第25讲 圆的切线（6类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第25讲圆的切线 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1判断或补全条件使直线为切线等条件 题型2证明某直线是圆的切线 题型3切线性质的应用 题型4切线的性质与判定的综合应用 题型5求平移到直线相切时圆心经过的距离 题型6求直线平移到与圆相切时运动的距离 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解切线的定义（与圆只有一个公共点的直线），掌握切线的判定定理 (过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线)。 切线、判定定理、性2.掌握切线的性质定理（圆的切线垂直于过切点的半径），并能用它进行相 质定理、垂直、切线关证明和计算。 长定理、切点。 3.掌握切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心 和这点的连线平分两条切线的夹角)。 4.体会转化与数形结合思想，能综合运用切线性质与判定解决几何问题。 学习重点：切线的判定定理与性质定理的理解与应用，切线长定理的应用。 学习难点：区分并灵活运用切线的判定定理与性质定理（判定是“证垂直”，性质是“"得垂直”）， 以及切线长定理与角平分线、垂直平分线的综合运用。 02 教材全解 ◇： 知|识|框|架 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 切线的定义 直线与圆只有一个公共点 判定中垂直条件遗漏 高频易错点 该公共点称为切点 切线长与圆半径混淆 判定定理 过半径外端且垂直于半径的直线是切线 切线的判定 切线证明与性质应用 连半径证垂直 常见证明思路 切线长定理计算 高频考点 作垂直证半径 三角形内切圆半径计算 圆的切线 性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 切线的性质 与三角形各边都相切的圆定义 过切点垂直于切线的直线必过圆心 推论 内切圆圆心，是三条角平分线的交点 过圆心垂直于切线的直线必过切点 内心 三角形的内切圆 到三角形三边距离相等 切线长定义 圆外一点到切点的线段长度 切线长定理 利用面积法S=(a+b+cr/2内切圆半径求法 从圆外一点引两条切线，切线长相等 定理内容 圆心与这一点的连线平分两切线夹角 知1识|精|讲 知识点01圆的切线 1.切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2。切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径 3.切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段， 4.切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等， 【易错提醒】 切线判定：垂直半径且垂足在圆上；切线性质：切线垂直过切点半径。易错：只证垂直未说 明垂足在圆上，判定不成立 即时即练1，如图，过O0上一点A作⊙O的切线，交直径BC的延长线于点D,连接AB、AC,若 ∠B=25°，则∠DAC的度数为() 2/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.20° B.25° C.30° D.35° 2.如图，已知⊙0的半径为1，点P是⊙0外一点，且OP=2.若PT是⊙0的切线，T为切点，连接OT, 则PT= 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点 D,连接CD,且CD=AC. (1)求证：CD是⊙O的切线： 2)若∠A=60°，AC=2N5,求BD的长. 03 题型突破 题型1 判断或补全条件使直线为切线等条件 【例1】如图，⊙0和直线，直线在同一平面内，AB是⊙0的直径，直线是⊙0的切线，直线经过 点A,下列条件不能判定直线与⊙0相切的是() 3/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 12 A.4∥g B.I⊥AB C.1与⊙0只有一个公共点 D.点O到上某点的距离等于半径 【例2】如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D,DE L AC于点E,下列说法不正确的是() B A.若DE=DO,则DE是⊙O的切线B.若AB=AC,则DE是⊙O的切线 C.若CD=DB,则DE是⊙O的切线D.若DE是⊙O的切线，则AB=AC 【技巧归纳】 证明切线分两种：有连半径证垂直，无半径作垂直证等于半径：逆向推导补齐边角条件满足 垂直即可判定切线 【变式11】如图，点C在以AB为直径的半圆上AB=6,∠ABC=30°，点D在线段AB上运动，点E与 点D关于AC对称，DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F,当AD长度为 时， EF与半圆相切. 【变式1-2】如图，CD是⊙0的直径，BD是⊙O的弦，延长DC到点A,使∠ABD=120°，有下列三个条 件：①AC=BC;②OC=BC;③AB=BD.其中只需添加一个条件就能使AB成为OO的切线的是 (填序号)· 4/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2证明某直线是圆的切线 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙0交AB于点D,点E在AC上， AE=DE,ED,CB的延长线相交于点F.求证：EF是⊙O的切线； F B E 【例4】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙0交AB于点D,点E为AC的中点，连接 DE D B (I)求证：DE是⊙O的切线； (2)若∠ABC=30°，DE=5,求BD的长. 【技巧归纳】 已知交点就连半径证垂直：无交点过圆心作垂线，证垂线段长等于半径，两种思路按需选用 完成切线证明 【变式21】如图，AB是⊙O的直径，点C、E在OO上，∠CAB=2∠EAB,点F在线段AB的延长线上且 ∠AFE=∠ABC 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：EF是OO的切线： 2)若BF=1' 血∠4E-求OO的半径. 