30.1 第1课时直线与圆相离、相切、相交-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

∠G.∴.∠CAF=∠G.∴AC=CG.(2)如图，连接22，BE=BD+ED2=2BD,.BD=2.:AB=25, AE,过点A作AH⊥BC于点H.AB=AC,.BH= ∴.OB=OD=√5.设OF=t,则DF=√5-t.在Rt△BOF CH,AB=AC.∴.易得AH过点O.:BE=CG,.EH= 和Rt△BDF中，OB2-OF2=BD2-DF2=BF2,即 GH..AE=AG.由(1)，知AC=CG,∴.AB=BE= AC=CG..∴.∠AEB=∠BAE=∠G=∠CAG..'EF⊥AC 5y-=2-5-,架得1-85.0F-35 AD=CD,.AE=EC..∠AED=∠CED.设∠AED= ∴BF= ∠CED=a,则∠ACB=∠ABC=∠AEB+∠BAE=4a. 5 ∠CDE=90°，a+4a=90°..a=18°.∠ABC= 20.(1):四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∠ACB=72°..∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=36. ∴.∠ADC+∠ABC=180°.又.∠CBE+∠ABC=180°， .∠CBE=∠ADC.:AD是直径，∴.∠ACD=90° ∴.∠CAD+∠ADC=90°.∴.∠CBE+∠CAD=90° CE⊥AB,.∠E=90°..∠CBE+∠BCE=90° B ∴.∠CAD=∠BCE.(2)过点O作OH⊥AC于点H. (第18题) OC∥AB,.∠COD=∠EAD=60°.OC=OD, 19.(1)由圆周角定理，可得∠CAD=∠CBD..AE平分 ∠BAC,BE平分∠ABC,∴.∠BAE=∠CAD=∠CBD, ·.∠0cD-∠0Dc-180°-∠00D)=60=∠00D. ∠ABE=∠CBE.'∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE= OD-CD-AD-2.AC-AD-CD-2/5. ∠CBD+∠CBE,.∠BED=∠DBE.∴.DB=DE. (2)连接OC,OD,OD交BC于点F.由圆周角定理，得 :0A-0c,∠CD=∠A0-3∠c0D-30. ∠BAD=∠BCD.由(1)，可知∠BAD=∠CAD=∠CBD, ∴.∠CBD=∠BCD.∴.BD=DC.OB=OC,.OD垂 ∴.OH= 2OA=1.·SB=Sax十Sm蒂0en AC. 直平分BC.:AB为⊙O的直径，∴.∠ADB=90°.又 OH+60xX2 360 -×2×1+-5+ 3 ·BD=ED,,.△BDE是等腰直角三角形.·BE= 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1直线与圆 ∴C=2,CD=6..当⊙A向上平移2个单位长度时， ⊙A在x轴下方，且与x轴相切：当⊙A向上平移6个单 第1课时直线与圆相离、相切、相交 位长度时，⊙A在x轴上方，且与x轴相切.平移后该圆 1.D·P是直线l上的一点，OP=5cm,∴.无法得到圆 与x轴没有交点，∴.该圆与x轴相离.∴.m的取值范围是 心到直线1的距离d大小.∴.无法判断d与半径的大小关 0m<2或m>6. 系.∴.直线l和⊙O相交、相切、相离都有可能 y 易错警示 0 判断直线和圆的位置关系时的常见错误 错把圆心到直线上某，点的距离与半径作比较来确 定直线与圆的位置关系. (第3题) 2.D点M的坐标是(4,3)，∴点M到x轴的距离是 4.8≤AB≤10当AB是大圆直径时，AB的长最大，最大 3,到y轴的距离是4.以点M为圆心，r为半径的圆与 值为10.当AB与小圆相切时，AB的长最小.小圆的半 x轴相交，与y轴相离，∴.r的取值范围是3<r<4 径为3，大圆半径为5，∴AB=2×√52-32=8.：大圆的 3.0<m<2或m>6如图，设⊙A的半径为2，点A的 弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，.8≤AB≤10. 坐标为(3，一4)，过点A作AC⊥x轴于点C,交⊙A于点 5.(1)如图①，圆心O移动1cm,即⊙O向左移动1cm,到 B,延长BA,交⊙A于点D.易知AB=AD=2,AC=4, 达⊙O处，则OO'=1cm.:OP=3cm,.O'P=OP 64 OO'=2cm.过点O'作O'C⊥PA于点C.:∠P=30°，(3)若⊙C与斜边AB没有公共点，则R的取值范围是0< “0C-20p-1m:圆的半径为1cm,⊙0与直 R<4.8或R>8 8.2在y=kx十2中，令x=0,则y=2,∴.一次函数y= 线PA的位置关系是相切.(2)如图②，由(1)知当⊙0 kx十2的图象与y轴交于点(0,2)，即一次函数的图象过定 移动到⊙O'处时，⊙0与直线PA相切，此时d=1.若⊙0 点(0,2).当⊙O的半径为2时，一次函数的图象经过第 继续向左移动到⊙O"处，此时⊙O与直线PA再次相切，则 一、二、四象限，∴.直线与⊙O必有两个交点.当⊙0半径 O'P=0'P=2 cm.OP=3 cm,.00'=OP+O'P= 小于2时，⊙0与直线存在相离的可能.∴半径至少为2， 3+2=5(cm),即d=5.∴.当⊙O与直线PA相交时，d的 即r的最小值为2. 取值范围是1<d<5. 9.(22,0)或(-22,0)如图，当点M在原点右边时， 4 过点M作MN⊥AB,垂足为N,则AN2+MN=AM. ,△ABM为等腰直角三角形，∴，易得△AMN为等腰直 角三角形.∴.AN=MN..2MN2=AM.AM=2, ∴.2MN2=22..MN=√2（负值舍去）.，直线l与x轴 ① 的正半轴的夹角为30°，∴.OM=2√2..点M的坐标为 (2,√2,0).当点M在原点左边时，则点M与点M关于原点 对称，此时点M的坐标为（一2√2,0）.综上所述，点M的 坐标为(2√2,0)或（一2√2,0） 5 ② 3/ (第5题) 2 6.D如图，设⊙0的半径为5，点O到直线l的距离为3， 012M345x 即OE=3,.CE=2..OE>√2，CE>2.分别在OE, -3 CE上取点D,F,使得ED=EF=√2，过点D,F作OC的 -4 垂线AB,MN,分别交⊙O于点A,B,M,N,则易得点A, -5 (第9题) B,M,N到直线l的距离为√2，∴.⊙O上到直线l的距离 10.(1)⊙P与直线y=3相切，⊙P的半径为1，∴.点 为2的点共有4个. P的纵坐标为2或4.：点P在曲线y=4(x>0)上， .当yp=2时，xp=2;当yp=4时，xp=1.∴当x=1或 0 2时，⊙P与直线y=3相切，此时点P的坐标为(1,4)或 (2,2).(2)当1<x<2时，⊙P与直线y=3相交，当 B x>2或0<x<1时，⊙P与直线y=3相离 (第6题) 11.(1)BQ=AP=2tcm,∴.CQ=PC=(6-2t)cm.由 7.(1)R=4.8或6<R≤8(2)4.8<R≤6(3)0< R<4.8或R>8在△ABC中，∠C=90°，AC=6, 题意，易得(6-2-5，解得1=2或4=4（不合题意， BC=8,∴，由勾股定理，得AB=√JAC+BC=10.设斜 舍去)..当t的值为2时，△PQC的面积等于3cm. 边上的高为A,则Sr=号AC·BC=号ABh,∴A= (2)过点Q作QH LAB于点H,则∠BHQ=90°.：∠B= ∠C=60°，CQ=PC,∴∠BQH=30°，△CPQ是等边三角 AC:BC=4.8.(1)若⊙C与斜边AB有且只有-个公共 AB 形.∴.BH=tcm,则HQ=√3tcm,PQ=CQ=(6-2t)cm. 点，则R的取值范围是R=4.8或6<R≤8.(2)若⊙C 当PQ=HQ时，6-2t=3t,解得t=12-65.又：由题 与斜边AB有两个公共点，则R的取值范围是4.8<R≤6. 图，易得当0≤t<1.5时，⊙Q与线段AB有唯一公共点， 65 ∴.当⊙Q与线段AB有唯一公共点时，t的取值范围是OE=OB=2+m,OF=2+2m,DF=FE=2m.:在 0t<1.5或t=12-63. Rt△OEF中，OE2+FE=OF2,∴.(2+m)2+(2m)2= 第2课时切线的性质和判定 (2十2m)2,解得m,=4,m2=0(不符合题意，舍去).∴.OB= 2+m=6,即⊙O的半径为6. 1.C连接OC,设CD交BE于点F.,AB与⊙O相切 于点C,∴.OC⊥AB.OA=OB,.OC平分∠AOB. 方法归纳 判断直线与圆相切的方法 ÷∠B0C=∠A0C-3∠A0B=40.∠E0C=180- 1.当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共 点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半 ∠B0C=180°-40=140.·∠EDC=号∠B0C=70. 径，证垂直” ,CD∥OA,∴.∠EFD=∠AOB=80°..∠BED= 2.当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直 180°-∠EFD-∠EDC=180°-80°-70°=30°， 线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作 2.C连接AC.∠ADC=90°，∴.AC是⊙O的直径 垂直，证半径” ,直线EA与⊙O相切于点A,∴.EA⊥AC.∴.∠CAE= 6.B如图，设⊙O与AB相切于点E,⊙O与BC相切于 90°..四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴.∠BAD+ 点F,连接OE,OF,OB,则OE⊥AB,OF⊥BC.:在 ∠BCD=180°.∴.∠BAD=180°-∠BCD=52°.·CD= △ABC中，∠C=90°，AC=6,AB=10,∴.由勾股定理，得 BC,∴.CD=BC..∠CAD=∠CAB.∴.∠CAD= BC=√JAB2-AC=√/102-6=8.：D为边BC的中 号∠BAD=26.·∠DAE=∠CAE-∠CAD=64E 点，BD=号C=4设⊙0的半径为r,则2AB·7十 3.20°设BP交⊙O于点D,连接OC,CD.:'PC是⊙O 的切线，∴.PC⊥OC.∴.∠OCP=90°.：四边形ABDC是 2BD=BDAC.即2×10r+2X4-号 1 ⊙O的内接四边形，∴.∠A+∠ODC=180°.∴.∠ODC= 180°-∠A=55.:0C=OD,∴.∠OCD=∠ODC=55°. 4仪6，解得，-号⊙0的半径为号 .12 ∴.∠D0C=180°-∠0CD-∠OC=70°..∠P=180° ∠OCP-∠DOC=20. 4.(6,1)如图，连接PA,PC,PC交AB于点D.⊙P 与x轴相切于点C,∴.∠PCO=90°.又：AB⊥y轴，.易 得四边形OADC是矩形..CD=OA,∠PDA=90°.：点 A的坐标为(0,1)，∴.CD=OA=1.⊙P的半径为5， (第6题) ∴.PA=PC=5,AD=BD..PD=PC-CD=4.在 7.C连接OF,过点O作OH⊥CF于点H.:DE⊥BC, Rt△PAD中，由勾股定理，得AD=√PA一PD= .∠EDC+∠C=90°.：OA=OD,.∠OAD= ∠ODA.AB=BC,∴.∠BAC=∠C.∴.∠ODA=∠C √5-4=3，∴.AB=2AD=6.∴.点B的坐标为(6,1). ∴∠EDC+∠ODA=90.∴.∠ODE=90°.又：OH⊥ CF,DE⊥BC,∴.∠OHE=∠DEH=90°..四边形 ODEH是矩形.∴.OD=EH,OH=DE.:OF=OB, D .BH=FH=1.∴.OB=OD=EH=2.∴.AB=2OD= 4,OH=√OB2-BH=5.∴.DE=OH=√3.∴.BD= (第4题) √DE+BE=2.∴.AD=√WAB2-BD=√42-2= 5.(1)连接OE,则OE=OC,.∠OEC=∠C.OC1 AB,∴.∠BOC=90°.∴.∠CDO+∠C=90.:DF=FE, 23. ∴.∠FED=∠FDE=∠CDO.∴.∠OEF=∠FED+ 8.2√如图，延长C0交⊙O于点E,连接ED,交AO于 ∠OEC=∠CDO+∠C=90°.∴.OE⊥EF.:'OE是⊙O 点M,此时MC+MD的值最小.设AB与⊙O相切于，点 的半径，∴.EF为⊙O的切线.(2)设BD=BF=m,则 F,连接OF,OD,则∠OFD=90°.OC=1,∴.OF=OC= 66第三十章」 直线与圆的位置关系 30.1直线与圆 第1课时直线与圆相离、相切、相交 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.易错题已知⊙O的半径为3cm,P为直线L上的一点.若OP=5cm,则直线l与⊙O的位置关 系是 () A.一定相交 B.一定相切 C.一定相离 D.可能相交，可能相切，也可能相离 2.在平面直角坐标系中，已知点M(4,3),以点M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离， 那么r的取值范围是 ( A.0<r<5 B.3<r<5 C.4<r<5 D.3<r<4 3.已知在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心坐标为(3，一4)，将该圆向上平移 m(m>0)个单位长度，若此时该圆与x轴没有交点，则m的取值范围是 4.如图所示为两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3.若大圆的弦AB与小圆 有公共点，则弦AB长的取值范围是 (第4题) 5.如图，∠APB=30°，OP=3cm,⊙O的半径为1cm,圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动. (1)当圆心O移动的距离为1cm时，求⊙O与直线PA的位置关系. (2)若圆心O的移动距离是dcm,当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围， (第5题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.已知⊙O的半径为5，直线1与⊙O相交，点O到直线L的距离为3，则⊙O上到直线1的距离为 √2的点共有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.已知在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,以点C为圆心，R为半径作⊙C. (1)若⊙C与斜边AB有且只有一个公共，点，则R的取值范围是 (2)若⊙C与斜边AB有两个公共点，则R的取值范围是 (3)若⊙C与斜边AB没有公共点，则R的取值范围是 101 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 8.已知一次函数y=kx十2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心，r为半径作⊙O.若 对于符合条件的任意实数k,一次函数y=kx十2的图象与⊙O总有两个公共点，则x的最小值 为 9.分类讨论思想在平面直角坐标系中，直线L经过原点O,且与x轴的正半轴的夹角为30°，点M在 x轴上，⊙M的半径为2，⊙M与直线1相交于A,B两点.若△ABM为等腰直角三角形，则点 M的坐标为 10.如图，P是曲线y=1(>0)上的一点，以点P为圆心，1为半径作⊙P,设点P的坐标为 (x,y). (1)当x为何值时，⊙P与直线y=3相切？请求出此时点P的坐标. (2)直接写出当x为何值时，⊙P与直线y=3相交、相离. 03 y=4(x>0) 0 (第10题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.如图，在边长为6cm的等边三角形ABC中，点P,Q分别从点A,B出发，同时向点C以2cm/s 的速度移动，到达点C时停止，设移动的时间为ts. (1)当t为何值时，△PQC的面积等于3cm2? (2)以点Q为圆心，PQ为半径画圆，当⊙Q与线段AB有唯一公共点时，求t的取值范围， (第11题) 102 >“答案与解析”见P64