第13讲·直线与圆·培优讲义（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册

第13讲·直线与圆·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 第13讲·直线与圆·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解直线与圆的三种位置关系及判定 · 掌握切线的性质（切线垂直于过切点的半径） · 掌握切线长定理并能灵活运用 · 会判定切线：过半径外端且垂直于半径 · 会作圆的切线并解决内切圆综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.直线与圆的位置关系 设圆心到直线的距离为d，半径为r d>r：相离；d=r：相切；d<r：相交 相切时有且只有一个公共点（切点） 相交时有两个公共点 概念辨析例题：⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） 答案：相交 解析：d=3<r=5，直线与圆相交。 ☆ 2.切线的性质 切线垂直于过切点的半径 过切点的半径与切线互相垂直 由垂直关系可求角度或边长 切线性质常与圆周角、勾股定理综合 概念辨析例题：AB是⊙O的切线，A为切点，OA=3，∠ABO=30°，则AB的长为（　　） 答案：3 解析：OA⊥AB，在Rt△OAB中，AB=OA·tan60°=3。 ☆ 3.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 连接切点与圆心可构造直角三角形 常与角平分线、等腰三角形结合 概念辨析例题：从⊙O外一点P引PA、PB切⊙O于A、B，PA=6，则PB=（　　） 答案：6 解析：切线长定理：从圆外一点引的两条切线长相等，PB=PA=6。 ☆ 4.切线的判定 经过半径外端且垂直于该半径的直线是切线 到圆心的距离等于半径的直线是切线 证明切线：连半径、证垂直（或作垂线、证等距） 已知切线时常用性质，求证切线时常用判定 概念辨析例题：直线l经过⊙O上一点A，且l⊥OA，则直线l是⊙O的（　　） 答案：切线 解析：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 位置关系 d>r相离、d=r相切、d<r相交 比较d与r 切线性质 切线⊥过切点半径 垂直关系 切线长定理 PA=PB，PO平分∠APB 从圆外一点引两条切线 切线判定 过半径外端且垂直 连半径证垂直 内切圆 到三边距离相等 圆心为内心 ⚠️ 核心考点 【考点1】直线与圆的位置关系（第1-9题） · 比较圆心到直线距离d与半径r · 由坐标、方程求d或r再判定 · 注意直线与坐标轴平行时的距离计算 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系为（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】根据直线与圆的位置关系，通过比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小进行判断． 【详解】解：∵的半径，圆心O到直线l的距离， ∴， ∴直线l与相离． 故选：A． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，是上一点，，，，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线 【分析】根据切线的判定定理和勾股定理的逆定理来判断三角形的形状，进而确定角的度数．从而判断位置关系． 【详解】解：在中，，，， ∵，， ∴． 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形． ∴，． 又∵ 是⊙上一点，是⊙的半径， ∴ 与⊙相切． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的判定定理和勾股定理的逆定理，解题关键是通过勾股定理的逆定理判断出与垂直，进而根据切线的判定定理得出结论． 3．（2022·山东青岛·模拟预测）已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．外离 【答案】A 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】过点A作于点D， 根据等腰三角形三线合一得：， 根据勾股定理得：， ∴， 以长为半径作，则与的位置关系是相交， 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 【答案】5 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径为5，直线与相切， ∴圆心到直线距离等于5； 故答案为：5． 5．（25-26九年级上·广东广州·期末）若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 【答案】相交 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查直线和圆的位置关系．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为5，圆心到直线的距离为2， ∴, ∴直线与圆相交， 故答案为：相交． 6．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，理解题意是解题的关键．以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线m上，圆与直线l的位置关系是相交，据此即可判断． 【详解】解：以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为，则两个交点在到直线l的距离是的直线l上． 则直线l到圆心O的距离是：或． 圆O与直线l相交，因而该圆的半径r的取值范围是． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，．判断以点C为圆心，下列r为半径的与直线的位置关系． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)相离 (2)相切 (3)相交 【知识点】用勾股定理解三角形、判断直线和圆的位置关系 【分析】如图，过点C作，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出，然后根据半径与CD的大小关系去判断直线与圆的位置关系． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 在中，， ． 又， ． （1）当时，与直线相离； （2）当时，与直线相切； （3）当时，与直线相交． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，直线和相交 ；直线和相切 ；直线和相离 . 8．（2025九年级上·北京·专题练习）已知直线与圆相离，求k的取值范围． 【答案】 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解答的关键是熟知直线与圆的三种位置关系的判定方法：计算圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系，若，相离；若，相切；若，相交． 本题先利用直线与圆心的距离公式求出d，再与半径r比较列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意，圆心坐标为，半径，直线为， ∵直线与圆相离需满足， ∴， 两边平方得，即， ∴， 解得：． 故k的取值范围为． 9．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图①所示，在中，，若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的长． 解：如图②所示，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切， 过点C作于D，则 由勾股定理，得 ＝ ， 由三角形的面积公式，得， ∴ ＝＝ 上述解答正确吗？如不正确，请说明理由． 【答案】 解：上述解答不正确，理由如下： 如图，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相交于一点，那么R应满足，即， 结合题干可知：R的取值范围为：或 【知识点】用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理， 以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切或以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相交于一点，即；进而即可得到R的值和范围． 【详解】略 【考点2】切线的性质（第10-20题） · 切线垂直于过切点的半径 · 结合直角三角形、勾股定理求值 · 与圆周角、弧、弦关系综合求角度 10．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的性质和判定，连接，证明是等边三角形，得到，由圆周角定理和切线的性质证得，进而证得，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵是的两条切线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 11．