29.2 第2课时圆心角-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十九章圆 第2课时圆心角 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.如图，A,B,C,D四点都在⊙O上，OB⊥AC,BC=CD,有下列说法：①AC=2CD;②AC= 2CD;③OC⊥BD;④∠AOD=2∠COD.其中，正确的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，AB,CD是⊙O的弦，且AB=CD.若∠BOD=84°，则∠ACO的度数是 () A.48 B.42° C.44° D.46 3.如图，点A,B,C,D在⊙O上，AB=BC=DA,AD,BC的延长线交于点P,且∠P=40°，则CD 的度数为 4.如图，AB,AC是⊙O的两条弦，且AB=AC,连接OA,BC. (1)求证：AO平分∠BAC. (2)若AB=4√5，BC=8,求⊙O的半径， 0 (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，AB,CD是⊙O的弦，且满足AB=2CD.若AB=6,则下列各数中，可能是 CD长的为 A.1 B.2 C.3 D.4 (第5题) 89 拔尖特训：数学（人教版）九年级上 6.如图，点A,B,C,D在⊙O上，且AD=BC,E是AB延长线上的一点，且BE=AB,F是EC的 中点.若BF=6cm,则BD= cm. D 0 PO (第6题) (第7题) 7.如图，AB是⊙O的直径，C是上半圆的一个三等分点（靠近点A),D是AC的中点，P是直径 AB上的一个动点.若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是 8.如图，在⊙O中，AD,BC相交于点E,EO平分∠AEC,连接AB,CD. (1)求证：AB=CD. (2)若⊙O的半径为3，AD⊥CB,DE=1,求AD的长. (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.如图，AD,BC是⊙O的弦，且AD=BC,连接AB,CD. (1)求证：CD=AB. (2)连接BD.若BD=AB+CD,BD=24,AB=4√13，求⊙O的半径. R (第9题) 90 “答案与解析”见P546.D连接OD,交AC于点F,连接BC.D是AC的中 点，.OD⊥AC,AF=CF.∴.∠DFE=∠OFA=90 :OA=OB,AF=CF,∴.OF是△ABC的中位线.∴.OF= 2BC,OF/BC.∠ACB=∠OFA=90:E是BD的 中点，.DE=BE.在△EFD和△ECB中， ∠DFE=∠BCE, ∠DEF=∠BEC,.∴.△EFD≌△ECB.∴.DF=BC. DE-BE. OF=2DF.:0D=30F=1.BC=2.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√AB2-BC= √(2X3)2-2=42. 7.4W2过点O作OF⊥DC于点F,连接OC,则∠OFE= ∠OFC=90°.：BE=1,AE=5,.AB=BE+AE=1+ 5=6..OB=OA=OC=3.∴.OE=3-1=2.∠AEC= 300F=20E=1∴CF=V0c-0F=V3-了= 2√2.OF⊥CD,.DF=CF=2√2..CD=CF十 DF=4V2. 8.7.5如图，延长CD交⊙O于点G,连接GE,OC. CD LAB,即CG⊥AB,∴.CD=DG.又：F为CE的 中点.DF=2GE..当GE的长取最大值时，DF的长 也取得最大值，此时GE为⊙O的直径.设⊙O的半径为 r,则OD=r-3.,在Rt△OCD中，OC2=OD+CD, .r2=(-3)2+62,解得r=7.5..GE长的最大值为 15.∴.DF长的最大值为7.5. (第8题) 9.(1)如图，连接AB,过点O作OJ LAB于点J.OA= OB=6,OJ⊥AB,∠AOB=120°，∴.∠OAB=∠OBA= 30,AJ=JB.∴.0I=20A=3.AW=V√0A-0= 33..AB=2AJ=63.OD LAC,OE⊥BC,∴.AD= DC,CE=EBDE=AB=3E。(2如图，连接 5 OC.:OA=OC=OB,OD⊥AC,OE⊥BC,∴.∠AOD= ∠COD,∠BOE=∠COE.∠DOE=2∠AOC+ 3∠B0C=2(∠A0C+∠B0C)=2∠AOB=60. 1 :∠ODC=∠OEC=90°，.∠DCE=360°-∠ODC ∠OEC-∠DOE=360°-90°-90°-60°=120°. (第9题) 10.如图，连接OA,OD,过点O作OF⊥CD于点F,OEL AB于点E.,AB⊥CD,.易得四边形PEOF是矩形 六EP=OF.:OF⊥CD,0ELAB,AE=2AB, DF=CD.:在R△0EP中，OE+Ep=Op=1= 1,.OE2+OF2=1.在Rt△AOE中，OE2=OA2 AE,在Rt△DOF中，OF2=OD2-DF2,∴.OA2-AE2+ 0D-DF=1.2-(分AB)°+2-(2CD)'=1 ∴.AB2+CD2=28. E0 7D B (第10题) 第2课时圆心角 1.BOB⊥AC,BC=CD,∴.AB=BC,BC=CD .AC=2CD.故①正确.连接AB.·AC<AB+BC, AB+BC=BC+CD=2CD,∴.AC<2CD.故②错误. :BC=CD,∠BOC=∠DOC.OB=OD,.OC⊥ BD.故③正确.：AB-BC-CD,∠AOD=3∠COD. 故④错误.故正确的个数是2. 2.A连接OA.·AB=CD,∴.∠AOB=∠COD,即 ∠BOD+∠AOD=∠AOC+∠AOD.∴.∠BOD= ∠A0C.:∠BOD=84°，.∠A0C=84°.：OA=OC, :∠AC0=号(180-∠A0C)=号×(180-80=48. 3.30°连接BD,AC.AB=BC=AD,.AB=BC= AD.∴.∠ABD=∠ADB=∠ACB=∠BAC.'∠ADB= ∠DBP+∠P=∠DBP+4O°，∠ABC+∠ACB+∠BAC= 180°，∴.∠ABD+∠DBP+∠ACB+∠BAC=180°. .∠DBP+40°+∠DBP+∠DBP+40°+∠DBP+ 40°=180°，解得∠DBP=15°.∴.CD的度数为30°. 4.(1)连接OB,OC.:AB=AC,AB=AC.在△AOB AB=AC, 和△AOC中，OB=OC,∴.△AOB≌△AOC. OA-OA, ∴.∠OAB=∠OAC.∴.AO平分∠BAC.(2)延长AO 交BC于点E.AB=AC,AO平分∠BAC,∴AE⊥BC BE=合BC=4在R△ABE中，AE= √AB2-BE=8.设OA=OB=r,则OE=8-r.:'在 Rt△OBE中，OE2+BE2=OB2,.∴.(8一r)2+42=r2,解 得r=5.∴.⊙0的半径为5. 5.D取AB的中点E,连接OE交AB于点F,连接BE. 由题意，得AB=2BE,BF=号AB=3,OELAB,.∴BE> BF,BE>3.AB=2CD,.CD=BE..CD= BE>3..各个选项的数中，可能是CD长的为4. 6.12连接AC.F是EC的中点，.CF=EF.BE= AB,BF是△EAC的中位线BF=2AC.:AD- BC,..AD+AB=BC+AB,BD=AC..'BD=AC. .BF-BD.BD-2BF-12 em. 7.22作点D关于AB的对称点E,连接CE交AB于 点P',连接OC,OE,DP'.易知当点P在点P的位置时， PC+PD的值最小，即为CE的长.'C是上半圆的一个 三等分点（靠近点A)..∠A0C=号×180=60：D 是AC的中点，：易得∠A0E=2∠A0C=30. ∴.∠COE=∠AOC+∠AOE=90°.∴.易得CE=√2OC= 2√2，即PC+PD的最小值是22， 8.(1)如图，过点O作OM⊥AD于点M,ON⊥BC于点 N,连接OA,OC,则AM=DM=3AD,BN=CN= 2BC.在Rt△OAM中，AM=VOM-OMF,在 Rt△OCN中，CN=√OC-ON.:EO平分∠AEC, OM LAD,ON⊥BC,∴.OM=ON.又.OA=OC,∴.AM CN...AD=BC..'.AD=BC,AB+BD=BD+CD. AB=CD..AB=CD.(2)ADL⊥CB,.∠MEN= 90°.EO平分∠MEN,.∠MEO=45.∴.△MEO为 等腰直角三角形.∴.OM=EM.设ME=x,则OM=x, DM=ME DE =x +1..AM DM=x+1. Rt△AOM中，，OM+AM2=OA2,∴.x2+(x+1)2= ,解得，=1十亚，1正（不合近意，含 2 2 去)AM=-1+亚+1=7+出.·AD=2AM= 2 2 √17+1. (第8题) 9(①)：AD=BC,.AD=C..AD-AC=BC AC,即CD=AB..CD=AB.(2)如图，过点O作 OE⊥BD于点E,延长OE交⊙O于点F,连接OB,BF. 'BF=DF,BD BF+DF,BE DE.BD=24, .BE=DE=12..BD=AB+CD,AB=CD,..AB= B.AB=BF=4√3.在R△BEF中，EF= √BF2-BE=8.设⊙O的半径为r,则OE=r一8.在 Rt△OBE中，.BE2+OE=OB2,.122+(r一8)2=r2, 解得r=13.∴.⊙0的半径为13. (第9题) 第3课时圆周角定理及其推论 1.D连接AD,BD.弦AB垂直平分半径OD,∴.OA= AD,OB=BD.OA=OD=OB,..OA=AD=OD= OB=BD.∴.△AOD,△OBD都是等边三角形.∴.∠AOD= ∠BOD=60°.∴.∠BOC=∠AOC-∠AOD-∠BOD=