第28章 旋转 综合素养提升(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十八章旋转 考点四旋转与最值 当点E,D,B共线时取等号)，.BD长的 典例5如图①，AB=5√3，C是平面内一动 最小值为5√3-5. 点，且BC=5,连接AC,将AC绕点A逆时 针旋转60°得到AD,连接BD,则BD长的 最小值为 (典例5图②) 小结 (典例5图①) 旋转与最值问题的关键在于通过旋转将分 分析 散条件集中，结合几何最值原理（三点共线、垂线 把AB绕，点A逆时针旋转60°，得到AE, 段最短等)求解，解题时需灵活运用旋转性质，构 根据旋转性质证得△ABE为等边三角形，再结 造合适的图形，综合运用多种方法突破难，点 合三角形全等的判定与性质及三角形三边关系 求得BD长的最小值. 对应练习 6.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3, 解答：如图②，把AB绕点A逆时针旋转 点E在边BC上，CE=2BE,F为矩形内 60°，得到AE,连接BE,DE.∴.∠EAB= 的动点，连接AF,EF,EF=2,将线段 60°，AE=AB.∴.△ABE为等边三角形. AF绕着点A顺时针旋转90°得到线段 ∴.BE=AB=5√3..AC绕点A逆时针旋 AP,连接PE,则线段PE长的最小值为 转60°得到AD,∴.∠CAD=60°，AD=AC. ∴.∠BAE-∠BAD=∠CAD-∠BAD,即 ∠DAE=∠CAB.在△AED和△ABC中， AE=AB, ∠DAE=∠CAB,.△AED≌△ABC. B E AD=AC, (第6题) .ED=BC=5.,BD≥BE-DE(当且仅 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=3,AC=√2，将△ABC绕点B顺时针旋转a得到 △DBE,此时点D落在AC的延长线上，连接CE,则CE的长为 A.√5 B.2√2 c. D.√/10 (第1题) 31 数学（人教版）九年级上 2.如图，在△AOB中，OA=AB,顶点A的坐标为(3,4)，底边OB在x轴上.将△AOB绕 点B按顺时针方向旋转一定角度后得到△A'OB,点A的对应点A'在x轴上，则点O'的 坐标为 () A.) B.5 3616 C. 208W5 3,3 D 2) 0 B A'x D (第2题) (第3题)》 3.如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60°，对角线AC,BD相交于点O,E是对角线 AC上的一个动点，连接BE,将BE绕，点B按逆时针方向旋转60°得到BF,连接OF,则 OF长的最小值是 () A B.1 C.√2 D.√5 4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（一8,0），点B的坐标为（一4,3），将△OAB绕 点O按顺时针方向旋转得到△OCD,点A的对应点C刚好落在AB的延长线上，侧点B 的对应点D的坐标为 DA F E (第4题) (第5题) (第6题) 5.如图，正方形ABCD的边长为2，点E,F分别在边AD,CD上.若∠EBF=45°，则 △EDF的周长为 6.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=150°，D是边AB上一点，AD=1,BD=4,点E在 边BC上.若DE绕点D逆时针旋转15°得到DF,点E的对应点F恰好在边AC上，则 BE的长为 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a,D是BC上一点(CD>BD),连接AD,将线段 AD绕点A逆时针旋转a得到线段AE,连接CE,过点E作EG⊥AC于点G,延长EG, 交BC于点F. D (第7题) 32 第二十八章旋转 (1)求证：∠ACE=∠ACB, (2)在FB上截取FH=FC(点H在点D右侧)，连接EH交AC于点M,依题意补全图 形.用等式表示线段EM与MH之间的数量关系并证明. 8.如图①，四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转得到线段CF,旋转角为 a(0°<a<90),连接BF,DF. (1)若a=40°，求∠BFC的度数 (2)如图②，过点B作BG⊥DF,交DF的延长线于点G,连接AG.若AG=6,求DF 的长 (3)如图③，取BF的中点E,作射线CE交DF的延长线于点G,连接BG.请探究线段 CG,BG,FD之间的数量关系，并给出证明. ② ③ (第8题) 3345°=90得到线段AE,点D与点C重合，∴.AE=AD AC,∠EAB=90°-∠BAC=45°.∴.∠EAB=∠ABC. ∴.BC∥AE.:EF∥AB,.四边形ABFE是平行四边形. ∴.BF=AE..BF=AC.(2)DF=2BC.在DC上取一 点G,使得CG=CB,连接AG,BE.:∠ACB=90°， ∴.AC⊥BG.∴.AG=AB.∴.∠AGB=∠ABG=a. ∴.∠BAG=180°-2a.将线段AD绕点A逆时针旋转 180°-2a得到线段AE,∴.DA=EA,∠DAE=180°- 2a=∠GAB.∴.∠DAG=∠EAB.∴.△DAG≌△EAB. ∴.DG=EB,∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-a. 又.'∠ABC=a,∴.∠FBE=∠ABE-∠ABC=180° a-a=180°-2a.EF∥AB,∴.∠BFE=∠ABF=a. ,∴.∠BEF=180°一∠FBE一∠BFE=a.,∴.∠BEF= BFE..BE=BF..'DG=BF..DF=BD-BF= BD-DG=BG=2BC. ⑤如图，将△AOB绕点O顺时针旋转120°得到△COB', 则AB=CB',∠BOB'=120°，OB'=OB=1.∠OBB'= 30°.连接BB',过点O作OH⊥BB'于点H,OD⊥BC于点 D,BH=BH,OH=号OB=.&BH 08-0m-号.1那=原.：∠0=60 ∴.∠B'BC=90°.∠OBD=60°，∴.∠BOD=30°. BD-0B..OD-OB-BD 在 △0c中，D=Vc-0D-E)-()'= .BC=BD+CD=4..在Rt△BBC中，CB'= 7 √BB+CB=√(5)2+4=√19..AB=CB'=√19】 D (第5题) ⑥√34一2如图，连接AE.在矩形ABCD中，AB= 4,BC=3,CE=2BE,BE=号BC=1.·AE- √AB+BE=√4+1下=√7.把线段AE绕点A顺时 针旋转90°得到线段AG,连接PG,GE,则AG=AE, ∠GAE=90°，∴.△AEG为等腰直角三角形..GE= √2AE=√34.：线段AF绕着点A顺时针旋转90得到 线段AP,∴.∠PAF=90°，AP=AF.:∠GAP+ ∠PAE=90°，∠EAF+∠PAE=90°，.∠GAP= AG-AE, ∠EAF.在△AGP和△AEF中，{∠GAP=∠EAF, AP-AF, 附：答案与解析 ∴.△AGP≌△AEF..GP=EF=2.PE≥GE-PG (当且仅当点G,P,E共线时取等号)，∴.PE的最小值为 √34-2. C" B E (第6题) [综合素养提升 ①D过点C作CF⊥AB于点F.:∠BAC=45, ·△ACF是等腰直角三角形.“AF=CF-AC-2 2√2 1.AB=3,.BF=AB-AF=3-1=2..BC= √CF2+BF=√？+2=5.，将△ABC绕点B顺时 针旋转a得到△DBE,∴.∠ABD=∠CBE=a,AB=DB, BE=BC=√5..∠BAC=∠BDA=45°.∴.∠ABD= 180°-∠BAC-∠BDA=90°.∴.∠CBE=90°.∴.CE= √BC2+BE=√(W5)2+(5)2=√0. ②A过点A作AG⊥x轴于点G,过点O作O'H⊥x轴 于点H.点A的坐标为(3,4)，.OG=3,AG=4.由勾 股定理，得OA=5.OA=AB,.BG=OG=3,AB= OA=5.∴.OB=6.由旋转，可知OB=O'B=6,AB= A'B=5,OA=OA'=5.设BH=x,则A'H=5-x.由勾 股定理，得OB2-BH=OA'2-A'H,即6-x2=52 (6-x,解得x=OH=OB+BH=6+8-餐 5 51 Sonu =S OB XAG-BA'X H. 号×6X4=号×5×0H.0H=琴点0的坐 标为得) ③A连接DF.在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60°， AB-AD,∠BAC-含∠BAD-D△MBD是等边 三角形.∴.∠ABD=60°，BD=AB=6.将BE绕点B 按逆时针方向旋转6O得到BF,∴.BE=BF,∠EBF= 6O°=∠ABD..∠ABD-∠EBD=∠EBF-∠EBD. ∴.∠ABE=∠DBF.在△ABE和△DBF中， AB=DB, ∠ABE=∠DBF,∴.△ABE≌△DBF..∠BAE= BE=BF, ∠BDF=30°.易知∠BDC=60°，∴.点F在∠BDC的平分 线上.∴.由垂线段最短可知，当OF⊥DF时，OF的长有最 小值，此时OF=OD.:菱形ABCD的对角线交于点 57 数学（人教版）九年级上 00D=2BD=80F=0D=号.即0F长的最 1 小值为2 ④(4,3)连接BD,交y轴于点E,过点B作BF⊥x轴 于点F.由旋转的性质，得∠AOC=∠BOD,OC=OA, 0D=OB.:∠0AC=∠0CA=3(180-∠A0C, ∠0BD=∠0DB=2(180-∠B0D.·∠0AC- ∠OBD.A(-8,0),B(-4,3),∴.OA=8,OF=4. .AF=OA-OF=4.∴AF=OF=4..BF垂直平分 OA..AB=OB.∴.∠OAC=∠AOB.∴.∠AOB= ∠OBD.∴.BD∥x轴..OE⊥BD.∴.DE=BE. B(-4,3),.BE=4,OE=3..DE=4.∴点D的坐 标为(4,3). ⑤4：四边形ABCD为正方形，∴.AB=BC,∠BAE= ∠BCD=90°.把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到 △CBG..∴.BG=BE,CG=AE,∠GBE=90°，∠BAE= ∠BCG=90°..∠BCD+∠BCG=180°.∴.点G在DC 的延长线上.：∠EBF=45°，.∠FBG=∠EBG- ∠EBF=45°.∴.∠FBG=∠FBE.在△FBG和△FBE BF=BF, 中，∠FBG=∠FBE,∴.△FBG≌△FBE.∴.FG=FE. BG=BE, .FG=FC+CG=CF十AE,∴.EF=CF十AE. ∴.△DEF的周长=DF+DE+CF+AE=CD+AD= 2+2=4. ⑥1十4√2如图，延长BA到点T,使得DT=BE,连接 TF,过点T作TM⊥AC于点M.由旋转的性质，可知 ∠EDF=15°，DE=DF.:AB=AC,∠BAC=150°， ∴.∠TAF=30°，∠B=∠ACB=15.∠TDE=∠B+ ∠DEB=∠TDF+∠EDF,∠EDF=∠B=15°， .∠TDF=∠BED.DT=EB,DF=ED, .△TDF≌△BED.∴.TF=BD=4,∠DTF=∠B= 15.∠TFC=∠TAF+∠ATF=45°，TM⊥FM,∴.易 得TM=FM=2/2.在Rt△ATM中，∠TAM=30°， .AT=2TM=4V2..BE=DT=AD+AT=1+42. D.AE M B E C (第6题) ⑦(1)在△ABC中，：AB=AC,∴.∠B=∠ACB.由旋 转的性质，得AD=AE,∠DAE=a.∠BAC=a, ∴.∠BAC=∠DAE=a.∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE 58 ∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌△CAE.∴.∠B= AD=AE, ∠ACE..∠ACE=∠ACB.(2)依题意补全图形如图 所示线段EM与MH之间的数量关系：EM-2MH.如 图，取HM的中点N,连接FN,则HN=MN=MH. :FH=FC,∴.FN是△HCM的中位线.∴.NF∥AC. :EG⊥AC,∴.∠CGE=∠CGF=90°.由(1)，可知 ∠ACE=∠ACB.在△CGE和△CGF中， ∠CGE=∠CGF=90°， CG=CG, ∴.△CGE≌△CGF.∴.EG= ∠GCE=∠GCF, FG.又：FN/AC,.易得EM=MN=MH. (第7题) ⑧(1)四边形ABCD是正方形，.CD=CB, ∠BCD=90°.：∠FCD=a=40°，∴.∠BCF=90°-40°= 50°.由旋转，得CF=CD,.CB=CF..∠BFC= ∠CBF=×(180-50)=65.(2)如图①，过点A作 AHDG,交BG的延长线于点H,作AE∥BH交DG于 点E,过点C作CK⊥DG于点K.,四边形ABCD是正 方形，.∠BAD=∠ADC=90,AD=CD.AH∥DG, AEBH,.四边形AHGE为平行四边形.，BG⊥DG, ∴.∠HGE=90°.∴.四边形AHGE为矩形.∴.∠AED= ∠HAE=∠H=90°.∴.∠HAB+∠BAE=90°. .∠BAE+∠DAE=90,∴.∠HAB=∠EAD.在 |∠H=∠AED=90°， △BAH和△DAE中，∠HAB=∠EAD,∴.△BAH≌ AB=AD, △DAE.∴.AH=AE.∴.四边形AHGE为正方形. .AG=2AE.AG=6,∴.AE=3√2.由旋转，得CD= R.CK1c,DK=KF=号DE.:∠KDC+ ∠KCD=90°，∠KDC+∠ADE=90°，.'.∠ADE= ∠DKC=∠AED=90°， ∠DCK.在△DCK和△ADE中，∠KCD=∠EDA, DC=AD, ∴.△DCK≌△ADE..DK=AE..DF=2AE=62. 8)CG=EG+号Dr,如图②，过点c作CHLDE于 点H.在△CFD中.CF=CD∠CFD=∠CDF=号X (180°-a)=90°-2a.在△CFB中，CF=CB,∠BCF- 90-a,.∠CFB=∠CBF=号(180°-∠BCF)=45°+ 2a.六∠BFG=180°-∠CFD-∠CFB=45.:CD= CF.CHLDF.DH-FH-7DF.CB-CF.BE- EF,∴.CG⊥BF..GB=GF.∴.∠EFG=∠EGF=45° ·易得CG=EGH=2(GF+FH)=(BG+DF): ① (第8题) 第二十九章圆 [高频考点突破] ?设DE的中点为M,连接OM,则OM⊥DE.:四 边形OBAC是矩形，∴.BC=OA=20,AB=OC=12, ∠ABO=∠BOC=90°.∴.在Rt△AOB中，OB= V0A-AB=V2m-12-16:5x=号0B· 0C=BC.0M,0M=0B0C-16X12_48.:在 BC 20 5 R△0CM中，CM=oc-0-√2-(T-9 BM-IKC-CM20-CE-BD-(EM- aM)-(DM-0-M-CM-4-9-9 2(1)能.理由：如图①，MN为卡车的宽度，过点M,N 分别作AB的垂线，交半圆O于点C,D,连接CD,CM交 AB于点F,过点O作OE⊥CD,垂足为E,连接O,则 MN=1.6米，AB=2.2米，FM=2.3米.由题意，易得四 边形CDNM是矩形.∴.CD=MN=1.6米.，OE⊥CD, :.CE=DE=2CD=Q.8米.又：0C=0A=7AB= 1,1米，∴.在Rt△OCE中，OE=√OC2-CE √1.1-0.82=√0.57≈0.75（米）.∴.易得CM=2.3+ 附：答案与解析 0.75=3.05(米).：3.05>2.5，.卡车能通过该桥洞. (2)如图②，连接OB.根据题意，得CG=BE=3.1米， BG=OF=1.5米，EF=AD=2.3米，∠BFO=90°， ∴.BF=BE一EF=O.8米.∴由勾股定理，得OB= √BF+OF=√0.82+1.5=1.7（米）..OA=1.7米. ∴.桥洞的宽至少增加到1.7×2=3.4（米）. M DE ① ② (第2题) ③C如图，连接OA,OB,AD,BD.∠ACB=40°， ∴.∠AOB=2∠ACB=80°，∠ADB=∠ACB=40°.又 ∠ADB≤∠AMB≤∠AOB,∴.40°≤∠AMB≤80， ∴.∠AMB的度数可能是46°， D C (第3题) ④(1)延长BE交⊙O于点F,连接CF.BF是⊙O的 直径，.∠BCF=90°.∴.∠F+∠FBC=90°.CD⊥ AB,∴.∠BDC=∠ADC=90°..∠A+∠ACD=90° :∠A=∠F,.∠ACD=∠FBC.:AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB.∴.∠ABC-∠FBC=∠ACB ∠ACD,即∠DBE=∠BCD.(2):∠BDC=90°， ∴.∠DBE+∠DEB=90°.∠FCB=90°，∴.∠FCE+ ∠BCD=90°.：∠DBE=∠BCD,∴.∠DEB=∠FCE. ∠DEB=∠FEC,∴.∠FEC=∠FCE.∴.FE=FC.设 FE=FC=x,则BF=BE+EF=4十x.在Rt△CBF中， 由勾股定理，得BC2+CF2=BF2,∴.(4V2)2+x2=(4+ x),解得x=2.·BF=4+x=6.OB=2BF=3 ∴.OE=BE-OB=4-3=1. ⑤2连接AO并延长，交⊙O于点D,连接BD.:'AD 是⊙O的直径，∴.∠ABD=90°.：四边形ADBC是⊙O 的内接四边形，∴.∠D+∠C=180°.∴.∠D=60° ∠DAB=302BD=AD.设AD=2,则BD=n 在Rt△ABD中，AD=BD+AB,即(2r)2=r2+ 59