（2025·山西长治·二模）如图，是的内接三角形，是延长线上一点，且与相切于点，若，则的半径为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，切线的性质，勾股定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理可得，根据补角的性质可得，结合题意，与相切于点，可得，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 即圆的半径为． 故选：D． 12．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、切线的性质定理 【分析】本题主要考查切线的性质定理，等腰三角形的性质和判定；连接，根据切线的性质得到，得到为等边三角形，为等边三角形，即可求出． 【详解】解：如图，连接，     ∵与相切于点，         ∴，         ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ ， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 13．（2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、有关切线的概念辨析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 14．（25-26九年级上·山西大同·期末）如图，点，在上，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，的度数为________ 【答案】 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A为上一动点，D为圆外一点，AD交于点B，OD交于点C，延长DO交于点E． (1)若，B恰为AD的中点，则OD的长为________． (2)若，则的度数为________． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，三角形外角和及圆内三角形的综合运用等，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边中线定理可求的长，根据半径相等求得，进而根据勾股定理即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，设未知数x表示，根据三角形外角和定理可得从而求解。 【详解】（1）解：如图①，连接OB． ，B为AD的中点， ．又． 在中，由勾股定理，得． 故答案为：． （2）如图②，连接OB． ， 和均为等腰三角形．设，则，， 解得，即． 故答案为：． 16．（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，是的弦，是过B点的直线，，当________ 时，是切线． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的证明、等边对等角、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的判定定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，再根据切线的判定定理可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴当时，， ∴当时，是切线， 故答案为：． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，此切线与的延长线相交于点D，，垂足为E．求证：平分． 【答案】证明：如下图，连接， 是的切线，是半径， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、切线的性质定理 【分析】根据切线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据等边对等角求出，得到，即可得答案． 【详解】证明：略． 18．（2026·广东深圳·中考真题）如图，是的直径，点是圆上一点，连接并延长至点，使得． (1)求证是的切线； (2)若，，求的长； (3)利用圆规和无刻度直尺在图中作出点关于直线的对称点（保留作图痕迹，不要求写出作法）． 【答案】(1) 证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵为半径， ∴是的切线； (2) (3)如图，点即为所求 【知识点】作线段(尺规作图)、用勾股定理解三角形、垂径定理的推论、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由结合已知条件得到，然后根据圆周角定理得到，再由直角三角形锐角互余以及等量代换证明即可； （2）设，则，先对运用勾股定理求解半径，然后利用，以及对运用勾股定理求解即可． （3）以点为圆心，为半径画弧与交点即为点． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，则 设，则 ∵， ∴ ∴ 解得， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． （3）解：连接， 由作图可得， 则， 再由垂径定理的推论可得垂直平分， 即可得到点关于对称． 19．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，是的直径，过点D作的切线，点A是上一点，且，连接交于点B，点C是的中点，连接，，为的切线． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知的半径为1，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】(1) 证明：如图，连接， 与都是的切线， ，， ， ， 又点C为的中点， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，且， ，且， 四边形是平行四边形； (2) 【知识点】证明四边形是平行四边形、切线的性质定理、应用切线长定理求证、求其他不规则图形的面积 【分析】（1）通过切线性质得垂直关系，因为，则可得由切线长定理得，结合中点得，则，可得，则四边形为矩形，则，且，故，且，从而判定平行四边形； （2）因为，则矩形为正方形，利用计算阴影部分面积． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，四边形为矩形， 又∵， 矩形为正方形， 阴影部分的面积是． 【点睛】本题考查圆的切线性质，切线长定理，平行四边形的判定，矩形、正方形的判定，扇形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 20．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，高交于点．以为圆心，长为半径作交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径及的长． 【答案】(1) 证明：如图，过作于． 中的高交于点， ， ． ， ， 平分， ． 是的切线． (2)， 【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、应用切线长定理求解、已知正弦值求边长 【分析】（1）过作于．导角得到，结合角平分线性质推出，即可证明是的切线； （2）设的半径为，结合锐角三角函数，得到，求出半径，结合勾股定理得到，利用切线长定理得到，进而得到，求出，进而即可得到的长． 【详解】（1）略 （2）解： ， 设的半径为，则在中，， ，解得． ． 在中，由勾股定理得． 是的切线， ． 在中，， ， ． ． 【点睛】本题考查了角平分线性质，切线判定定理，锐角三角函数，勾股定理，切线长定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【考点3】切线长定理（第21-26题） · 从圆外一点引两条切线长相等 · PO平分两条切线的夹角 · 构造直角三角形求边长 21．（2024·西藏日喀则·二模）如图，P为外一点，，分别切于A，B两点，若，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 利用切线长定理即可直接得出答案． 【详解】解：由切线长定理可知： ， 故选：． 22．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、切线的性质定理、应用切线长定理求证 【分析】根据切线的性质得到，，，推出是等边三角形，根据含30度直角三角形的性质求出，求出，进而求出． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 23．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是_____． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故答案为：3． 24．