27.3 第1课时用反比例函数解决乘积型实际问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十七章反比例函数 27.3实际问题与反比例函数 第1课时用反比例函数解决乘积型实际问题 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.小黄将固体糖融入水调配了四杯糖水：甲、乙、丙、丁.然后将四杯糖水的关键信息y↑ 绘制成如图所示的函数图：x轴为糖水质量，y轴为含糖浓度（固体糖质量与糖水 乙八丙 质量之比).乙、丁两杯对应的点恰好在同一反比例函数图象上，则含固体糖质量最 多的是 ()0 (第1题) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者.他们发现，每天分发的 数量与分发天数成反比例关系.如果每天分发50枚，那么恰好按计划天数完成；如果每天分发 75枚，那么可以提前2天完成.每天分发的数量y(枚)与分发天数x之间的函数解析式为 3.如图，A是反比例函数在第三象限图象上的一点，AB⊥x轴，垂足为B,△ABO的面积为1500. (1)请直接写出y与x之间的函数解析式： (2)已知图象的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间y(min)与速度x(m/min) 之间的关系. ①老李家距离单位 m. ②若老李每天都7：15出发，单位的上班时间为8：00，但是老李每天都提前5min到岗，请你用 函数的性质说明老李的步行速度至少为多少才能提前5min到岗. (第3题)》 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.验光师发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，y关于x的函数图象如图所示. 小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则她的近视眼镜的度数减少了 () A.150度 B.200度 C.250度 D.300度 y/度 500 00.20.250.5x/米 A O B/m (第4题) (第5题) 5.发电厂的大烟囱的专业名字叫双曲线冷却塔，它的截面是如图所示的轴对称图形，四边形ABCD 是一个矩形.若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐 61 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 标系，曲线DE,CF分别是两个反比例函数图象的一部分，已知AB=87m,BC=20m,EF= 16m,则整个冷却塔的高为 m. 6.方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t小 时，行驶速度为v千米/时，且全程速度限定为不超过120千米/时. (1)求v关于t的函数解析式. (2)方方8时驾驶小汽车从A地出发 ①若方方需在当天12时48分至14时（含12时48分和14时）这段时间到达B地，求v的取值 范围 ②方方能否在当天11时30分前到达B地？请说明理由. 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 7.境生活实际某蔬菜大棚内装有一套智能温控系统，大棚内温度y(℃)是时间x()的函数， 当温度达到m℃时，智能温控系统将自动启动，温度在上升过程中，温度与时间满足一次函数关 系，当温度达到18℃时开始恒温，持续一段时间后，温度开始下降，下降过程中大棚内温度与时 间成反比例关系.温度降至℃时，温控系统将再次启动，重复上述过程.如图所示为智能温控 系统从启动到首次温度降至m℃时y与x的函数关系图象.在此范围内，解答下列问题： (1)根据图象，判断温度上升过程所用的时间为 h,保持恒温的时间为 h. (2)温度下降过程中，求大棚内温度y与时间x的反比例函数解析式. (3)经研究发现，大棚内的温度不低于15℃时，较适应蔬菜的生长.求在一个升温、恒温、降温周 期内，能持续多长时间使该大棚内的温度适应蔬菜生长， 12 m 012 12 36x/h (第7题) 62 >“答案与解析”见P37标为（一2,0）.在y=2x十4中，令x=0,得y=4,∴.点B 的坐标为(0,4).(2)过点C作CE⊥BD,垂足为E. ,△BCD是以BD为底边的等腰三角形，∴.CB=CD. CELBD,BE=DE.在y=中，令y=4,得x 冬D(午4小.BE=DE=令在y=兰中，令x 冬得y=8C(答8：点C在一次西数y=2x十4 的图象上8=2×冬+4，解得=16.6的值为16。 4.(1)把A(m,1)代人y=6(x<0),得m=-6,.点 A的坐标为(-6,1).把C(3,n)代人y=12(x>0),得n 4,.点C的坐标为(3,4).把A(-6,1),C(3,4)代人y= 1 一6k+b=1, k= kx十b,得 解得 3’.直线AC对应的 3k+b=4, b=3. 函数解析式为y一了r十3(2)△A(D是等腰直角三角 形.理由：由作图，可得DA=DC,即DA2=DC2.设点D 的坐标为(0，d),则62+(1一d)2=32+(4-d)2,解得d= -2,∴.DA2=DC2=62+(1+2)2=45,AC=(3+6)2+ (4-1)2=90.∴.DA2+DC2=AC.∴.△DAC是等腰直 角三角形.（(3)令号十3=一解得，=-6 -3,由图象可得关于x的不等式x十b<的解集为 x<一6或一3x0. 5.B:BD∥x轴，D(0,4),∴.B,D两点纵坐标相同，都 为4.∴.可设B(t,4).:矩形ABCD的对角线的交点为 E,E为BD中点，∠DAB=90.÷E(,4). ∠DAB=90°，.AD2+AB2=BD2.A(2,0),D(0, 4),B(t,4),∴.2+42+(t-2)2+4=t,解得t=10. E(5,4.函数y=(k>0,x>0)的图象经过点E, ∴.k=5×4=20. 6.B四边形OABC是矩形，A(6,0),SE0Ax=24, B6,.D(6,合)E(年4CE=冬，BD 4合：Sam=2CEBD.Sam=×合 (4-会)=-8k-12+3.:-6<0当6=12 1 时，S△x有最大值 3 7.y=18四边形OABC是矩形，OC=AB=3. ,四边形CDEF是正方形，∴.CD=CF=EF.BC= 2CD,∴.设CD=m,则BC=2m.∴.B(3,2m),E(3十m, m.设反比例函数的解析式为y一会3X2m=(3十 m)m,解得m=3或m=0(不合题意，舍去)..B(3,6). “k=3×6=18,这个反比例函数的解析式为y8 8.(8,W3)设菱形的边长为a,则AB=BC=AD=a. A(0,25),C(2,0),.OA=23,OB=a-2. :AB2=OB2+OA2,∴.a2=(a-2)2+(23)2,解得a= 4.∴AD=4.∴.D(4,23.顶点D在反比例函数y= 兰的图象上-4X2后-85y8E是 CD'的中点，∴.点E的纵坐标为3.把y=√3代入y= 8得=8点E的坐标是(65。 9.(1)设点M的坐标为(a,b).,'点M在反比例函数y= 号的图象上o山-2.：ACL:拍，M是AC的中点， ∴.点A的坐标为(a,2b).设经过点A的反比例函数C2的 解析式为y=左把Aa,26)代人，得26-产，即=2ab. a 又ab=2,∴.k=4..反比例函数C2的解析式为y= .(2)设点M的坐标为(a,b).BDLy轴，.点D 的纵坐标与点M的纵坐标相同.，点D在反比例函数C2 的图象上，令y=6,得x=各“点D的坐标为 (合b)由(1知Aa,2b)a6=2.即a=号点M的 坐标为（号b)BM=DM=子.“M是AC的中点， ∴.AM=CM..四边形ABCD是平行四边形.·ACL x轴，BD⊥y轴，∴.AC∥y轴，BD∥x轴，即AC⊥BD. ∴.四边形ABCD是菱形 27.3实际问题与反比例函数 第1课时用反比例函数解决乘积型实际问题 1.C根据题意，可知xy的值即为糖水中含固体糖质量. :乙、丁两杯对应的点恰好在同一个反比例函数的图象 上，∴.乙、丁两杯糖水中含固体糖质量相同.：甲杯对应 的点在反比例函数图象下面，丙杯对应的点在反比例函数 图象上面，∴甲杯的xy的值最小，即糖水中含固体糖质量 最少，丙杯的xy的值最大，即糖水中含固体糖质量最多. 2.y=300 设总徽章数为k枚，计划天数为a.由题意得， 当y=75时，x=a-2,即k=75(a-2);当y=50时，x= a,即k=50a..∴.50a=75(a一2)，解得a=6.∴.k=50× 6=300..y与x的函数解析式为y=300 3.(Dy=3000 (2)03000.②：y=300..当 y=60-15-5=40时，300=40，解得x=75.:在每 个象限内，y随x的增大而减小，老李的步行速度至少 为75m/min才能提前5min到岗. 4.B设y=(k≠0).：点(0.2,500)在图象上，k 500×0.2=10.函数解析式为y-10.当x=0.25时， 100 y-0.25 40:当1=0.5时y-9200六度数减少 了400一200=200（度）. 55设线CF对应的丽数解析式为y：四边 形ABCD是矩形，∴.BC⊥AB.:y轴垂直平分AB, AB=87m,.OB=43.5m.BC=20m,∴.C(43.5, 20.20-851k=870y-820.:EF-16m, k 点下的横坐标为8.y=870_435整个冷却塔的 84 高为5m 6.(1)t=480,且全程速度限定为不超过120千米/ 时，“0关于t的函数解析式为u=480(t≥4).(2)①8 时至12时48分的时长为号小时.8时至14时的时长为6 小时，将1=6代入=，得=80：将1=代人 1.得=10mu的取值范玉是80≤0<10②方 方不能在当天11时30分前到达B地.理由：8时至11时 30分的时长为号小时将：=2代入=1，得。90 120,.超速了..方方不能在当天11时30分前到达 B地. 3 7.(1)2;10.(2)依题意，设大棚内温度y与时间x的反 比例函数解析式为y=(k≠0)，其中12≤x≤36，观察函 数图象，将12,18)代入y一冬，得k=12×18=216y 216(12≤x≤36.(3)依题意，当0<x≤2时，设-次函 数解析式为y=hx+b(h≠0)，将(1,12)，(2,18)分别代入 12=h+b, h=6, y=hx十b,得 解得 .∴.y=6x+6(0 18=2h+b, b=6. x≤2.将y=15代入y=6x+6,解得x=1.5.将y=15 代入y三，解得x=14.4÷.14.4-1.5=12.9(h. ∴.在一个升温、恒温、降温周期内，能持续12.9h使该大棚 内的温度适应蔬菜生长， 第2课时用反比例函数解物理类实际问题 1.Cm=p,p-.由图象，得m,>m1V,<V, 小受受停受受号小丙的皆度大于甲的密 度，丙的密度大于丁的密度，丁的密度大于乙的密度.这 四种液体中密度p(g/cm)最大的是丙. 2 ·设气球内气体的气压p(kPa)和气体体积V(m) 的解析式为p=.“图象过点(1.6,60)，.60=12 :k=2.力-得由图象，可知p随V的增大而减小 “当120时，V2器V2号，即气球内气体体积至 少为号m. 3D设1与R的函数解析式为I-是(R>0,“该图象 U 经过点P(80,0.25).0.25=880U=20.1与R 的函数解析式为I-罗(R>0.故B不符合题意当R 220 1000时，1=100=0.22.：220>0.∴1随R的增大而 减小.∴.当I<0.25时，R>880;当R>1000时，I<0.22: 当880<R<1000时，I的取值范围是0.22<I<0.25.故 A,C不符合题意，D符合题意，