综合与实践3 从曲线绘制到密度测算&第27章 反比例函数拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

小.0.9<1.0，∴.该企业所排污水中硫化物的浓度能在 15天以内不超过最高允许的1.0mg/L. 5.(1)45.(2)随着x值的增大，y的值先增大后减小 (答案不唯一).(3)能.理由：观察函数图象及表格数据， 发现当≥时，可以用反比例函数描述y与x之间的关 系，设此段函数的解析式为y=(k≠0).当x=2时，y 2罗函数解析式为y=要由该人晚上8：00喝完 250毫升低度白酒至第二天早上7：30，可得x=11.5,把 x=11.5代人y=225,可得y≈19.57.：19.57<20， ∴.该人不属于“酒后驾驶”，能驾车去上班。 综合与实践3从曲线绘制到密度测算 1.1D一.(2)①如图.②如图.究.(3)①(2,2)：8 ②0个交点时，0<m<8;2个交点时，m>8;1个交点时， m=8.(4)m≥4/10. y 4- 7 5 4 3 2 -4321仅123456789x 2 3 (第1题)》 2.(1)如图p=20. h (2)0.8g/m. p/(g/cm') 10 87 6 3 G12345678910h/cm (第2题) 第二十七章拔尖自主测评 1.By1与x成正比例，y2与x2成反比例，∴.可设 y1=kx,y2=品(k,a为常数，k≠0，a≠0)..y=yy2= 红·是但即y是x的反比例国数 2.DAk=一6<0，∴.此函数的图象位于第二、第四 象限，正确，不符合题意B:当x=一2时，y=一6 -2 3,∴.此函数图象必经过点（一2,3），正确，不符合题意. C.当x=1时，y=-6,∴.当x>1时，-6<y<0,正 确，不符合题意.D.k=一6<0，.此函数的图象位于 第二、第四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，原 说法错误，符合题意 3.C一个人完成需12天，∴.一人一天的工作量为 2”m个人共同完成需”天，“一人一天的工作量为 1 ：每人每天完成的工作量相同mm=12心”= m n是m的反比例函数·只有C选项符合题意 m 4B:k>0,.反比例函数y=冬(k>0)的图象在第 一、第三象限点A(x1,一2)，B(x2,4),C(x,6)都在反 比例函数y一空(k>0)的图象上，B,C两点在第一象 限，点A在第三象限.：'4<6，.x2>x3>0.:x1<0, .x1<x3<x2. 5.A连接OA.四边形DEOF,四边形ACOB都是正 方形，.EF∥AO..S△oEr=S△ABP·.S△AP= Szsmme-lal--d. 1 6D设f与T之间的函数解析式为f-宁（快为常数，且 k20.将T=20.1=20代人.得20=2六0：解得= 4100,“了与T之间的函数解析式为/-490当/= 40时，得40=40解得T=10,应该将张力减小 至100N. 3 7.A”A是射线y=之x(x≥0)上一点设点A的 坐标为(2a,3a).∴.OB=2a,AB=3a.又点A在双曲 线y=上，k=2aX3a=6a2.双曲线对应的函数解 析式为y=6a.四边形ABCD是正方形，.AB BC=CD=3a.∴.OC=OB+BC=5a.CD与双曲线 y=兰相交于点E点E的坐标为(a号)5C= 9a 兽E-m-=智-号器远是 8.A如图，过点A作AMLx轴于点M,过点B作BN」 AM于点N..AM∥y轴.：BC⊥x轴，AD⊥y轴， .'OM=AD,AM=OD,MN=BC,BN=CM..OD= 3BC=3,∴.OD=3,BC=1.∴.AM=3,MN=1.∴.AN= 2.:点A,B在反比例函数y=冬的图象上，A(气， 3,B(k,1).BN=CM=k-3=3k.·A0=AB, .OMP+AM=AN2+BN.·()+32=2+ (号k),解得k,=5,k:=一5.：反比例函数的图 象在第一象限，.k>0.∴.k=15 D OM C (第8题) 9.2根据题意，得m2-1-2m十1=0，解得m=0或m= 2.:m为正数，∴.m的值为2. 10.1.2浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度 p(单位：g/cm)的反比例函数，设反比例函数的解析式为 方=合将p=15,A=16,代入，得16=5解得=24， “反比例函数解析式为h-24.当h=20时，得20-4 解得p=1.2. 11.5解法一（代数法）：设点A的纵坐标为b.A是函 数)=名>0)的图象上的点是-6.上=名，即点 A的横坐标为子.：AB:轴，.点B的纵坐标为6. :B是函数)y=-3(x<0)的图象上的点，-3=6， x=一子即点B的横坐标为-子SAm=AB· 6-[号-(-2】6=号6=5 解法二（几何法）： 如图，连接OA,OB,设AB交y轴于点E.AB∥x轴， ·ABLy轴：A是函数y=2(x>0)的图象上的点， x 5号×2-1.：B是函数y-2C<0的图家 上的点∴5w=2×1-3=号.Sa8=1+2 1 号.：四边形ABCD为平行四边形，：SA=2S=司 (第11题) 122s:点A,(1,1)在反比例函数y=的图象上， “1=冬“k=1反比例函数的解析式为y= :B:是OB,的中点，B2(o,）点A:的纵坐标为 是，代入y=是，得x=2·A(么，2)同理，可得 A,（(4,),A,(8,日）…依次类推，可归纳出规律：点 A,的纵坐标为2横坐标为2，根据规律，当4=2026 时，点A2026的横坐标为2226-1=22025 13.(1):反比例函数y=”的图象过点A(-2,6), x .m=一2×6=一12..反比例函数的解析式为y= 是把=3代入y=-2,得y=-4B3,-4.将 x -2k+b=6, A(-2,6),B(3,一4)代人y=kx+b,则 解 3k+b=-4, k=一2， 得 ∴.一次函数的解析式为y=一2x十2. {b=2. (2)一2<x<0或x>3.(3)设直线AB与x轴交于点 D,当y=0时，-2x+2=0,∴x=1..D(1,0) △ABC的面积为18，∴.S△AC=S△amA+S△cDB= 2CD.G-w)-2DX(6+40=18D-9 点C的坐标为(-9o)或（停o), 15.(1)当x=1时，a=-1+6=5,.A(1,5)..k=5. 14D品65103106+号=8k=品 (2②)当-x十6=时，解得=1或=5，B6,1.设 3 3 小一次函数解析武为)y一0x十2·结合图象可得，当 c C(m,-m+6.则D(m,）CD=-m+6-是 为线段AB上-点1≤m≤.：△0CD的面积为， x=30时y取最大值最大值为品×30+-6(2)由 题意，当x≥30时，CD段是反比例函数图象的一部分，设 号×（一m+6-是）×m=受解得m=2或m=4 函数解析式为y=只.又：图象过点C(30,6)“m .点C的坐标为(2,4)或(4,2).(3)延长EH,交直线 AB于点G.:BH平分∠EBA,BH⊥EG,∴.△EBG是 30×6=180.∴.当m≥30时，y与x之间的函数解析式为 等腰三角形..H是EG的中点，BG=EB.OB=EO, 180 y= ,(3)由题藏令=品x十是-4，得x-令 3 x .E(-5,-1).设G(t,-t+6).BG=BE=2√26， y180 ∴.2√26=√(t-5)2+(-t十5).∴.t=5-2√13或t= 4,得x=45..消毒效果达到4效力及以上的时 x 5+2J13(舍去)..G(5-2√13,1+2/13).·H是EG 间为5一-9智（分钟，：曾>8本次捐喜有效 3 的中点，.H(-√13，√13). 第二十八章 旋转 28.1图形的旋转 ∴.∠DAC=∠ACB=70°.∴.∠BAE=∠BAC+∠DAC+ ∠DAE=40°+70°+40°=150°.∴.当ADBC时，∠BAE 1.C,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到 的度数为30°或150°. △EDC,∴.DC=BC,∠E=∠A.:AD=CD,.∠DCA= ∠A.:点D恰好落在边AB上，∴.∠B=∠CDB= ∠DCA+∠A=2∠A..∠A+∠B+∠ACB=180°，且 ∠ACB=78,.∠A+2∠A+78=180°.∴.∠E= ∠A=34°. 2.A由旋转的性质可知，∠ACD=∠AOB=60°，AC= ② AO=6,CD=OB=8,∴.△AOC是等边三角形.∴.OC= (第3题) OA=6,∠ACO=60°.∴.∠DCB=180°-∠ACO-∠ACD 4. 5 4 连接OB.四边形ABCD为正方形，O为对角线 60°.过点D作DE⊥x轴，垂足为E.∠DEC=90°， AC的中点，∴.OA=OB,∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC= ∠CDE=180°-∠DCB-∠DEC=30.∴.CE=2CD= 45°.四边形OA'B'C'为正方形，.∠A'OC=90°. 4..OE=OC+CE=10.在Rt△DCE中，DE= :∠AOE+∠EOB=90°，∠EOB+∠BOF=90, ∴.∠AOE=∠BOF.在△AOE和△BOF中， √CD-CE=43,∴.点D的坐标为(10,43). ∠OAE=∠OBF, 3.30或150°当点D在点A的左侧时，如图①所示. OA=OB, ∴.△AOE≌△BOF.∴.S△AoE= :AB=AC,∠BAC=40,·∠ABC=号(180- ∠AOE=∠BOF, ∠BAC)=70°.AD∥BC,∴.∠BAD=∠ABC=70. S△F.∴.四边形BEOF的面积=S△E十S△F=S△E十 .∠BAE=∠BAD-∠DAE=70°-40=30°.当点D在 5aw-5as=752m=号X5-空 1 41 点A的右侧时，如图②所示.'AB=AC,∠BAC=40°， 5.(1),△ABC是等边三角形，.∠ABC=60°.由旋转， ·∠ACB=(180-∠BAC)=70.:AD∥BC, 可得∠ABD=∠FBE=6O°.EC∥BF,.∠BEC+ 42第二十七章反比例函数 综合与实践3从曲线绘制到密度测算 1,【发现问题】小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形.那么，面积为定 值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】小明尝试从函数图象的角度进行探究： (1)建立函数模型.设一矩形的面积为4，周长为m,相邻的两边长为x,y,则xy=4,2(x十y)= m,即y-上y=一十受满足要求的，y)应该足函数y一与y=一x十罗的图象在第 象限内的公共点坐标 (2)画出函数图象.①画函数y=4(x>0)的图象.②在同一平面直角坐标系中直接画出直线 y=一x,则宜线y=一x+公可以看成是由宜线y=一x向上平移 个单位长度得到的 (3)研究函数图象.平移直线y=一x,观察两函数的图象：①当直线平移到与函数y=4(x>0) 的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为 ,周长m的值为 .②在直线平 移的过程中，请直接写出公共点的个数及对应周长的取值范围： 【结论运用】(4)面积为10的矩形的周长m的取值范围是 Y 8 5 tp/(g/cm') 4 10- 3 9- 8 -1 -43210123456789x 3 2 012345678910h/cm (第1题) (第2题) 2.某实验兴趣小组用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，液体的密度ρ (单位：g/cm3)与其浸在液体中的高度h(单位：cm)成一定的函数关系，经过实验获得两个变量 h,p的5组对应值如下表： h/cm 2 2.5 4 8 p/(g/cm3) 10 8 5 4 2.5 (1)在给定的平面直角坐标系中画出相应函数的图象，并写出密度p(单位：g/cm3)关于高度 h(单位：cm)的函数解析式： (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25,则这种液体的密度为 ●“答案与解析”见P40 67 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 第二十七章拔尖自主测评 ◎满分：100分O时间：60分钟 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.已知y=y1y2,若y1与x成正比例，y2与x2成反比例，则y是x的 () A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.以上都不对 2已知反比例函数y=一。，下列结论中，不正确的是 () A.图象位于第二、第四象限 B.图象必经过点（一2,3） C.若x>1,则-6<y<0 D.y随x的增大而增大 3.某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天.若m个人共同完成需n天， 选取6组数对(m,n),在坐标系中进行描点，则下列选项中，正确的是 () n· n n 2 02 02 02 A. B C. D 4.点A(1,一2》，B(x,4),C(x3,6)都在反比例函数y=(>0)的图象上，则x1x2,x3的大小 关系是 () A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 C.x3<x2<x1 D.x2<x1<x3 5.如图，函数y=a(a<0,x<0)和y=b(b>0,x>0)的图象分别经过正方形DEOF,正方形 ACOB的顶点D,A,连接EF,AE,AF,则△AEF的面积可表示为 () A.- a C.2(a+b) D.2(b-a) f/Hz 220 EO B 0200T入 OB C (第5题) (第6题) (第7题) 6.舒境生活实际钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率 f(Hz)是琴弦张力T(N)的反比例函数.如图，当T=200时，f=220(即达到标准音高A3).若 要使频率升高到440Hz(即达到标准音高A4),则应该将张力 () A.增大至150N B.减小、至150N C.增大至100N D.减小至100N 7.如图A是射线)x(≥0)上一点，过点A作ABLx轴于点B,以AB为边在其右侧作正方 形AD,过点A的双由线y一交CD边于点E.侧2瓷的俏为 3 A.2 5 B.2 C.3 D.1 68 第二十七章反比例函数 8,如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y=位于第一象限的图象 上，BC⊥x轴于点C,AD⊥y轴于点D,连接AO,AB.若OD=3BC=3,AO= AB,则k的值为 (第8题) A.√15 B.-√/15 C.13 D.-√13 二、填空题（每小题5分，共20分） 9.已知反比例函数y=m的图象与反比例函数y=一2m十的图象关于z轴对称，则正数m 的值为 10.某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深 度h(单位：cm)是液体的密度p(单位：g/cm3)的反比例函数.此密度计漂浮在密度为1.5g/cm3 的甲液体中时，浸在液体中的深度为16c,此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为 20cm,则乙液体的密度为 g/cm3. 1.多强如图，A是函数)C>0的四象上在这一点，AH:轴交函效)一一 3 三x<0阁象丁点B.以AD为边作ACD.其点C.D在c上.则 C OD SGARCD的值为 (第11题) 12如图，点A,1,)在反比例函数y的图象上，过点A作轴的垂线，与 y轴交于点B1,取OB1的中点B2,过点B2作x轴的平行线，与反比例函数的 图象交于点A2…以此类推，则点A226的横坐标为 (第12题) 三、解答题（共40分） 13.(12分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx十b的图象与反比例函数y=”的图象相 交于点A(一2,6)和点B,点B的横坐标为3. (1)求反比例函数和一次函数的解析式 (2)观察图象，直接写出当kx十b<”时x的取值范围， (3)C为x轴上一动点，连接AC,BC,若△ABC的面积为18，请直接写出点C的坐标. (第13题) 69 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 14.(12分)某校后勤处每周日会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化 如图所示，消毒效果y(单位：效力)与时间x(单位：分钟)之间的关系呈现出三段函数图象，其 中AB段为“升消毒阶段”，BC段为“深消毒阶段”，且此时消毒效果y(单位：效力)与时间x(单 位：分钟)的关系可近似用一次函数y=kx十刻画，CD段是反比例函数图象的一部分，为“降 消毒阶段”.请根据图中信息解答下列问题： (1)k的值为 ,消毒效果最高是 效力. (2)当x≥30时，求y与x之间的函数解析式， (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可认定消毒有效，问：本次消毒是否有效？ +y/效力 38 11030 x/分钟 (第14题) 15.(16分)在平面直角坐标系中，直线y=-x十6与函数y-冬(>0)的图象交于点A1a),B. (1)求a,k的值 (2)如图①，若C为线段AB上一点，过点C作CD,小轴，交函数y=(x>O)的图象于点D, 连接CC,OD,△0CD的面积为，求点C的坐标 (3)如图②，连接BO并延长至点E,使EO=BO,作∠OBA的平分线BF交y轴于点F,过点 E作EH⊥BF于点H,求点H的坐标 H ① ② (第15题) 70 >“答案与解析”见P40