28.2 第1课时中心对称与中心对称图形-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十八章旋转 28.2中心对称 第1课时中心对称与中心对称图形 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025龙东地区中考]我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图 形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为 A. B. D. 2.为更好地开展劳动教育课程，学校计划在一块平行四边形空地OABC(如图)内修建一条笔直的 小路（小路宽度忽略不计）.有两个要求：①经过BC边上一点P;②将空地分成面积相等的两部 分，则小路除了经过点P外，还经过 () A点A B.OB的中点 C.OA的中点 D.AB边上的点H,且AH=CP (第2题) (第3题) 3.如图，直线α，b垂直相交于点O,曲线C是关于点O的中心对称图形，点A的对称点是A', AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=10,OD=6,则图中涂色部分的面积为 4.如图，点O为□ABCD的对称中心，经过点O的直线交边AD于点M,交BA的延长线于点E, 交边BC于点N,交DC的延长线于点F. (1)若∠BON=90°，∠DBC=30°，ON=1,求BD的长 (2)连接BM,DN,求证：四边形BMDN是平行四边形 (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能◆ 5.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△BOC 绕，点C旋转180°得到△B'O'C,则点A与点B'之间的距离为 A.6 B.8 0' (第5题) C.10 D.12 73 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别落在x轴和y轴的正半轴上，AO=4, CO=2.若将直线y=3x十1向下平移m(m>0)个单位长度可将矩形OABC的面积平分，则m 的值为 () A.6 B.7 C.8 D.10 yy=3x+1 43 (第6题) (第7题) 7.如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O,其边长分别是3和2，则图中涂色部 分的面积是 8.如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,连接CD,P为 CD的中点，连接AP (1)画出△ADP关于点P成中心对称的△FCP. ②连接肤，求品的值 (第8题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.如图，在正方形ABCG与正方形CDEF中，G是CF的三等分点，点H与点A关于点C成中心 对称.连接EG,BE,BH,DH.若S涂色=4，则BH的长为 H (第9题) 10.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点P,M,N分别在边AB,AD,BC上运动，且线段 MN始终经过矩形的对称中心O,求△PMN周长的最小值. D (第10题) 74 >“答案与解析”见P44BE=8+2√2，∴.EP,的最大值与最小值之差为(8十 22)-(4-2W2)=4+4√2 11.(1),△ABC是等边三角形，∴.BC=AC,∠ACB= 60°.：将线段CE绕点C按顺时针方向旋转60得到线段 CF,∴.CE=CF,∠FCE=60°.∴.∠BCE=∠ACF= 60°-∠ACE.∴.△BCE≌△ACF.∴.BE=AF.(2)CE= 2MF+DE.解法一：过点A作AH∥BC,交CF的延长 线于点H,则∠H=∠GCM,∠CAH=∠ACB=60°..'M 为AG的中点，∴.AM=GM.∠AMH=∠GMC, ∴.△AMH≌△GMC.∴.HM=CM.∠CBD=60°， .∠CBD=∠CAH.由旋转，得∠BCD=∠ACH.又 :BC=AC,.△BCD≌△ACH..CD=CH.CE CF,∴.CD-CE=CH-CF,即DE=HF.CF=MF+ CM-MF+HM=MF+MF+HF=2MF+DE,.CE= 2MF+DE.解法二：在MC上取一点N,使MN=MF, 连接GN.M为AG的中点，∴.AM=MG.∠AMF= ∠GMN,MF=MN,∴.△AMF≌△GMN..AF=GN, ∠AFM=∠GNM.由(1)，得△BCE≌△ACF,∴.∠BCE ∠ACF,∠BEC=∠AFC.:∠BED+∠BEC=180°， ∠GNC+∠MG=180°，'.∠BED=∠GNC..∠BDE= 120°-∠BCD,∠NCG=∠ACG-∠ACF=120°- ∠BCD,∴.∠BDE=∠NCG.BE=AF,∴.BE=GN. .△BDE≌△GCN.∴.DE=CN..∴.CE=CF=MF+ MN+CN=2MF+DE 28.2中心对称 第1课时中心对称与中心对称图形 1.BA.图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合 题意；B.图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题 意；C.图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题 意；D.图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符 合题意. 2.B:四边形OABC是平行四边形，且平行四边形是中 心对称图形，对角线的交点为其对称中心，∴.经过平行四 边形对角线交点的任一直线将平行四边形的面积平分.又 平行四边形的对角线互相平分，∴.经过OB的中点的直 线将平行四边形OABC空地的面积平分. 3.60如图，过点A作AE⊥b.由中心对称图形的性质可 知OE=OD=6,∴.图形①与图形②面积相等..涂色部 分的面积=矩形ABOE的面积=10X6=60. E 2 10 (第3题) 4.(1)∠BON=90°，∠DBC=30°，ON=1,.BN= 2ON=2.∴.B0=√BN-ON=√5.点O为 □ABCD的对称中心，∴.BD=2BO=23.(2):四边 形ABCD为平行四边形，∴.AD∥BC.∴.∠ODM= ∠OBN,∠OMD=∠ONB.:DO=BO,∴.△DOM≌ △BON.∴.DM=BN..DM∥BN,∴.四边形BNDM为 平行四边形 5.C:菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC= 4.BD-16.ACLBD.(C-AC-2.OB-BD-8 .∠OC=90°.△OC绕点C旋转180°得到△B'O'C ∴.∠CO'B'=∠BOC=90°，O'C=OC=2,O'B'=OB=8. ∴.AO'=6.在Rt△AOB中，根据勾股定理，得AB′= √AO十OB=10.∴.点A与，点B'之间的距离为10. 6.A如图，连接AC,BO交于点D.当直线y=3x+1向 下平移经过点D时，该直线可将矩形OABC的面积平分. AC,BO是矩形OABC的对角线，∴.OD=BD.:'O(0, 0),B(4,2),∴.D(2,1).根据题意，平移后直线对应的函数 解析式为y=3x+1一m,∴.1=3×2+1-m,解得m=6. Y◆y=3x+1 -D、 A (第6题) 7连接AP,BG.:正方形ABD和E方形EPGH 的边长分别是3和2，∴.正方形的面积分别为9和4.正 方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O, :58=×(9-0= 41 8.(1)△FCP如图所示.(2)：'△ADP与△FCP关于 点P成中心对称，∴.△ADP≌△FCP..CF=AD= AE,AP=PF=2AF,∠DAP=∠CFP.·CF∥AD. ∴.∠ACF+∠DAC=180°.：'∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠DAC+∠BAE=360°-∠BAC-∠DAE=180°. ∠ACF=∠BAE.:AC=BA,.△ACF≌△BAE. 、AF=BE=2APA5=2 (第8题) 9.2W5设正方形ABCG的边长为a.:G是CF的三等 分点，∴.CF=3CG,即正方形CDEF的边长为3a.∴.BD= BC十CD=4a,FG=FC-CG=2a.:'S条色=S正方无Ax十 S正方pr一S△PB一S△mB=4,∴.可得方程a2十9a2 3a2一6a2=4,解得a=2(负值舍去.如图，连接AC,CH, 过点H作HM⊥BD交于点M.:点H与，点A关于点C 成中心对称，∴.A,C,H三点共线，且AC=CH. :∠ABC=∠HMC,∠ACB=∠HCM,∴.△ACB≌ △HCM.∴.MH=CM=AB=BC=2.∴.BM=4.∴.BH= √/BM2+MH2=2√5. G M D (第9题) 10.如图，取MP的中点Q,连接AQ,OQ,AO,过点O作 OGLBC,垂足为G,则AQ-PQ=QM=PM.:线段 MN始终经过矩形的对称中心O,∴.O是MN的中点. ·.MO=ON=2MN,OQ=2PN.·.Cww=PM+ PN+MN=2AQ+20Q+2ON=2(AQ+OQ+ON)> 2(AO+OG).O是矩形ABCD的对称中心，.O是矩 形ABCD对角线的交点.：AB=4,AD=6A0-号× VT+6=V丽，0G=号B=2Camw≥2(0+ OG)=2(√13+2)=2√13+4..△PMN周长的最小值 为2√13+4. D (第10题) 第2课时关于原点对称的点的坐标 1C点P(m,m一n)与点Q(2,1)关于原点对称， .m=-2,m-n=-1.∴.n=-1..M(一2，-1)在第 三象限， 2.B 由题意，得点P(a+1,-号+1)在第一象限， a+1>0, 解得一1<a2.故将a的取值范围表示 号+1>0 在数轴上正确的是B选项. 3.(-5,-3)如图.：A(2,3),B(0,1),C(3,1),线段 AC与BD互相平分，.点D的坐标为(5,3)..点D关 于坐标原点的对称点的坐标为（一5，一3）. -5 -4 3 1B 5432101.23.4.5x 2 =3 s5 (第3题) 4.2点P(一1一2a,2a一4)关于原点对称的点在第一 -1-2a0 象限内，∴点P在第三象限.∴ 解得< 2a-4<0. a<2.a为整数，∴.a=0或1，共2个 5.(1)点A(-1,3a-1)与点B(2b+1,-2)关于x轴 对称，∴.2b+1=-1,3a-1=2,解得a=1,b=-1. ∴.A(-1,2),B(-1,-2),C(3,-1.点C(3,-1)与 点D关于原点对称，.D(一3,1).(2)如图，四边形