专题特训7 二次函数与特殊图形的存在性问题&综合与实践2 从最值探究到距离建模-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十六章二次函数 专题特训七二次函数与特殊图形的存在性问题 类型一二次函数与等腰三角形 1.[2024雅安中考]在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx十3的图象与x轴交于A(1,0), B(3,0)两点，与y轴交于点C. (1)求二次函数的解析式， (2)如图①，P是线段BC上的一个动点（不与点B,C重合），过点P作y轴的平行线，交抛物线 于点Q.当线段PQ的长最大时，求点Q的坐标， (3)如图②，在(2)的条件下（线段PQ的长最大），过点Q的直线与抛物线交于点D,且∠CQD= 2∠OCQ.在y轴上是否存在点E,使得△BDE为等腰三角形？若存在，请直接写出点E的坐 标；若不存在，请说明理由. ① (第1题) 类型二二次函数与直角三角形 2.[2025青海中考]在平面直角坐标系中，抛物线y=a.x2十bx一3(a≠0)与x轴交于A,B两点， 点B的坐标为(1,0)，点C(2,5)在抛物线上， (1)求抛物线对应的函数解析式。 (2)①求点A的坐标. ②当y<0时，根据图象直接写出x的取值范围： (3)连接AC,在y轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请 直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. (第2题) 45 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 类型三二次函数与特殊平行四边形 3.[2024泸州中考]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0),与y轴交 于点B,且关于直线x=1对称. (1)求该抛物线对应的函数解析式。 (2)当一1≤x≤t(t>一1)时，y的取值范围是0≤y≤2t一1，求t的值 (3)C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D.在y轴 上是否存在点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不 存在，请说明理由. AN (第3题) 4.[2025资阳中考]如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左 侧)，与y轴相交于点C(0,一3)，且抛物线的顶点坐标为(1，一4). (1)求抛物线对应的函数解析式， (2)一题多解P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0,一1)，连接BC,DP相交于点E,连接 PB.若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标. (3)M,V是抛物线上的两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H.是 否存在点M,N,使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若 不存在，请说明理由. A10 (第4题) 46 >“答案与解析”见P27 第二十六章二次函数 综合与实践2从最值探究到距离建模 1.【活动初探】 观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），你能用二次 函数的知识说明其中哪个积最大吗？ 91×99,92×98,…,98×92,99×91. (1)小明的解法如下，请你将他的解题过程补充完整： 解：设两个两位数的积为y,其中一个乘数的个位上的数为x,则另一个乘数个位上的数为10一x, 根据题意，得y=(90十x)[90+(10一x)],配方后得到二次函数的顶点式为y=一(x-5)2+9025 (x=1,2,3,…,8,9). ,.当x= 时，y有最大值.∴. 的积最大 【类比深探】 观察下列两个三位数的积（两个乘数的百位上的数都是6，十位上的数与个位上的数组成的数的 和等于100)，猜想其中哪个积最大. 601×699,602×698,603×697,…,697×603,698×602,699×601. (2)请猜想其中哪个积最大，并类比小明的解法，运用二次函数的知识说明理由 2.由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距 离”.某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过150km/h)进行测试，测得 数据如下表： 车速x/(km/h) 0 30 60 90 120 150 刹车距离y/m 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75 (1)以车速x为横坐标，刹车距离y为纵坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各组数 值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点， (2)若将车速和刹车距离的函数关系近似看作二次函数，请求出这个函数的解析式（不要求写出 x的取值范围). (3)若该款汽车某次测试的刹车距离为40，请根据(2)中求出的函数解析式，估计该车的速度， 80A3/m 四 30 20 9 0306090120150x/(km/h) (第2题) “答案与解析”见P28 47专题特训七二次函数与特殊图形的 存在性问题 1.(1)将A(1,0),B(3,0)代人y=ax2+bx+3,得 a+b+3=0, a=1, 解得 9a+3b+3=0, b=一4. “二次函数的解析式为 y=x2-4x十3.(2)在y=x2-4x十3中，令x=0,得 y=3.∴.C(0,3).由点B,C的坐标，易得直线BC对应的 函数解析式为y=一x十3.设P(x,3一x),则Q(x,x2 4x+3).∴.PQ=3-x-(x2-4x+3)=-x2+3x= -(x-)°+是.：-1<0，当x=时，PQ的长有 最大值-4红十3=-是.点Q的坐标为 (,-) (3)存在.由点C,Q的坐标，易得直线CQ 5 对应的函数解析式为)y=一2x十3.过点Q作TQ/)轴， 交x轴于点T,则∠TQC=∠OCQ.'∠CQD=2∠OCQ, ∴.∠CQT=∠DQT.∴.直线CQ和直线DQ关于直线QT 对称.∴.易得直线DQ对应的函数解析式为y= 59 2x一2’解得 y=x2-4x+3, 3 x一2' x=5, 或 .D(5,8).由点B,D的坐标，易得 =-4 {y=8. BD=68.设E(0,m),则易得DE2=25十(m一8)2，BE2= 9+m2.当DE=BD时，25十(m一8)2=68，解得m=8± √43；当DE=BE时，25+(m-8)2=9+m2,解得m=5; 当BE=BD时，9十m2=68,解得m=±√59.∴.点E的 坐标为(0,5)或(0,8±√43)或(0，士√59). 2.(1)将B(1,0),C(2,5)代入y=ax2+ba-3(a≠0)，得 a+b-3=0, a=1, 解得 ∴.抛物线对应的函数解析式 4a+2b-3=5, b=2, 为y=x2+2x-3.(2)①令y=0,则x2+2x-3=0,解 得x=一3或x=1,∴.点A的坐标为（一3,0）.②一3< <1.(3)存在.设点P的坐标为(0，t).A(一3,0)， C(2,5),∴.AC=(2+3)2+(5-0)2=50,AP2=(0+ 3)2+(t-0)2=9+t2,CP2=(0-2)2+(t-5)2=t2一10t+ 29.:'△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴.分以下 两种情况讨论：当AP为斜边时，则AP=AC2+CP, ∴.9+t2=50+t2-10t+29,解得t=7.∴.P(0,7).当CP 为斜边时，则CP2=AC2+AP2,∴.t2一10t+29=50+9十 t2,解得t=-3.∴.P(0,一3).综上所述，存在符合条件的 点P,点P的坐标为(0,7)或(0，一3). 3.(1)由题意，得 a-1, 帝家厚—”芝边 {b=2. 9a+3b+3=0, 物线对应的函数解析式为y=一x2+2x+3.(2)当x= -1时，y=-x2+2十3=0，取得最小值.∴-1<t≤3. 当-1<t≤1时，由题意，得-t2+2t+3=2t-1,解得t=2 或t=一2（均不合题意，舍去）.当1t3时，易知当x=1 时y取得最大值.则-1+2×1+3=21-1，解得4=号， 符台题意综上所述1的值为2.《3)存在易知点B的 坐标为(0,3).由A(3,0),B(0,3),易得直线AB对应的函 数解析式为y=一x+3.设C(1,一m2+2m+3),则 D(m,一m十3).当BD,CD为菱形的邻边时，BD=CD,即 √m2+(-m十3-3)2=-m2+2m+3-(-m+3),即 √2m=一m2+3m,解得m=0(不合题意，舍去)或m=3 √2.∴.菱形的边长为√2m=32一2.当BD为菱形的对角 线时，有BC=CD,即√m2十(-m十2m+3-3)=-m2+ 2m十3一（一m十3），解得m=0(不合题意，舍去)或m=2. ∴.菱形的边长为一m2十2m十3-(-m十3)=一m2十 3m=2.综上所述，菱形的边长为32-2或2. 4.(1)抛物线的顶点坐标为(1，一4)，∴.设y=a(x 1)2-4.把C(0,-3)代人，得-3=a-4,解得a=1,.抛 物线对应的函数解析式为y=(x一1)2一4，即y=x2 2x一3.(2)对于函数y=x2-2x一3.令y=0,则x2 2x-3=0,解得x1=-1,x2=3..A(-1,0),B(3,0).解 法一：设P(t,t2一2t一3)，如图①，连接OP.·S△ce= S△PBE,∴.S△DE+S四边无0DE=S△P5E十S四边无DB,即 SA-S-M+m0.x 3X(-+2+3)+号×1X,解得，=0（舍去）。=子 .t2-2t-3= (得)-2x号-8=-P( 20) ).解法二：如图②，连接CP.:SAce=S△P, ∴.S△cDE+S△BDR=S△PB+S△DE,即S△BCD=S△PD ∴.CPBD.设直线BD对应的函数解析式为y=kx十b, 3k+b=0, k= 则 b=-1, 解得 3’.直线BD对应的函数解析 b=-1, 式为y=子x-1设直线CP对应的函数解析式为y 3x+c,把C(0,-3)代人，得c=-3,.直线CP对应的 函数解析式为y= 3x一3联立 y=3x-3, 解得 y=x2-2x-3, 7 x1=0, x2=3 或 720 y1=-3 20 :.3 9 (3)满足条件 y2= 9 的点M,N存在.①若点M,N分别在直线BC的两侧，不 妨令点M在直线BC上方，点N在直线BC下方，如图③， 可知∠MGH=90°，则∠MGN=∠MGH+∠HGN>90°， 不符合题意.②若点M,N在直线BC的下方，不妨设点M 在点N的下方，如图④，：B(3,0),C(0,一3)，∴.直线BC 对应的函数解析式为y=x一3.连接MH,GN,则△MGN 是等腰直角三角形，∠HGN=45°，∴.GN⊥y轴，MH x轴.设点M的坐标为(m,m2一2m一3)，其中0<m<3, 则点H的坐标为(m,m一3)，根据正方形的性质，得点N 的坠标为(，一)将点N的坠标代人y 2 x2-2x-3=(x-3)(x+1),得（-m,+5m-3）· 2 (仁m,+5m+1）=m-gm-6,即(m2-5m十6(m2-5m 2 2 2)=2(m2-m-6).化简，得(m-2)(m一3)(m2-5m 2)=2(m-3)(m+2).0m<3,∴.(m-2)(m2-5m 2)=2(m十2)，整理，得m2一7m十6=0，解得1=1,12= 6(舍去).∴.MH=2,则正方形的边长为2.③若点M,N 在直线BC的上方，不妨设点M在点N上方，如图⑤，设点 M(m,m2-2m-3),其中m<0或m>3.根据正方形性 质，点N的坐标为（仁m+5m,m一-），将点N的坐 2 2 标代人y=x2-2x-3=(x-3)(x十1)，同理可得m1=1 （舍去)，m2=6,此时，MH=18,则正方形的边长为9√2. 综上所述，正方形的边长为√2或9√2. Y B 0 B ① ② 2 0 B ③ ④ M G H ⑤ (第4题) 综合与实践2从最值探究到距离建模 1.(1)a=-1<0:5:95×5.(2)猜想650X650的积最 大.理由：设两个三位数的积为y,其中一个乘数的十位与 个位上的数组成的数为x,则另一个乘数的十位与个位上 的数组成的数为100一x.根据题意，得y=(600十x)· (600+100-x)=-(x-50)+422500,:a=-1<0, ∴.当x=50时，y有最大值.∴.650×650的积最大 2.(1)如图. 803/m 70 60 50 40 30 20 9 0T306090120150x/(km/h) (第2题) (2)由题意，设y与x的函数解析式为y=ax2十bx.把 900a+30b=7.8, (30,7.8)和(60,19.2)代入，得 3600a+60b=19.2, a500 1 1 八y与x的函数解新式为y=02十号x b≠5 8》由题意：令y=40,则40一动2+号，解得x=10 1 或x=一200（舍去），∴.该款汽车某次测试的刹车距离为 40m,估计该车的速度为100km/h. 第二十六章拔尖自主测评 1.BB,D中函数的二次项系数为负数，对应抛物线开口 向下.由于a|越小，抛物线开口越大，故选B 2.D抛物线y=一x2十6x一7=一(x一3)2十2..一1< 0,∴开口向下，故选项A错误，不符合题意.对称轴为直线 x=3,故选项B错误，不符合题意.与y轴的交点坐标为 (0,一7)，故选项C错误，不符合题意.顶点坐标为(3,2)， 故选项D正确，符合题意 3.C由题意，可知抛物线C,向下平移2个单位长度后得 到抛物线C2.∴.抛物线C,上点P的坐标是(m,n),则点 P平移后的对应点Q的坐标是(m,n一2). 4A由条件可知抛物线的对称轴为直线=一1)十3-1， 2 抛物线开口向上，∴.点离对称轴越远，对应函数值越大 C(m一2，y1),D(m,y2)是该函数图象上的两动点，且 总有y,<y2,∴.点D离对称轴的距离大于点C离对称轴 的距离，即|m-1>m-2-1,解得m>2. 5.A抛物线y=a.x2+2a.x十2a2+5的对称轴是直线 三一a=一1，且当x≥2时，y随x的增大而增大，，a 0.当-2≤x≤1时，y的最大值为10，∴.当x=1时， y=a.x2+2a.x+2a2+5=10..a+2a+2a2+5=10..a 1或a=一号（合去.a=引 6.B当x≥1000时，y随x的增大先增大，后减小，故A 选项错误，不符合题意.抛物线过点(1000,0.6)， (300.,0.6)抛物线的对称轴为直线x=1000+3000 2 2000.抛物线的开口向下，∴.当x=2000时，y有最大 值.故B选项正确，符合题意.由图象可得，当y=0.6 时，x1=1000,x2=3000,∴.当y≥0.6时，1000≤x≤ 3000.故C选项错误，不符合题意.由图象可得当y= 0.4时，x对应的值有2个.故D选项错误，不符合题意 7.C抛物线y=a(x一2)2+k(a>0),开口向上，对称轴 -1+5=2.点 为直线x=2.:A(-1,5),E(5,5),且2 A,E同时在抛物线上或同时不在抛物线上.当抛物线过点 a十k=2, A,E,B时，把A(-1,5),B(1,2)代人，得 {9a+k=5, 3 a= 8 解得 经检验，点C,D不在该抛物线上，符合题意， 13 k一8 当抛物线过点A,E,C时，把A(一1,5)，C(2,1)代入，得 4 19a+k=5, 解得 =9'经检验，点B,D不在该抛物线 k=1, k=1, 上，符合题意.当抛物线过点A,E,D时，把A(一1,5)， 3 (9a+k=5, \a4 D(3,-1)代人，得 解得 经检验，点 a+k=-1, 7 k=一4 B,C不在抛物线上，符合题意.当抛物线过点B,C,D时， :2D=2,ym≠n,小.B,C,D三点不能同时在抛物 2 线上结合选项可知的直可能为，专，号，不可能为号。 8.A:二次函数y=a.x2+ba十c(a,b,c为常数，a≠0) 图象的顶点坐标是（一1，n),且经过(1,0），(0，m)两点，3< m<4,∴.抛物线开口向下，对称轴为直线x=一1.∴.a< 0,抛物线与x轴的交点为(1,0)和（一3,0），大致图象如图 所示.令y=1一1，即把y=n向下平移1个单位长度，再 结合函数图象可知a.x2十bx十c=n一1(a≠0)有两个不相 等的实数根，故ax2+br十c一n+1=0(a≠0)有两个不相 等的实数根.故①正确，符合题意.抛物线开口向下，对 称轴为直线x=一1，∴.当x>一1时，y随x的增大而减 小.故②正确，符合题意.：抛物线与x轴的交点为(1,0) 和(-3,0)，∴.二次函数为y=a(x-1)(x十3)=a(x2十 2x-3)=a.x2+2a.x-3a..m=-3a..3<m<4, 3K-3a<4,解得一号<a<-1故③正确，符合题意 结合函数图象可知，当x=一2时，y=4a一2b十c>0.故④ 正确符合题意：x=名=-16=2a,+D… (at-a+b)=(t+1)(at-a+2a)=a(t+1)(t+1)= a(t十1)2..a<0,(t+1)2≥0，.∴.a(t+1)20.故⑤正