个勘 影响的时间. 测点均在马路上，且它们之间的距离为 540m,则马路AB是否符合要求（参考数 M 据：3≈1.7)？ 北 (第1题) (典例1图①) 分析 欲求 需求 马路AB 点C到 过点C作 比较CD 求CD 是否符 AB的 CD⊥AB 的长与 距离 于点D 的长 240m 合要求 的大小 得到结论 解答：过点C作CD⊥AB于点D.设CD= 考点二 切线的性质的应用 xm.由题意，得∠ACD=45°，∠BCD=60°， 典例2如图①，点C在以AB为直径的⊙O ∴.易得AD=xm,BC=2xm.∴.BD= 上，AD与过点C的切线垂直，垂足为D, √BC2-CD2=√3x(m).,AD十BD= AD交⊙O于点E,过点B作BF∥AE,交 AB,.x+√5x=540.∴.x≈200.，200< ⊙O于点F,连接CF」 240,∴.马路AB不符合要求. (1)求证：∠B=2∠BFC. 小结 (2)已知AE=6,DE=2,求CF的长 此数学实际问题可看作 B 是直线与圆的位置关系的判 200m 断：如图②，学校周围240m 的范围可以看成以学校C为 (典例1图②) 圆心，240m为半径的圆，当 ① ② 直线AB与⊙C相离时，马路AB才符合要求， (典例2图) 41 数学（人教版）九年级上 分析 对应练习 (1)连接OC,根据切线的性质得OC1 2.已知四边形ABCD内接于⊙O,AB为 CD,从而得OC∥AD,再根据平行线的性质以 ⊙O的直径，AB=10,连接AC 及圆周角定理可证得结论；(2)连接AF,AC, (1)如图①，若D为AC的中点，∠ADC= 延长CO交⊙O于，点H,过点O作OG⊥AE于 124°，求∠CAB和∠CAD的度数， 点G,根据平行线的性质得∠ACH=∠HCF, (2)如图②，若AD=4,C为BD的中点， 进而得出AH=FH,从而得到CH垂直平分 过点C作⊙O的切线与AD的延长线相 AF,再根据垂直平分线的性质得AC=FC,进 交于点E,求CE的长， 而通过证得四边形OCDG是矩形求得半径，最 后根据勾股定理逐步求出C℉的长， 解答：(1)如图②，连接OC.,CD是⊙O 的切线，.OC⊥CD..AD⊥CD,.OC∥ AD..∠BOC=∠DAB.∠BOC= ② 2∠BFC,.∠DAB=2∠BFC..AD∥ (第2题) BF,∴.∠B=∠DAB.∴.∠B=2∠BFC (2)如图②，连接AF,AC,延长CO交⊙O 于点H,过点O作OG⊥AE于点G .OC∥AD,AE∥BF,.OC∥BF. 3.已知AB为⊙O的切线，C为切点，D是 .∠BFC=∠HCF.:∠B=2∠BFC, ⊙O上一点，过点D作DF⊥AB于点 .∠B=2∠HCF..∠ACF=∠B, F,DF交⊙O于点E,连接OE ∴.∠ACF=2∠HCF.∴.∠ACH= ∠HCF.∴.AH=FH..易得CH垂直平 (1)如图①，连接CD,若∠D=37°，求 ∠DEO的度数， 分AF.∴.CF=AC..OG⊥AE,.AG= (2)如图②，延长EO交⊙O于点G,连接 EG=3..GD=GE+ED=5...AD= CG,OD,若∠DOE=2∠CGE,⊙O的半 AG十GD=8.易知∠OGD=∠D= 径为5，求CG的长 ∠OCD=90°，∴.四边形OCDG是矩形 .OC=GD=5,OG=CD..OA=OC= 5,AG=3,∴.OG=√JOA2-AG2=4. ∴.CD=4.在Rt△ADC中，AC= B √AD+CD=4√5，∴.CF=AC=4√5】 ② (第3题) 小结 本题是切线的性质的应用问题，涉及矩形的 判定和性质、垂径定理、勾股定理、圆周角定理等 知识，已知切线的情况下，一般连切，点得垂直，再 结合勾股定理等内容解决问题 42 第三十章直线与圆的位置关系 考点三切线的性质与判定的综合应用 AD..∠DAO=90°.，四边形ABCD为 典例3如图①，在□ABCD中，过A,B,C 平行四边形，.CD=AB=4√5，AD= 三点的⊙O与AD相切于点A. BC=8,AD∥BC..∠OEB=∠DAO= (1)若∠ABC=60°，求证：CD是⊙O的 切线. 90:·BE=EC=2BC=4.在 (2)若AD=8,CD=4√5，求⊙O的半径， Rt△AEB中，由勾股定理，得AE= √AB2-BE2=√(4√5)2-42=8.