【变式2-2】如图，以线段AB为直径的OO交线段AC于点E,点M是AE的中点，OM交AC于点D, 1 ∠BOE=60°， cosC= 2 M D (1)求∠A的度数 (2)求证：BC是⊙O的切线： .BC是⊙O的切线 题型3切线性质的应用 【例5】如图，当太阳光线与地面成60°的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m,则热气球的直径 是() 602 地面 A.20m B.10v3m C.5v3m D.10m 【例6】如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是() -10 A.5-1 B.5-（-1) C.-5-1 D.-5-(-1) 6/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【技巧归纳】 遇切线先连圆心切点得垂直，利用直角推导等角、边长，结合勾股、相似、圆周角定理求解 角度与线段 【变式31】小明对出自秦九韶《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有 正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走 6km到达城堡边，再往前走4km到达树下，则该城堡的外围周长为 km. 大树 北门 西门 东门区 南门 【变式32】如图，是一圆形铁片（⊙0）平放在一个三棱柱盒子底面（△ABC)上的俯视图，铁片可以 在盒内贴着盒底自由移动.若AB=AC=10cm,BC=12cm,⊙0的半径是1cm,则该盒子底面上，不能被 该圆形铁片到达的部分的面积是cm2. B 题型4切线的性质和判定的综合应用 【例T】如图，AB是圆O的弦，OA⊥OD,AB,OD相交于点C,且CD=BD.连接OB,当OA=3, OC=1时，则线段BD的长为() D B A.3 B.4 C.5 D.6 【例8)如图，在矩形ABCD中，BC=8,以AB为直径作⊙0，将矩形ABCD绕点B旋转，使所得矩形 A'BCD'的边CD与⊙O相切，切点为E,边'B与⊙O相交于点F,若BF=8,则AB长为() 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D E to B C A.9 B.10 C.83 D.12 【技巧归纳】 判定切线按需连半径证垂直或作垂线证等半径：利用切线垂直半径推导直角，结合勾股、相 似求解边角 【变式41】如图，AC,BC是⊙0的弦，PA,PB是⊙0的切线.若∠C=65,则∠P= 【变式42】如图，AB与⊙0相切于点B,AO交⊙0于点F,延长A0交⊙0于点C,连接BC,点D为 ⊙0上一点，且DF=BF,连接AD. D B (I)求证：AD是⊙O的切线： 2)若AB=10,AC=12,求⊙0的半径长. 题型5求平移到直线相切时圆心经过的距离 【例9】如图，在平面直角坐标系x0中，点P的坐标为(-3,0)，以点P为圆心，2为半径的⊙P以每秒2 个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为1，当⊙P与y轴相切时，t的值为() 8/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 0 A.0.5 B.1 C.0.5或2.5 D.1或3 3 【例10】如图，直线y=一4-3交x轴于点A,交y轴于点B,点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1 个单位长度为半径作⊙P,当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是() A PO B a(30 B.（0威0 c.0) p.(0成0 【技巧归纳】 先算出圆心到原直线距离，对比半径得到平移差值，分清左右平移两种情况，算出对应平移 路程即可 【变式51】如图，在直线I上有相距5cm的两点A和O（点A在点O的右侧)，以O为圆心作半径为1c 的圆，过点A作直线AB⊥1.将⊙0以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线I上），则⊙0与直线AB 在一秒时相切. 【变式52】如图，直线1与x轴、y轴分别相交于点A、B,己知B(0,V5),∠BA0=30°，点P的坐标 9/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为仙，0)，⊙P与y轴相切于点O,若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的坐标 VA B A 题型6 求直线平移到与圆相切时运动的距离 【例11】如图，在半径为5cL的⊙O中，直线1交⊙O于A、B两点，且弦AB=8c,要使直线1与⊙O相 切，则需要将直线I向下平移() 。0 B A.1cm B.2cm C.3cn D.4cm 【例12】如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为6，-)，AB=25】 将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使得⊙P与x轴相切，则平移的距离为() B A.1 B.1或2 C.3 D.1或3 【技巧归纳】 先求圆心到原直线距离，结合半径得出两种相切偏移量，分左右平移算出直线平移的两个长 度 【变式6-1】如图，⊙O的半径OC-10c,直线1LOC,垂足为H,且1交⊙O于A,B两点，AB16cm, 则1沿OC所在直线向下平移 c时与⊙O相切. 10/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 H B 【变式62】如图，直线AB、CD相交于点O,∠AOC=30°，半径为lcm的圆的圆心P在直线AB上，且 与点O的距离为8cm,若点P以lcm/s的速度由A向B的方向运动，当运动时间t为时，⊙P与 直线CD相切. D B 04 过关检测 一、单选题 1.(2026西藏拉萨模拟预测)如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点.若∠P=50°，则∠AOB= B A.50° B.100° C.130° D.110° 2.(2026河南洛阳一模)如图，在RtAABC中，∠C=90°，点D是AB上一点，以AD为直径的⊙0与 BC相切于点E,连接AE,DE,若∠BAC=60°，AC=6,则⊙O的直径为() 0 B E 11/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.8 C.45 D.8-43 3.(2026山东青岛一模)如图，线段AB与⊙0相切于点B,连接A0并延长分别交⊙0于点C,D,点E 是半圆CD上一点，连接CE、BE,若∠ABD=126°，则∠BEC的度数为() E D A.36 B.38 C.48 D.54 4.(2026吉林松原模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，过⊙0上一点C作⊙0的切线，所作切线与BA 的延长线交于点P,∠B=20°，则∠P=() A.20° B.259 C.40° D.50° 5.(2026河南平顶山三模)如图，A是⊙0外一点，连接40并延长，交⊙0于点B,AC与⊙0相切于 点C,D是BC上一点，连接CD,BD.若∠A=40°，则∠BDC的度数为() Q D A.100 B.115° C.120° D.130° 二、填空题 6.(2026北京模拟预测)如图，点A为⊙0上一点，点P为A0延长线上一点，PB切⊙0于点B,连接 AB,若∠APB=40°，则∠A的度数为一· B 7.(2024江苏泰州一模)如图，AC⊥CB,AC=CB,以BC为直径作半圆O,P为弧BC上一点，且 ∠CAP最大，延长AP、CB,交于点D.则sinD的值为 12/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 8.(2024河南商丘一模)如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A,PB切⊙0于点B,且 ∠P=60°，PA=1,则点O到弦AB的距离为 0 B 9.(23-24九年级下·河南南阳期中)小明对出自秦九韶《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编： 如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵 大树，向树的方向走6km到达城堡边，再往前走4km到达树下，则该城堡的外围周长为 km. 大树令 M 北门 习西门 东门坚 门 10.(25-26九年级下四川南充期中)如图，AB是⊙O的直径，BC是切线，AC交⊙O于D,在AB上 取AE=AD,DE的延长线交⊙O于F.若∠F=30°，则∠C的度数是 D B 三、解答题 11.(25-26九年级上福建福州期末)如图，PA,PB是⊙0的两条切线，切点分别为A,B.点C在以 A,B为端点的优弧上，且不与点A,B重合，连接CA,CB.若∠APB=50°，求∠ACB的大小. 13/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 12.(25-26九年级上浙江金华期末)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,以AB为直径的O0与BC交于 点D,DE⊥AC,垂足为E,ED的延长线与AB的延长线交于点F. D (I)求证：EF是OO的切线： (2)若⊙0的半径为2.5，BD=2,求CE的长. 13.(2026河南平顶山三模)如图，过⊙0外一点M引⊙0的两条切线M4,MB，切点分别是A,B, ∠AMB为锐角，连接MO并延长，与⊙O交于点N. B (I)尺规作图：在MN的延长线上任取一点P,过点P作MA的垂线，垂足为C.(不写作法，保留作图痕 迹) (②)在(1)的条件下，直线PC交BO的延长线于点D.,求证：DOP是等腰三角形. 14.(2022湖南长沙模拟预测)如图，在△ABC中，∠B=∠C,点D是边BC的中点，点O是边AB上的 点，以O为圆心，OA为半径的⊙O交AB,BC,AD于点F,E,G,且点E是弧GF的中点，连接OE. 14/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：BC是⊙O的切线： 2)若BE=4,BF=2,求⊙0的半径. 15.(2026安徽合肥·三模)如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD切⊙0于点D,连接 AD,E为OB上一点，射线DE交OO于点F,已知AF=BF. D B (I)求证：CE=CD; (②)AD=CD=3,求直径AB长 15/15 第25讲 圆的切线 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断或补全条件使直线为切线等条件 题型2 证明某直线是圆的切线 题型3 切线性质的应用 题型4 切线的性质与判定的综合应用 题型5 求平移到直线相切时圆心经过的距离 题型6 求直线平移到与圆相切时运动的距离 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 切线、判定定理、性质定理、垂直、切线长定理、切点。 1. 理解切线的定义（与圆只有一个公共点的直线），掌握切线的判定定理（过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）。 2. 掌握切线的性质定理（圆的切线垂直于过切点的半径），并能用它进行相关证明和计算。 3. 掌握切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两条切线的夹角）。 4. 体会转化与数形结合思想，能综合运用切线性质与判定解决几何问题。 学习重点：切线的判定定理与性质定理的理解与应用，切线长定理的应用。 学习难点：区分并灵活运用切线的判定定理与性质定理（判定是“证垂直”，性质是“得垂直”），以及切线长定理与角平分线、垂直平分线的综合运用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆的切线 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 3．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 【易错提醒】 切线判定：垂直半径且垂足在圆上；切线性质：切线垂直过切点半径。易错：只证垂直未说明垂足在圆上，判定不成立 即时即练1．如图，过上一点作的切线，交直径的延长线于点，连接、，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由切线的性质得，由得，由直径的性质得，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 2．如图，已知的半径为1，点P是外一点，且．若是的切线，T为切点，连接，则_____． 【答案】 【分析】根据圆的切线性质可得出为直角三角形，再利用勾股定理求得长度． 【详解】解：∵是的切线，T为切点， ∴， 在中，，， ∴． 3．