30.1.2圆的切线（第2课时）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

第三十章 直线与圆的位置关系 30.1 直线与圆 30.1.2 圆的切线 第2课时 切线长及切线长定理 学 习 目 标 1 2 3 了解过圆外一点作圆的切线的尺规作图方法，理解作图原理. 掌握切线长定理——从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 经历过圆外一点作圆的切线的探索过程，培养学生的尺规作图能力和几何直观. 旧知复习 回顾 （1）切线的性质是什么？ （2）切线的判定定理是什么？ （1）切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径. （2）切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. O A 新知引入 探究 我们已经知道过圆上一点作圆的切线的方法——经过该点作半径的垂线即可. 本节课我们就来研究如何过圆外一点作圆的切线，并学习切线长定理. O A 如果点A在圆外，如何过圆外一点作圆的切线呢？ 探究1：过圆外一点作圆的切线 新知探究 探究 如图，是⊙O外一点，要过点作⊙O的切线.如何确定切点的位置？ 即需在⊙O上确定一点A，满足，即 作法： （1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN，与OP交于点C； （2）以点C为圆心，CO为半径作圆，与⊙O相交于A，B两点； （3）作直线PA，PB，即所求作的切线。 点击图片观看作图过程. 新知探究 概念归纳 切线长 我们把经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长（如图中的线段PA，PB的长），叫作这点到圆的切线长。 探究1：过圆外一点作圆的切线 切线与切线长的区别——切线是一条直线，无法度量；切线长是切线上一条线段的长，即圆外切线上一点和切点之间的距离，可以度量； 新知探究 注意事项 方法总结 过圆外一点可以作圆的两条切线，因此有两条切线长； 过圆上一点只能作圆的一条切线，过圆内一点不能作圆的切线。 探究1：过圆外一点作圆的切线 【分析】区分切线（直线）与切线长（线段）的定义，结合点与圆的位置关系判断切线数量。 新知巩固 切线长 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1）切线长就是切线的长度； （2）过圆外一点可以作圆的两条切线； （3）过圆上一点可以作圆的一条切线。 错误.切线是直线，直线无限长，不能度量；切线长指从圆外一点到切点之间的线段长度。 (2) 正确.圆外一点向圆引切线，能作出 2 条。 (3) 正确.过圆上有且只有 1 条圆的切线。 新知探究 探究2：切线长定理 探究 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过点O，P作直线OP。线段PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 猜想： 证明：连接OA和OB ∵ PA和PB是⊙O的两条切线， ∴ （切线的性质） 又 ， ∴ ∴ 新知探究 探究2：切线长定理 概念归纳 切线长定理   从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言： ∵ PA和PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B ∴ . 切线长定理包含两个结论——①切线长相等（PA=PB）；②圆心与圆外点的连线平分两条切线的夹角； 注意事项 方法总结 新知探究 探究2：切线长定理 切线长定理的证明利用了切线的性质（垂直）和全等三角形（HL）； 切线长定理是证明线段相等和角相等的重要方法。 切线长定理的应用 教材例题 【分析】利用切线长定理得到，算出顶角为判定为等边三角形，再结合直角三角形边角关系求出边长，进而得到周长. 如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，连接AB，若∠APO=30°，OP=2，求△PAB的周长. 解：如图 ，连接 ． 是 的两条切线， 是切点， ，，． 又 ， ． 是等边三角形． ． 教材例题 切线长定理的应用 【分析】本题考查直径所对圆周角为90，切线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键. 巩固训练1 有关切线的概念辨析 尺规作图：已知⊙O，点P在圆外，过点P引圆的两条切线．（不写作法，保留作图痕迹） 解：以为直径作 与交于，连接 根据直径所对圆周角为 则 由切线的判定定理可知为的两条切线． 巩固训练2 应用切线长定理求解 【分析】根据切线长定理得到 , , 再根据 的周长为 12 得到 , 即可求出 的长． 如图所示, 是 外一点, 分别和 切于 两点, 是 上任意一点, 过 作 的切线分别交 于 . 若 的周长为 12 , 则 的长为多少? 解: 分别和 切于 两点, 过 作 的切线分别交 于 . 巩固训练1 有关切线的概念辨析 变式题 如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． (1)如图①，点在上． (2)如图②，点在外．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 解：(1)如图，直线为所作． (2)如图，、为所作． 的周长为 12 , 巩固训练2 应用切线长定理求解 巩固训练2 应用切线长定理求解 变式题 如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则的度数是多少？ 解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， 为的直径， ， 和都是所对的圆周角，， ， 巩固训练2 应用切线长定理求解 ， ，是的切线，，是切点， ，， ，， 巩固训练3 应用切线长定理求证 【分析】根据切线长定理以及线段垂直平分线的判定证明即可； 乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． 求证：垂直平分． 证明：∵悬挂绳分别切于点B、C， ∴ ∵ ∴垂直平分 巩固训练3 应用切线长定理求证 变式题 如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 课堂总结 本节课你学到了什么？ 22 感谢聆听! 23 $