设⊙O的 半径为r,则OA=OB=r,OE=8一r.在 Rt△OBE中，由勾股定理，得OB2=OE2+ 0 BE2,∴.r2=(8-r)2十4，解得r=5. (典例3图①) .⊙0的半径为5. 分析 (1)连接OA,OC,AC,由圆周角定理求得 ∠AOC的度数，从而求出∠OAC与∠OCA的 度数，由AD与⊙O相切得∠OAD=90°，进而 求出∠CAD的度数，再结合平行四边形的性质 分别求出∠D,∠ACD的度数，最后证得 ② ③ ∠OCD=90°即可；(2)连接AO并延长，与BC (典例3图) 交于点E,连接OB,根据切线的性质和平行四 小结 切线的证明遵循：有公共点，则“连半径，证 边形的性质得到AE⊥BC,进而根据垂径定理 垂直”；无公共点，则“作垂直，证半径” 得AE平分BC,再根据勾股定理求出AE的 长，最后设半径为r,根据勾股定理求解即可. 对应练习 4.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC, 解答：(1)如图②，连接OA,OC,AC. O为AB延长线上的点，以点O为圆心， .∠AOC=2∠ABC=120°，OC=OA, OB为半径作⊙O,交CB的延长线于点 ·∠0AC=∠0CA=2180-∠A0C)= D,⊙O与直线AC相切于点T,过点D 30°..⊙O与AD相切于点A,.OA⊥AD. 作DE⊥AC,垂足为E, .∠DAO=90°.∴.∠DAC=∠DAO (1)求证：DE是⊙O的切线. ∠OAC=90°-30°=60°..四边形ABCD (2)若⊙O的半径为3，CE=9,求AB 为平行四边形，∴.∠ABC=∠D=60 的长 ∴.∠DCA=180°-∠DAC-∠D=180° 60°-60°=60°.∴.∠DCO=∠DCA+ ∠OCA=60°+30°=90°..O℃⊥CD..OC 为⊙O的半径，∴.CD是⊙O的切线. (第4题) (2)如图③，连接AO并延长，与BC交于点 E,连接OB.AD是⊙O的切线，∴.OA⊥ 43 数学（人教版）九年级上 5.如图，菱形ABCD的边AB是⊙O的直 PA.∴.∠PAO=90°..在Rt△PAO中，由 径，⊙O与AD交于点E,F是CD上一 勾股定理，得OA=√PO-PA=5cm,即 点，且DE=DF,连接BF. ⊙O的半径为5cm. (1)求证：BF是⊙O的切线 小结 (2)连接CE,若DE=1,BF=3,求CE 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 的长 相等，利用此性质可求线段长或几何图形的周长 对应练习 6.如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB, AD相切，且DE与⊙O相切于点E.若 ⊙O的半径为5，且AB=11,则DE的 长为 () (第5题) (第6题) 考点四切线长定理的应用 A.5 B.6 C.30 D.11 典例4如图，PA,PB,DE分别与⊙O相切 于A,B,C三点.若PO=l3cm,△PDE的 考点五三角形的内切圆的应用 周长为24cm,则⊙O的半径为 cm. 典例5一题多解如图①，王奶奶有一块三 角形布料ABC,∠ABC=90°，她要裁一个圆 片，已知AB=60cm,BC=80cm,为了充分 地利用这块布料，使剪下来的圆片的直径尽 (典例4图) 量大些，她应该怎样裁剪？这个圆的直径是 分析 多少？ 切线长 PA=PB, △PDE的 求得 勾股定 定 DA=DC,周长=PA+ PA EC=EB PB 的长 理求OA 解答：连接OA..PA,PB,DE分别与⊙O 相切于A,B,C三点，∴.DC=DA,EC= (典例5图①) EB,PA=PB.∴.△PDE的周长=PD+ 分析 在三角形中裁下的最大的圆就是这个三角 PE+DE-PD+PE+(DC+EC)=PD+ 形的内切圆. PE+(DA+EB)=(PD+DA)+(PE+ EB)=PA+PB=2PA=24 cm..'PA= 解答：解法（利用三角形面积公式）如图 12cm..·PA与⊙O相切于点A,∴.OA⊥ ②，设点O为△ABC内切圆的圆心，内切圆 44 第三十章直线与圆的位置关系 的半径为rcm,D,E,F分别为⊙O与边 小结 (1)若三角形三边长分别为a,b,c,内切圆 AC,AB,BC的切点，连接OA,OB,OC, OD,OE,OF,OD=OE =OF =r cm. 半径为r,则此三角形面积= 2(a+b十c)r: .AB=60cm,BC=80cm,∠ABC=90°， (2)直角三角形三边长分别为a,b,c(c为斜 ∴.AC=√AB2+BC=√J60+80=100(cm). 1 边)，则内切圆半径r=2a十b-c), :S△Ax=S△OAB十S△O+S△OAC, AB·BC= AB:+ 对应练习 BC·x十 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 号ACr,即号×60X80=号X60r+月 AC=12,AB=15,⊙O是△ABC的内切 圆，连接OA,OC,则△AOC的面积为 80r+ 2X100r..r=20.六.2r=40..王 奶奶应该剪出这个三角形的内切圆，这个圆 的直径是40cm. 解法二（构造正方形，利用切线长定理）如 图③，设点O为△ABC内切圆的圆心，内切 (第7题) 圆的半径为rcm,E,F,D分别为⊙O与边 考点六正多边形有关的证明 AB,BC,AC的切点，连接OE,OF,则OE OF,OE⊥AB,OF⊥BC.∴.∠OEB= 典例6如图，正五边形ABCDE内接于 ∠B=∠OFB=90°..四边形OEBF是矩 ⊙O,对角线AC,BE相交于点M,求证： 形.又.OE=OF,∴.四边形OEBF是正方 (1)AC∥DE. 形.∴.BE=BF=rcm.由切线长定理可知 (2)ME=AE. AE=AD,CD=CF,.AB+BC-AC= AB+BC-(AD+CD)=AB-AD+BC- 0 CD=AB-AE+BC-CF=BE+BF= 2rcm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 B (典例6图) AC=100 cm,.'AB++BC-AC=60+80 分析 100=40(cm).∴.2r=40.∴.王奶奶应该剪 (1) 要证AC∥DE 需证相关角 借助圆的相关 出这个三角形的内切圆，这个圆的直径是 相等或互补 性质求角度 40cm. (2) 要证ME=AE 根据正多边形的性质求出 ∠EAM,∠EMA的度数 解答：(1)易知AB,BC,CD,DE所对的圆 心角的度数均为5X360°=72°.：∠EAC (典例5图)》 的度数等于EC所对的圆心角的度数的一 45 数学（人教版）九年级上 半，1∠EAC=3×72×2=72.同理 对应练习 8.如图，正方形ABCD内接于⊙O,M为 ∠AED=号×72X3=108.∠EAC+ AD的中点，连接BM,CM. (1)求证：△MBC是等腰三角形 ∠AED=180°..AC∥DE (2)若AB=2,求点M到BC的距离. (2),五边形ABCDE是正五边形， .∠EAB= (5-2)×180° 5 =108°，AE= AB.∠ABB=∠ABE=2(180 ∠EAB)=36°..∠EAC=72°， (第8题) ∴.∠EMA=180°-∠AEB-∠EAC=72°. ∴.∠EAM=∠EMA.∴.ME=AE. 小结 解决正多边形有关问题的思路一般有： (1)与圆结合，利用正多边形和圆的关系解题； (2)添加正多边形的半径和边心距，利用正多边 形的性质解题， 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图，PA,PB是⊙O的切线，切点分别为A,B,点C在⊙O上.如果∠ACB=113°，那么 ∠AOP的度数为 () A.65 B.66° C.67° D.68° (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点I为△ABC的内心.若∠BIO=2∠AIO, IO=1,则AO的长是 () A.√2+1 B.5+1 C.2√2 D.√5 3.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，边长AB=2,G为AB的中点.若P为CB边 上的动点，则PO十PG的最小值为 () A.2√3 B.3 C.1+3 46