如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ， 又∵是的半径， ∴是的切线． (2) 【分析】（1）根据题意，作辅助线证明即可． （2）先求出圆的半径和圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）知，， ∵在中，，， ∴， 设，则， 根据勾股定理，得，解得，（负值舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为． 题型1 判断或补全条件使直线为切线等条件 【例1】如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （        ） A． B． C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径 【答案】D 【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可． 【详解】解：是的直径，且是的切线 又 直线与相切 故选项A、B可以判定，不符合题意； C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意； D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意； 故选：D． 【例2】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 【技巧归纳】 证明切线分两种：有连半径证垂直，无半径作垂直证等于半径；逆向推导补齐边角条件满足垂直即可判定切线 【变式1-1】如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 时，与半圆相切． 【答案】/1.5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，先证明是等边三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而可得，然后再证，即可判断． 【详解】解：当时，与半圆相切． 连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E与点D关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵是半的半径， ∴与半相切， ∴当时，与半圆相切． 故答案为：． 【变式1-2】如图，CD是的直径，BD是的弦，延长DC到点A，使．有下列三个条件：①；②；③．其中只需添加一个条件就能使AB成为的切线的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】分析题意，连接，若使是的切线，只需证明即可；若添加条件①，由是的直径得到结合，只要证明即可；根据是的一个外角得知，推理可得是等边三角形，至此可判断①的正误；对于②，若，则是等边三角形，，继而可以求得的度数，从而可以作出判断；对于③，根据得到，由三角形内角和定理可得，结合得到，接下来可以得到的度数，从而完成解答． 【详解】解：如图，连接． 是的直径， ． ， ． ①， ， ． 又， 是等边三角形， ， ， ， 是的切线． ∴①正确； ②，， 是等边三角形， ． ， ， ， 是的切线． ∴②正确； ③， ． ， ． ， ． ， ， ， 是的切线． ∴③正确； 综上所述，能使成为的切线的是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 题型2 证明某直线是圆的切线 【例3】如图，在中，，以为直径的交于点D，点E在上，的延长线相交于点F．求证：是的切线； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查切线的判定，连接，由得，证明，即可证明直线是的切线 【详解】证明：如图，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． 【例4】如图，在中，，以为直径的交于点D，点E为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理和含直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定和性质，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得出，根据直角三角形性质得出，求出，得出，根据切线的判定得出即可； （2）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∵为的斜边上的中线， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：∵为的斜边上的中线， ． 【技巧归纳】 已知交点就连半径证垂直；无交点过圆心作垂线，证垂线段长等于半径，两种思路按需选用完成切线证明 【变式2-1】如图，是的直径，点C、E在上，，点F在线段的延长线上且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的判定、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，因为是的直径，所以，由，，得，而，则，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，由，得，求得，所以的半径长为4． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． ； （2）解：， ， ， ∴， ， 解得， 的半径长为4． 【变式2-2】如图，以线段为直径的交线段于点，点是的中点，交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：是的切线； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用同圆中圆心角与圆周角的关系（同弧所对圆周角是圆心角的一半 ），结合已知来求． （2）要证是切线，需证，即证，通过三角形内角和，结合已知求出，再结合的度数来推导． 本题主要考查了圆的基本性质（圆心角与圆周角关系、切线的判定 ）、解直角三角形（三角函数的应用 ），熟练掌握圆的性质及三角函数在直角三角形中的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是圆心角，是圆周角，且它们所对的弧都是， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵在中，， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵是直径， ∴是的切线． 题型3 切线性质的应用 【例5】如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（  ） A．20m B． C． D．10m 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，圆的切线性质，理解题意是解题的关键．根据题意画出图形，解即可． 【详解】解：如图，记直径为，过点作于点， 由题意得，，，，与圆相切于点N， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 【例6】如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　） A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1) 【答案】B 【分析】根据图形，过和垂直于数轴的直线与圆相切，结合圆的切线性质，两个切点间的距离就是圆形图片的直径，根据数轴上两点之间的距离直接求解即可． 【详解】解：结合数轴，圆形图片的直径是5﹣（﹣1）， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的概念、切线性质及数轴上两点之间的距离求法，掌握数轴的基本性质是解决问题的关键． 【技巧归纳】 遇切线先连圆心切点得垂直，利用直角推导等角、边长，结合勾股、相似、圆周角定理求解角度与线段 【变式3-1】小明对出自秦九韶《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走到达城堡边，再往前走到达树下，则该城堡的外围周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、锐角三角函数的定义、切线的性质、切线长定理等知识，设圆形城堡的圆心为，则切于点，切于点，连接，得出，， ，再求出，然后由勾股定理求出，由锐角三角函数的定义得出，求出，最后由圆周长公式即可得出结果，关键是理解题意，由锐角的正切求出的长． 【详解】解：如图，表示圆形城堡，连接， 由题意可知，切于点D，切于点C，则，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，即， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即， ∴，∴城堡的外围周长． 故答案为：． 【变式3-2】如图，是一圆形铁片（）平放在一个三棱柱盒子底面（）上的俯视图，铁片可以在盒内贴着盒底自由移动．若，的半径是1，则该盒子底面上，不能被该圆形铁片到达的部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质．圆O与相切时的角落时到达不了的地方，设，，则，，再有等积法求a的值，再求面积即可． 【详解】解：与相切时的角落是到达不了的地方， ，过点作交于点，过点作， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 故不能被该圆形铁片到达的部分的面积是． 故答案为：． 题型4 切线的性质和判定的综合应用 【例7】如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理；连接，由，利用等边对等角得到，再由垂直于，得到三角形为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到垂直于，即可证得为圆的切线；设，则，在中，根据勾股定理得出，通过解方程即可求得． 【详解】解：连接，   ，， ，， ， ，即， ， ，即， 则为圆的切线； 解：设，则，而， 在中， ， 即， 解得， 线段的长是． 故选：B． 【例8】如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】连接，延长交于点M，由垂径定理得，证明四边形为矩形，得到，设，则，由勾股定理得，解出x的值，进而即可求出答案． 【详解】解：连接，延长交于点M， 与相切， ， 在矩形中，， ， ， 矩形绕点旋转所得矩形为， ，， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识． 【技巧归纳】 判定切线按需连半径证垂直或作垂线证等半径；利用切线垂直半径推导直角，结合勾股、相似求解边角 【变式4-1】如图，是的弦，是的切线．若，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，接、，由切线的性质得，再由圆周角定理求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， 与相切于点，与相切于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-2】如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定， 等弧所对的圆心角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）如图所示，连接，由切线的性质得到，再由得到，证明，得到，据此可证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 题型5求平移到直线相切时圆心经过的距离 【例9】如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（    ） A． B．1 C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】当圆的圆心到直线的距离等于圆半径时，直线与圆相切，即可求解． 【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时， P到y轴距离时，⊙P与y轴相切， ∴移动时间（秒）； （2）当 的圆心P在y轴右侧时， P到y轴距离时，与y轴相切， ∴移动时间（秒）． 故选C． 【点睛】本题考查直线和圆位置关系的判定，关键是掌握判定方法：圆心到直线的距离等于圆的半径． 【例10】如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是（） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0，-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， ∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4， ∴A（-4，0），B（0，-3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， 设⊙P与直线AB相切于D， 连接PD， 则PD⊥AB，PD=1， ∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO， ∴△APD∽△ABO， ∴， ∴， ∴AP=， ∴OP=或OP=， ∴P或P， 故选：B． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键． 【技巧归纳】 先算出圆心到原直线距离，对比半径得到平移差值，分清左右平移两种情况，算出对应平移路程即可 【变式5-1】如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 【答案】2或3 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 【变式5-2】如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0） 【分析】先分别求得与直线l相切时点P的坐标，然后再判断与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标． 【详解】如图，与分别切AB于D、E． 由，，易得，则A点坐标为． 连接、，则、，则在中，， 同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为， 当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为， 横坐标为整数的点P的坐标为、、． 故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得与直线l相切时点P的坐标是解题的关键． 题型6 求直线平移到与圆相切时运动的距离 【例11】如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度． 【详解】解：作OC⊥AB， 又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm ∴BO＝5，BC＝4， ∴由勾股定理得OC＝3cm， ∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键． 【例12】如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 【技巧归纳】 先求圆心到原直线距离，结合半径得出两种相切偏移量，分左右平移算出直线平移的两个长度 【变式6-1】如图，⊙O的半径OC=10cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=16cm，则l沿OC所在直线向下平移 cm时与⊙O相切． 【答案】4 【分析】根据垂径定理可求出，再利用勾股定理可得，从而，再由l与⊙O相切，则点 到直线l的距离等于OC=10cm，从而得到l沿OC所在直线向下平移的距离等于，即可求解． 【详解】解：∵直线l⊥OC，AB=16cm， ∴ ， ， ∵ ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 若l与⊙O相切， 则点 到直线l的距离等于OC=10cm， ∴l沿OC所在直线向下平移的距离等于 即l沿OC所在直线向下平移时与⊙O相切． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式6-2】如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 【答案】或 【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间． 【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接． ∵与直线相切， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∵以的速度沿由A向B的方向移动， ∴移动时与直线相切． 当在射线上时，同理可求移动时与直线相切． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键． 一、单选题 1．（2026·西藏拉萨·模拟预测）如图，，是的切线，A，B是切点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，，根据四边形内角和等于计算，得到答案． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，，即， ∵， ∴． 2．（2026·河南洛阳·一模）如图，在中，，点是上一点，以为直径的与相切于点，连接，，若，，则的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得出，根据含角的直角三角形的性质得出，根据切线的性质得出，进而可得，，求出，即可得出的直径． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴，， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的直径为． 3．（2026·山东青岛·一模）如图，线段与相切于点，连接并延长分别交于点，点是半圆上一点，连接、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据题意，得，，根据圆的性质，得． 【详解】解：连接， 由线段与相切于点， 得， 故， ， ， ， ， ． 4．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，是的直径，过上一点作的切线，所作切线与的延长线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，进而求得的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴ ∴ 5．（2026·河南平顶山·三模）如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，利用切线的性质求解，可得，进一步利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 6．（2026·北京·模拟预测）如图，点为上一点，点为延长线上一点，切于点，连接，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】连接，由切线的性质可以求出的度数，再利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：连接， 切于点， ， 又， ， ， ， 又是的外角， ， ． 7．（2024·江苏泰州·一模）如图，，，以为直径作半圆O，P为弧上一点，且最大，延长、，交于点D．则的值为_________． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，切线长定理，根据切线的性质和判定得到，利用切线长定理得到，证明，设，，则，利用相似的性质得到，进而得到，再根据正弦的定义求解，即可解题． 【详解】解：连接， P为弧上一点，且最大， ，， ， 与圆相切于点，与圆相切于点， ，， ， ， ， ， 设，，则， ， ，， ， ， ， ， ． 8．（2024·河南商丘·一模）如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，则点O到弦的距离为______． 【答案】/ 【分析】连接，圆周角定理得到，利用切线长定理得到为等边三角形，进而得到，利用解直角三角形得到，作，证明，利用相似三角形的性质求解，即可解题． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ， ∵切于点A，切于点B， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 作， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点；熟练掌握切线的性质和相似三角形的性质和判定是解题的关键． 9．（23-24九年级下·河南南阳·期中）小明对出自秦九韶《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一棵大树，向树的方向走到达城堡边，再往前走到达树下，则该城堡的外围周长为________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、锐角三角函数的定义、切线的性质、切线长定理等知识，设圆形城堡的圆心为，则切于点，切于点，连接，得出，， ，再求出，然后由勾股定理求出，由锐角三角函数的定义得出，求出，最后由圆周长公式即可得出结果，关键是理解题意，由锐角的正切求出的长． 【详解】解：如图，表示圆形城堡，连接， 由题意可知，切于点D，切于点C，则，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，即， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即， ∴，∴城堡的外围周长． 故答案为：． 10．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，是的直径，是切线，交于D，在上取，的延长线交于F．若，则的度数是____． 【答案】 【分析】连接，则，设，则，根据三角形外角的性质可得，利用求出，进而求出，再利用是切线结合直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，则， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴． 三、解答题 11．（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：连接． 是的两条切线， ，， ． ，四边形的内角和为， 在四边形中，． ， ， ． 12．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练应用相关知识点成为解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质和圆的性质可得、，即，可证，再结合即可证明结论； （2）连接，通过证明，然后根据相似三角形的性质及等量代换进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 13．（2026·河南平顶山·三模）如图，过外一点M引的两条切线，，切点分别是A，B，为锐角，连接并延长，与交于点N． (1)尺规作图：在的延长线上任取一点P，过点P作的垂线，垂足为C．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，直线交的延长线于点D．求证：是等腰三角形． 【答案】(1)如图所示，线段即为所求． (2)证明：补全图形，连接，如解图所示． 由题意，得，． 在和中， ∴． ∴． ∵，， ∴ ∴． ∴． ∴ ∴是等腰三角形． 【分析】（1）根据垂线的基本作图求解即可； （2）根据直角三角形全等的判定和性质，证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 14．（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，点D是边的中点，点O是边上的点，以O为圆心，为半径的交于点F，E，G，且点E是弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：连接交于点M， ∵， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点E是弧的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是的切线； (2)3 【分析】（1）连接交于点M，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理及垂径定理得出，得出四边形是矩形，即可得证； （2）设，则，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的半径为3． 15．（2026·安徽合肥·三模）如图，是的直径，是延长线上一点，切于点，连接，为上一点，射线交于点，已知． (1)求证：； (2)，求直径长． 【答案】(1)证明：如图，连接，． 为的切线， ． ． ， ． ． ， ． ∴， ∵， ∴． ． (2) 【分析】（1）根据切线的性质得，则，由，得，则，再根据对顶角相等即可得，根据等角对等边即可得证； （2）由，，可得，根据所对的直角边是斜边的一半，勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴． ∵， ． ， ． ∴． ， ∴，解得（负值舍去）． ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $