29.2.3圆周角（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本练习围绕圆周角主题，分六个类型系统设计，从概念辨析到定理应用、综合计算，层次递进，题量配比合理，兼顾基础巩固与推理能力提升，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |类型一|圆周角概念|通过图形辨析题强化几何直观，夯实概念理解| |类型二|圆周角定理及推论|以选择、填空题为主，直接应用定理，培养推理意识| |类型三、四|直径与直角互逆关系|双向验证性质，结合简单计算，深化知识联系| |类型五|圆内接四边形角度|综合运用圆内接四边形性质，提升问题解决能力| |类型六|外接圆直径求解|结合几何图形（如正方形、矩形），发展模型意识与空间观念|

29.2.3圆周角（解析版） 目 录 类型一、圆周角的概念和计算 1 类型二、圆周角定理及其推论 5 类型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角 26 类型四、90°的圆周角所对的弦是直径 38 类型五、已知圆的内接四边形求角度 47 类型六、求四边形外接圆的直径 52 类型一、圆周角的概念和计算 1．下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据圆周角的定义，选项C中的为圆周角． 2．下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义，可以判断哪个选项是正确的． 【详解】解：∵顶点在圆上，角的两条边都与圆相交的角叫做圆周角， ∴选项A、C、D中的角不是圆周角，选项B中的角是圆周角． 3．图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定义，掌握相关知识是解决问题的关键．角的顶点在圆上，角的两边是圆的两条弦，这样的角是圆周角． 【详解】解：根据圆周角的定义，只有A选项符合， 故选：A． 4．下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义． 根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项符合题意； C、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 6．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 7．下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 8．如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 9．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 【答案】 (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角； (c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角． (d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； (e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【详解】略 【点睛】本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 类型二、圆周角定理及其推论 10．下列语句中正确的有（     ） ①直径是弦；②圆的对称轴是直径；③三角形的外心到三角形各边的距离相等；④平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；⑤在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据圆的相关概念逐项分析即可得出结果． 【详解】解：①∵直径的两端点在圆上，是连接圆上两点的线段，∴直径是弦，①正确； ②∵圆的对称轴是直线，直径是线段，∴②错误； ③∵三角形的外心到各顶点的距离相等，∴到各边距离相等的结论不成立，③错误； ④∵当被平分的弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，∴④错误； ⑤∵同圆中一条弦所对的圆周角有两类，两角互补，∴相等的弦所对的圆周角不一定相等，⑤错误； 综上，正确的语句共1个． 11．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点E，根据圆周角定理得出，根据垂径定理得出，最后根据三角形内角和定理得出结果即可． 【详解】解：设与交于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∵，为半径， ∴， ∴， ∴． 12．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 13．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，先利用圆心角与弦、弧的关系求出，再由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理可得．容易判断和是等边三角形，则，作差求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦， ∴， 又∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 14．已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用三线合一求得圆心角的度数，再分点在优弧、劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算的度数. 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 当点在优弧上时，. 当点在劣弧上，如图点的位置时，. 15．如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用菱形性质得到，结合半径相等推导出、为等边三角形，求出圆心角，再依据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 16．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在优弧上取点，连接、，根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取点，连接、， ， ， ． 17．如图，点均在上，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形性质求出圆心角，再利用圆周角定理求解． 【详解】解：， ， ， 与是同弧所对的圆周角与圆心角， ． 18．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到，即可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 19．如图，是的外接圆，将绕点顺时针旋转至，使点在上，再将沿翻折，点恰好与点重合，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，连接，根据圆周角定理得出，再由翻折的性质确定，，，得出，，确定，再由等腰三角形的性质及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 经过圆心， ， 由翻折得，，，， ， ∵， ∴， ， ， 是的外角， ， ， 由旋转的性质得，． 20．如图，、、是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是上的点，且， ∴． 21．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ， 四边形内接于 ， ， ． 22．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 【答案】 【分析】由垂径定理可知，根据同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半即可解答． 【详解】解：是的直径，弦， ， ． 23．点、、是上不同的三点，已知，则____度． 【答案】140或60 【分析】分两种情况：当点在优弧上时，当点在劣弧上时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】根据圆周角定理，可知一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此得 解：分两种情况： 如图，当点在优弧上时， ∵，， ∴ ， ∴； 如图，当点在劣弧上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 24．同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角度数___________． 【答案】 【分析】根据圆周角定理，同圆中同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半． 【详解】解：同圆中，所对的圆周角是． 25．如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，再求它们的和即可． 【详解】解：∵，和都是所对的圆周角，点C、D是弧上任两点， ∴， ∴． 26．如图，是的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边上，若，则的度数是______度． 【答案】120 【分析】连接，根据已知条件得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是的内接正三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 27．如图，已知点，，在上，若，则 ______ 度． 【答案】 【分析】由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 28．如图，点，，在上，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍．根据图形可知是弧所对的圆周角，（即）是弧所对的圆心角，利用定理直接计算即可． 【详解】解：是中弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ． ， ．即． 29．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）连接，根据垂径定理，以及弧、弦、圆心角之间的关系推出，再结合圆周角定理求解即可； （2）利用勾股定理推出，再结合垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵，且为的半径， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 30．如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 31．如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)解：连接． 是的高， ． ． ， ， ， 在与中， ， ． (2) 【分析】（1）连接，先根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理推导出，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）连接．先利用圆周角定理可得，进而可证明为等边三角形得到，结合全等三角形的性质可得，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ， ． 32．如图，在钝角中，，，垂足为点E，且与的长度为方程的两个根，是的外接圆． (1)求的半径； (2)计算的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，解方程求出、，根据勾股定理求出半径； （2）根据题意得到为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：连接， 解方程，得，， ，， ， 为等腰直角三角形， ，即， ．即的半径为． （2）解：，， 为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ． 33．已知：如图，是圆内接四边形的一个外角，并且．求证：平分． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ． 又， ， 即平分． 【详解】略 34．如图所示，为的直径，弦于E，．求证：为等边三角形． 【答案】证明：∵为的直径，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【分析】由垂径定理得到，因此是的垂直平分线，故，根据同弧所对圆周角相等得到，即可证明结论． 【详解】略 35．如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 36．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且，，求：的度数． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理得到，然后求解，再由圆内接四边形的性质求解，再由圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O作于点E，则，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到， ∵，， ∴； （2）解：过点O作于点E，则圆心O到的距离，， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 38．如图，是的直径． (1)用尺规作图的方法作出垂直平分半径的弦； (2)连接，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)解：如图，线段就是所求作的弦； (2)是等边三角形，证明如下： 连接， ∵，是的直径， ∴， ∴． ∵垂直平分半径， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵和同对， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法作图即可； （2）连接，根据垂径定理得出，根据线段垂直平分线的性质得出，得出，然后利用圆周角定理得出，即可得出结论． 【详解】（1）略； （2）略． 39．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为，，，三个格点均在上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按下列要求画图．（画图过程用虚线表示） (1)在图①中，画出的圆心，并直接写出直径的长________． (2)在图②中，画出圆周角，使得． 【答案】(1)如图，图中点即为所求的圆心， ， (2)如图，图中即为所求（答案不唯一）， 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及，得到是的直径，根据矩形的对角线相等且相互平分，作矩形的对角线交于点，点即为所求；根据勾股定理即可求得的直径的长度． （2）根据格点的性质作等腰直角三角形，即可得，则与的交点即为所求，连接，根据同弧所对的圆周角相等，即可得到． 【详解】（1）解：根据作图可知，，，是的直径， ∴在中，， 故答案为：； （2）略． 40．如图，已知点是上的三点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)如图，点为下半部分上的一点，且，连接．求证：是的直径． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（）连接，由得，即得是圆的直径，再作线段的垂直平分线，交于点，则点即为圆心； （）连接，，由得，由圆周角定理得，，进而得到，即得，即可求证． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）证明：如图，连接，， ， ， ， ∵， ， 又∵， ∴， 即， 是的直径． 类型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角 41．如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 42．如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理和直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴． 43．如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用圆周角定理得出，根据直径所对圆周角为直角得出，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 44．如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直径所对的圆周角是直角可得，在中利用内角和求出，再根据同弧所对的圆周角相等得出 【详解】解：是的直径 与所对的弧相同 ． 45．如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先利用直径所对的圆周角为直角确定为直角三角形，再结合角的性质与勾股定理计算的长度． 【详解】解：∵是的直径，点C在上， ∴，即是直角三角形． 在中，， ∴， ∴． 46．如图，为的直径，、是上两点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据同弧所对的圆周角相等可得：． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， ． 47．如图，若是的直径，，则的长为（     ）． A．10 B．5 C．15 D． 【答案】B 【分析】根据“直径所对圆周角为直角”得，利用含角的直角三角形性质计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 48．如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直径所对的圆周角等于求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 49．如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∴， ∴． 50．如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是直径得到，因此根据角的和差求出，根据三角形的内角和定理求出，即可得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 51．如图，是的直径，弦，若，则__________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出 ，利用三角形内角和求出 的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴． 52．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 【答案】30° 【分析】由“圆内接四边形对角互补”得到，由“直径所对的圆周角等于”得到，最后． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ，（圆内接四边形对角互补） 又， ． 是的直径， ， ． 53．如图，是的直径，点B，C在上，若，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得，则可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 54．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 55．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 56．以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 【答案】 【分析】连接，由题意得，由直角三角形两个锐角互余可得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． 57．如图，E是平行四边形的边延长线上一点，且，连接． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又 四边形是菱形 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，则可得出四边形为平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （2）根据得出B、C、E在以A为圆心，为半径的圆上，则，根据勾股定理求出，最后根据菱形的性质求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：， B、C、E在以A为圆心，为半径的圆上， ， 又， 在中， 四边形是菱形， 四边形的面积． 58．如图①，②，③中每个小正方形的边长均为，的顶点，均落在小正方形的顶点上，点在小正方形的边上，以为直径的半圆的圆心为．请用无刻度的直尺按要求画图． (1)如图①，在半圆上确定点，使． (2)如图②，在线段的延长线上确定点，使． (3)如图③，在线段上确定点，使． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)如图，点即为所求； (3)如图，点即为所求 【分析】（1）根据网格的特点，取的中点（与网格的交点），连接，延长交半圆于点，即可； （2）在（1）的条件，连接并延长交的延长线于点，点即为所求； （3）连接，与交于点，再连接，并延长与交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：取的中点（与网格的交点），连接，延长交半圆于点， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ； （2）解：连接并延长交的延长线于点，点即为所求， ， ， ， ， ， ； （3）解：连接，与交于点，再连接，并延长与交于点，点即为所求， 为半圆的直径， ，即， ， 垂直平分，， ， ， ，即， ，， ， ， ， 即． 59．如图，四边形为平行四边形，以对角线为直径作 ， 分别与边、交于点E、F，连接、．求证：四边形为矩形． 【答案】证明：四边形为平行四边形， ，， ， 以对角线为直径作， ， ， ， ， ，即， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形 【分析】证明，可得，即可证明四边形为平行四边形，再根据直径所对圆周角为直角，可得四边形为矩形． 【详解】略 60．如图，内接于，是的直径． (1)尺规作图：过点O作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设交于点M，求证：． 【答案】(1)如图，即为所求： (2)证明：是的直径， ， ， ， ， ． 【分析】（1）作交于点，根据平行线的判定可得，则即为所求； （2）由是的直径，得到，再根据平行线的性质得到，即，再根据垂径定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 类型四、90°的圆周角所对的弦是直径 61．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 62．如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，通过弧相等，得出对应圆周角相等，即可推断出的大小． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵， ∴为的直径， ∵， ∴， ∴， ∵优弧所对圆周角为， ∴， 又∵点为弧的中点， ∴， ∴． 63．中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据圆周角定理可得为圆的直径，由此即可得． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵，，三个顶点均在圆上， ∴为圆的直径， ∴圆的半径为， 故选：B． 64．数学课堂上，王老师带同学们利用直角三角尺检查某种半圆形零件是否合格，下列四个零件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，根据直角所对的弦为直径，进行判断即可． 【详解】解：由直角所对的弦为直径，可知，只有选项C中的零件是合格的； 故选C． 65．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，最短，再进一步求解即可． 【详解】解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在上运动， 由题意知：当B、P、O三点共线时，最短，而， ， ∵， ， ∴的长度最小值为． 故选：B 66．如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，90度的圆周角所对的弦是直径，先根据正方形的性质和勾股定理求出的长，再由90度的圆周角所对的弦是直径得到是的直径，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴的半径为， 故选：A． 67．如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，即可解答． 【详解】解：利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据的圆周角所对的弦是直径， 故选：B． 68．如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． 【答案】1 【分析】根据题意得出在以为直径的上运动，进而可得当时，到的距离最大，此时面积最大，得出，结合题意得出是等腰直角三角形，求得，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为， ∵ ∴ ∴在以为直径的上运动 ∴当时，到的距离最大，此时面积最大， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 69．如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数的概念． 由圆周角定理可得，在中，利用三角函数求出、的长，然后根据求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴是直径， 根据同弧所对的圆周角相等得， ∵点B坐标为， ∴， ∴，，即圆的半径为4， ∴． 故答案为：． 70．如图，，的平分线交于D，若则的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的性质和勾股定理，过点A作于点E，连接，，根据题意可得，，利用勾股定理求得，则可求，在中可求得，即可求得． 【详解】解：过点A作交于点E，连接，，如图， ∵， ∴为直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则． 故答案为：． 71．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知：． 求作：，使，且点到边、的距离均相等． 【答案】 如图所示，即为所求． 【分析】作的角平分线，再以为直径作圆，交的角平分线于点D，则即为所求；点到边、的距离均相等，则点D在的角平分线上，，则点D在以为直径的圆上． 【详解】略 72．如图，点在圆上，，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论． (2)若，求圆的半径． 【答案】(1) 是等边三角形． 证明：， ． 同理，， ， 是等边三角形． (2) 【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，进而可得出结论； （2）根据的圆周角所对的弦是直径，得出是直径，再结合第（1）问的结论，可得是含的直角三角形，列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1），得． ， 线段为圆的直径． 在中，， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴圆的半径是． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解题关键． 类型五、已知圆的内接四边形求角度 73．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，求解即可； 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 74．如图，是半圆的直径，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是圆的内接四边形， ， ， ． 75．如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 76．如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 77．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 78．如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明是等腰三角形，得到，再根据四边形内接于即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵于点． ∴ ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴ ∵四边形内接于， ∴． 79．如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴． 80．如图，已知四边形内接于，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 与是同弧所对的圆心角与圆周角， ． 81．如图所示，四边形是菱形，经过点A，C，D，与相交于点E，连接，．若，则的度数为_____． 【答案】/12度 【分析】首先根据菱形的性质得到，，然后求出，然后利用圆内接四边形的性质求出，然后结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∵四边形内接于 ∴ ∴ ∴． 82．如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 【答案】/100度 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴． 83．如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 类型六、求四边形外接圆的直径 84．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 85．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 【详解】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 86．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 87．如图，已知为四边形的外接圆，，，则的半径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆内接四边形对角互补可得，根据一个角是的等腰三角形是等边三角形，可得是同圆中的内接正三角形，延长AO交圆于点E，，，计算出圆的直径，从而得到半径的长． 【详解】解：如图，连接BD，延长AO交圆于点E，连接ED， ∵为四边形的外接圆，， ∴， ∵， ∴的内接是等边三角形（一个角是的等腰三角形是等边三角形）， ∴的角平分线经过圆心， ∴， ∵AE是直径， ∴（直径所对圆周角是），是直角三角形； ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求四边形外接圆的半径，圆内接四边形对角互补，等边三角形性质，圆的基本性质，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题关键． 88．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 89．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______． 【答案】 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 90．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，求大正方形的面积． 【答案】64cm2 【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD=OC，设AD=a，则OD=a，由勾股定理求出OA=OB=OE=a，求出EF=FC=4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案． 【详解】解：连接OA、OB、OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°， ∵在Rt△ADO和Rt△BCO中 ∵， ∴Rt△ADO≌Rt△BCO， ∴OD=OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC， 设AD=acm，则OD=OC=DC=AD=acm， 在△AOD中，由勾股定理得：OA=OB=OE=acm， ∵小正方形EFCG的面积为16cm2， ∴EF=FC=4cm， 在△OFE中，由勾股定理得：(a)2=42+(a+4)2， 解得：a=-4（舍去），a=8， ∴正方形面积为 故答案为：64cm²． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想． 1．如图，是⊙的直径，、是⊙上异于、的两点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用等弧转化与的关系，结合题干条件把用表示，再根据圆周角定理得到与的关系式，最后利用求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ∵是⊙的直径，， ， ∴． 2．已知直线和直线互相垂直，垂足为，且直线过定点，在此坐标系中有一个固定的点，下面关于的长描述正确的是（　　） A．最大值为16 B．最小值为9 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得的轨迹是以为直径的圆，求出圆心和半径，结合勾股定理计算定点到圆心的距离，即可求出的最值，得到结果． 【详解】解：∵直线恒过定点，直线恒过定点，且，垂足为， ∴，， ∴点在以为直径的圆上， 如图，取的中点C， ∵， ∴圆心为中点，坐标为，圆C的半径为4， ∵， 由勾股定理得：， ∴的最大值为，的最小值为， 即的取值范围是． 所以选项B正确，选项A、C，D错误． 3．如图①，点A，B是上两定点，且，圆上一动点P从点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A．设运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图②中m的值是（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系． 先由图象得最大值为直径，求出圆半径和点运动速度，再根据时为等边三角形，算出点转过的角度，最后求时间． 【详解】解：从图②可知，线段的长度的最大值为 当点运动到点的对径点时，的长度达到最大，等于圆的直径 因此，圆的直径为，半径 点从点出发，运动到点的对径点时，用时2秒 已知 点从点逆时针运动到的对径点，转过的圆心角为 所以，点的运动速度为： 从图②可知，当时， 因为圆的半径 ，所以此时 因此，是一个等边三角形 所以， 点从点出发，逆时针运动到点（使得 ），它转过的总角度是 根据图②，的值在2的右侧，说明点已经经过了的对径点，正在向点运动 所以点位于点的另一侧 因此，点转过的总角度为： 计算时间： 所以，的值是． 故选：C． 4．已知直线l及直线l外一点P．如图，在直线l上取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；连接，以点B为圆心，长为半径画弧，交半圆于点Q；作直线，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，尺规作图，解决本题的关键是熟练利用圆周角定理． 根据作图步骤得到，结合圆周角定理，再逐一验证各选项结论是否成立． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径画弧，交半圆于点， ∴，故A正确，不符合题意； ， ， ，故B正确，不符合题意； 连接， 为半圆的直径， ∴ ，故D正确，不符合题意； ∵与不一定相等， ∴与不一定相等，故C错误，符合题意； 故选：C． 5．如图，内接于，D是BC延长线上一点，将点D关于直线AC对称，对称点E恰好落在上，且，则______． 【答案】40 【分析】连接，设，，根据折叠的性质，三角形的外角的性质，圆周角定理，以及平行线的性质，推出，即可得出结果. 【详解】解：连接， ∵对称， ， 设，， ， ， ， ， ， ． ． 6．如图，是的直径，P为延长线上一点，切于点C，平分，与的延长线交于点E，，，则的长为___________________ ． 【答案】 【分析】连接，根据角平分线的性质和等边对等角得出，根据平行线的性质得出直角和相关边长，然后利用勾股定理求出长度，最后利用等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点C， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中，由勾股定理得， 利用等面积法可得， 故答案为：． 7．阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取一点E，使，点F是上的一点，且连接，则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接， 于点D，． ，（依据1），． ∵四边形内接于，．（依据2） …… (1)上述证明过程中的依据1为____________________，依据2为____________________； (2)将上述证明过程补充完整． 【答案】(1)在同圆中相等的弧所对的弦相等，圆内接四边形的对角互补 (2)证明：如图2，连接， 于点D，． ， ， ， ，． ∵四边形内接于， ． ， ， 在和中， ， 【分析】（1）利用等腰三角形的判定和圆内接四边形的性质解答即可； （2）在原题的基础上利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：上述证明过程中的依据1为在同圆中相等的弧所对的弦相等，依据2为圆内接四边形的对角互补． （2）略． 8．如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，则，根据角平分线的定义可得，由，推出，即可得证； （2）由题意可得，，则，根据得到，推出，证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ， ， ， ， ， ，即， ，， 四边形是矩形， ． 1．【定义】如图1，是的直径，平移直径得到平行四边形，当对边的中点M落在圆上时，我们称这个平行四边形是的“环中点平四”． (1)【探究1】求证： (2)【应用】在（探究1）的条件下，当点C落在上时，且，求平行四边形的面积． (3)【探究2】如图2，在正方形中，，以为直径作，平移直径得到线段，当平行四边形是的“环中点平四”时，直接写出的最大值． 【答案】(1)证明：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，， M 是中点，O是中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 落在圆上， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）连接，先证明四边形是平行四边形，可得 ，进而可证得结论； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，结合勾股定理和（1）中的结论，求得，即可求解； （3）利用探究（1）的结论可知点在以点为圆心，半径为3的圆上，然后根据正方形的性质和勾股定理求得即可解答． 【详解】（1）略 （2）解： 如图，连接， 点C落在圆上，是直径， ， 由（1）可知， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴平行四边形的面积； （3）解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵平行四边形是的“环中点平四”， ∴由（1）可知，， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为3的圆上（不包括点），如图所示， ∴当点在同一直线上，且在线段上时，取得最大值， 最大值为． 2．已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是的直径； (2)证明： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即平分； (3) 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，，，结合已知进而证明，从而得出是的直径； （2）根据，结合已知得出，根据等边对等角可得，进而可得平分； （3）延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，证明四边形是矩形，证明，得出，，设，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ， ∵ ∴ 由（2）知， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ 又， ∴ ∴， 又∵已知， ∴ ∴， 设 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∵ ∴ 解得： ∴且， ∴ ∴ ∴ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.3圆周角（原卷版） 目 录 类型一、圆周角的概念和计算 1 类型二、圆周角定理及其推论 3 类型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角 9 类型四、90°的圆周角所对的弦是直径 13 类型五、已知圆的内接四边形求角度 16 类型六、求四边形外接圆的直径 18 类型一、圆周角的概念和计算 1．下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各图中的角，其中为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 3．图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 4．下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 6．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 7．下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    9．观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？ 类型二、圆周角定理及其推论 10．下列语句中正确的有（     ） ①直径是弦；②圆的对称轴是直径；③三角形的外心到三角形各边的距离相等；④平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧；⑤在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 12．如图，点，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 13．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 14．已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 15．如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 16．如图，中，若，那么（     ） A． B． C． D． 17．如图，点均在上，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 18．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 19．如图，是的外接圆，将绕点顺时针旋转至，使点在上，再将沿翻折，点恰好与点重合，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 20．如图，、、是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 21．如图，为的一条弦，且，，为劣弧上一点，连接，，则的度数为_____． 22．如图，线段是的直径，弦，如果，那么________． 23．点、、是上不同的三点，已知，则____度． 24．同圆中，已知所对的圆心角是，则所对的圆周角度数___________． 25．如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 26．如图，是的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边上，若，则的度数是______度． 27．如图，已知点，，在上，若，则 ______ 度． 28．如图，点，，在上，若，则______度． 29．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 30．如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 31．如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 32．如图，在钝角中，，，垂足为点E，且与的长度为方程的两个根，是的外接圆． (1)求的半径； (2)计算的长． 33．已知：如图，是圆内接四边形的一个外角，并且．求证：平分． 34．如图所示，为的直径，弦于E，．求证：为等边三角形． 35．如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 36．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且，，求：的度数． 37．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 38．如图，是的直径． (1)用尺规作图的方法作出垂直平分半径的弦； (2)连接，试判断的形状，并证明你的结论． 39．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为，，，三个格点均在上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按下列要求画图．（画图过程用虚线表示） (1)在图①中，画出的圆心，并直接写出直径的长________． (2)在图②中，画出圆周角，使得． 40．如图，已知点是上的三点，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)如图，点为下半部分上的一点，且，连接．求证：是的直径． 类型三、半圆（直径）所对的圆周角是直角 41．如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 42．如图，是的直径，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 43．如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 44．如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 45．如图，是的直径，是上一点，若，，则的长为（     ） A．2 B．4 C． D． 46．如图，为的直径，、是上两点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 47．如图，若是的直径，，则的长为（     ）． A．10 B．5 C．15 D． 48．如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 49．如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 50．如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 51．如图，是的直径，弦，若，则__________． 52．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是______． 53．如图，是的直径，点B，C在上，若，则的度数为____________． 54．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 55．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 56．以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 57．如图，E是平行四边形的边延长线上一点，且，连接． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求四边形的面积． 58．如图①，②，③中每个小正方形的边长均为，的顶点，均落在小正方形的顶点上，点在小正方形的边上，以为直径的半圆的圆心为．请用无刻度的直尺按要求画图． (1)如图①，在半圆上确定点，使． (2)如图②，在线段的延长线上确定点，使． (3)如图③，在线段上确定点，使． 59．如图，四边形为平行四边形，以对角线为直径作 ， 分别与边、交于点E、F，连接、．求证：四边形为矩形． 60．如图，内接于，是的直径． (1)尺规作图：过点O作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，设交于点M，求证：． 类型四、90°的圆周角所对的弦是直径 61．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 62．如图，四边形内接于，已知，，且，若点为弧的中点，连接，则的大小是（    ） A． B． C． D． 63．中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D．2 64．数学课堂上，王老师带同学们利用直角三角尺检查某种半圆形零件是否合格，下列四个零件中，合格的是（   ） A． B． C． D． 65．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 66．如图，是正方形的外接圆，若，则的半径是（   ） A． B．2 C． D． 67．如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 68．如图，在矩形 中， ， ， 是边 上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为_______________． 69．如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点O，与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B坐标为，与交于点C，，则图中阴影部分的面积为_________． 70．如图，，的平分线交于D，若则的长为_______． 71．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知：． 求作：，使，且点到边、的距离均相等． 72．如图，点在圆上，，连接． (1)判断的形状，并证明你的结论． (2)若，求圆的半径． 类型五、已知圆的内接四边形求角度 73．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 74．如图，是半圆的直径，，则等于（     ） A． B． C． D． 75．如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 76．如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 77．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 78．如图，内接于， 是上一点，且于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 79．如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 80．如图，已知四边形内接于，连接，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 81．如图所示，四边形是菱形，经过点A，C，D，与相交于点E，连接，．若，则的度数为_____． 82．如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 83．如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 类型六、求四边形外接圆的直径 84．如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 85．正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 86．如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 87．如图，已知为四边形的外接圆，，，则的半径长为（   ） A． B． C． D． 88．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 89．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为______． 90．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，求大正方形的面积． 1．如图，是⊙的直径，、是⊙上异于、的两点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．已知直线和直线互相垂直，垂足为，且直线过定点，在此坐标系中有一个固定的点，下面关于的长描述正确的是（　　） A．最大值为16 B．最小值为9 C．的取值范围是 D．的取值范围是 3．如图①，点A，B是上两定点，且，圆上一动点P从点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A．设运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图②中m的值是（   ） A． B． C． D．5 4．已知直线l及直线l外一点P．如图，在直线l上取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；连接，以点B为圆心，长为半径画弧，交半圆于点Q；作直线，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，内接于，D是BC延长线上一点，将点D关于直线AC对称，对称点E恰好落在上，且，则______． 6．如图，是的直径，P为延长线上一点，切于点C，平分，与的延长线交于点E，，，则的长为___________________ ． 7．阅读材料，解答问题： 关于圆的引理 古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题： 如图1，是的弦，点C在上，于点D，在弦上取一点E，使，点F是上的一点，且连接，则． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程： 证明：如图2，连接， 于点D，． ，（依据1），． ∵四边形内接于，．（依据2） …… (1)上述证明过程中的依据1为____________________，依据2为____________________； (2)将上述证明过程补充完整． 8．如图，四边形是的内接四边形，且对角线经过的圆心，过点作，与的延长线交于点，且平分． (1)求证：； (2)过点作于点，连接，若的半径为，求的长． 1．【定义】如图1，是的直径，平移直径得到平行四边形，当对边的中点M落在圆上时，我们称这个平行四边形是的“环中点平四”． (1)【探究1】求证： (2)【应用】在（探究1）的条件下，当点C落在上时，且，求平行四边形的面积． (3)【探究2】如图2，在正方形中，，以为直径作，平移直径得到线段，当平行四边形是的“环中点平四”时，直接写出的最大值． 2．已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $