第19讲 三角形的内切圆 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第19讲 三角形的内切圆 目录 知识点1 三角形内切圆相关定义 2 知识点2 三角形内心的核心性质（必考） 2 知识点3 三角形内切圆半径全套公式 2 知识点4 三角形内心与外心对比（重难点辨析） 2 知识点5 三角形内切圆作图步骤 3 题型1 三角形内心有关应用 3 题型2 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 8 题型3 三角形内切圆与外接圆综合 13 1. 知识目标：理解三角形内切圆、外切三角形、内心的定义，熟练掌握内心的核心性质与作图方法；熟记任意三角形、直角三角形内切圆半径计算公式；清晰区分三角形内心与外心的概念、位置、性质差异，掌握内切圆与外接圆的综合关联知识点。 2. 能力目标：能灵活运用三角形内心性质解决角度、线段、周长计算及证明问题；熟练掌握一般三角形周长、面积与内切圆半径的互算方法；精准攻克内切圆与外接圆的综合对比、计算、推理题型，突破易混淆知识点。 3. 素养目标：建立几何模型、数形结合、对比辨析的数学思想，提升圆与三角形综合识图、公式运用、逻辑推理、综合解题能力，完善圆的几何体系，夯实中考三角形内外心综合题型基础。 知识点1 三角形内切圆相关定义 1. 内切圆：与三角形三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。 2. 外切三角形：存在内切圆的三角形，叫做该圆的外切三角形。 3. 内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条内角平分线的交点。 核心特征：任意三角形有且只有一个内切圆，内心始终在三角形内部。 知识点2 三角形内心的核心性质（必考） 1. 内心到三角形三条边的距离相等，距离长度等于内切圆半径； 2. 内心与三角形各顶点的连线，平分对应内角； 3. 角度结论：在△ABC中，内心为I，则（高频秒杀公式）； 4. 内切圆切点性质：从三角形同一顶点引到内切圆的两条切线段长度相等。 知识点3 三角形内切圆半径全套公式 1. 任意三角形通用公式： 为三角形面积，为三角形周长，适用于所有三角形。 2. 直角三角形专属秒杀公式： 为直角边，为斜边，仅适用于直角三角形。 3. 直角三角形拓展公式：，可与专属公式等价互换。 知识点4 三角形内心与外心对比（重难点辨析） 对比项目 内心（内切圆圆心） 外心（外接圆圆心） 图形 圆心来源 三条内角平分线交点 三边垂直平分线交点 距离性质 到三边距离相等（等于半径） 到三顶点距离相等（等于半径） 位置特点 始终在三角形内部 锐角内、直角中点、钝角外 对应圆 内切圆（切三边） 外接圆（过三顶点） 知识点5 三角形内切圆作图步骤 1. 作三角形任意两个内角的角平分线，交点即为内心； 2. 过内心向任意一边作垂线段，垂线段长度为内切圆半径； 3. 以内心为圆心、垂线段长为半径画圆，即为三角形内切圆。 题型1 三角形内心有关应用 解题技巧（性质秒杀通法） 1. 角度计算：优先使用核心结论，直接口算内心夹角，无需分步推导； 2. 线段计算：利用“同顶点切线长相等”，拆分三角形边长，求解切点线段长度、周长； 3. 距离求解：内心到三边距离相等，直接等价为内切圆半径，快速求值； 4. 证明题型：通过角平分线性质、等距性质，证明线段相等、角度相等、垂直关系； 5. 核心套路：遇内心，先想角平分、等距、固定角度公式，一步锁定解题突破口。 【典例1】．将三角形按下列方式折叠得到线段，其中满足三角形的内心一定在上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形内心的性质：因为三角形内心是三个内角角平分线的交点，所以若内心在上，则一定是某一个内角的角平分线，因为折叠前后对应角相等，所以分析各选项中折叠后得到的相等角，判断是否能推出AD平分△ABC的某一个内角，逐一验证选项即可． 【详解】解：选项A：折叠后点落在边上，根据折叠前后对应角相等，可得，即平分，因此的内心一定在上， 选项A正确； 选项B：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项B不符合题意； 选项C：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项C不符合题意； 选项D：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项D不符合题意． 【典例2】．下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C．三角形三条高的交点是三角形的重心 D．直角三角形的外心在斜边上 【答案】D 【详解】选项A：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，选项A错误，不符合题意； 选项B：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，到三角形三边距离相等的点才是三角形的内心，所以B错误，不符合题意； 选项C：三角形三条高的交点是三角形的垂心，三角形三条中线的交点才是三角形的重心，所以C错误，不符合题意； 选项D：直角三角形的外心是其斜边的中点，因此直角三角形的外心在斜边上，所以D正确． 【变式1】．三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别判断三角形四心在任意三角形中的位置，统计满足“任意三角形中都在内部”的心的个数即可得到答案． 【详解】解：内心是三角形内角平分线的交点，任意三角形的内心都在三角形内部； 重心是三角形中线的交点，任意三角形的重心都在三角形内部； 外心是三角形三边垂直平分线的交点，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点，因此外心不满足条件； 垂心是三角形高线所在直线的交点，钝角三角形的垂心在三角形外部，直角三角形的垂心在直角顶点，因此垂心不满足条件． 综上所述，满足条件的心共有种． 【变式2】．如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，于点，由内心的定义和角平分线的性质可得，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， 点为内心， ，，分别平分，，， ，，， ， ． 【变式3】．如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 【答案】 【分析】连接，根据内切圆的性质得到，，然后证明四边形为正方形，求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴， ∵， ∴四边形为正方形，， ∴， ∴的长． 【变式4】．如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得，，则，然后根据四边形内角和计算的度数． 【详解】解：连接，如图，    ∵， ∴， ∵是的内切圆与、、分别相切于点D、E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型2 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 解题技巧（公式双向互推法） 1. 核心万能公式：牢记，可实现三者双向互求； 2. 已知面积、周长，直接代入公式求内切圆半径； 3. 已知半径、周长，变形公式求三角形面积； 4. 已知半径、面积，变形公式求三角形周长； 5. 解题思路：不规则、普通三角形一律用通用公式，禁止套用直角三角形专属公式，避免出错； 6. 面积拆分原理：内切圆将三角形分为三个小三角形，总面积为三个小三角形面积之和，是公式推导核心依据。 【典例3】．如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积与扇形的面积的差，进而即可求解． 【详解】解：如图令，分别交于，， ∵是的内切圆，切点分别为G，D，R， ∴图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积， ∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例4】．如图，三角形纸片的三边之比，是它的内切圆，的三条切线、、分别交的边于点D、E、F、G、M、N，则、、的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，全等三角形的判定与性质及三角形周长计算．设，，，分别过点O作，，，，，，由切线长定理知，，，分别连接，，，，，，利用“”证明，同理可得，，，，，从而得出，，，，，设，，，将，，的周长分别用含a、b、c的式子表示出来，联立的周长表达式求得，进而得出a、b、c含k的表达式，最终经过计算得出比值． 【详解】解：由题意知，设，，， 如图，分别过点O作，，，，，， 由切线长定理知，从点B引两条切线，，则有， 同理得：，， 分别连接，，，，，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理，易证得：，，，，， ∴，，，，， 设，，， ∴， ， ， ∴，即， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：D． 【变式1】．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，数形结合可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点，且， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：A． 【变式2】．已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的外心与内心概念、勾股定理的逆定理、内切圆的性质．利用三角形三边分别为5、12、13，可得三角形是直角三角形，根据内切圆的性质可判定四边形是正方形，所以用r分别表示；再利用作为相等关系求出，则可得，N为圆与的切点，M为的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心，在中，先求得，再由勾股定理可求得的长． 【详解】解：如图， ∵三角形三边分别为5，12，13， ∴， 根据勾股定理的逆定理，得三角形是直角三角形，外接圆的半径：， 如图，设，， 设的内切圆的半径为r，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 在中，， 根据勾股定理得∴， 则该三角形内心与外心之间的距离为， 故答案为：． 【变式3】．如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形内切圆、切线长定理．由切线长定理可得，，，从而得出的值，再由三角形周长得出的值，设，列出关于x的方程求解x的值，即可得出的值． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵的周长为36， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 即的长为8， 故答案为：8． 题型3 三角形内切圆与外接圆综合 解题技巧（双心对比建模法） 1. 先辨双心：区分内心（角平分线交点、等距三边、内）、外心（垂直平分线交点、等距三顶点、位置不定）； 2. 双半径计算：分别套用内外圆公式，求外接圆半径、内切圆半径； 3. 直角三角形综合秒杀：外心在斜边中点，，内心半径，快速求解双半径差值、比值； 4. 角度综合：外心利用圆周角、圆心角关系，内心利用公式，联立求解复合角度； 5. 最值与范围：结合双心位置特征，判断内外圆半径取值、点的位置关系； 6. 易错规避：严禁混淆双心性质，不混用内外圆半径公式，根据题型精准匹配定理。 【典例5】．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 【典例6】．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵是的内切圆， ， ， ， 故选： C． 【变式1】．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 【变式2】．已知，分别是的外心和内心，，则的大小是______． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外心和内心的性质．外心是三角形外接圆的圆心，给定，根据点的位置不同，有两种可能值；内心是三角形角平分线的交点，利用公式计算即可． 【详解】解：∵是的外心，， ∴当点在优弧上时，， ， ∵是的内心， ， ， ∴； 当点在劣弧上时，， ， ∵是的内心， ， ， ∴． 故答案为：或． 【变式3】．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4】．已知分别是的外心和内心，，则的大小是___________． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的内心和外心的性质，熟练掌握三角形内心和外心的性质是解题的关键，利用外心性质确定的两种可能值，再根据内心性质计算． 【详解】解：∵O是的外心，， ∴当点A在优弧上时， ， 当点A在劣弧上时， . ∵I是的内心， ∴. 当时，； 当时，. 故答案为：或. 1．三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 2．已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】连接、、．根据内心的性质可知平分，结合为直径，利用垂径定理可得且．在中利用勾股定理求出，进而得到的长．在中求出的长．利用圆周角定理和三角形外角性质证明，最后根据求解． 【详解】解：连接、、． ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∵为的直径， ∴，． 在中，，， ， ∴． 在中，， ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 3．如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 4．如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆与各边的切点分别为E，F，N，连接，根据切线的性质，证明四边形是正方形，设，，得，根据解方程组，勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆与各边的切点分别为E，F，N， 连接， 根据切线的性质，得， 故四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 根据切线长定理，得， 设，， ，，， ， 故， 解得， 点M是圆的外心， 故点M是斜边的中点， 故， 连接， 根据勾股定理，得， 故选：C． 5．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合常见尺规作图分析即可． 【详解】解：三角形的内心是三角形角平分线的交点， 由选项可得选项B是尺规作两个角的平分线，故符合题意． 6．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据三角形内心性质推出，再利用圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求解，即可解题． 【详解】解：连接， 点是的内心，， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ． 7．下列说法正确的是（   ） A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点 C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合 【答案】D 【分析】本题考查三角形内心与外心的定义，内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三个内角角平分线的交点．外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．结合定义逐一辨析选项． 【详解】解：∵三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边垂直平分线的交点． ∴A选项说法错误，B选项说法错误； ∵等腰直角三角形的外心在斜边中点处，内心在三角形内部，二者不重合． ∴C选项说法错误； ∵等边三角形的内角平分线与三边垂直平分线重合，其内心与外心为同一点． ∴D选项说法正确． 故选：D． 8．如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（    ） A．1.25 B．1.125 C．1.1 D．1.2 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质，设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、，由内切圆可得，，，，则，即可得到，同理可得，再代入计算即可． 【详解】解：设的内切圆圆心，切点分别为、、，连接、、、、、， ∵， ∴，， ∵为斜边上的中线， ∴，， ∵的内切圆圆心，切点分别为、、，的内切圆半径为， ∴，，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故选：B． 9．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，直角三角形的斜边中线的性质，根据直角三角形的边角关系和性质求出，，，，再利用三角形内切圆半径，三角形周长与面积之间的关系分别表示，，由可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，，，，，过点O，点I分别作的垂线，垂足分别为M，N， 在中，，，， ∴， ∵为中线， ∴， ∵，即， ∴ ∴． 故选：B． 10．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．现给出以下四个判断： （1）；（2）； （3）；（4）． 则正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内心，圆周角定理，等腰三角形的判定，掌握三角形的内心的定义是解题的关键． 根据三角形内心的性质可对（1）进行判断；根据圆内接四边形对角互补直接可对（2）进行判断；根据三角形内心的性质，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形等角对等边可对（3）进行判断；根据三角形内心的性质，等弧和等弦的关系可对（4）进行判断． 【详解】解：（1）∵点是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故（1）不正确； （2）∵的延长线和的外接圆相交于点， ∴四边形是的外接圆的圆内接四边形， ∴， ∴， 故（2）正确； （3）∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故（3）正确； （4）∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故（4）正确； ∴正确的结论是：（2）（3）（4）， ∴正确结论的个数为3． 故选：C． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求解，连接，，，过作，，，垂足分别为，，，根据是的内心，利用，，，得出，求解即可． 【详解】解：点，点， ，， ∴在中，； 连接，，，过作，，，垂足分别为，，， 是的内心， ∴分别平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可得，，， 设，则，， ， 解得：， ∴， 的坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是． 12．如图，内接于，于点，若为的内心，则______． 【答案】 【分析】连接，由得，进而由内心的定义得，即得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，得到，即得到，是等腰直角三角形，得，设，则，由得，得到，最后代入计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵于点， ∴， ∴， ∵为的内心， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长； 故答案为：12． 14．如图，在中，截三条边所得的弦长相等，连结，，则___________． 【答案】/130度 【分析】本题考查的是垂径定理，三角形的内心及三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些内容． 先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即O是的内心，从而，进一步求出的度数． 【详解】解：如图， ∵在中，，截的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等，则O是的三条角平分线的交点，即O是的内心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图，是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③；④若点为的中点，则，其中一定正确的序号是__． 【答案】①②③④ 【分析】根据点是的内心，可得，故①正确；连接，，可得，，从而得到，进而得到，故②正确；根据点是的内心和三角形的外角的性质，可得，从而得到，故③正确；由，得出，再由点为的中点，则成立，故④正确． 【详解】解：①是的内心， 平分， ，故①正确； ②如图，连接，， 是的内心， ，， ， ， ， ，故②正确； ③如图，连接，，，， 平分， ， ， ， ， ，故③正确； ④， ， ，， 点为的中点， 线段经过圆心， ， ，故④正确； 综上，一定正确的结论为①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心的定义，圆周角定理，垂径定理及其推论是解题的关键． 16．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 17．如图，内接于，且是的直径． (1)尺规作图：作出的内心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接并延长，与交于另一点．若，，求线段的长？ 【答案】(1)解：所作的内心如图所示： (2) 【分析】（1）根据三角形的内心是角平分线的交点，作出任意两个角的平分线即可得到的内心； （2）连接，过点作于点，利用半圆（直径）所对的圆周角是直角，以及勾股定理求出，再结合弧、弦、圆心角的关系，以及解直角三角形的相关计算求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点作于点， 的内心为， ， ， 是的直径， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 18．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，由同弧所对的圆周角相等得到，再由内心性质得到，，结合外角性质得到，再由，等量代换即可得到，结合等腰三角形的判定与性质即可得证； （2）由（1）知，再由圆周角定理及三角形内角和定理可得，再由三角形内心的性质得到，，然后在中，由三角形内角和定理代值计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， 点是的内心， 平分，平分， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ； （2）解：连接，如图所示： 由（1）知， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 点是的内心， 平分，平分， ，， 在中， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及同弧所对的圆周角相等、三角形内心性质、角平分线定义、外角性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识，熟记三角形内心等相关几何性质，掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键． 19．如图，点E是中的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，过D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理． （1）连接交于点H，连接，由的内心得到，再由得到，即可证明； （2）连接，证出，得到，在中，，求出．在中，，解得，即可求出． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点H．连接， ∵点E是的内心， ∴平分， ∴，    ，     ∴，         ∴．         ∵， ∴．         又是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接． ∵点E是的内心， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴ 由(1)得，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 在中， ∴， 解得． 在中， ， ∴， 解得， ∴的半径为5． 20．如图，是的弦，点D在上，连接 ． (1)若，则_________°． (2)用无刻度直尺和圆规作，使点D为的内心（保留作图痕迹，不写作法）．完成下列问题 ①当时，求的度数． ②连接，证明：C、D、O三点共线． 【答案】(1) (2)图见解析；①；②见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，内心，尺规作图． 对于（1），先根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质得出答案； 对于（2），用尺规作，交于点C，则即为所求作； ①先根据圆周角定理得，再根据内心的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案； ②先连接，设，再表示，即可得，然后根据三角形内角和定理求出根据内心的性质得，接下来在中，根据三角形内角和定理表示出，进而在中表示出 ，最后结合可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴. ∵， ∴. 故答案为：； （2）解：如图， 为所求三角形．             ①，理由：， 由作图得，， ∴． 故答案为：；             ②证明：连接，设， 则：， 由内心得：， 在中，， 在中，， 在中， ． 所以， 所以C、D、O三点共线．                 21．如图1，点为外一点，过点作的切线，切点为是的直径，过点作交于点，连接并分别延长，两线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分面积（结果保留）； (3)如图2，若的半径为2，点是的内心，连接并延长至点，使得，垂足为，连接．当点运动时，求的最小值． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的切线， ∴， ∴是的切线； (2) (3)的最小值 【分析】本题考查切线的性质与判定，扇形面积计算，三角形内心； （1）连接，证明，结合的切线，得到，即可得到是的切线； （2）由，得到，，，结合，得到，，然后根据图中阴影部分面积计算即可； （3）延长交于，连接，取中点，连接，，由点是的内心，得到，由，得到，根据斜边中线的性质得到，即可得到，当在上时，最小． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，，， 设半径，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：延长交于，连接，取中点，连接，， ∵直径， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∵中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小． 22．如图，内接于，点是的内心，延长交于点，连接交于点E，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）利用三角形内心的定义可得，，利用同弧所对的圆周角相等得到，再利用三角形外角的性质可得，即可证明； （2）过点作于点，由得到，利用垂径定理的推论证得，则有，，进而推出，得到，再利用三角形内心的性质得到，再结合即可求解． 【详解】（1）证明：∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点，则， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的内心，即点是内切圆的圆心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆综合问题，涉及圆周角定理、等角对等边、垂径定理、三角形的内心、全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形内心的定义及性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 三角形的内切圆 目录 知识点1 三角形内切圆相关定义 2 知识点2 三角形内心的核心性质（必考） 2 知识点3 三角形内切圆半径全套公式 2 知识点4 三角形内心与外心对比（重难点辨析） 2 知识点5 三角形内切圆作图步骤 3 题型1 三角形内心有关应用 3 题型2 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 5 题型3 三角形内切圆与外接圆综合 6 1. 知识目标：理解三角形内切圆、外切三角形、内心的定义，熟练掌握内心的核心性质与作图方法；熟记任意三角形、直角三角形内切圆半径计算公式；清晰区分三角形内心与外心的概念、位置、性质差异，掌握内切圆与外接圆的综合关联知识点。 2. 能力目标：能灵活运用三角形内心性质解决角度、线段、周长计算及证明问题；熟练掌握一般三角形周长、面积与内切圆半径的互算方法；精准攻克内切圆与外接圆的综合对比、计算、推理题型，突破易混淆知识点。 3. 素养目标：建立几何模型、数形结合、对比辨析的数学思想，提升圆与三角形综合识图、公式运用、逻辑推理、综合解题能力，完善圆的几何体系，夯实中考三角形内外心综合题型基础。 知识点1 三角形内切圆相关定义 1. 内切圆：与三角形三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。 2. 外切三角形：存在内切圆的三角形，叫做该圆的外切三角形。 3. 内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条内角平分线的交点。 核心特征：任意三角形有且只有一个内切圆，内心始终在三角形内部。 知识点2 三角形内心的核心性质（必考） 1. 内心到三角形三条边的距离相等，距离长度等于内切圆半径； 2. 内心与三角形各顶点的连线，平分对应内角； 3. 角度结论：在△ABC中，内心为I，则（高频秒杀公式）； 4. 内切圆切点性质：从三角形同一顶点引到内切圆的两条切线段长度相等。 知识点3 三角形内切圆半径全套公式 1. 任意三角形通用公式： 为三角形面积，为三角形周长，适用于所有三角形。 2. 直角三角形专属秒杀公式： 为直角边，为斜边，仅适用于直角三角形。 3. 直角三角形拓展公式：，可与专属公式等价互换。 知识点4 三角形内心与外心对比（重难点辨析） 对比项目 内心（内切圆圆心） 外心（外接圆圆心） 图形 圆心来源 三条内角平分线交点 三边垂直平分线交点 距离性质 到三边距离相等（等于半径） 到三顶点距离相等（等于半径） 位置特点 始终在三角形内部 锐角内、直角中点、钝角外 对应圆 内切圆（切三边） 外接圆（过三顶点） 知识点5 三角形内切圆作图步骤 1. 作三角形任意两个内角的角平分线，交点即为内心； 2. 过内心向任意一边作垂线段，垂线段长度为内切圆半径； 3. 以内心为圆心、垂线段长为半径画圆，即为三角形内切圆。 题型1 三角形内心有关应用 解题技巧（性质秒杀通法） 1. 角度计算：优先使用核心结论，直接口算内心夹角，无需分步推导； 2. 线段计算：利用“同顶点切线长相等”，拆分三角形边长，求解切点线段长度、周长； 3. 距离求解：内心到三边距离相等，直接等价为内切圆半径，快速求值； 4. 证明题型：通过角平分线性质、等距性质，证明线段相等、角度相等、垂直关系； 5. 核心套路：遇内心，先想角平分、等距、固定角度公式，一步锁定解题突破口。 【典例1】．将三角形按下列方式折叠得到线段，其中满足三角形的内心一定在上的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】．下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C．三角形三条高的交点是三角形的重心 D．直角三角形的外心在斜边上 【变式1】．三角形有“四心”——内心，外心，重心，垂心（三条高线所在直线的交点）．任意一个三角形的________心都在该三角形内部，则横线上填的四心种类共有（     ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．如图，的周长为，点为的内心，连接、，于点．若，则的面积是________． 【变式3】．如图，在中，，是的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若，则的长为______，（结果保留π） 【变式4】．如图所示，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，若，则的度数是________． 题型2 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 解题技巧（公式双向互推法） 1. 核心万能公式：牢记，可实现三者双向互求； 2. 已知面积、周长，直接代入公式求内切圆半径； 3. 已知半径、周长，变形公式求三角形面积； 4. 已知半径、面积，变形公式求三角形周长； 5. 解题思路：不规则、普通三角形一律用通用公式，禁止套用直角三角形专属公式，避免出错； 6. 面积拆分原理：内切圆将三角形分为三个小三角形，总面积为三个小三角形面积之和，是公式推导核心依据。 【典例3】．如图，已知中，，内切圆半径为3，则图中阴影部分面积和是（   ） A． B． C． D． 【典例4】．如图，三角形纸片的三边之比，是它的内切圆，的三条切线、、分别交的边于点D、E、F、G、M、N，则、、的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，的内切圆分别与相切于点，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．已知一个三角形的三边长分别为5、12、13，则该三角形内心与外心之间的距离是__________． 【变式3】．如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 题型3 三角形内切圆与外接圆综合 解题技巧（双心对比建模法） 1. 先辨双心：区分内心（角平分线交点、等距三边、内）、外心（垂直平分线交点、等距三顶点、位置不定）； 2. 双半径计算：分别套用内外圆公式，求外接圆半径、内切圆半径； 3. 直角三角形综合秒杀：外心在斜边中点，，内心半径，快速求解双半径差值、比值； 4. 角度综合：外心利用圆周角、圆心角关系，内心利用公式，联立求解复合角度； 5. 最值与范围：结合双心位置特征，判断内外圆半径取值、点的位置关系； 6. 易错规避：严禁混淆双心性质，不混用内外圆半径公式，根据题型精准匹配定理。 【典例5】．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例6】．在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【变式2】．已知，分别是的外心和内心，，则的大小是______． 【变式3】．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【变式4】．已知分别是的外心和内心，，则的大小是___________． 1．三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 2．已知为的外接圆，点E是的内心，的延长线交于点F，交于点D．如图，为的直径，若，，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，在中，已知，，，则其内心O和外心M之间的距离是（   ） A． B． C． D． 5．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（   ） A．三角形的内心是三边垂直平分线的交点 B．三角形的外心是三个内角平分线的交点 C．等腰直角三角形的内心与外心重合 D．等边三角形的内心与外心重合 8．如图，在中，为斜边上的中线，若，设与的内切圆半径分别为，则的值为（    ） A．1.25 B．1.125 C．1.1 D．1.2 9．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 10．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．现给出以下四个判断： （1）；（2）； （3）；（4）． 则正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________． 12．如图，内接于，于点，若为的内心，则______． 13．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 14．如图，在中，截三条边所得的弦长相等，连结，，则___________． 15．如图，是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③；④若点为的中点，则，其中一定正确的序号是__． 16．如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 17．如图，内接于，且是的直径． (1)尺规作图：作出的内心；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接并延长，与交于另一点．若，，求线段的长？ 18．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：． (2)连接．若，求的度数． 19．如图，点E是中的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，过D作直线． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 20．如图，是的弦，点D在上，连接 ． (1)若，则_________°． (2)用无刻度直尺和圆规作，使点D为的内心（保留作图痕迹，不写作法）．完成下列问题 ①当时，求的度数． ②连接，证明：C、D、O三点共线． 21．如图1，点为外一点，过点作的切线，切点为是的直径，过点作交于点，连接并分别延长，两线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分面积（结果保留）； (3)如图2，若的半径为2，点是的内心，连接并延长至点，使得，垂足为，连接．当点运动时，求的最小值． 22．如图，内接于，点是的内心，延长交于点，连接交于点E，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，且，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $