29.2 第3课时圆周角定理及其推论-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十九章圆 第3课时圆周角定理及其推论 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OD,C是⊙O上的一点，且∠AOC=152°，则∠BAC的度 数是 () A.32° B.22 C.20 D.16 D D (第1题)》 (第2题) (第3题) 2.=题多解如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则⊙O的半径为() A.√5 B.25 C.25 D.3√2 3.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB,CD所对的圆心角分别为∠AOB,∠COD.若CD=6, ∠AOB与∠COD互补，则弦AB的长为 4.如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠ACB=2∠BAC. (1)求证：∠AOB=2∠BOC. (2)若AB=8,OC=5,求BC的长. (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5.如图，AB是⊙O的直径，点C,D分别在不同的半圆上，BD=2BC,则下列 D ∠ABD与∠ABC的关系中，恒成立的是 A.∠ABD=2∠ABC B.∠ABD+∠ABC=90° C∠ABC-2∠ABD=45 D.2∠ABC+∠ABD=180° (第5题) 91 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 6.如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，E,F分别是AC,BC的中点，直 线EF与⊙O交于G,H两点.若⊙O的半径是4，则GE+FH的最大值是 () A.5 B.6 C.7 D.8 A R (第6题) (第7题) 7.如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC的交点分别为D,E,且DE=BE. 若半圆的直径为13，BC=10,则BD的长为 8.如图，AB是⊙O的直径，CD=CB,CE⊥AB于点E,连接BD交CE于点F,连接AC (1)求证：CF=BF. (2)若CD=2,AC=4,求BD的长. (第8题) 微专题·与圆心角或圆周角有关的辅助线 1.[构造同弧所对的圆周角]如图，在足球比赛中，从点A,B,C,D四个位置向球门PQ射门，其中， 点P,Q,B,C在⊙O上，点A在⊙O外，点D在⊙O内.设射门角度为射门位置与球门两端 P,Q所连线段的夹角，则射门角度最大的位置是 ( A.点A处 B.点B处 C.点C处 D.点D处 E (第1题) (第2题) (第3题) 2.[连半径，构造圆心角]如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB,过点C的弦CD与 线段OB相交于点E,满足∠AEC=65°，连接AD,则∠BAD的度数为 ) A.20 B.25° C.30 D.32.5 3.[连直径，构造直角三角形]如图，⊙O的半径为4，△ABC的顶点A,B在⊙O上，AC,BC分别与 ⊙O交于D,E两点，且BE=DE.若∠B=90°，∠A=60°，则△ABC的面积为 92 >“答案与解析”见P55AD.∴.∠ABD=∠ADB=∠ACB=∠BAC.'∠ADB= ∠DBP+∠P=∠DBP+4O°，∠ABC+∠ACB+∠BAC= 180°，∴.∠ABD+∠DBP+∠ACB+∠BAC=180°. .∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+ 40°=180°，解得∠DBP=15°.∴.CD的度数为30°. 4.(1)连接OB,OC.:AB=AC,AB=AC.在△AOB AB=AC, 和△AOC中，OB=OC,∴.△AOB≌△AOC. OA-OA, ∴.∠OAB=∠OAC.∴.AO平分∠BAC.(2)延长AO 交BC于点E.AB=AC,AO平分∠BAC,∴AE⊥BC BE=合BC=4在R△ABE中，AE= √AB2-BE=8.设OA=OB=r,则OE=8-r.:'在 Rt△OBE中，OE2+BE2=OB2,.∴.(8一r)2+42=r2,解 得r=5.∴.⊙0的半径为5. 5.D取AB的中点E,连接OE交AB于点F,连接BE. 由题意，得AB=2BE,BF=号AB=3,OELAB,.∴BE> BF,BE>3.AB=2CD,.CD=BE..CD= BE>3..各个选项的数中，可能是CD长的为4. 6.12连接AC.F是EC的中点，.CF=EF.BE= AB,BF是△EAC的中位线BF=2AC.:AD- BC,..AD+AB=BC+AB,BD=AC..'BD=AC. .BF-BD.BD-2BF-12 em. 7.22作点D关于AB的对称点E,连接CE交AB于 点P',连接OC,OE,DP'.易知当点P在点P的位置时， PC+PD的值最小，即为CE的长.'C是上半圆的一个 三等分点（靠近点A)..∠A0C=号×180=60：D 是AC的中点，：易得∠A0E=2∠A0C=30. ∴.∠COE=∠AOC+∠AOE=90°.∴.易得CE=√2OC= 2√2，即PC+PD的最小值是22， 8.(1)如图，过点O作OM⊥AD于点M,ON⊥BC于点 N,连接OA,OC,则AM=DM=3AD,BN=CN= 2BC.在Rt△OAM中，AM=VOM-OMF,在 Rt△OCN中，CN=√OC-ON.:EO平分∠AEC, OM LAD,ON⊥BC,∴.OM=ON.又.OA=OC,∴.AM CN...AD=BC..'.AD=BC,AB+BD=BD+CD. AB=CD..AB=CD.(2)ADL⊥CB,.∠MEN= 90°.EO平分∠MEN,.∠MEO=45.∴.△MEO为 等腰直角三角形.∴.OM=EM.设ME=x,则OM=x, DM=ME DE =x +1..AM DM=x+1. Rt△AOM中，，OM+AM2=OA2,∴.x2+(x+1)2= ,解得，=1十亚，1正（不合近意，含 2 2 去)AM=-1+亚+1=7+出.·AD=2AM= 2 2 √17+1. (第8题) 9(①)：AD=BC,.AD=C..AD-AC=BC AC,即CD=AB..CD=AB.(2)如图，过点O作 OE⊥BD于点E,延长OE交⊙O于点F,连接OB,BF. 'BF=DF,BD BF+DF,BE DE.BD=24, .BE=DE=12..BD=AB+CD,AB=CD,..AB= B.AB=BF=4√3.在R△BEF中，EF= √BF2-BE=8.设⊙O的半径为r,则OE=r一8.在 Rt△OBE中，.BE2+OE=OB2,.122+(r一8)2=r2, 解得r=13.∴.⊙0的半径为13. (第9题) 第3课时圆周角定理及其推论 1.D连接AD,BD.弦AB垂直平分半径OD,∴.OA= AD,OB=BD.OA=OD=OB,..OA=AD=OD= OB=BD.∴.△AOD,△OBD都是等边三角形.∴.∠AOD= ∠BOD=60°.∴.∠BOC=∠AOC-∠AOD-∠BOD= 152°-60-60=32.∠BAC=2∠B0C=16 2.A解法一：如图①，连接CO并延长，交⊙0于点E,连 接AE.OA=OC,.∠OAC=∠OCA.∠ACD= ∠CAB,.∠ACD=∠ACO.∴.易得AE=AD=2.:CE 是⊙O的直径，.∠EAC=90°..在Rt△EAC中，CE= √AE2+AC=25..⊙0的半径为5.解法二：如图 ②，连接BC.·'AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90. :∠ACD=∠CAB,.AD=BC.AD=BC=2..在 Rt△ABC中，AB=√AC+BC2=2√5.∴.⊙O的半径 为w5. ① ② (第2题) 3.8延长AO交⊙O于点E,连接BE,则∠AOB+ ∠BOE=180°.∠AOB+∠COD=180°，∴.∠BOE= ∠COD...BE=CD.,AE为⊙O的直径，∴.∠ABE= 90°，AE=10.∴.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB= √AE2-BE=√10-6=8. 4.(1)∠AOB=2∠ACB,∠ACB=2∠BAC, ∴.∠AOB=4∠BAC.又.∠BOC=2∠BAC,∴.∠AOB= 2∠BOC.(2)过点O作OD⊥AB于点D,过点C作 CE⊥OB于点E.'OD⊥AB,OA=OB,∴.∠BOD= 2∠A0B,BD=2AB=号×8=4，∠BD0=90.由(1D. 得∠AOB=2∠B0C.·.∠B0C=∠A0B=∠BOD. ·CE⊥OB,∴.∠CEO=90°..∴.∠CEO=∠BDO.在 ∠CEO=∠BDO, △OCE和△OBD中， ∠COE=∠BOD,∴.△OCE≌ OC=OB, △OBD..CE=BD=4...在Rt△OCE中，OE= √0C2-CE=√5-4=3..BE=OB-OE=5-3= 2.∴.在Rt△BCE中，BC=√BE+CE=√22+4= 2W5. 5.C连接AC,AD.BD=2BC,∴.∠BAD= 2∠BAC.:AB是⊙O的直径，∴.∠C=∠D=90° ∴.∠ABC+∠BAC=90°①，∠ABD+∠BAD=90°. ∴.∠ABD+2∠BAC=90°②.①X2-②，得2∠ABC- ∠ABD=90,∠ABC-号∠ABD=45恒成立 6.B连接OA,OB.∠ACB=30°，.∠AOB= 2∠ACB=60°.·OA=OB,∴.△AOB为等边三角形. ⊙O的半径是4，∴.AB=OA=OB=4.E,F分别是 AC,BC的中点EF=号AB=2:GE+EF+FH GH,EF为定值，∴.当GH的长最大时，GE+FH的值最 大.：'当弦GH是圆的直径时，GH取得最大值，最大值为 4×2=8,∴.GE十FH的最大值是8-2=6. 70 连接AE.:AB是直径，·∠AEB=90° ∠AEC.:DE=BE,.∠BAE=∠CAE.又：AE= AE,∴.△AEB≌△AEC.∴.AB=AC,即△ABC为等腰 三角形，BE=CE=2BC=名X10=5在R△ABE中， AB=13,BE=5,∴.AE=√132-5=12，AB=AC=13. :AB是直径，∠ADB=90.2AE·BC=BD· AC.BD=10X12_120 13131 8.(1)·AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°..∠A= 90°-∠ABC.:CE⊥AB,∴.∠CEB=90°.∴.∠ECB= 90°-∠ABC..∠ECB=∠A.:CD=CB,.CD= CB..∠DBC=∠A.∴.∠ECB=∠DBC.∴.CF=BF. (2)如图，连接OC交BD于点G,连接OD,则OD=OB. :BC=CD,∴.易得BD=2BG,OC⊥BD.:BC=CD= 2,AC=4,∠ACB=90°，.AB=WAC2+BC= √4+2=25.∴.⊙0的半径为5.设0G=x,则CG= 5-x.:由勾股定理，得BG2=OB2-OG=BC2-CG, 5y--2-(5-,解得-35G V0B-0G=J5)2- 35） 5 -45m85 5 (第8题) 6 微专题·与圆心角或圆周角有关的辅助线 1.D如图，连接QF,延长QD交⊙O于点E,连接 PE.∴.∠PFQ=∠PBQ=∠PCQ=∠PEQ.∠PFQ 是△AFQ的一个外角，∴.∠PFQ>∠PAQ.∠PDQ 是△PED的一个外角，∴.∠PDQ>∠PEQ.∴.∠PDQ> ∠PCQ=∠PBQ>∠PAQ..射门角度最大的位置是 点D处 (第1题) 2.A连接OD.OC⊥AB,.∠COB=90. .∠AEC=65°，.∠OCE=180°-90°-65°=25. .OD=OC,∴.∠ODC=∠OCD=25°.∴.∠DOC= 180°-25°-25°=130°.∴.∠D0B=∠D0C-∠B0C= 130°-90-40..∠BAD=3∠D0B=20°. 3.24√3连接AE.∠B=90°，∴.AE为⊙O的直 径.：⊙O的半径为4，∴.AE=8.BE=DE,∴.BE= DE.∠BAE=∠DAE.:∠BAC=60,∴∠BAE ∠DAE=30,:BE=AE=4.在R△ABE中，由 勾股定理，得AB=√AE2-BE=√82一4=4√5. ∠B=90°，∠BAC=60°，∴.∠C=30°..AC=2AB= 8√3..在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC= √JAC2-AB7=√(8√5)2-(4√3)2=12..△ABC的 面积为2AB·BC=号×43X12=245. 第4课时圆的内接四边形 1.A:四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠B十 ∠D=180°∴.∠B=180°-∠D=60°.：AB是⊙0的直 径，∴.∠ACB=90°.∴.∠BAC=90°-∠B=30°.OA= 2.AB=20A-4..BCAB2.AC= √AB2-BC=√4？-2=25. 2.(1):D是AC的中点，.AD=CD..AD=CD. 四边形ABCD内接于⊙O,.∠BAD+∠BCD=180. ∠ECD+∠BCD=180°，∴.∠BAD=∠ECD.在 (AB=CE, △ABD和△CED中，∠BAD=∠ECD,.∴.△ABD≌ AD=CD △CED.∴.BD=ED.(2)如图，连接DO并延长，交⊙O 于点F,连接CF,则∠FCD=90°.D是AC的中点， .AD=CD..∠ABD=∠CBD,AD=CD=5. ∠ABC=60°，∠CBD=30°..∠F=∠DBC=30 ∴.DF=2CD=10.∴.⊙0的半径为5. D 0 (第2题) 3.C如图，连接OB,OC.'四边形ABCD内接于⊙O, .∠ABC+∠ADC=180°.∠ADC=100°，.∠ABC= 180°-∠ADC=80°.∴.∠AOC=2∠ABC=160. ∴.∠AOB+∠B0C=360°-∠AOC=200°.'AB=BC= CD,.AB=BC=CD.∴.∠AOB=∠BOC=∠COD= 100°.∴.∠AOD=∠AOC-∠COD=60°. (第3题) 44连接AC.BA平分∠DBE,∴.∠ABE=∠ABD. 四边形ABCD内接于⊙O,.∠ABC+∠ADC=180°. .∠ABC+∠ABE=180°，∴.∠ABE=∠ADC. ∴.∠ABD=∠ADC.:'∠ABD=∠ACD,∴.∠ACD= ∠ADC.∴.AC=AD=6.AE⊥CB,CE=25,∴.AE= V√AC-CE=4. 5.(1)·'四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠ABC+∠ADC= 180°.，∠ABC=60°，∴.∠ADC=120°.，DB平分 ∠ADC,∴·∠ADB=∠CDB=6O°.∴.∠ACB=∠ADB= 60°，∠BAC=∠CDB=60°.∴.∠ABC=∠BCA= ∠BAC.∴.△ABC是等边三角形.(2)解法一：如图，过 点A作AM⊥CD,垂足为M,过点B作BN LAC,垂足为 N,则∠AMD=90°.∠ADC=120°，∴.∠ADM=60°.