27.1 反比例函数的概念（高频考点培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.1反比例函数的概念 学习目标和重难点 1、结合行程、面积、压强等具体情境，抽象出反比例函数模型，理解反比例函数的意义。 2、掌握反比例函数的三种表达形式：y=k/x、xy=k、y=kx⁻¹（k是常数 k≠0），会用待定系数法求解析式。 3、能根据实际问题确定自变量的取值范围，体会函数中两个变量的变化与对应关系。 重点：反比例函数的概念及三种表达形式；用待定系数法确定反比例函数解析式。 难点：从实际情境中识别反比例数量关系并建立函数模型；正确理解自变量取值范围的实际意义。 知识梳理 针对训练 题型01 反比例函数的识别 题型02 根据反比例函数的定义求参数 题型03 求反比例函数值 题型04 由反比例函数值求自变量 题型05 用反比例函数描述数量关系 题型06 已知反比例关系求解析式 题型07 判断反比例函数图象上的点 题型08 待定系数法求反比例函数解析式 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 知识点一 反比例函数的有关概念 定义：一般的，形如 (k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：或。 因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永不相交 ． 反比例函数解析式的特征：(1） k是常数，； (2） 分母中含有自变量x，且自变量的指数为-1. 反比例函数常见解析式的形式：(1）分式型：（为常数，） (2）负指数幂型：为常数， (3）乘积型：xy=k（为常数，） 【针对训练】 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点二 反比例函数解析式的确定 1. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需给出一组x，y的对应值或图像上一个点的坐标，代入解析式求出k的值，即可确定反比例函数的解析式. 2. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： （1）设：设所求的反比例函数的解析式为； （2）列：把x，y的一对对应值或图像上任意一点的坐标代入所设解析式中，得到关于k的方程； （3）解：解方程求出k的值； （4）代：把k的值代回所设反比例函数的解析式即可. 【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可设函数 注意：判断一个函数是否是反比例函数，首先看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或或xy=k (k为常数，k≠0). 【针对训练】 1．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 3．如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 知识点三 从现实情境中抽象出反比例函数 现实情景中常见的反比例函数模型 ①行程问题：路程s一定时，平均速度v与运行时间t成反比例。⇒ ②几何面积问题：矩形面积S一定时，相邻两边长y 与x 成反比例。⇒ ③生活总量问题：总流量（总工作量）一定时，平均每天使用量Q与天数t 成反比例。⇒ 注意：（1）考查方向：考查从行程、面积、工作量、压强等实际情境中抽象出反比例函数关系，并写出解析式和自变量取值范围。 （2）核心方法：找准“不变量”，如路程、面积、总量、压力等，利用“一个量 = 定值 ÷另一个量”建立，再结合实际意义确定 x 的取值范围。 【针对训练】 1．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 2．下面每组中的两种量成反比例关系的是（ ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 3．建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足（ ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 题型01 反比例函数的识别 【例1】下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 题型02 根据反比例函数的定义求参数 【例2】若是反比例函数，则m的值为_______． 题型03 求反比例函数值 【例3】在平面直角坐标系中，已知点，，若反比例函数的图象经过这两点，则的值为______． 题型04 由反比例函数值求自变量 【例4】在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 题型05 用反比例函数描述数量关系 【例5】一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 题型06 已知反比例关系求解析式 【例6】已知与成反比例关系，且当时，． (1)求y与x的函数表达式． (2)试判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 题型07 判断反比例函数图象上的点 【例7】下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 题型08 待定系数法求反比例函数解析式 【例8】如图，在正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中每个小正方形的边长为1．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点在格点上，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 基础通关练（测试时间：10分钟） 1．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 3．若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 4．反比例函数的图象经过点，则m的值为（     ） A．4 B． C．6 D． 5．下列函数：①：②；③；④；⑤．其中是的反比例函数的有______（填序号）． 6．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 7．若函数的图象经过点，则________． 8．若反比例函数的图像经过点，则的值是____________． 9．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 10．计算 若长方形的两邻边长度分别为、，面积保持不变，下表给出了与的一些值求长方形的面积． (1)长方形的面积是多少？ (2)与之间是什么关系？用式子表示与之间的关系． (3)根据关系式完成上表． 提升拔高突破练（测试时间：15分钟） 11．2026年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 12．在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 14．已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．6 15．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为______． 16．若点在反比例函数 的图象上，则m的值为____． 17．已知函数是关于的反比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 18．已知反比例函数． (1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 思维创新拓展练（测试时间：25分钟） 19．下列说法错误的是（     ） A．若是的反比例函数，则也是的反比例函数 B．四边形的内角和与外角和相等 C．一件衣服提价后又打八折，这件衣服的价格不变 D．两组边分别相等的两个直角三角形全等 20．若点，在同一个函数图象上，则这个函数的表达式可能为（     ） A． B． C． D． 21．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 22．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 23．已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 24．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，，（且为整数）分别交于点，，，，，则____________________． 25．氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 26．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.1反比例函数的概念 学习目标和重难点 1、结合行程、面积、压强等具体情境，抽象出反比例函数模型，理解反比例函数的意义。 2、掌握反比例函数的三种表达形式：y=k/x、xy=k、y=kx⁻¹（k是常数k≠0），会用待定系数法求解析式。 3、能根据实际问题确定自变量的取值范围，体会函数中两个变量的变化与对应关系。 重点：反比例函数的概念及三种表达形式；用待定系数法确定反比例函数解析式。 难点：从实际情境中识别反比例数量关系并建立函数模型；正确理解自变量取值范围的实际意义。 知识梳理 针对训练 题型01 反比例函数的识别 题型02 根据反比例函数的定义求参数 题型03 求反比例函数值 题型04 由反比例函数值求自变量 题型05 用反比例函数描述数量关系 题型06 已知反比例关系求解析式 题型07 判断反比例函数图象上的点 题型08 待定系数法求反比例函数解析式 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 知识点一 反比例函数的有关概念 定义：一般的，形如 (k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：或。 因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永不相交 ． 反比例函数解析式的特征：(1）k是常数，； (2） 分母中含有自变量x，且自变量的指数为-1. 反比例函数常见解析式的形式：(1）分式型：（为常数，） (2）负指数幂型：为常数， (3）乘积型：xy=k（为常数，） 【针对训练】 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数，且），只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：是正比例函数， 不符合反比例函数定义， 故A不合题意． 符合（）的形式， 是反比例函数， 故B符合题意． 的分母是，不是单独的， 不符合反比例函数定义， 故C不合题意． 是二次函数， 不符合反比例函数定义， 故D不合题意． 2．下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的定义为形如（为常数，）的函数， ∴对各选项分析如下： A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，不合题意； B、符合反比例函数的形式，是反比例函数，符合题意； C、分母不是单独的，不符合反比例函数定义，不合题意； D、不符合反比例函数定义，不合题意； ∴答案选B． 3．有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，）或（为常数，）的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：∵反比例函数的定义为（为常数，）或可变形为该形式， ①，符合（），是反比例函数； ②，是正比例函数，不是反比例函数； ③，符合（），是反比例函数； ④可变形为，符合（），是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ⑥，不是的形式，不是反比例函数； ∴是反比例函数的有①③④，共3个． 故选：B． 知识点二 反比例函数解析式的确定 1. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需给出一组x，y的对应值或图像上一个点的坐标，代入解析式求出k的值，即可确定反比例函数的解析式. 2. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤： （1）设：设所求的反比例函数的解析式为； （2）列：把x，y的一对对应值或图像上任意一点的坐标代入所设解析式中，得到关于k的方程； （3）解：解方程求出k的值； （4）代：把k的值代回所设反比例函数的解析式即可. 【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可设函数 注意：判断一个函数是否是反比例函数，首先看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或或xy=k (k为常数，k≠0). 【针对训练】 1．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量关系”是解题的关键． 根据“总成本每只成本数量”的等量关系，列出与的关系式． 【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为元，数量为只， ∴， ∴， 故选：C． 2．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力阻力臂动力动力臂”即可得到函数表达式． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． 3．如图，在矩形中，，，为边上一动点，于点，，则关于的函数解析式为_________（写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】连接，利用的两种表示方法来推导函数解析式，再确定自变量的取值范围． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 即， ∴． 当点与点重合时，，此时最短； 当点与点重合时，，此时最长； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题关键是作辅助线，找到等量关系． 知识点三 从现实情境中抽象出反比例函数 现实情景中常见的反比例函数模型 ①行程问题：路程s一定时，平均速度v与运行时间t成反比例。⇒ ②几何面积问题：矩形面积S一定时，相邻两边长y 与x 成反比例。⇒ ③生活总量问题：总流量（总工作量）一定时，平均每天使用量Q与天数t 成反比例。⇒ 注意：（1）考查方向：考查从行程、面积、工作量、压强等实际情境中抽象出反比例函数关系，并写出解析式和自变量取值范围。 （2）核心方法：找准“不变量”，如路程、面积、总量、压力等，利用“一个量 = 定值 ÷另一个量”建立，再结合实际意义确定 x 的取值范围。 【针对训练】 1．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：h）之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 本题是根据去程的速度和时间求出路程，返回时路程不变，速度与时间成反比关系． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 故：函数关系式为 ． 故选：A． 2．下面每组中的两种量成反比例关系的是（ ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 【答案】D 【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断． 两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此判断． 【详解】解：A、因为长方形的周长=（长+宽），长方形周长一定，是长和宽的和一定，所以长和宽不成比例，故此选项不符合题意； B、因为圆的面积半径2，所以圆的半径和面积不成反比例，故此选项不符合题意； C、一个人的身高和年龄虽然是相关联的两个量，但是它们的比值和乘积都不一定，所以不成比例，故此选项不符合题意； D、因为底面积×高=圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高成反比例，故此选项符合题意； 故选：D． 3．建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方，则土石方日运送量与完成运送任务所需时间（天）满足（ ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系 【答案】A 【分析】根据题意，列出函数关系式，进行作答即可．本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴V与t满足反比例函数关系． 故选：A． 题型01 反比例函数的识别 【例1】下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可． 【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意； B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意； 故选：D． 题型02 根据反比例函数的定义求参数 【例2】若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【分析】反比例函数的一般形式为 (, 为常数)，可得分母中的次数为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 题型03 求反比例函数值 【例3】在平面直角坐标系中，已知点，，若反比例函数的图象经过这两点，则的值为______． 【答案】 【详解】解：反比例函数的图象经过，两点，可得， ， 整理得， 解得． 题型04 由反比例函数值求自变量 【例4】在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______． 【答案】 0 【分析】根据点在反比例函数图象上，点的坐标满足函数解析式，得到与，与的关系，再推导计算的值即可． 【详解】解：∵点和点都在函数的图象上， ∴将两点坐标代入函数解析式，可得 ，， 整理得 ，， ∴，即 ， ∴． 变｜式｜巩｜固 题型05 用反比例函数描述数量关系 【例5】一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 题型06 已知反比例关系求解析式 【例6】已知与成反比例关系，且当时，． (1)求y与x的函数表达式． (2)试判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【分析】本题考查求反比例函数解析式，求函数值． （1）根据题意，设，待定系数法求解析式即可； （2）令，求出值，进行判断即可． 解题的关键是正确的设出函数关系式，准确的计算． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）不在；理由如下： 当时，， ∴不在该函数图象上． 题型07 判断反比例函数图象上的点 【例7】下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数为，可得． A选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意； B选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意； C选项：点，，不满足等式，点不在图象上，符合题意； D选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意． 题型08 待定系数法求反比例函数解析式 【例8】如图，在正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴、y轴都在网格线上，其中每个小正方形的边长为1．反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点在格点上，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】由图，设，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为定值，列出方程求出的值，进而求出值即可. 【详解】解：由图象和题意，可设， ∵点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴. 基础通关练（测试时间：10分钟） 1．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂生产x只（x取正整数）玩具熊猫的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题主要考查了反比例函数在实际问题中的应用，熟练掌握“总成本、单只成本与数量之间的等量关系”是解题的关键． 根据“总成本每只成本数量”的等量关系，列出与的关系式． 【详解】解：∵总成本为5000元，每只成本为元，数量为只， ∴， ∴， 故选：C． 2．下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有C选项中的函数是反比例函数． 3．若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的定义求解，反比例函数要求x的次数为，且比例系数不为0，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． 4．反比例函数的图象经过点，则m的值为（     ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【知识点】求反比例函数值 【分析】图象上的点一定满足函数解析式，将点的横坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点 ∴ 将代入函数解析式得 5．下列函数：①：②；③；④；⑤．其中是的反比例函数的有______（填序号）． 【答案】②⑤ 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】根据反比例函数的定义，若两个变量与的关系可以表示为（为常数，）的形式，则是的反比例函数，据此对各函数逐一判断即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数． ②符合反比例函数定义，是反比例函数． ③是正比例函数，属于一次函数，不是反比例函数． ④分母为，不符合的形式，不是反比例函数． ⑤，符合反比例函数定义，是反比例函数． 符合题意的有②⑤． 6．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 7．若函数的图象经过点，则________． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 8．若反比例函数的图像经过点，则的值是____________． 【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】点在反比例函数图像上，点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求解的值． 【详解】解：将代入， 可得，解得． 9．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 【答案】(1) 补充表格如下： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 144 120 60 (2) 解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下： 根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例. (3) 页 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以本，即可得到每本的页数. 【详解】（1）解：总页数为：（页）； 当页数为页时，本数为：（本）； 当页数为页时，本数为：（本）； （2）略 （3）解：（页）． 故每本练习本有页． 10．计算 若长方形的两邻边长度分别为、，面积保持不变，下表给出了与的一些值求长方形的面积． (1)长方形的面积是多少？ (2)与之间是什么关系？用式子表示与之间的关系． (3)根据关系式完成上表． 【答案】(1) (2)反比例关系， (3) 如表所示 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、由反比例函数值求自变量、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查求反比例函数解析式、求函数的自变量或函数值， （1）根据表格中，利用长方形面积公式进行计算即可求解； （2）根据长方形面积公式列出函数关系式，即可求解； （3）利用函数解析式求自变量或函数值即可． 【详解】（1）解： 长方形的面积为4 （2）x与y是反比例关系，可得 （3）略 提升拔高突破练（测试时间：15分钟） 11．2026年10月《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】由总量=vt，求出v即可． 【详解】解（1）∵vt=106， ∴v=， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 12．在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，为常数且）是解题的关键． 根据反比例函数的定义（形式为或，其中为常数且，自变量单独在分母），逐一判断每个函数是否符合． 【详解】解：①符合形式，，是反比例函数； ②是正比例函数形式，不是反比例函数； ③符合形式，，是反比例函数； ④，即，符合形式，，是反比例函数 ⑤，分母是，不是单独的，不是反比例函数； ⑥，含有常数项，不符合形式，不是反比例函数； 故是反比例函数的有①、③、④，共3个， 故选：C． 13．若函数为y关于x的反比例函数，则m的值为（   ） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】A 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数形式为且，因此指数需为，系数非零，由此计算即可得解，熟练掌握反比例函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数为y关于x的反比例函数， ∴，， 由得， 解得：，， ∵， ∴， 综上所述，的值为， 故选：A． 14．已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 将点(m，2)代入反比例函数解析式，解方程求m． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 故选：B． 15．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为______． 【答案】 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】由表中数据可得，，从而可得y关于x的函数表达式． 【详解】由表中数据可得，， ∴y关于x的函数表达式为． 故答案为： 【点睛】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键． 16．若点在反比例函数 的图象上，则m的值为____． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：． 17．已知函数是关于的反比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、求反比例函数值 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求反比例函数的函数值： （1）根据反比例函数的定义，得到，且，进行求解即可； （2）把代入函数解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：且， ． （2） ∴反比例函数的表达式为， ∴当时，． 18．已知反比例函数． (1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围． (2)求当时函数的值． (3)求当时自变量x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数值 【分析】（1）根据是反比例函数的比例系数，在分母上求出取值范围即可； （2）把，代入解析式，求出值，即可得解； （3）把，代入解析式，求出值，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：把，代入得：； ∴当时函数的值为：； （3）解：把，代入得：，解得：； ∴当时的值为：． 【点睛】本题考查反比例函数的定义以及求自变量或函数值．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键． 思维创新拓展练（测试时间：25分钟） 19．下列说法错误的是（     ） A．若是的反比例函数，则也是的反比例函数 B．四边形的内角和与外角和相等 C．一件衣服提价后又打八折，这件衣服的价格不变 D．两组边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】D 【知识点】多边形内角和与外角和综合、根据定义判断是否是反比例函数、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】由反比例函数可得出进而可得出也是的反比例函数，可判断A，根据多边形内角和和外角和定理即可判断B，由题意可知可判断C，根据两组边分别对应相等才能判定两个直角三角形全等，可判断D． 【详解】解：∵若y是x的反比例函数，则可设， 可得， ∴x也是y的反比例函数，∴选项A不符合题意； ∵四边形的内角和与外角和都等于，∴选项B不符合题意； ∵一件衣服提价后又打八折时，这件衣服的价格为：， ∴这件衣服的价格不变，∴选项C不符合题意； ∵两组边分别对应相等的两个直角三角形全等，选项D说法错误，∴选项D符合题意． 20．若点，在同一个函数图象上，则这个函数的表达式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、求一次函数自变量或函数值、求反比例函数值 【分析】将两点坐标逐项代入函数验证即可． 【详解】解：选项A，把代入，得， ∵，∴，∴点不在该函数图象上，A错误． 选项B，把代入，得，令，解得，与矛盾，B错误． 选项C，把代入，得，把代入，得，即，符合条件，C正确． 选项D，把代入，得，把代入，得，不符合条件，D错误． 21．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求反比例函数值、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 22．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数、由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性、求反比例函数值 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 23．已知与是反比例函数图象上的两个点，则的值_________． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】反比例函数的图象上的点满足，将两个点的坐标分别代入得到关于和的等式，即可求解． 【详解】解：∵点和都在反比例函数的图象上， ∴，且， ∴ 解得． 24．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，，（且为整数）分别交于点，，，，，则____________________． 【答案】 【知识点】求反比例函数值 【分析】根据直线与反比例函数的交点坐标规律，得出，进而得到通项，利用裂项相消法进行求和计算． 【详解】解： 由题意可知，，，，，， 点在反比例函数的图象上， ， ， 原式 ． 25．氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 【答案】60 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、求反比例函数值 【详解】解：设该函数的表达式为， 由题意知， ∴， 所以该函数的表达式为． 当时，． 26．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 【答案】(1)，， (2)点到线段的距离为 【知识点】求一次函数解析式、与三角形的高有关的计算问题、用勾股定理解三角形、求反比例函数值 【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式； （2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离． 【详解】（1）点、在反比例函数图象上 ， 又一次函数过点， 解得： 一次函数表达式为：； （2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ， 轴， 点，， 点，， 在中， 又 即 ∴，即点C到线段的距离为． 【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $