第25章 一元二次方程 高频考点突破(章节拔尖攻略)-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

本册知识结构 概念 旋转中心 根的判别式 概念 旋转方向 △=b2-4ac 旋转 旋转角 直接开平方法 一元 解法 二次 旋转 性质 配方法 (降次) 方程 中心对称及其性质 公式法 中心对称 中心对称图形 因式分解法 关于原点对称的点的坐标 h x1+X2= 根与系数的关系 (x,y)与(-x,y) 概念 实际问题与一元二次方程 圆的有关概念 过三点的圆 概念 垂径定理及推论 弧、弦、圆心角 九年级 之间的关系 开口方向、对称轴、 上册 圆的有关性质 顶点坐标 圆周角定理及推论 图象和性质 二次 圆内接四边形的性质 增减性、最值 函数 圆 ax2+br+e=0(a≠0) 0 y=ax2+btc(a,b,c是常数，a≠0) 二次函数与一元二次方程 弧长和扇形面积 实际问题与二次函数 有关计算 圆锥的侧面积和全面积 (k为常数，k≠0) 概念 Sg维期宁元l 增减性 S维全=元r(T什l) 图象和性质 k的几何意义 相离、相切、相交 反比例 函数 直线与圆 切线的性质与判定 直线与圆的 位置关系 切线长定理 三角形的内切圆 正多边形与圆 实际问题与反比例函数 第二十五章 一元二次方程 ]高频考点突破 聚焦高频考点，各个击破 考点一元二次方程根的意义 (3)由a2-4a-1=0可得a2-4a=1,a2 典例1若a是一元二次方程x2-4x-1=0 1=4a..a- 1=4..4a2-13a-3- a 的一个根，求下列各式的值： 12 (1)3a2-12a+2025. a2-1 =4(a2-4a)+3a-3-12=4a2 4a (2)a3-2a2-9a+1999. 12 (3)4a2-13a-3- 4a)+3(a-2）-3=4×1+3×4-3=13. a2-1 小结 分析 一元二次方程常见的变形形式有：(1)把方 4a2-13a-3- 12 程a.x2+b.x+c=0(a≠0)变形为a.x2=-bx a2-1 c,代换后降次；(2)把方程a.x2+bx十c=0(a≠ 变形 4(a2-4a)+3(a- a)-3 0)变形为a.x2十bx=-c或ax2十c=-bx,代 换后使之转化关系或整体地消去x;(3)把x2十 a是x2-4x-1=0的根 整体代入 将x=d a-=4 ar士1=0变形为x士1=-a 代入 变形 得出结果 a2-4a-1=0 对应练习 a2-1=4a 变形 1.已知m是一元二次方程x2十x一1=0的 一个根，求下列各式的值： a2-4a=1 a2=4a+1 (1)m3+2m2+2024. 整体代入 变形 a2=4a2+a 1 得出 整体代入 (2)6m2+7m+1+ 3(a2-4a)+2025 结果 m2-1 变形 d2-2a2-9a+1999 3a2-12a+2025 变形 2(a2-4a)+1999 得出结果 解答：把x=a代入方程，得a2一4a-1=0. (1)由a2-4a-1=0可得a2-4a=1, ∴.3a2-12a+2025=3(a2-4a)+2025= 考点二解一元二次方程 3×1+2025=2028. 典例2用适当的方法解下列方程： (2)由a2-4a-1=0可得a2-4a=1,a2= (1)9(2x-1)2-4=0. 4a+1.∴.a3=4a2+a.∴.a3-2a2-9a十 (2)3x2-6.x-1=0. 1999=4a2+a-2a2-9a+1999=2a2- (3)3x2-1=2x+5. 8a+1999=2(a2-4a)+1999=2001. (4)4(x+3)2-9(x-3)2=0. 第二十五章一元二次方程 (5)一题多解x2-2mx十m2-2=0. 小结 分析 直接开平方法适用于：(1)当方程缺少一次 解一元二次方程时，要根据方程的特点选 项时，即方程a.x2十c=0(a≠0，ac<0);(2)形 用合适的解法，首先考虑直接开平方法和因式 如(a.x十m)2=n(a≠0，n≥0)的方程. 分解法，如果不能用这两种方法，再考虑公式法 因式分解法适用于：(1)当常数项为0时， 和配方法. 即方程a.x2十bx=0(a≠0)；(2)一元二次方程 的一边为0，而另一边易分解成两个一次因式的 解答：(1)原方程化为(2x-1)2= 9, 乘积. 公式法适用于：所有一元二次方程，求根公 2x-1=+号解得，=8=合 2 1 式为x=-b士04ac(62-4ac≥0. 2a ②》原方程化为-2x=方x2-一2x十 配方法适用于：(1)二次项系数化为1后， 一次项系数是偶数；(2)各项的系数比较小且便 1=号+1.即-1)-台x-1 于配方. ±25，解得1=1+2 对应练习 3 3x2=123 3 2.用适当的方法解下列方程： (3)原方程化为3x2-2x-6=0,∴.a=3, (1)3(2x-√2)2=54. b=-2,c=-6.∴.△=b2-4ac=(-2)2 4×3×(-6)=76>0..x -b±V6-4ac=-(-2)±√76_2±2W/19 2a 2×3 6 即x1=1+9 1-/19 3 3 (4)将方程的左边分解因式，得[2(x+3)十 (2)-x2+4x=x2-3. 3(x-3)][2(x+3)-3(x-3)]=0,即 （52-3)(-十16)=0，解得=号 x2=15. (5)解法一.'△=4m2-4(m2-2)=8>0, x= 2m±2√ 2 2,即x1=m十2，x2 (3)2x(x+3)=15x-8. m-√2. 解法三原方程化为x2-2mx十(m十√2)· (m-√2)=0，.[x-(m+√2)][x-(m √2)门=0，解得x1=m十√2，x2=m-2. 3 数学（人教版）九年级上 (4)3(x-1)2=x2-1. 小结 配方法是一种以“出现平方式”为思维指向 的恒等变形，因而它既具有一般恒等变形的功 能，又具有产生非负数的功能；含有两个字母的 二次多项式，一般选择一个字母为主元，分两步 配方求解.还可以用一元二次方程根的判别式结 (5)-题多解x2+(2t十1)x十t2十t 合配方法求解，如本题中的解法二 2=0. 对应练习 3.若x,y是实数，且m=x2-4xy十6y2- 4x-4y,求m的最小值. 考点三配方法的应用 典例3一题多解若W=5.x2-4xy十y2 2y十8x十3(x,y为实数)，则W的最小值 为 分析 将原式进行配方，然后根据偶次幂的非负 考点四一元二次方程根的判别式 性即可求得答案；将原等式看作关于x(或y)的 典例4已知在等腰三角形ABC中，三边长 一元二次方程，然后根据根的判别式亦可求得 分别为a,b,c,其中a=4,b,c恰好是方程 答案 x2-(2+1)x十4(k-》=0的两个实 解答：解法一W=x2十4x2-4xy十y2 数根， 2y+8.x+3=4x2-4xy+y2+4x-2y+ (1)求证：方程总有两个实数根， 1+x2+4x+4-2=(2x-y)2+2(2x (2)求△ABC的周长， y)+1+x2+4x+4-2=(2x-y+1)2十 分析 (x+2)2一2.，x,y均为实数，.(2x (1)根据一元二次方程根的判别式得到与 y+1)2≥0，(x+2)2≥0..(2x-y+1)2+ k有关的代数式，再配方即可得出结论；(2)分 (x+2)2-2≥-2，即W≥-2..W的最小 两种情况讨论：当a=4为腰长时，当a=4为底 值为一2. 边长时，分别求解即可. 解法二将等式看作关于x的一元二次方 解答：(1).△=[-(2k+1)]2一4×1× 程，得5.x2+(8-4y)x+(y2-2y+3 W)=0..x为实数，即该方程有实数根， 4k-2）=4级2+4k+1-16k+8=42 .△=(8-4y)2-4×5(y2-2y+3-W)≥ 12k十9=(2k一3)2≥0，∴.方程总有两个实 0.∴.20W≥4(y+3)2-40≥-40 数根. .W≥一2..W的最小值为一2. (2)当a=4为腰长时，由题意，可得4- 4 第二十五章一元二次方程 4(2张+1)+4k-2》=0,解得 一元二次方程根与系数关系的 3】 考点五 应用 当6=号时，原方程为一-6x+8=0,解得 典例5已知a,3是方程x2一x一1=0的两 个实数根，则代数式2a2十α(3一2)+3的值 x1=2,x2=4.∴.△ABC的周长为4十4十 为 2=10.当a=4为底边长时，由题意，可得 分析 3 根据a,3为方程的两个实数根可得a2 △=(2k-3)=0,解得k=26十c a一1=0,3-3-1=0，根据根与系数的关系得 2k十1=4..b十c=4=a,.长为a,b,c的 a十B=1,a3=一1，即可得出答案. 三条线段不能组成三角形.∴.△ABC的周 解答：.α，3是方程x2-x一1=0的两个实 长为10. 数根，.a十3=1,8=-1，a2一a-1=0, 小结 32-3-1=0..a2=a+1,32=3+1. 元二次方程ax2十b.x十c=0(a≠0)只有 .2a2+a(32-2)+B=2(a+1)十a(3+1 当系数a,b,c满足条件A=b2-4ac≥0时才有 2)十3=2a+2+a3-a+B=a+B+2十a3 实数根.这里的b2一4ac叫作一元二次方程根的 1+2-1=2. 判别式.根的判别式应用于以下方面：(1)判定 小结 方程实数根的个数；(2)建立等式、不等式，求方 运用一元二次方程求与根有关的代数式的 程中参数的值或取值范围；(3)证明与方程有关 值，一般是关于x1,x2的对称式，如x十x, 的代数问题. (x1一)，+等，这些问题可通过变形用 对应练习 x1十x2,x1x2表示求解，而非对称式的求值常用 4.已知方程m.x2-2(m十1)x十m+2=0 到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降 (m≠0)是一元二次方程 次；(3)构造对称式 (1)求证：不论m取何值，该一元二次方 对应练习 程一定有两个不相等的实数根」 5.设a,3是方程x2一x一2025=0的两个 (2)若方程有一根小于一1，求m的取值 实数根，则a3一2027a一3+1的值为 范围. 典例6已知关于x的方程x2一(2m一1)x+ m2-2m-1=0. (1)若方程有实数根，求m的取值范围， (2)若x1,x2是方程的两个根，且x十x x1x2=7,求m的值 分析 (1)一元二次方程有实数根，则△≥0，从而 得出关于m的不等式，据此可解决问题；(2)利 用一元二次方程根与系数的关系构造出关于m 的方程求解. 5 数学（人教版）九年级上 解答：(1)方程有实数根，.△= (3)如图②，将墙MN全部利用，并在墙 [-(2m-1)]2-4×1×(m2-2m-1)= MN的延长线上拓展ND,构成矩形 4m十5≥0，解得m≥-5 ABCD,其中BM,BC,CD和DN都由篱笆 4 构成.矩形花园ABCD的面积能否为500m? (2)x1,x2是方程的两个根，.x1十x2 如果能，求出x的值；如果不能，请说明理由 2m-1,x1x2=m2-2-1.x7+x2 25m x1x2=7,.(x1十x2)2-3x1x2=7. A D ∴.(2m-1)2-3(m2-2mm-1)=7,整理，得 m2+2m-3=0,解得m1=1,m2=-3. .m≥ 号m= ① 25m 小结 M(A 运用一元二次方程根与系数的关系的前提 条件是一元二次方程有两个实数根，即需满足根 的判别式△≥0这一限制条件： ② (典例7图) 对应练习 分析 6.已知关于x的方程x2十2(m十1)x十 (1)根据AB十CD十BC=篱笆长解决问 m2-1=0. 题；(2)根据矩形花园ABCD的面积为400m, (1)若方程有实数根，求m的取值范围， 列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可： (2)若方程的两个根分别为x1,x2,且满 (3)先用含x的代数式表示出BC的长，再根据 足(x1-x2)2=16-x1x2,求m的值 矩形花园ABCD的面积为500m2,列出一元二 次方程，最后由根的判别式即可得出结论. 解答：(1)BC的长为(60-2x)m. (2)由题意，得x(60-2x)=400,整理，得 x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20. .60-2x≤25，即x≥17.5，.x的值 为20. 考点六一元二次方程的实际应用 (3)矩形花园ABCD的面积不能为500m2. 典例7如图，学校计划利用已有的一堵长为 理由：AB=xm,BC= 60+25-2x 25m的墙(MN),用篱笆围成一个矩形花园 2 ABCD.现有可用的篱笆长为60m(全部用 (42.5-x)m.由题意，得x(42.5-x)= 完).设AB的长为xm. 500,整理，得x2-42.5x十500=0..△= (1)如图①，用含x的代数式表示BC的长. (-42.5)2-4×1×500=-193.75<0, (2)如图①，当矩形花园ABCD的面积为 .该方程无实数根.∴.矩形花园ABCD的 400m2时，求x的值. 面积不能为500m2. 6 第二十五章一元二次方程 小结 考点七 一元二次方程与几何的综合应用 列一元二次方程解应用题时，关键是找出题 中给出的等量关系.等量关系可以通过题目中的 典例8如图①，在△ABC中，CB=a,AC 关键词语寻找，也可以通过已学过的公式、规律 b,AB=c,且关于x的方程(a十c)x2十 寻找，求出未知数的值后，要注意检验求出的未 2bx十c=a有两个相等的实数根. 知数的值是否符合实际意义. (1)判断△ABC的形状 对应练习 (2)若CD平分∠ACB,且AD⊥BD,AD, 7.电动车虽然方便了我们的日常出行，但是 BD的长是关于x的方程x2一kx+k十3=0 部分电动车充电过程存在安全隐患，“人 的两个根，求k的值 车分离”是保障大家生命安全的重要手段 之一.阳光小区为实现“人车分离”，在小 区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如 图)，一边利用小区的后墙（可利用墙长为 45m),其他的边用总长70m的不锈钢栅 (典例8图①) 栏围成，左右两侧各开一个1m长的出口 分析 (1)根据△=0可得出结论；(2)过，点D作 (出口处不用栅栏)，不锈钢栅栏状如“山” CA的垂线DE,CB的垂线DF,由ASA得出 字形 △ADE≌△BDF,证得AD=BD,再由根的判 (1)若车棚占地面积为384m2,试求出电 别式得出△=(-k)2一4(k十3)=0，解得k的 动车车棚的长BC和宽AB. 值，最后利用根与系数的关系即可得出结论 (2)若小区拟利用现有不锈钢栅栏对电 动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积 解答：(1).方程有两个相等的实数根， 为450m的电动车车棚吗？如果能，请 ∴.△=(2b)2-4(a+c)(c-a)=4(a2+ 你给出设计方案；如果不能，请说明理由， b2-c2)=0..a2+b2-c2=0,即a2+b2= 45m D 墙 c2..△ABC是直角三角形 (2)如图②，过点D作DE⊥CA于点E,作 DF⊥CB,交CB的延长线于点F,则 ∠AED=∠BFD=∠CED=90°..'CD平 (第7题) 分∠ACB,.DE=DF.由(1)，知△ABC 是直角三角形，.∠ACB=90°..易得 ∠EDF=90°.又.AD⊥BD,∴.∠ADB= 90°=∠EDF.∴.∠ADB-∠BDE= ∠EDF-∠BDE,即∠ADE=∠BDF.在 ∠ADE=∠BDF, △ADE和△BDF中，DE=DF, ∠AED=∠BFD, 数学（人教版）九年级上 ∴.△ADE≌△BDF..AD=BD.又 个实数根. .:AD,BD的长是关于x的方程x2一kx十 (1)当m为何值时，□ABCD是菱形？ k十3=0的两个根，∴.△=（一k)2一4(k十 (2)是否存在m的值，使得(AB-3)· 3)=0,解得k=6或k=一2.易知AD十 BD=k>0,.k的值为6 (AD-3)=m?请说明理电。 D (典例8图②) 小结 元二次方程与几何的综合应用主要体现 在根的判别式、根与系数关系的应用，解决这类 问题，关键是根据几何知识得出线段间的关系，再 转化为对应的根的判别式、根与系数关系解题 对应练习 8.已知□ABCD的两边AB,AD的长是关 于x的方程x2一2mx十2m十3=0的两 综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.若关于x的方程ax2十bx十c=0(a≠0)满足a一b十c=0,则称此方程为“贺岁方程”.已 a 知方程a'x2-2024ax十1=0(a≠0)是“贺岁方程”，则a2+2025a2o24a十的值为 ( A.-2024 B.2024 C.-2025 D.2025 2.若关于x的方程(m+2)x2一2(m十1)x十m=0只有一个实数根，则关于x的方程(m十 1)x2-2m.x十m一2=0根的情况为 () A.无实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.实数根的个数不能确定 3.若a,b是方程x2-3x-3=0的两个根，则代数式2a3-6a2十b2+3b+1的值是() A.-20 B.-24 C.22 D.20 4.若关于x的一元二次方程2x2一2x十3m一1=0有两个实数根x1,x2,且它们满足不等式 x1十x2一x1x2<3,则实数m的取值范围是 5已知a941,且。+20a+25=0及2p+209+1=0.侧十号的值为 8附：答案与解析 第二十五章一元二次方程 [高频考点突破] 1①(1)由题意，得m2+m一1=0，，.m2+m=1,m2= -m+1..m3=-m2+m..m3+2m2+2024=-m2+ m+2m2+2024=m2+m+2024=1+2024=2025. (2)由题意，得m2+m-1=0,.m2+m=1,m2-1= -2=-1.6m2+7m+1+1 m.m m27=6(n2+ m)+m-1+1=6X1+(-1D+1=6. ②(1)原方程化为(2x-√2)2=18，.2x-√2=±32， 解得1=22，x2=-√2.(2)原方程化为x2一2x 2-2x+1=是+1，即(x-1)=号x-1= 3 土罗，懈得计：2 ，(3)原方程 化为2x2-9x+8=0,∴.a=2,b=-9,c=8..△=b2- 4ac=(-9)2-4×2×8=17>0..x -b士-4c=-(-9)±/厘=9生厘，即，= 2a 2×2 9+√ 4 亚，，9=.0原方程化为3-1) 4 (x+1)(x一1)=0，.(x-1)(3x一3-x一1)=0，即(x 1)(2x-4)=0,解得x1=1,x2=2.(5)解法一：原方程 可化为x2+(2t+1)x+(t-1)(t+2)=0,.(x+t-1)· (x十t十2)=0，解得x1=一t十1，x2=一t一2.解法二 :△=(2t+1)2-4(t2+t-2)=9>0,.x= -(2十1)士3，即x,=-t+1,x2=-t-2, 2 3m=x2-4(y+1)x+6y2-4y=x2-4(y+1)x+ (2y+2)2+6y2-4y-(2y+2)2=(x-2y-2)2+2y2 12y-4=(x-2y-2)2+2(y-3)2-22.:x,y是实数， ..(x-2y-2)2≥0,2(y-3)2≥0...(x一2y-2)2十 2(y-3)2-22≥-22，即m≥-22.∴.m的最小值为-22. ④(1).△=[-2(m+1)]2-4m(m+2)=4m2+8m+ 4一4m2一8m=4>0,.∴.不论m取何值，该一元二次方程 一定有两个不相等的实数根.(2)m.x2一2(m+1)x十 m十2=0(m≠0)，.[mx-(m+2)](x-1)=0..x1 m+2 x=1:方程有一根小于-1，m+2<-1. m>0,或 m0, 解得-1<m<0.∴.m的 m+2<-mm+2>-m, 取值范围是-1<m<0. ⑤2025·a3是方程x2一x-2025=0的两个实数根， ∴.a2-a-2025=0,a十B=1..a2=a十2025..原式= a(a+2025)-2027a-B+1=a2+2025a-2027a-B+ 1=a+2025+2025a-2027a-B+1=2026-(a+B)= 2026-1=2025. ⑥(1)：方程有实数根，∴.△=[2(m十1)一4×1× (m2一1)≥0，解得m≥一1.(2)根据题意，得x1+ x2=-2(m+1),x1x2=m2-1.:(x1-x2)2=16- x1x2.(1十x2)2-4x1x2=16-x1x2,即(x1十x2)2- 3x1x2=16.∴.[-2(m+1)]-3(m-1)=16,整理，得 m2+8m-9=0,解得m1=1,m2=-9.m≥-1， .m=1. ⑦(1)设电动车车棚的宽AB为xm,则车棚的长BC= 70-2(x-1)-x=(72-3x)m.由题意，得x(72-3x)= 384,整理，得x2-24x+128=0,解得x1=16,x2=8. 72-3x≤45，.x≥9..x=16..72-3x=24.电 动车车棚的长BC为24m,宽AB为16m.(2)不能围成 占地面积为450m的电动车车棚.理由：设电动车车棚的 宽AB为ym,则车棚的长BC为(72一3y)m.由题意，得 y(72-3y)=450,整理，得y2-24y+150=0.:△= (一24)2-4×1×150=一24<0，∴.原方程无实数根..不 能围成占地面积为450m2的电动车车棚. ⑧(1)：四边形ABCD为平行四边形，.当AB=AD 时，□ABCD是菱形.：AB,AD的长是关于x的方程 x2-2mx十2m十3=0的两个实数根，.△=（一2m)2一 4×1×(2m+3)=0,即m2一2m一3=0，解得m1=一1， m2=3.当m=-1时，x2-2mx+2m+3=0化为x2+ 2x十1=0，解得x1=x2=一1，不符合题意，舍去；当m=3 时，x2一2mx十2m+3=0化为x2一6x十9=0，解得x1= x2=3,符合题意，∴.当m=3时，□ABCD是菱形. (2)不存在.理由：：AB,AD的长是关于x的方程x2 2mx十2m+3=0的两个实数根，∴.AB十AD=2m,AB· AD=2m+3,△=(-2m)2-4×1×(2m+3)≥0，即(m+ {m+1≥0，m+1≤0，. 1)(m-3)≥0... 或 m≤-1或 m-3≥0m-30. m≥.：AB,AD为□ACD的边长.：2m>0:解 (2m+3>0, 得m>0m≥8：(AB-3)(AD-3)=子m, :AB·AD-3(AB+AD)+9=m,即2m+3-3× 1 2m+9=4m2,解得m,=-8+47,m2=-8-47. m≥3，.m=-8十47，m2=-8-4√7均不符合题 49 数学（人教版）九年级上 意.不存在m的值，使得(AB-3)(AD-3)=m. [综合素养提升] ①C根据题意，得“贺岁方程”的一个根为x=一1.方 程a2x2一2024a.x十1=0(a≠0)是“贺岁方程”，，.a2十 2024a+1=0..a2+2024a=-1,2024a+1=-a2. ∴原式=(a+2024a)ta-2o2ia+-(a+2024a)+ 2024a2+a 2024a2 2024a+1-202ia+1=(a2+2024u)+2024a+ -1+2024a2 =-1-2024=-2025, -a2 2C方程(m+2)x2-2(m+1)x十m=0只有一个实 数根，∴.该方程是一元一次方程，即m十2=0，解得m= -2.∴.关于x的方程(m十1)x2-2m.x十m-2=0可化 为-x2+4x-4=0,即x2-4x+4=0.∴.△=(-4)2 4×1×4=0..∴.方程有两个相等的实数根」 3C.a,b是方程x2一3x一3=0的两个根，∴.a十b 3,a2-3a-3=0,b2-3b-3=0..a2=3a+3,b2=3b+ 3.∴.a3=a(3a+3)=3a2+3a=3(3a+3)+3a=12a+9. ∴.2a3-6a2+b2+3b+1=2(12a+9)-6(3a+3)+3b+ 3+3b+1=6(a+b)+4=6×3+4=22. 0-1Km≤3 根据题意，得x1十x2=1,x1x2= 3m2:x十，-1，<3,1-3m,1<3,解得 2 2 m>一1.，方程有两个实数根，∴.△=b2一4ac≥0，即 (一2)2-4X2X(3m-1D≥0，解得m<2.实数n的取 值范固是一-1m≤号 0-500:25+203+1=0.(月）广'+20（日）十 25=0.”a2+20a+25=0,明≠1，a,月可看作方程 x+20x+25=0的两个根1a+日=-20.a·日=25， :原式=。·台+日·台-(+日)=5× (-20)=一500. 0原式=x-4r+4+子(x2-2y+y)+1=（x 2》+(x-y)+1.:y为实数，(x-2)≥0， 寻-y≥0(x-2+x-yy+1≥1.原式 的最小值为1. ⑦(1)，△=b2-4ac=(m+3)2-4×1×(m+1)=m2+ 2m十5=(m十1)2+4>0，∴.无论m取何值，原方程总有 50 两个不相等的实数根.(2)由题意，得x1十x2=一(m十 3),x1x2=m+1.|x1-x2|=2W5,.(x1-x2)2= (25)2..(x1+x2)2-4x1x2=20,即[-(m+3)]2 4(m+1)=20,整理，得m2+2m-15=0,解得m1=3, m2=-5..m的值为3或-5. ⑧(1)(36-3x).(2)根据题意，得x(36-3x)=96,解 得x1=4,x2=8,:当x=4时，36-3x=24>14,.x=4 不合题意，舍去.当x=8时，36-3x=12<14,符合题意， ∴.x的值为8.(3)不能.理由：假设苗围ABCD的面积 能为110m,则由题意，得x(36一3x)=110,整理，得 3x2-36x+110=0.:△=(-36)2-4×3×110=-24< 0,∴·原方程无实数根..苗圃ABCD的面积不能为 110m2. 第二十六章二次函数 [高频考点突破] 0230由图象和题含可知。>0，名=-1，当x=0 时，y=c=2,∴.b=2a>0.∴.abc>0.故①错误.当x= 一1时，函数取得最小值为a一b十c,∴.am2十bm十c十a≥ a-b十c十a=2a一b十c=c=2.∴.对于任意实数m, am2十bm十c十a的值都不小于2.故②正确.如图，作点O 关于对称轴的对称点O',连接O'A,则O(一2,0)，∴.当点 P在OA上时，OP+AP的值最小，为OA的长.：A(0, 2),∴.OA=√22+2=2√2..OP+AP的最小值为 22.故③正确.抛物线的开口向上，∴.抛物线上的点离 对称轴越远，函数值越大.：点(x1y1),(x2,y2)在抛物 线上且满足，<1十十2>0士>-1 ∴点(x2y2)离对称轴更远.y,<y2.故④正确.综上所 述，正确的为②③④. (第1题) 2(1)抛物线y=a.x2+b经过点(6,0)，∴.0=aX 62十b×6..b=一6a.抛物线的对称轴为直线x= 上么将b三一6a代入，得x三二)0=3，“该抛物线的 2a 对称轴为直线x=3.(2)当a=一4时，b=一6X (一4)=24，∴.抛物线对应的函数解析式为y=一4x2+ 24x.∴.抛物线开口向下，对称轴为直线x=3.'当x≥3