培优09 旋转几何综合（3大题型）数学新教材人教版九年级上册

培优09 旋转几何综合 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角。 2.旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应线段相等、对应角相等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 3.找旋转中心的方法：分别连接两对对应点，作对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心。 4.角度问题核心：旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角；旋转产生相等边，从而构造等腰三角形、等边三角形，再结合等边对等角、三角形内角和与外角性质求角。 5.面积问题核心：旋转不改变图形的面积，旋转前后两个图形全等，面积相等。据此可把所求面积转化为与其全等的另一图形的面积。 6.等腰、等边三角形性质，全等三角形，直角三角形勾股定理。 7.垂直平分线，特殊四边形的性质和判定。 二 解题模型 1. 旋转线段问题 第一步：确定旋转中心、旋转方向、旋转角，标出对应点。 第二步：由旋转性质直接写出对应线段相等、对应角相等、对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角。 第三步：观察旋转结构是否属于常见模型，例如手拉手模型、一线三垂直、半角模型等。 第四步：作垂线构造直角三角形；补全正方形、矩形；取中点构造中位线或斜边中线。 第五步：综合运用勾股定理、解直角三角形、全等转化、中位线、斜边中线等求出目标线段。 第六步：涉及最值时，先确定动点轨迹，再选用垂线段最短、两点之间线段最短、点圆最值或三角形三边关系求最值，最后计算。 2. 旋转面积问题 第一步：确定旋转中心、旋转方向、旋转角，标出对应点，判断旋转前后两图形的重叠、相交区域。 第二步：明确所求面积是规则图形（三角形、扇形等）还是不规则图形。 第三步：不规则图形用割补、和差、等积变换化归为规则图形；利用旋转前后全等寻找面积相等的图形进行替换。 第四步：用勾股定理、解直角三角形、全等、相似求出面积公式所需的底、高、半径等。 第五步：按面积公式计算；扫过面积用扇形、弓形公式。 第六步：面积随旋转角或动点变化时，建立函数关系大多为二次函数或用几何最值原理求最大、最小值，注意旋转角与动点的取值范围。 3. 旋转角度问题 第一步：确定旋转中心、旋转方向、旋转角，标出对应点。 第二步：由旋转性质写出旋转角＝对应点与旋转中心连线夹角，对应角相等、对应边相等。 第三步：旋转产生的相等边往往构成等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形，这是求角的关键突破口。 第四步：利用三角形内角和、外角性质、平角、角平分线、平行线性质等把目标角与已知角联系起来。 第五步：直接计算，或对动态角度设未知数、列一元一次方程求解。 第六步：旋转角有范围限制、图形有不同位置时，分情况讨论，避免漏解。 题型分析 题型1：旋转线段问题 【例1】 （22-23八年级下·广东茂名·阶段检测）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 变式1-1 （25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， 【答案】C 【分析】过点作轴的垂线，根据全等三角形的判定与性质，得出点在直线上，据此求出的最大值及最小值即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， 由旋转可知，， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 所以点在直线上． 当与直线垂直时，取得最小值， 因为点坐标为， 所以的最小值为． 当点在点处时， 点坐标为， 则； 当点在点处时， 点坐标为， 则， 因为， 所以的最大值为， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 变式1-2 （2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理及二次函数的最值问题，掌握配方法求最值是解题的关键． 设，则，根据勾股定理得，结合配方法求最值即可求解． 【详解】设，则， 由题知，， ， ， 时，取得最小值． 故答案为：． 题型2：旋转面积问题 【例2】 （20-21九年级上·广西玉林·期中）将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，旋转角∠CAC=15∘，则∠BAC=45∘−15∘=30°，可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形，且已知直角边AC=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答． 【详解】解：设与交于点， 根据旋转性质得，而， ， 又，， ， 阴影部分的面积． 故选：． 变式2-1 （20-21九年级上·广东汕头·期中）如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形的面积等知识点，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．连接，根据旋转的性质和正方形的性质得出，，， 三点共线，三点共线，根据勾股定理得求出长，再分别求出和的面积即可求出阴影面积． 【详解】解：如图，连接，， 正方形绕点顺时针旋转到正方形，， 点三点共线，三点共线，即点在对角线上，对角线过点， 在中，， ，， ， ， ， 的面积， 的面积正方形的面积， 阴影部分的面积的面积的面积 变式2-2 （25-26九年级上·全国·课后作业）似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    【答案】（1）4（2） 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，，推出，证出，即可得出结果； （2）发生变化，对旋转角分情况讨论即可． 【详解】解：（1）连接，，    四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 在与中， ，， 四边形的面积等于三角形的面积， 即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的， ； （2）设等边绕着点的旋转角为，等边的边长等于4，则高为， ①如图，当经过点时，若此时开始旋转，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    ②如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为菱形， ，    ③如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为等边三角形， ，    ④如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    综上所述，这两个等边三角形重叠部分的面积是变化的，的变化范围是． 题型3：旋转角度问题 【例3】 （24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，再根据，即得结果． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 变式3-1 （2024·江苏盐城·模拟预测）如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，利用等量代换可得，从而证得，可得，即的最小值为的值，再根据等腰三角形的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为的值， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3-2 （2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)①；； ② (2)见详解 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴． 解题技巧 1.旋转角与图形中已知角的关系：常需利用角的和差推导，或由特殊角确定旋转角。 2.对应点的位置约束：点恰好在边上、在延长线上、三点共线等条件决定图形的形状与结果。 3.特殊分点：中点、三等分点是构造中位线、斜边中线、等边三角形的关键。 4.旋转一周与旋转过程中的分类讨论：不同旋转位置对应不同图形，需分情况讨论。 5.坐标系中旋转的坐标计算：绕点旋转 90°可构造“一线三垂直”全等，借助坐标差求新坐标。 6.动点轨迹的确定：旋转后动点的轨迹可能是直线、射线或圆，轨迹类型直接决定最值方法。 7.和差法：阴影面积＝总面积−空白面积。 8.割补法：把不规则图形分割成若干规则图形，或补全为规则图形后再求。 9.等积变换：利用旋转全等，把所求面积转化为面积相等的已知图形。 10.函数法：动点位置变化时用二次函数刻画面积并求最值。 11.由边推角：旋转产生相等边，先判断构成的等腰、等边三角形，再用等边对等角、内角和与外角性质求角。 12.由角推角：利用旋转角与图形已知角的和差倍分关系直接推算。 13.设元列方程：动态旋转中角度随时间或位置变化时，设未知数列一元一次方程求解。 14.特殊图形判定：由旋转推知等边三角形、等腰直角三角形后求角。 15.化归迁移：角度问题与线段问题解法相通，把角的关系转化为线段或全等关系求解。 归纳总结 一、重点 1.旋转的性质及其应用：所有线段相等的转化都源于“旋转前后图形全等”。 2.构造全等三角形转化线段：特别是“手拉手”旋转全等模型，是把分散线段集中、把折线段化直的关键。 3.勾股定理求线段长：绝大多数求值题最终都落在直角三角形中用勾股定理收尾。 4.旋转的性质与面积的关系：旋转前后图形全等、面积相等，是一切面积转化的根基。 5.阴影、重叠部分面积的求法：和差法、割补法、等积变换。 6.特殊三角形与四边形的面积计算：含 30°角直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形、正方形等是面积计算的基本载体。 7.旋转角的概念与求法：旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角。 8.旋转产生等腰、等边三角形的角度计算：由旋转得到相等边，再用等边对等角、内角和与外角性质求角。 9.三角形内角和、外角性质的运用。 10.动态旋转中角度变化的分析。 二、难点 1.线段最值问题：轨迹法、点圆最值、旋转拼接法。 2.辅助线的构造：作垂线、补全特殊图形、取中点，需结合旋转角与特殊角判断构造方向。 3.多结论综合判断题。 4.旋转过程的分类讨论：旋转一周时图形的不同位置带来不同结果，漏分类即漏解。 5.不规则图形面积的转化：正确选择割补、和差或等积变换，图形复杂时需多次转化。 6.旋转过程中面积的分类讨论：旋转角变化引起多种图形位置，需分类求解。 7. 面积最值问题：次函数建模求最值、几何最值。 8. 坐标系与函数综合：反比例函数、一次函数与旋转结合的坐标面积问题。 三、易错点 1.旋转方向、角度判断错误：顺时针、逆时针混淆，导致对应点位置画反。 2.对应点、对应边找错：旋转中心辨识不清，把对应关系配错，全等或勾股关系随之出错。 3.忽略分类讨论：旋转一周或动点位于不同区域时只考虑一种情况而漏解。 4.最值端点误判：误认为最值一定出现在端点，忽略“共线”“垂直”等特殊位置 5.勾股定理使用前提缺失：未先确认（或构造）直角三角形就直接套用。 6.全等判定条件不足时强行使用。 7.动点轨迹类型误判：把射线、圆误当作直线，或轨迹找错，使最值方法失效 8.重叠部分边界确定错误：求阴影面积时多减或漏减某块区域。 9.面积最值忽略自变量取值范围。 10.分类讨论遗漏：旋转位置分情况时只考虑一种情况而漏解。 11.计算细节错误：面积单位遗漏、二次根式化简出错、30°直角三角形边角关系记错。 四、数学思想 1.转化思想：把角度问题转化为等腰、等边三角形中的角关系，或把角的问题转化为线段、全等关系求解；把不规则图形转化为规则图形、把所求面积转化为已知面积，是本专题最核心的思想。 2.数形结合思想：函数图象旋转中结合坐标与角度计算，用图形直观辅助代数运算；坐标系中旋转与函数图象结合，用坐标与图形相互印证求面积。 3.分类讨论思想：旋转位置变化引起多种情况，分类求解避免漏解。 4.模型思想：识别“手拉手旋转全等”“旋转构造等边三角形”“费马点旋转”等模型，快速确定角度关系。 5.方程思想：动态角度用设未知数、列一元一次方程求解。 6.函数思想：用二次函数刻画面积随变量的变化规律并求最值。 7.一般与特殊思想：在一般旋转位置中先考察共线、垂直、端点等特殊位置，确定最值或定值。 同步测评 1．（22-23九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，若点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得，即可得，根据勾股定理可得，根据旋转的性质得，，根据勾股定理即可得． 【详解】解：在中，，，， 则， ∴， ∴， ∵绕点C逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴, 故选：B． 2．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作AG⊥DE于G，根据旋转的性质得∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°，从而得△ADE是等腰直角三角形，即可求得∠AED=45°，DE=，从而得出∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°，再因为AG⊥DE，根据等腰直角三角形的性质得到∠GAF=30°，AG=GE=，然后在Rt△AGF中，由勾股定理，得，从而求得AF=，即可由CF=AC-AF求解． 【详解】解：如图，过点A作AG⊥DE于G， 由旋转可得：∠CAE=∠BAD=15°，AE=AD=6，∠DAE=∠BAC=90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴∠AED=45°，DE=， ∴∠AFG=∠CAE+∠AED=15°+45°=60°， ∵AG⊥DE， ∴DG=GE，∠GAF=30°， ∴AG=GE=，FG=， 在Rt△AGF中，由勾股定理，得 ，即，解得：AF=, ∴CF=AC-AF=， 故选：A． 3．（2022·江苏无锡·一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ．则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（    ） A．4 B．5 C．10 D．5 【答案】D 【分析】将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，再设线段的中点为M，并连接CM．根据线段BP的旋转方式确定点Q在线段上运动，再根据垂线段最短确定当Q与点M重合时，CQ取得最小值为CM．根据∠C=90°，∠A=30°，AB=20求出BC的长度，再根据旋转的性质求出和的长度，根据线段的和差关系确定点C是线段的中点，进而确定CM是的中位线，再根据三角形中位线定理即可求出CM的长度． 【详解】解：如下图所示，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，再设线段的中点为M，并连接CM． ∵点P是AC边上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ， ∴点Q在线段上运动． ∴当，即点Q与点M重合时，线段CQ取得最小值为CM． ∵∠C=90°，∠A=30°，AB=20， ∴BC=10． ∵Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到， ∴=BC=10，． ∴． ∴． ∴点C是线段中点． ∵点M是线段的中点， ∴CM是的中位线． ∴． 故选：D． 4．（2021·河南·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【分析】先画出将△OCP顺时针旋转90°到△OBQ的位置的图形，再证Q、B、P在同一条直线上，再利用旋转的性质和正方形的性质，证△POQ是直角三角形，求出S△POQOP•OQ4×4＝8，最后由S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ求解． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OC＝OB，∠BOC＝90°， ∴将△OCP顺时针旋转90°，则到△OBQ的位置， 则△OCP≌△OBQ， ∵∠BPC＝90°， ∴∠OCP+∠OBP＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠OCP＝∠OBQ， ∴∠OBQ+∠OBP＝180°， ∴Q、B、P在同一条直线上， ∵PO＝4，△OCP≌△OBQ， ∴QO＝PO＝4，∠COP＝∠BOQ， ∴∠QOP＝∠BOC＝90°， ∴△POQ是直角三角形， ∵S△POQOP•OQ4×4＝8， ∴S四边形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ＝8， 故选：B． 5．（23-24九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）将二次函数绕顶点旋转后的函数表达式是______． 【答案】 【分析】将函数图象绕其顶点旋转后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 将二次函数绕顶点旋转后，得到， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，直角△ABC的直角边AB的长为6cm，∠C=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中两三角形重叠部分的面积等于________cm2． 【答案】18 【分析】B′C′交AC于D，如图，利用互余得∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AB′=AB=6，∠BAB′=15°，∠AB′C′=∠B=90°，则∠B′AD=45°，于是可判断△AB′D为等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算出S△AB′D即可． 【详解】解：B′C′交AC于D，如图， ∵∠B=90°，∠C=30°， ∴∠BAC=60°， ∵△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′， ∴AB′=AB=6，∠BAB′=15°，∠AB′C′=∠B=90°， ∴∠B′AD=60°﹣15°=45°， ∴△AB′D为等腰直角三角形， ∴B′D=AB′=6， ∴S△AB′D=×6×6=18（cm2）． 即图中两三角形重叠部分的面积等于18cm2． 故答案为18． 8．（23-24八年级下·四川成都·阶段检测）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是____． 【答案】或12 【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当时，过点B作延长线于点F；当时，过点B作延长线于点G，利用30度角 直角三角形即可解答． 【详解】如图1，当时，过点B作延长线于点F， 根据题意可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 如图2，当时，过点B作延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴的面积 综上所述：的面积是或12． 故答案为：或12． 9．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、)，取的中点，连接，则线段的最大值为____________． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及线段最值问题，解题关键是确定点的运动轨迹，利用“点圆位置关系”求最值． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， 由勾股定理得． 绕点顺时针旋转得到， ， ，． 是的中点， ． 由题意，点在以为圆心、为半径的圆上运动， 根据线段的最值性质，(当且仅当、、三点共线且在延长线上时取等号)， 的最大值为． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于，首先证明，推出点的在射线上运动，推出当时，的值最小，然后证明当时，四边形是矩形，结合等腰三角形的性质，分别求得和即可解答． 【详解】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于． 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， 点的在射线上运动， 当时，的值最小， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【答案】(1)＝，⊥；(2)不发生变化，见详解；(3)． 【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 12．（2023·江苏泰州·二模）某次科学实验中，小王将某个棱长为正方体木块固定于水平木板上，，将木板绕一端点O旋转至（即）（如图为该操作的截面示意图）．（参考数据：，，，（1）（2）题中结果精确到个位） (1)求点C到竖直方向上升高度（即过点C，水平线之间的距离） (2)求点D到竖直方向上升高度（即过点D，水平线之间的距离）． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形，再解直角三角形，锻炼学生用已学知识解决实际问题的能力． （1）作出辅助线，利用旋转的不变性，在中解三角形即可； （2）作出辅助线，先通过角度计算出的度数，再解计算出，最后通过线段和差计算． 【详解】（1）解：过点作于E， 根据题意得，， ∴， 由旋转得，， 在，， ∴求点C到竖直方向上升高度为． （2）解：如上图，过点作的延长线于点F，交于点H，则四边形为矩形， ∴， 由旋转得，，， ∴， 中，， ∴， ∴点D到竖直方向上升高度为． 13．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图1，将等腰绕正方形的顶点A逆时针方向旋转，其中，，连接，点H为的中点，连接，，，得到． (1)如图2，当点E恰好落在正方形的对角线上时，判断的形状，并说明理由． (2)如图3，当点E恰好落在正方形的边上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)发现若连接，在旋转的过程中，为定值，请你直接写出的值_______． 【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3) 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及正方形的性质即可求证结论． （2）连接，过点作于，利用正方形的性质及可得，进而可得，，再根据平行线分线段成比例可得，可得，再利用等腰三角形的判定及角的等量代换即可求证结论． （3）利用正方形的性质及相似三角形的判定及性质即可求解． 【详解】（1）是等腰直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， 是等腰三角形， ， ，， ， 是等腰直角三角形． （2）成立，理由： 连接，过点作于，如图： 四边形是正方形， ， ，，， , .， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰三角形， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． （3）连接、，如图： 四边形是正方形， ， 将等腰绕正方形的顶点A逆时针方向旋转， ，， ，， ， ， 故答案为：． 14．（2022·山东淄博·一模）如图，在中，，，点是边上一动点，作于点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图2所示，当点运动的延长线上时，与交于点，其他条件不变， 已知，求的值； (3)点在边上运动的过程中，线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，若的长为2，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)PD＝3+ 【分析】（1）先证明△BAD≌△CAE， 可得∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，从而得到∠ECD＝∠ACE+∠ACB＝90°，即可求证； （2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，设CD＝2m，则BD＝2CD＝4m，BC＝6m，可得BM＝MC＝3m，从而得到AM＝BM＝3m，AB＝AC＝3m，DM= m，进而得到PB＝4m，PA＝m，再由△BAD≌△CAE，可得BD＝EC＝4m，再由△DFN∽△DEC，可得CF＝ m，从而得到AF＝m ，即可求解； （3）将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，根据等边三角形的性质可得BQ＝QN，从而得到当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小， 此时可得到  AM垂直平分BC，从而得到BD＝QD， 即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°，                ∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE， ∴∠BAD＝∠CAE，                  在△BAD和△CAE中，， ∴△BAD≌△CAE（SAS），      ∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠ECD＝∠ACE+∠ACB＝90°， ∵PD⊥BC， ∴∠BDP＝∠ECD＝90°， ∴PD∥CE， ∵∠B＝∠BPD＝45°， ∴PD＝BD， ∴PD＝EC， ∴四边形PDCE是平行四边形，             ∵∠PDC＝90°， ∴四边形PDCE是矩形； （2）解∶如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N， 设CD＝2m，则BD＝2CD＝4m，BC＝6m， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AM⊥BC， ∴BM＝MC＝3m， ∴AM＝BM＝3m，AB＝AC＝3m，DM=CM-CD=m， ∴BD＝PD＝4m， ∴PB＝4m， ∴PA＝m，                          ∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝EC＝4m， 设CN＝FN＝x， ∵FN∥CE， ∴△DFN∽△DEC，∴＝， ∴＝， ∴DN＝x， ∴x+x＝2m， ∴x＝m， ∴CF＝ m， ∴AF＝AC-CF＝3m－m＝m ， ∴； （3）即：如图，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN， ∴BQ＝BN，QC＝NM，∠QBN＝60°， ∴△BQN是等边三角形， ∴BQ＝QN， ∴QA+QB+QC＝AQ+QN+MN， ∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，         如图，连接MC， ∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM， ∴BQ＝BN，BC＝BM，∠QBN＝60°＝∠CBM， ∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形， ∴∠BQN＝∠BNQ＝60°，BM＝CM， 又∵AB＝AC， ∴AM垂直平分BC， ∵AD⊥BC，∠BQD＝60°， ∴∠DBQ=30°， ∴∴BD＝QD，        ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴AD＝BD，此时P与A重合， 设PD＝x，则DQ＝x－2， ∴x＝（x－2），∴x＝3+， ∴PD＝3+ ． 15．（2023·河北石家庄·二模）将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点坐标为，，，，并将会绕点顺时针旋转．    (1)当旋转至如图的位置时，，求此时点的坐标： (2)如图，连接，当旋转到轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时， ①求证：； ②求的长． (3)当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）． 【答案】(1)；(2)①见详解；②；(3) 【分析】（Ⅰ）如图①中，过点作于．解直角三角形求出，，可得结论． （Ⅱ）如图②中，过点作于．首先证明，推出，求出，可得结论． （Ⅲ）如图③中，当时，的值最大，此时，．再证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图①中，过点作于．    绕点顺时针旋转， ， ，， ，． （2）解：①证明：如图②中，过点作于．   ， ， ，， ②解：； ， 在中，， ，， ， ， ， ， ． （3）解：如图③中，当时，的值最大，此时，．    过点作轴于，过点作于． ， ， ，， ， ， ，，， ． 16．（21-22八年级下·福建三明·阶段检测）如图，△ABC是等边三角形，将线段AC绕点C顺时针旋转40°，得到线段CD，连接BD，求∠ABD的度数． 【答案】20° 【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝∠ACB=60°，再由旋转得出AC＝CD，∠ACD＝40°，再由等腰三角形及三角形内角和得出∠BDC＝∠CBD＝40°，最后结合图形即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB=60°． 根据题意可知AC＝CD，∠ACD＝40°． ∴AB＝AC=BC=CD，∠BCD＝100°， ∴∠BDC＝∠CBD＝40° ∴∠ABD＝∠ABC ﹣∠CBD＝20°． 17．（22-23九年级下·福建福州·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接．    (1)求证：； (2)若，证明：直线与互相垂直． 【答案】见详解 【分析】（1）由绕点顺时针旋转得到，可得，，而，即得，可证，故AB； （2）根据绕点顺时针旋转得到，，可得，证明四边形是菱形，得到；又，进而推导出． 【详解】(1)证明：绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ； (2)绕点顺时针旋转得到， ，， 由（1）可知， ， 若，则， ， 四边形是菱形， ； ，将绕点顺时针旋转得到， ，即， ， 即直线与互相垂直． 18．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则______； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（）先根据旋转的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （）先根据旋转的性质可得，利用勾股定理可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， （2）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴在中，． 19．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）【问题情境】 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．其中，，，，，在同一直线上． (1)如图1， ； 【操作探究】 (2)如图2，如果把图1所示的以为中心逆时针旋转得到，当转到与直线首次重合时，停止转动．当时，为多少度？ 【拓展延伸】 (3)如图3，作关于直线的对称，保持不动，绕点逆时针旋转，在转到与直线首次重合过程中，当与的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 ． 【答案】(1)；(2)或；(3)或或 【分析】（1）根据平角的定义列式计算即可； （2）先求出的度数，然后分在内部和在外部两种情况，根据角的和差关系列式求解； （3）分旋转后与所在直线垂直、与所在直线垂直、与所在直线垂直三种情况求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：由（1）可知， ， 如图，当在内部时， 由旋转可知， ， ； 如图，当在外部时， 由旋转可知， ， ； 综上所述，或； （3）解：如图，当旋转得到的边所在的直线时，垂足为， ， 四边形是矩形， ， 由折叠可知， ； 如图，当旋转得到的边所在的直线时，此时在线段上， 由折叠可知， ； 如图，当旋转得到的边所在的直线时， ， ． 综上所述，当与的一边所在直线垂直时，旋转角的度数为或或． 20．（2023·山东临沂·一模）已知和都是等腰三角形，，且，连接，且，直线交直线于点F． (1)如图1，猜想与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，依次取的中点M、N，连接，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，在将绕点A旋转的过程中，请直接写出线段的最大值． 【答案】(1)，见详解；(2)见详解；(3) 【分析】（1）先证，再证即可； （2）根据直角三角形斜边中线与中位线定理，转化为，然后利用三角比即可求出； （3）当三点共线时，分别求出的长度即可； 【详解】（1）解：, ∵, ∴， ∵， ∴， 又∵, ∴, ∵, ∵, 又∵, ∴, ∴, ∴ （2）解：∵, ∴, 又∵M是的中点， ∴, ∵的中点分别是M、N， ∴， ∴． （3）解：由（2）得：，， ，，， ， ，， 当三点共线时，最长， 此时，． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优09 旋转几何综合 思维导图 知识点睛 一 核心知识点 1.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角。 2.旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应线段相等、对应角相等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 3.找旋转中心的方法：分别连接两对对应点，作对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心。 4.角度问题核心：旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角；旋转产生相等边，从而构造等腰三角形、等边三角形，再结合等边对等角、三角形内角和与外角性质求角。 5.面积问题核心：旋转不改变图形的面积，旋转前后两个图形全等，面积相等。据此可把所求面积转化为与其全等的另一图形的面积。 6.等腰、等边三角形性质，全等三角形，直角三角形勾股定理。 7.垂直平分线，特殊四边形的性质和判定。 二 解题模型 1. 旋转线段问题 第一步：确定旋转中心、旋转方向、旋转角，标出对应点。 第二步：由旋转性质直接写出对应线段相等、对应角相等、对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角。 第三步：观察旋转结构是否属于常见模型，例如手拉手模型、一线三垂直、半角模型等。 第四步：作垂线构造直角三角形；补全正方形、矩形；取中点构造中位线或斜边中线。 第五步：综合运用勾股定理、解直角三角形、全等转化、中位线、斜边中线等求出目标线段。 第六步：涉及最值时，先确定动点轨迹，再选用垂线段最短、两点之间线段最短、点圆最值或三角形三边关系求最值，最后计算。 2. 旋转面积问题 第一步：确定旋转中心、旋转方向、旋转角，标出对应点，判断旋转前后两图形的重叠、相交区域。 第二步：明确所求面积是规则图形（三角形、扇形等）还是不规则图形。 第三步：不规则图形用割补、和差、等积变换化归为规则图形；利用旋转前后全等寻找面积相等的图形进行替换。 第四步：用勾股定理、解直角三角形、全等、相似求出面积公式所需的底、高、半径等。 第五步：按面积公式计算；扫过面积用扇形、弓形公式。 第六步：面积随旋转角或动点变化时，建立函数关系大多为二次函数或用几何最值原理求最大、最小值，注意旋转角与动点的取值范围。 3. 旋转角度问题 第一步：确定旋转中心、旋转方向、旋转角，标出对应点。 第二步：由旋转性质写出旋转角＝对应点与旋转中心连线夹角，对应角相等、对应边相等。 第三步：旋转产生的相等边往往构成等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形，这是求角的关键突破口。 第四步：利用三角形内角和、外角性质、平角、角平分线、平行线性质等把目标角与已知角联系起来。 第五步：直接计算，或对动态角度设未知数、列一元一次方程求解。 第六步：旋转角有范围限制、图形有不同位置时，分情况讨论，避免漏解。 题型分析 题型1：旋转线段问题 【例1】 （22-23八年级下·广东茂名·阶段检测）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1-1 （25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， 变式1-2 （2025·辽宁抚顺·一模）如图．点中，点是轴上一动点，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转90°，得到线段，连接，则线段的最小值为_____． 题型2：旋转面积问题 【例2】 （20-21九年级上·广西玉林·期中）将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 变式2-1 （20-21九年级上·广东汕头·期中）如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为______． 变式2-2 （25-26九年级上·全国·课后作业）似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    题型3：旋转角度问题 【例3】 （24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 变式3-1 （2024·江苏盐城·模拟预测）如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 变式3-2 （2024·山东济宁·二模）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 解题技巧 1.旋转角与图形中已知角的关系：常需利用角的和差推导，或由特殊角确定旋转角。 2.对应点的位置约束：点恰好在边上、在延长线上、三点共线等条件决定图形的形状与结果。 3.特殊分点：中点、三等分点是构造中位线、斜边中线、等边三角形的关键。 4.旋转一周与旋转过程中的分类讨论：不同旋转位置对应不同图形，需分情况讨论。 5.坐标系中旋转的坐标计算：绕点旋转 90°可构造“一线三垂直”全等，借助坐标差求新坐标。 6.动点轨迹的确定：旋转后动点的轨迹可能是直线、射线或圆，轨迹类型直接决定最值方法。 7.和差法：阴影面积＝总面积−空白面积。 8.割补法：把不规则图形分割成若干规则图形，或补全为规则图形后再求。 9.等积变换：利用旋转全等，把所求面积转化为面积相等的已知图形。 10.函数法：动点位置变化时用二次函数刻画面积并求最值。 11.由边推角：旋转产生相等边，先判断构成的等腰、等边三角形，再用等边对等角、内角和与外角性质求角。 12.由角推角：利用旋转角与图形已知角的和差倍分关系直接推算。 13.设元列方程：动态旋转中角度随时间或位置变化时，设未知数列一元一次方程求解。 14.特殊图形判定：由旋转推知等边三角形、等腰直角三角形后求角。 15.化归迁移：角度问题与线段问题解法相通，把角的关系转化为线段或全等关系求解。 归纳总结 一、重点 1.旋转的性质及其应用：所有线段相等的转化都源于“旋转前后图形全等”。 2.构造全等三角形转化线段：特别是“手拉手”旋转全等模型，是把分散线段集中、把折线段化直的关键。 3.勾股定理求线段长：绝大多数求值题最终都落在直角三角形中用勾股定理收尾。 4.旋转的性质与面积的关系：旋转前后图形全等、面积相等，是一切面积转化的根基。 5.阴影、重叠部分面积的求法：和差法、割补法、等积变换。 6.特殊三角形与四边形的面积计算：含 30°角直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形、正方形等是面积计算的基本载体。 7.旋转角的概念与求法：旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角。 8.旋转产生等腰、等边三角形的角度计算：由旋转得到相等边，再用等边对等角、内角和与外角性质求角。 9.三角形内角和、外角性质的运用。 10.动态旋转中角度变化的分析。 二、难点 1.线段最值问题：轨迹法、点圆最值、旋转拼接法。 2.辅助线的构造：作垂线、补全特殊图形、取中点，需结合旋转角与特殊角判断构造方向。 3.多结论综合判断题。 4.旋转过程的分类讨论：旋转一周时图形的不同位置带来不同结果，漏分类即漏解。 5.不规则图形面积的转化：正确选择割补、和差或等积变换，图形复杂时需多次转化。 6.旋转过程中面积的分类讨论：旋转角变化引起多种图形位置，需分类求解。 7. 面积最值问题：次函数建模求最值、几何最值。 8. 坐标系与函数综合：反比例函数、一次函数与旋转结合的坐标面积问题。 三、易错点 1.旋转方向、角度判断错误：顺时针、逆时针混淆，导致对应点位置画反。 2.对应点、对应边找错：旋转中心辨识不清，把对应关系配错，全等或勾股关系随之出错。 3.忽略分类讨论：旋转一周或动点位于不同区域时只考虑一种情况而漏解。 4.最值端点误判：误认为最值一定出现在端点，忽略“共线”“垂直”等特殊位置 5.勾股定理使用前提缺失：未先确认（或构造）直角三角形就直接套用。 6.全等判定条件不足时强行使用。 7.动点轨迹类型误判：把射线、圆误当作直线，或轨迹找错，使最值方法失效 8.重叠部分边界确定错误：求阴影面积时多减或漏减某块区域。 9.面积最值忽略自变量取值范围。 10.分类讨论遗漏：旋转位置分情况时只考虑一种情况而漏解。 11.计算细节错误：面积单位遗漏、二次根式化简出错、30°直角三角形边角关系记错。 四、数学思想 1.转化思想：把角度问题转化为等腰、等边三角形中的角关系，或把角的问题转化为线段、全等关系求解；把不规则图形转化为规则图形、把所求面积转化为已知面积，是本专题最核心的思想。 2.数形结合思想：函数图象旋转中结合坐标与角度计算，用图形直观辅助代数运算；坐标系中旋转与函数图象结合，用坐标与图形相互印证求面积。 3.分类讨论思想：旋转位置变化引起多种情况，分类求解避免漏解。 4.模型思想：识别“手拉手旋转全等”“旋转构造等边三角形”“费马点旋转”等模型，快速确定角度关系。 5.方程思想：动态角度用设未知数、列一元一次方程求解。 6.函数思想：用二次函数刻画面积随变量的变化规律并求最值。 7.一般与特殊思想：在一般旋转位置中先考察共线、垂直、端点等特殊位置，确定最值或定值。 同步测评 1．（22-23九年级上·福建福州·阶段检测）如图，在中，，，，将绕点C逆时针方向旋转得到，若点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（    ） A． B． C． D．12 2．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，D为内一点，，，连接BD，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·江苏无锡·一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ．则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（    ） A．4 B．5 C．10 D．5 4．（2021·河南·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若PO＝4，则四边形OBPC的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．16 5．（23-24九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段检测）将二次函数绕顶点旋转后的函数表达式是______． 7．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，直角△ABC的直角边AB的长为6cm，∠C=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中两三角形重叠部分的面积等于________cm2． 8．（23-24八年级下·四川成都·阶段检测）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是____． 9．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、)，取的中点，连接，则线段的最大值为____________． 10．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为__________． 11．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 12．（2023·江苏泰州·二模）某次科学实验中，小王将某个棱长为正方体木块固定于水平木板上，，将木板绕一端点O旋转至（即）（如图为该操作的截面示意图）．（参考数据：，，，（1）（2）题中结果精确到个位） (1)求点C到竖直方向上升高度（即过点C，水平线之间的距离） (2)求点D到竖直方向上升高度（即过点D，水平线之间的距离）． 13．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图1，将等腰绕正方形的顶点A逆时针方向旋转，其中，，连接，点H为的中点，连接，，，得到． (1)如图2，当点E恰好落在正方形的对角线上时，判断的形状，并说明理由． (2)如图3，当点E恰好落在正方形的边上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)发现若连接，在旋转的过程中，为定值，请你直接写出的值_______． 14．（2022·山东淄博·一模）如图，在中，，，点是边上一动点，作于点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)如图2所示，当点运动的延长线上时，与交于点，其他条件不变， 已知，求的值； (3)点在边上运动的过程中，线段上存在一点，使的值最小，当的值取得最小值时，若的长为2，求的长． 15．（2023·河北石家庄·二模）将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点坐标为，，，，并将会绕点顺时针旋转．    (1)当旋转至如图的位置时，，求此时点的坐标： (2)如图，连接，当旋转到轴的右侧，且点，，三点在一条直线上时， ①求证：； ②求的长． (3)当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）． 16．（21-22八年级下·福建三明·阶段检测）如图，△ABC是等边三角形，将线段AC绕点C顺时针旋转40°，得到线段CD，连接BD，求∠ABD的度数． 17．（22-23九年级下·福建福州·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接．    (1)求证：； (2)若，证明：直线与互相垂直． 18．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则______； (2)若，，求和的长． 19．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）【问题情境】 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．其中，，，，，在同一直线上． (1)如图1， ； 【操作探究】 (2)如图2，如果把图1所示的以为中心逆时针旋转得到，当转到与直线首次重合时，停止转动．当时，为多少度？ 【拓展延伸】 (3)如图3，作关于直线的对称，保持不动，绕点逆时针旋转，在转到与直线首次重合过程中，当与的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 ． 20．（2023·山东临沂·一模）已知和都是等腰三角形，，且，连接，且，直线交直线于点F． (1)如图1，猜想与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，依次取的中点M、N，连接，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，在将绕点A旋转的过程中，请直接写出线段的最大值． 23 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $