29.1 第1课时圆的有关概念-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十九章 圆 29.1圆的有关概念 第1课时 圆的有关概念 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1,有下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是 等弧；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分.其中，正确的个数为 （) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，AB是⊙O的弦，OD是⊙O的半径，OC⊥AB,垂足为C,OD∥AB,OD=2OC,则∠ODB 的度数为 () A.60° B.65 C.70 D.75 10 D B D (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，OA,OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB=40°，∠OBC=50°，则∠OAC= 0 4.如图，⊙O的弦AB和半径OC的延长线交于点D,BD=OA.若∠AOC=126°，则∠D的度数是 5.如图，BD,CE是△ABC的高，M为BC的中点.求证：点B,C,D,E在以点M为圆心的同一个 圆上 M (第5题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能◆ 6.如图，AB是⊙O的弦，C是AmB上的动点（不与点A,B重合），CH⊥AB,垂足为H,M是BC 的中点.若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是 () A.3 B.4 C.5 D.6 (第6题) 83 拔尖特训：数学（人教版）九年级上 7.如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格点（网格线的交点称 为格点).若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取 值范围是 () A.2√2<r<17 B.√17<r≤3√2 C.√17<r<5 D.5<r</29 A ....... (第7题) (第8题) 8.如图，过A,C,D三点的圆的圆心为点E,过B,E,F三点的圆的圆心为点D.如果∠ABC=24°， 那么∠CAB的度数为 9.如图，两个正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A,D在半圆O上，顶点B,C在半圆O的 直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，顶点B,E在半圆O的直径上，顶点G在大正方 形的边AB上.若小正方形的边长为4，则该半圆的半径是多少？ C (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.如图，直线l经过⊙O的圆心O,且与⊙O交于A,B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，P是 直线l上的一个动点（不与圆心O重合），直线CP与⊙O相交于另一点Q,连接OQ. (1)当点P在半径OA上时，若QP=QO,求∠OCP的度数. (2)当点P在直线l上的其他位置时，是否还存在QP=QO?若存在，请求出∠OCP的度数： 若不存在，请说明理由. (第10题) 84 >“答案与解析”见P51第二十九章圆 29.1圆的有关概念 于AE的长，即r>√17，同时圆的半径需不大于AB的 长，即r≤3√2..r的取值范围是√17<r≤3√2. 第1课时圆的有关概念 1.D①直径是弦，正确，符合题意；②半圆是弧，正确，符 合题意；③半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意； ④长度相等的两条弧不一定是等弧，故原说法错误，不符 合题意；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分，正确，符合 题意.故正确的个数是4. 2.D连接OB,则OB=OD.OD=2OC,.OC= (第7题) 20D.0C=20B.:0CLAB易得∠0BC=30. 8.54°连接EC,ED.DE=DB,∴.∠DEB=∠ABC= OD∥AB,∴.∠BOD=∠OBC=30°..∠OBD= 24°..∠EDC=∠DEB+∠ABC=48°.：EC=ED, ∴.∠ECD=∠EDC=48°.∴.∠CED=180°-∠ECD ∠0DB=2180°-∠B0D)=75 ∠EDC=84°.∴.∠CEA=180°-∠CED-∠DEB=72° 3.30连接OC.,OC=OB,∴.∠OCB=∠OBC=50°. 又：EA=C,∠CAB=号XI80-∠CEA)=5 .∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=80°.∴.∠AOC= ∠BC+∠AOB=120°.OC=OA,∴.∠OAC=∠OCA= 9.连接OF.:四边形ABCD为正方形，∴.CD=AB. 180°-∠A0C)=309 1 OD=OA,OC=OD-CD ,OB-OA?-AB, ∴.OB=0C.设OB=x,则OE=x+4,AB=2x.在 4.18°连接OB.OA=OB,BD=OA,∴.OA=OB= Rt△AOB中，OA2=OB2+AB2=x2+(2x)2=5z2;在 BD..∠A=∠OBA,∠BOD=∠D..∠OBA=∠BOD+ Rt△OEF中，OF2=OE2+EF2=(x+4)2+4.,OA= ∠D=2∠D,∴∠A=2∠D.:∠A+∠AOC+∠D= OF,∴.5x2=(x+十4)2+4，整理，得x2-2x-8=0,解得 180°，.2∠D+126°+∠D=180°..∠D=18°. x1=4,x2=-2(不合题意，舍去).∴OA=√5x=45,即 5.连接ME,MD.:BD,CE是△ABC的高，M为BC的 该半圆的半径是45. 中点ME=MD=MC=MB=2BC.·点B,C,D,E 10.(1)设∠QPO=a.:QP=Q0,∴.∠QOP=∠QPO= 在以点M为圆心的同一个圆上. a.∠Q=180°-2a.0Q=0C,.∠0CP=∠Q= 6.ACH⊥AB,垂足为H,∴.∠CHB=90°.：M是 180°-2a..∠QPO=∠0CP+∠P0C,.a=180°-2a+ BC的中点，M=2C.:当BC为直径时，C的长 30°，解得a=70°.∴.∠0CP=180°-2X70°=40. (2)存在.如图①，设∠QOC=x,则∠QOP=x+30° 最大，即MH的长最大，⊙O的半径是3，∴.BC长的最大 QP=QO,.∠QPO=∠QOP=x+30°.∴.∠QCO= 值为6.∴.MH长的最大值为3. ∠COP+∠CPO=30°+x+30°=x+60°..OQ=OC, 7.B如图，连接AB,AD,AE,AF.由勾股定理，得AD= .∠OQC=∠QCO=x+60°.∴.x+x+60°+x+60°= √22+2=2√2，AE=AF=√12+4=√17，AB= 180°，解得x=20°.∴.∠0CP=∠Q0C+∠OQC=20°+ √3+3=32，AB>AE=AF>AD.以，点A为圆心，20°+60°=100°.如图②，设∠QP0=y.QP=Q0, AE为半径画圆，此时除点A外，点D在圆内，点E,F在 ∴.∠QOP=∠QP0=y.∴.∠CQO=2y.'0C=OQ, 圆上，其余点在圆外（且圆外的点离圆心A最近的是B) ∴.∠OCP=∠CQO=2y.:∠AOC=∠APC+∠OCP, 要求除点A外恰好有3个点在圆内，∴.圆的半径需大∴y十2y=30°，解得y=10°.∴.∠OCP=2y=20°.综上所 51 述，∠OCP的度数为100°或20°. 25. 0 ① ② (第5题) (第10题) 6.4A(1,0),B(0,2),.易知直线AB对应的函数解 第2课时三角形的外接圆 析式为y=一2x十2..当x=一1时，y=-2×(一1)十 1.B经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故命题 2=4.:不在同一条直线上的三个点确定一个圆，∴点C 不在直线AB上，即m≠4.∴.当m≠4时，过平面直角坐标 ①是假命题：一个圆有无数个内接三角形，故命题②是假 系中的三个点A(1,0),B(0,2),C(一1，m)能确定一个圆. 命题；一个三角形有且只有一个外接圆，故命题③是真命 题；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故命 7.如图①，当△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长， 题④是真命题；直角三角形的外心是三角形斜边的中点， 交BC于点D.AB=AC,点O为△ABC的外心，∴.AD⊥ 故命题⑤是真命题.故真命题的个数是3. BC.,∴.OD=3cm.在Rt△BOD中，OB=5cm,OD= 2.B:不在同一直线上的三个点确定一个圆，∴过以下 3cmm,∴.BD=√OB2-OD=√52-32=4(cm.OA= 三点可以画出一个圆：A,B,P:A,C,P:A,D,P;B,C,P; OB=5cm,.∴.AD=OA+OD=8cm..∴.在Rt△ABD中， B,D,P:C,D,P.∴最多可画出圆的个数为6 根据勾股定理，得AB=√BD+AD=√4？十8= 3.2√2在△ABC中，：∠BAC=60°，∠ABC=75°， 45(cm).如图②，当△ABC是钝角三角形时，连接AO交 ∴.∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=45°.连接OA,OB, BC于点D.同理可得BD=4cm,AD=OA-OD=2cm, OC,则OA=OB=OC=2.∴.∠OAC=∠OCA,∠OBC= ∴.在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB=√BD+AD= ∠OCB.:'∠OCA+∠OCB=∠ACB=45°，∴.∠OAC+ √4+2=2√5(cm).综上所述，AB的长为2√5cm或 ∠OCA+∠OBC+∠OCB=90°.又.∠OAC+∠OAB+ 4√5cm. ∠OBA+∠OBC+∠OCA+∠OCB=180°，.∴.∠OAB十 ∠OBA=90°.∴.∠AOB=90°..在Rt△AOB中，由勾股 定理，得AB=√OA2+OB=2√2. 4.(1)如图，点O即为所求.(2)如图，过点O作OH1 BC于点H,连接OB.在Rt△OBH中，OH=2,BH= ① ② (第7题) 号由勾脱定里，得0B- 易错警示 2 ..△ABC的外接圆的半 圆内接三角形常见圆心位置疏漏 径为②6 解决圆与圆内接三角形的综合应用题时，对于无图 2 类的问题，易因不分类讨论圆心与三角形的相对位置而 致错 -0 第3课时反证法 H (第4题) 1.A“∠B<90”的反面是“∠B≥90” 5.D△ABC的外心为点O,.OB=OC=OA.OA= 2√a≤石“√a>√b”的反面是“√a≤6” √1+3=√10，∴.OB=OC=√10.：B,C是方格纸格 3.△ABC是直角三角形“△ABC不是直角三角形”的反 线的交点，∴点B,C的位置如图所示.∴.BC=√2十4= 面是“△ABC是直角三角形”. 52