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，P是外一点，、分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于D、E，若的周长为16，则长为________． 【答案】8 【知识点】切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】本题考查切线长定理，解题关键是识别相等的切线长．根据切线长定理，将的周长转化为，结合求解． 【详解】解：由切线长定理得：， ∴的周长为： ， 已知周长为，且，故， 解得． 故答案为：8． 25．（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 【答案】 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：连接． 是的两条切线， ，， ． ，四边形的内角和为， 在四边形中，． ， ， ． 26．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知切线的性质和切线长定理是解题的关键． （1）由切线的性质得到，则由四边形内角和定理可求出的度数，证明，可推出； （2）由切线长定理得到，再根据三角形周长计算公式和线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵都是的切线， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵都是的切线， ∴， ∴的周长 ． 【考点4】切线的判定（第27-35题） · 过半径外端且垂直于半径→切线 · 圆心到直线距离等于半径→切线 · 证明题：连半径证垂直 27．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（   ） A．点在外 B．点在内 C．与相交 D．与相切 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、判断直线和圆的位置关系 【分析】如图，连接，过点O作于点E，过点O作于点F，由勾股定理得，再根据直角三角形斜边上中线的性质得，即可判定A、B；根据等腰三角形三线合一的性质得，，则、是的中位线，，，即可判定C、D． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵中， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴点在外，点在外， 故选项A正确；选项B错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴、是的中位线， ∴，， ∴与相切，与相交， 故选项C、D正确． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，中位线的性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大小关系对应的位置关系是关键． 28．（24-25九年级上·江苏南京·期中）在中，，以为圆心，为半径画圆，若与边有两个公共点，则的取值范围是 ___________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键． 作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ∵， ∴， ∵的面积， ∴， 即圆心到的距离， ∵， ∴以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， ∴若与斜边有两个公共点，则的取值范围是． 故答案为：． 29．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在等边中，，以点B为圆心，半径为2作，点D是边上的一个动点，过点D作与相切于点E，则线段的最小值为______． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、切线的性质定理、垂线段最短，解题的关键是理解的值最小时，的值最小． 连接，作于点F，则，则勾股定理求得，当时，的值最小，进而即可求解． 【详解】解：如下图，连接，作于点F，则， 在等边中，， ， ， ， 与相切于点E，， ， ， ，且当的值最小时，的值最小， 当时，最小为， 故答案为：． 30．（2023·安徽·模拟预测）如图，四边形为菱形，且顶点A、P、B都在圆O上，过点P作圆O的切线，与的延长线相交于点Q，若圆O的半径为2，则的长为______． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查菱形的性质，切线的性质，锐角三角函数的计算，熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的计算是解题的关键，利用菱形的性质可得，从而得到，再由切线的性质可得，最后利用锐角三角函数计算即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵圆O的切线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 31．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为________． 【答案】 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系“直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交；直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切；直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离”，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．设，则，根据圆与直线相交可得，再根据求解即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵直线，以点为圆心，长为半径的圆与直线相交， ∴，即， 解得， 又∵点在线段上， ∴， 解得， ∴的取值范围为， 故答案为：． 32．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，，，以的中点O为圆心的半圆与相切，连接，与半圆相交于点D，则的长为______． 【答案】4 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了圆的切线性质、直角三角形斜边中线的性质、中位线性质、勾股定理等知识点，得到切点为边的中点是解决本题的关键． 首先利用勾股定理可求解边的长度，由直角三角形斜边中线的性质可得，再利用圆的切线的性质以及等腰三角形的性质可得，然后利用中位线的性质可得圆的半径，最后根据即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，点O为的中点， ∴， 如图，设切点为点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∴圆的半径为，即， ∴． 故答案为4． 33．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点是平分线上一点，，垂足为，与以为圆心、长为半径的圆相切吗？请说明理由． 【答案】 解：相切，理由如下， 过点P作于点E，    ∵点是平分线上一点， ∴， 即为的半径， ∴与相切． 【知识点】角平分线的性质定理、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了角平分线定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质定理得到，即可推出与相切，熟练掌握切线的判定方法：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径是解题的关键． 【详解】略 34．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 【答案】 如图，点P即为所作． 【知识点】过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以为直径作圆，与在上方的交点即为所求点P． 【详解】略 35．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下： 已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，以为半径作，与交于两点和（点在上，点在下）； ③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线． (1)请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹） (2)求证：，是的切线，且． 证明：连接，，如图． 为的直径， ___①___； ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 在和中， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ． ． 【答案】(1) 如图所示：、即为所求． (2)①；②；③ 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【分析】本题考查了基本作图，掌握线段的中垂线的基本作法和全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据题中步骤作图； （2）根据切线的判定定理和全等三角形的性质求解． 【详解】（1）略 （2）略 【考点5】内切圆与综合应用（第36-45题） · 内切圆圆心到三边距离相等 · 三角形周长、面积与内切圆半径关系 · 综合题结合切线性质与几何图形求解 36．（2024·广西南宁·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点D，，分别与相切于点E，F，求的半径．根据题意，的半径是（   ） A．100步 B．120步 C．140步 D．160步 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、切线的性质定理、应用切线长定理求证 【分析】此题考查了切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 如图所示，连接，证明四边形是正方形，设步，根据切线长定理，得到步，步，利用勾股定理求出，然后构建方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，． ∵，是的切线， ∴，． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 设步，则步，步， ∵，，是的切线， ∴步，步． ∵步， ∴步． ∴． ∴． 故选：B． 37．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，点D为的中点，以2为半径作，则下列说法不正确的是（　　）    A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．与直线相切 D．与直线相交 【答案】B 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、判断点与圆的位置关系、判断直线和圆的位置关系、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由直角三角形的斜边上的中线定理得，进而得，，根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴．，故点A在圆外，点C在圆外， 故选项A正确，不符合题意；选项B不正确，符合题意， 连接，作于点E，    ∴，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，故与直线相切； 故选项C正确，不符合题意， 过D作于F， ∴， ∴； ∴， 故与直线相交；故选项D正确，不符合题意， 故选：B． 38．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_________． 【答案】/度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、切线的性质定理 【分析】本题考查了平行线的性质，切线的性质，根据切线的性质得到的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 39．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点，以A为圆心，4为半径作圆，则与y轴的位置关系是______． 【答案】相交 【知识点】求点到坐标轴的距离、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．求出圆心到y轴的距离，再根据圆心到直线的距离与半径的大小关系得出答案． 【详解】解：如图，作轴于点C，作轴于点B， ∵点， ∴，， ∵的半径为4， ∴与y轴相交， 故答案为：相交． 40．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图是地球的示意图，其中和分别表示赤道和南回归线，，常州市某处位于北纬 （即）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所夹的锐角）的大小为_______． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、切线的性质定理 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质、切线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．先根据平行线的性质可得，求出，再结合是的切线，即．即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴ 故答案为：． 41．（24-25九年级上·福建福州·期末）“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是________． 【答案】相离 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，根据直线和圆的位置关系，即可解答． 【详解】解：由题可知，太阳与海天边隙线可看成的圆和直线没有公共点，所以太阳和海天边隙线看成的直线位置关系是相离． 故答案为：相离． 42．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解 【分析】本题考查了勾股定理，切线长定理．设，根据切线长定理得出，，进而运用勾股定理列式计算，即可得出的长． 【详解】解：记与相切于点，连接，如图所示： 设， ∵的内切圆分别与、相切于点、点， ∴,，， 则， 在中，， ∴， 解得， 即的长度为． 故答案为：． 43．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，圆心的坐标为，以半径在坐标平面内作圆，当满足______时，圆与坐标轴有4个交点． 【答案】且 【知识点】坐标与图形、已知两点坐标求两点距离、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离． 【详解】解：圆心的坐标为， ∴圆心到原点的距离为， 当且时，圆与坐标轴有4个交点． 故答案为：且． 44．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆， (1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ； (2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ； (3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ； (4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ； 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【知识点】坐标与图形、已知两点坐标求两点距离、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，坐标与图形和勾股定理，根据题意求出恰好与y轴相切时，当恰好与x轴相切时，当恰好经过原点时的半径长，结合题意画图图形，进行求解即可． （1）求出当恰好与y轴相切时的半径长即可得到答案； （2）求出当恰好与x轴相切时的半径长，结合图形即可得到答案； （3）求出当恰好经过原点时的半径长，结合图形可知，当恰好与x轴相切时，恰好经过原点时，此时与坐标轴有3个交点； （4）当半径大于与x轴相切时的半径长时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，出去经过原点时的半径长，此时与坐标轴有4个交点，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，当恰好与y轴相切时，设切点为C，连接， ∴轴， ∵， ∴， 当时，必定与y轴有两个交点，当时，与x轴和y轴都无交点， ∴当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是， 故答案为：； （2）解：如图所示，当恰好与x轴相切时，设切点为D，连接， ∴轴， ∵， ∴， ∴当时，与y轴有两个交点，与x轴无交点， 当时，与x轴和y轴都有两个不同的交点，即此时与坐标轴最少有3个交点， ∴当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是， 故答案为：；    （3）解：由（2）可知，当时，与y轴有两个交点，与x轴有一个交点，且不是原点， ∴当时，与坐标轴有3个交点； 如图所示，当恰好经过原点时，此时与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，但是其中有一个交点是原点，即此时与坐标轴有三个交点， ∴此时； 综上所述，当或时，与坐标轴有三个交点， 故答案为：或；    （4）解：如图所示，当或时，与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，且不经过原点，即此时与坐标轴有4个交点， 故答案为：或．    45．（2024·浙江宁波·一模）如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段于点F，E，M，连结，已知． (1)求证：； (2)若M为的中点，求的半径； (3)若的半径为3，求的值． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形 ， 又 (2) (3) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，进而得到，即可； （2）连结，连结交于点H，作于点G．则，证明四边形是矩形，即可求解； （3）连结，根据题意可得，再由矩形的性质可得，根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，进而得到，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连结，连结交于点H，作于点G．则， 为的中点， 为的直径， ，四边形是矩形， ， （3）解：连结． 的半径为3 ∵四边形是矩形 ∵四边形内接于， ∴， ∵， 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了矩形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键． 【考点6】尺规作图（作切线）（第46-49题） · 过圆上一点作切线：作半径的垂线 · 过圆外一点作切线：找中点作圆，交点为切点 · 保留作图痕迹并说明依据 46．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 【答案】D 【知识点】切线的性质定理、过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【分析】本题考查了切线的作法，切线的判定．甲：连接、，利用圆周角定理求得，即可证明是的切线；乙：连接，不能证明是的切线． 【详解】解：甲：连接、， 由作图知，是直径， ∴， 又∵、是的半径， ∴是的切线； ∴甲的作法正确； 乙：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 若是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定是的切线， ∴乙的作法不正确； 故选：D． 47．（2026·甘肃定西·一模）学完圆的切线知识后，爱好数学的小明想尝试“过圆上一点作圆的切线”，下面是他设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，及圆上一点． 求作：的切线为切点． 作法步骤：①连接并延长到点，如图2；②分别以点为圆心，大于长的一半为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）；③以点为圆心，的长为半径作；④连接并延长，交于点，作直线．直线就是所求作的切线． 使用直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）． 【答案】 如图，直线即为所求， ． 【知识点】作已知线段的垂直平分线、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】按照题干的步骤作图即可． 【详解】略 48．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 【答案】(1) 解：点P即为所求． (2) 解：点Q即为所求． 【知识点】作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、有关切线的概念辨析 【分析】本题考查了尺规作图，切线的性质等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据直径经过圆心，作直线，交于点P即可； （2）根据切线的定义，连接，过点A作于点A，交点就是点Q解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 49．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知：圆及圆外一点，求作：过点作圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和，连接，交于点； ②以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明推理的依据 证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（_______________）， ∵，为的半径， ∴直线，为的切线（_______________）． 【答案】(1) 补全图形如图所示： (2)直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图画圆的切线，切线的判定定理，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据题干的步骤进行尺规作图即可； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理进行填空即可． 【详解】（1）略 （2）略 💯 课后巩固 复习建议 · d与r的比较是位置关系判断核心 · 切线性质：垂直、切线长相等 · 证明切线连半径证垂直 · 内切圆半径与三角形面积公式S=Cr · 作图题保留痕迹、写明依据 【作业1】．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】本题考查直线与圆相离的判定，根据相离的判定逐项验证即可得到答案，熟记直线与相离，得到圆心到直线的距离大于半径是解决问题关键． 【详解】解： 的半径为5，若直线与相离， 由相离定义可知圆心到直线的距离大于半径5， 根据四个选项中的距离可知，只有6符合要求， 故选：A． 【作业2】．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，，分别与相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在弧上，，则的周长是（   ）． A．12 B．18 C．24 D．16 【答案】D 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】本题主要考查了切线长定理的应用．由切线长定理知，，，，然后根据的周长公式即可求出其结果． 【详解】解：∵分别与相切于点， ∴，，， ∴的周长 ． 故选：D． 【作业3】．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 【作业4】．（25-26九年级下·全国·随堂练习）等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】根据题意画出等边与内切圆，首先根据三角形面积计算公式求出，再观察发现的内切圆半径，恰好是内三个三角形的高，因而可以通过面积来计算半径，根据面积公式计算即可． 本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是解题的关键． 【详解】解：设与相切于D，E，F，连接， ∵是等边三角形， ∴过点O，， ∴， ∴， 设内切圆半径为r， ∴， ∴， ∴内切圆面积 ． 故选：B． 【作业5】．（2024·江苏常州·中考真题）已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6，则⊙O的半径可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法：设的半径为，圆心到直线的距离为． ①直线和相交 ②直线和相切 ③直线和相离． 根据直线与圆的位置关系的判断的方法可求解． 【详解】解：和直线相交， ， 又圆心到直线的距离为， ， 故选：D． 【作业6】．（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫作整点．如图，过整点，，有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线经过（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、垂径定理的实际应用、切线的性质和判定的综合应用 【分析】根据垂径定理的性质作出圆心所在位置，再根据切线的判定方法作出切线，利用三角形全等的判定和性质求出点E的坐标，利用待定系数法确定直线的解析式，再将各选项代入解析式判断直线是否经过点． 【详解】 解：如图，连接、，作、的垂直平分线交于点， 则点就是所在圆的圆心， ∴点，，组成的圆的圆心为 ， 过点作于点，交直线于点， 此时与圆相切于点， 则 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴设直线：, 则， 解得, ∴直线：， ∴点在此直线上， 当时，，点不在此直线上，故选项不符合题意； 当时，，点不在此直线上，故选项不符合题意； 当时，，点不在此直线上，故选项不符合题意． 【点睛】此题主要考查了切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂径定理、用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是能熟练掌握这些性质坐标与图形的性质． 【作业7】．（25-26九年级上·河南周口·期末）在中， ，，，以点C为圆心作， 若与相切，则的半径为____． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径．也考查了勾股定理．作于D，先根据勾股定理计算出，再利用等积法计算出，然后根据切线的性质即可得到的半径长． 【详解】解：作于D，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵与相切， ∴长为的半径， 即的半径长为． 故答案为：． 【作业8】．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________    【答案】/40度 【知识点】切线的性质定理 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【作业9】．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）若的圆心到直线的距离小于半径，则直线与的位置关系是______． 【答案】相交 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键． 根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：的圆心O到直线l的距离d小于半径r， ∴直线l与的位置关系是相交． 故答案为：相交． 【作业10】．（2025九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与轴、轴的位置关系分别为______、______． 【答案】 相切 相离 【知识点】求点到坐标轴的距离、判断直线和圆的位置关系 【分析】通过计算圆心到坐标轴的距离，与半径比较来判断圆与坐标轴的位置关系． 若距离等于半径，则相切；若距离大于半径，则相离． 【详解】解：圆心为点 ，半径 ， 圆心到 轴（直线 ）的距离为： ，等于半径， 圆与 轴相切． 圆心到 轴（直线 ）的距离为： ，大于半径， 圆与 轴相离． 故答案为：相切相离． 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，以及点到坐标轴的距离，掌握圆与直线位置关系的判定方法是解题关键． 【作业11】．（2025·浙江温州·一模）如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 __________ ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确把握切线的性质是解题关键．直接利用切线的性质得出，进而利用圆周角定理结合四边形内角和定理得出答案． 【详解】连接，， 、是的切线，切点分别是、， ， ， ， ． 故答案为：． 【作业12】．（25-26九年级上·天津·期中）圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是_______． 【答案】相交或相切 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系．设圆心到直线的距离为，圆的半径为．当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．反之亦然．熟练掌握是解题的关键． 圆心到直线上某一点的距离为，表明圆心到直线的距离可能小于或等于，结合圆的半径，判断直线与圆的位置关系． 【详解】∵圆的半径，圆心到直线上某一点的距离为， ∴圆心到直线的距离d满足， ∴， ∴直线和圆的位置关系是相交或相切． 故答案为：相交或相切． 【作业13】．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点、、，若，，则内切圆的半径长度为______． 【答案】1 【知识点】用勾股定理解三角形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，连接，勾股定理求出的长，等积法求出内切圆的半径长即可． 【详解】解：设内切圆的圆心为，连接， 则：，， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；即：内切圆的半径长度为1． 故答案为：1． 【作业14】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在外，分别切于点是的直径，若，则的度数为_____． 【答案】/55度 【知识点】三角形内角和定理的应用、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、应用切线长定理求解 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及直角三角形的性质，连接，可得，由切线的性质可得，再根据切线长定理得到，进而得到，由即可得到结果． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵分别切于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【作业15】．（23-24九年级上·山东临沂·阶段检测）如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 【答案】 证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， 是半径， ∴是的切线． 【知识点】三线合一、与三角形中位线有关的证明、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】连接，推出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形中位线定理求出，推出，根据切线的判定推出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、切线的判定、圆周角定理等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，注意证切线的方法：知道过圆上一点，连接圆心和该点证垂直． 【作业16】．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，以为直径的交边于点，过点作的切线，交边于点，且．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， ∵为的切线， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. 【知识点】等腰三角形的性质和判定、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键，根据切线的性质得到，从而推出，进而推出，即可证得． 【详解】略 【作业17】．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是的直径，E为延长线上一点，与相切于点C，于点D，连接．求证：． 【答案】 证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、等边对等角、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，灵活利用平行线的判定与性质是解答本题的关键．连接，利用切线的性质，先证明，即有，再根据，可得，即有． 【详解】略 【作业18】．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 【答案】3． 【知识点】用勾股定理解三角形、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，易证四边形为正方形，在中，由勾股定理求出，再根据切线长定理即可求出． 【详解】解：设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，如图所示． 易得四边形是正方形， ． 在中， ， ． 由切线长定理，得， 即， 解得， 的半径为． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的应用，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲·直线与圆·培优讲义 （知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027学年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解直线与圆的三种位置关系及判定 · 掌握切线的性质（切线垂直于过切点的半径） · 掌握切线长定理并能灵活运用 · 会判定切线：过半径外端且垂直于半径 · 会作圆的切线并解决内切圆综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.直线与圆的位置关系 设圆心到直线的距离为d，半径为r d>r：相离；d=r：相切；d<r：相交 相切时有且只有一个公共点（切点） 相交时有两个公共点 概念辨析例题：⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） 答案：相交 解析：d=3<r=5，直线与圆相交。 ☆ 2.切线的性质 切线垂直于过切点的半径 过切点的半径与切线互相垂直 由垂直关系可求角度或边长 切线性质常与圆周角、勾股定理综合 概念辨析例题：AB是⊙O的切线，A为切点，OA=3，∠ABO=30°，则AB的长为（　　） 答案：3 解析：OA⊥AB，在Rt△OAB中，AB=OA·tan60°=3。 ☆ 3.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 连接切点与圆心可构造直角三角形 常与角平分线、等腰三角形结合 概念辨析例题：从⊙O外一点P引PA、PB切⊙O于A、B，PA=6，则PB=（　　） 答案：6 解析：切线长定理：从圆外一点引的两条切线长相等，PB=PA=6。 ☆ 4.切线的判定 经过半径外端且垂直于该半径的直线是切线 到圆心的距离等于半径的直线是切线 证明切线：连半径、证垂直（或作垂线、证等距） 已知切线时常用性质，求证切线时常用判定 概念辨析例题：直线l经过⊙O上一点A，且l⊥OA，则直线l是⊙O的（　　） 答案：切线 解析：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 位置关系 d>r相离、d=r相切、d<r相交 比较d与r 切线性质 切线⊥过切点半径 垂直关系 切线长定理 PA=PB，PO平分∠APB 从圆外一点引两条切线 切线判定 过半径外端且垂直 连半径证垂直 内切圆 到三边距离相等 圆心为内心 ⚠️ 核心考点 【考点1】直线与圆的位置关系（第1-9题） · 比较圆心到直线距离d与半径r · 由坐标、方程求d或r再判定 · 注意直线与坐标轴平行时的距离计算 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系为（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，是上一点，，，，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．（2022·山东青岛·模拟预测）已知等边三角形的边长为，以点A为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．外离 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 5．（25-26九年级上·广东广州·期末）若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 6．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）在同一平面内，已知点O到直线的距离为．以点O为圆心，为半径画圆．当上有且只有2个点到直线的距离等于时，则r的取值范围是_____． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，．判断以点C为圆心，下列r为半径的与直线的位置关系． (1)； (2)； (3)． 8．（2025九年级上·北京·专题练习）已知直线与圆相离，求k的取值范围． 9．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图①所示，在中，，若以点C为圆心，R为半径的圆与斜边只有一个公共点，求R的长． 解：如图②所示，以点C为圆心，R为半径的圆与斜边相切， 过点C作于D，则 由勾股定理，得 ＝ ， 由三角形的面积公式，得， ∴ ＝＝ 上述解答正确吗？如不正确，请说明理由． 【考点2】切线的性质（第10-20题） · 切线垂直于过切点的半径 · 结合直角三角形、勾股定理求值 · 与圆周角、弧、弦关系综合求角度 10．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，是的直径，是的两条切线，B、C是切点，若，，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 11．（2025·山西长治·二模）如图，是的内接三角形，是延长线上一点，且与相切于点，若，则的半径为（   ） A． B． C．2 D． 12．（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·浙江·三模）如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 14．（25-26九年级上·山西大同·期末）如图，点，在上，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，的度数为________ 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A为上一动点，D为圆外一点，AD交于点B，OD交于点C，延长DO交于点E． (1)若，B恰为AD的中点，则OD的长为________． (2)若，则的度数为________． 16．（22-23九年级上·福建莆田·期中）如图，是的弦，是过B点的直线，，当________ 时，是切线． 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，此切线与的延长线相交于点D，，垂足为E．求证：平分． 18．（2026·广东深圳·中考真题）如图，是的直径，点是圆上一点，连接并延长至点，使得． (1)求证是的切线； (2)若，，求的长； (3)利用圆规和无刻度直尺在图中作出点关于直线的对称点（保留作图痕迹，不要求写出作法）． 19．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，是的直径，过点D作的切线，点A是上一点，且，连接交于点B，点C是的中点，连接，，为的切线． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知的半径为1，求阴影部分的面积．（结果保留π） 20．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，高交于点．以为圆心，长为半径作交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径及的长． 【考点3】切线长定理（第21-26题） · 从圆外一点引两条切线长相等 · PO平分两条切线的夹角 · 构造直角三角形求边长 21．（2024·西藏日喀则·二模）如图，P为外一点，，分别切于A，B两点，若，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 22．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 23．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是_____． 24．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，P是外一点，、分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于D、E，若的周长为16，则长为________． 25．（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 26．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 【考点4】切线的判定（第27-35题） · 过半径外端且垂直于半径→切线 · 圆心到直线距离等于半径→切线 · 证明题：连半径证垂直 27．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（   ） A．点在外 B．点在内 C．与相交 D．与相切 28．（24-25九年级上·江苏南京·期中）在中，，以为圆心，为半径画圆，若与边有两个公共点，则的取值范围是 ___________． 29．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在等边中，，以点B为圆心，半径为2作，点D是边上的一个动点，过点D作与相切于点E，则线段的最小值为______． 30．（2023·安徽·模拟预测）如图，四边形为菱形，且顶点A、P、B都在圆O上，过点P作圆O的切线，与的延长线相交于点Q，若圆O的半径为2，则的长为______． 31．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线，垂足为H，点P在直线b上，，点O在线段上，若以点O为圆心，长为半径的圆与直线a相交，则的取值范围为________． 32．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，，，以的中点O为圆心的半圆与相切，连接，与半圆相交于点D，则的长为______． 33．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点是平分线上一点，，垂足为，与以为圆心、长为半径的圆相切吗？请说明理由． 34．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 35．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下： 已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，以为半径作，与交于两点和（点在上，点在下）； ③作直线，直线，则直线和直线是的两条切线． (1)请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹） (2)求证：，是的切线，且． 证明：连接，，如图． 为的直径， ___①___； ，， 又点，在上， ，是的半径，且， ，是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 在和中， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ． ． 【考点5】内切圆与综合应用（第36-45题） · 内切圆圆心到三边距离相等 · 三角形周长、面积与内切圆半径关系 · 综合题结合切线性质与几何图形求解 36．（2024·广西南宁·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点D，，分别与相切于点E，F，求的半径．根据题意，的半径是（   ） A．100步 B．120步 C．140步 D．160步 37．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，点D为的中点，以2为半径作，则下列说法不正确的是（　　）    A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．与直线相切 D．与直线相交 38．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_________． 39．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点，以A为圆心，4为半径作圆，则与y轴的位置关系是______． 40．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图是地球的示意图，其中和分别表示赤道和南回归线，，常州市某处位于北纬 （即）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所夹的锐角）的大小为_______． 41．（24-25九年级上·福建福州·期末）“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是________． 42．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为________． 43．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，圆心的坐标为，以半径在坐标平面内作圆，当满足______时，圆与坐标轴有4个交点． 44．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图坐标系中，，以A为圆心，r为半径画圆， (1)当与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是 ； (2)当与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是 ； (3)当与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是 ； (4)当与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是 ； 45．（2024·浙江宁波·一模）如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段于点F，E，M，连结，已知． (1)求证：； (2)若M为的中点，求的半径； (3)若的半径为3，求的值． 【考点6】尺规作图（作切线）（第46-49题） · 过圆上一点作切线：作半径的垂线 · 过圆外一点作切线：找中点作圆，交点为切点 · 保留作图痕迹并说明依据 46．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 47．（2026·甘肃定西·一模）学完圆的切线知识后，爱好数学的小明想尝试“过圆上一点作圆的切线”，下面是他设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，及圆上一点． 求作：的切线为切点． 作法步骤：①连接并延长到点，如图2；②分别以点为圆心，大于长的一半为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）；③以点为圆心，的长为半径作；④连接并延长，交于点，作直线．直线就是所求作的切线． 使用直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）． 48．（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知点A在上，用尺规按下列要求画图： (1)在图①中画出点P，使是的直径； (2)在图②中画出点Q，使是的切线．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） 49．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知：圆及圆外一点，求作：过点作圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和，连接，交于点； ②以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明推理的依据 证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（_______________）， ∵，为的半径， ∴直线，为的切线（_______________）． 💯 课后巩固 复习建议 · d与r的比较是位置关系判断核心 · 切线性质：垂直、切线长相等 · 证明切线连半径证垂直 · 内切圆半径与三角形面积公式S=Cr · 作图题保留痕迹、写明依据 【作业1】．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【作业2】．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，，分别与相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在弧上，，则的周长是（   ）． A．12 B．18 C．24 D．16 【作业3】．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【作业4】．（25-26九年级下·全国·随堂练习）等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A． B． C． D． 【作业5】．（2024·江苏常州·中考真题）已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6，则⊙O的半径可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【作业6】．（26-27九年级上·北京·课后作业）在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫作整点．如图，过整点，，有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线经过（     ） A． B． C． D． 【作业7】．（25-26九年级上·河南周口·期末）在中， ，，，以点C为圆心作， 若与相切，则的半径为____． 【作业8】．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________    【作业9】．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）若的圆心到直线的距离小于半径，则直线与的位置关系是______． 【作业10】．（2025九年级·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆与轴、轴的位置关系分别为______、______． 【作业11】．（2025·浙江温州·一模）如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 __________ ． 【作业12】．（25-26九年级上·天津·期中）圆的半径是，如果圆心与直线上某一点的距离是，那么该直线和圆的位置关系是_______． 【作业13】．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点、、，若，，则内切圆的半径长度为______． 【作业14】．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在外，分别切于点是的直径，若，则的度数为_____． 【作业15】．（23-24九年级上·山东临沂·阶段检测）如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 【作业16】．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，以为直径的交边于点，过点作的切线，交边于点，且．求证：． 【作业17】．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是的直径，E为延长线上一点，与相切于点C，于点D，连接．求证：． 【作业18】．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $