第28章 旋转拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

拔尖特训·数学（人教版）九年级上 第二十八章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.[2025青岛中考]围棋是中华民族发明的博弈活动.下列用棋子摆成的图形中，既是轴对称图形， 又是中心对称图形的为 () A B 2.已知点P1(a一1,1)和P2(2,b一1)关于原点对称，则(a+b)226的值为 A.1 B.0 C.-1 D.(-3)2026 3.[2025宿迁中考]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,2)，将线段OA绕点O按逆时针 方向旋转90°得线段OA',则点A'的坐标为 () A.(-3,2) B.(-2,3) C.(3,-2) D.(2,-3) 6r- B 4 2 0 B 0123456x (第3题) (第4题) (第5题) (第6题) 4.如图，在△ABC中，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转60得到△DEC,点A,B的 对应点分别为D,E,延长BA交DE于点F,下列结论中，一定正确的是 A.∠ACB=∠ACDB.AC∥DE C.AB-EF D.BF⊥CE 5.如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，∠A=90°，CD=3,CO=4,则BD的长为() A.12 B.10 C.8 D.6 6.如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0,1),A(4,1),以点P为中心，把PA按逆时针方向旋转 60得到P.在M(-1.一).M(oM(15-1.M,2.2)调个点中.直线PB经 过的点是 ( A.M B.M2 C.Ma D.M 7.如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠B=30°，△ABC绕点A按逆时针方向旋转a(0°<α<120) 得到△AB'C',B'C'与BC,AC分别交于点D,E,AB'与BC交于点F.设CD十DE=x,△AEC 的面积为y,则y与x之间的函数图象大致是 () C 0 23元 0 2W3 23 (第7题) B. D. 80 第二十八章旋转 8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,BC=2.点D在BC上，且BD：CD=1:3.连接AD, 将线段AD绕点A按顺时针方向旋转90得到线段AE,连接BE,DE,则△BDE的面积是() A B.8 3 C. D.2 y B D (第8题) (第9题) (第10题) 9.如图，在平面直角坐标系中，C(0,4),K(2,0),A为x轴上一动点，连接AC,将AC绕点A按顺 时针方向旋转90°得到AB.当BK的长取最小值时，点B的坐标为 () A.(4,1) B.(3,1) C.(4,-1) D.(3,-1) 10.如图，D为等边三角形ABC内一点，且DA=4,DB=3,DC=5,则等边三角形ABC的面积为 () 253+9 A B.41,5+5 4 4 c+6 D373 4 二、填空题（每小题4分，共24分） 11.在平面直角坐标系中，□ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A,B的坐标分别是（一1,1），(2， 1),将□ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点的坐标是 12.如图，在平面直角坐标系中，线段OA与x轴正方向的夹角为45°，且OA=2.若将线段OA绕 点O按顺时针方向旋转105°得到线段OA',则此时点A'的坐标为 (第12题) (第13题) (第14题 (第15题) (第16题) 13.如图，等边三角形ABC的边长为6，O为BC的中点，△BPQ与△BAO关于点B成中心对称， 连接CP,则△QCP的面积为 14.如图，在□ABCD中，连接AC,将△ACD绕点A按顺时针方向旋转一定角度，得到△AEF,点C,D 分别旋转到了点E,F.已知点E在边BC上，AD=5,EF=2√13，BE=3,则AE的长为 15.如图，在△ABC中，∠ACB=30°，AB=AC,P是△ABC内一点，且PA=2,PB=√21，PC= 3,则∠APC的度数为 16.如图，在菱形ABCD中，AB=8,∠ADC=60°，E,F分别为菱形边上的动点，过点E,F的直线 将菱形分成面积相等的两部分，过，点D作DM⊥EF于点M,连接CM,则线段CM长的最大值 为 三、解答题（共36分） 17.(10分)如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△AB0的三个顶点 的坐标分别为A(一1,3)，B(一4,0)，O(0,0),解答下列问题. 81 拔尖特训：数学（人教版）九年级上 (1)将△ABO向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到△A2B2O2,请画 出△A2B2O2. (2)在图中添加一个点P,使以A,B,O,P为顶点的四边形为中心对称图形，则点P的坐标为 (填写一个即可). (3)已知△A1B1O1是由△ABO按逆时针方向旋转一定角度得到的，△A1B1O1的三个顶点的 坐标分别为A1(1,一1)，B1(4,一4)，O1(4,0),则旋转中心的坐标是，旋转角是 0 B (第17题) 18.(12分)(1)如图①，在四边形ABCD中，若BC=CD,∠BAD=∠BCD=90°，则AC平分 ∠BAD.小明为了证明这个结论，将△ABC绕，点C按顺时针方向旋转90°，请帮助小明完成他 的作图. (2)如图②，在五边形ABCDE中，∠A=∠C=90°，AB=BC,AE+CD=DE,求证：DB平 分∠CDE. ① ② (第18题) 19.(14分)在菱形ABCD中，∠BCD=60°，将边CD绕，点C按顺时针方向旋转a(0°<a<120)得 到线段CE,连接ED,ED或其延长线交∠BCE的平分线于点F. (1)如图①，若a=20°，求∠CFE的度数 (2)当α在0°<α<120°范围内变化时，∠CFE的度数变化吗？请说明理由. (3)如图②，若60°<a<120°，求证：EF-DF=CF. (第19题) 82 >“答案与解析”见P48∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°=∠DAE.在△ADE和 AD-AF, △AFE中，∠DAE=∠FAE,∴.△ADE≌△AFE. AE=AE, ∴.DE=FE.设EC=x,则BD=CF=2x,DE=FE=6 3x.在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x,EC=x,EF= √CF-C=√5x,.6-3x=5x.∴.x=3-5. .DE=√3x=33-3. DN (第8题) 9.(1)AE十CF=EF.(2)(1)中结论仍然成立.理由：延 长DC至点K,使得CK=AE.在△ABE和△CBK中， AB=CB, ∠A=∠BCK=90°，∴.△ABE≌△CBK..BE=BK, AE-CK. ∠ABE=∠CBK.·∠ABE+∠CBE=120°，∴.∠CBK+ ∠CBE=120°，即∠KBE=120°..∠EBF=60°， ∴.∠KBF=∠EBF=60°.在△EBF和△KBF中， BE=BK, ∠EBF=∠KBF,△EBF≌△KBF..EF=KF. BF=BF, ∴.EF=CK+CF.∴.AE十CF=EF.(3)(1)中结论不 成立.AE一CF=EF.理由：在DC的延长线上取点K,使 CK=AE,连接BK.在△ABE和△CBK中， AB=CB, ∠A=∠BCK=90°，.△ABE≌△CBK.BE=BK, AE-CK, ∠ABE=∠CBK.∠ABE+∠CBE=120,∴.∠CBK+ ∠CBE=120°，即∠KBE=120°.：∠EBF=60°， ∴.∠KBF=∠EBF=60°.在△EBF和△KBF中， (BE=BK, ∠EBF=∠KBF,∴△EBF≌△KBF..EF=KF. BF=BF, .EF=CK一CF.∴.AE一CF=EF 综合与实践4利用图形变换设计图案 1.D图案②将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能 与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称.图案③中 有4条对称轴，图案包含轴对称变换.故没有用到平移. 2.72°根据题意，这个图形可以由一个基本图形绕中心 依次旋转四次而得到，每次旋转的度数为360°÷5=72°的 倍数，故旋转角α的最小值是72° 3.(1)B. (2)C.中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋 转对称图形.故说法①正确.等腰三角形绕一个定点旋转 一定的角度α(0°<a≤180)后，不一定能与自身重合，只有 等边三角形是旋转对称图形，故说法②不正确.圆具有旋 转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋 转对称图形.故说法③正确.∴.正确的说法有2个. (3)①③⑤.(4)4.(5)图形如图所示 (第3题) 第二十八章拔尖自主测评 1.DA.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意 B.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.C.既 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意.D.既 是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意， 2.A点P,(a一1,1)和P2(2,b一1)关于原点对称， ∴.a-1=-2,b-1=-1.∴.a=-1,b=0.∴.(a+b)202s= (-1十0)2026=1. 3.B过点A作AB⊥x轴于点B,过点A'作A'C⊥y轴 于点C,则∠A'CO=∠ABO=90°.由旋转的性质可知， ∠AOA'=90°，AO=A'O,..∠COA+∠A'OC=90° :∠AOB+∠COA=90°，.∠AOB=∠A'OC.∴.△A'CO2 △ABO..A'C=AB,OC=OB.:点A的坐标为(3,2)， ∴.AB=2,OB=3.∴.A'C=AB=2,OC=OB=3..点 A'的坐标为（一2,3） 4.D设BF与CE相交于点H.由旋转的性质，得∠BCE= ∠ACD=60°.∠B=30°，∴.在△BHC中，∠BHC= 180°-∠BCE-∠B=90°.∴.BF⊥CE.故D选项正确.设 ∠ACH=x,则∠ACB=60°-x°.：∠B=30, ∴.∠EDC=∠BAC=180°-30°-(60°-x)=90°+x° ∴.∠EDC+∠ACD=90°+x°+60°=150°+x°.x不- 定等于30°，∴.∠EDC+∠ACD不一定等于180°.∴.AC∥ DE不一定成立.故B选项不正确.：∠ACB=60°-x°， ∠ACD=60°，x不一定等于0°，∴.∠ACB=∠ACD不一 定成立.故A选项不正确.将△ABC绕点C按顺时针方 向旋转60得到△DEC,∴.AB=DE=EF+FD.∴.AB= EF不一定成立.故C选项不正确. 5.B:△AOB与△COD关于点O成中心对称，∠A 90°，.∠OCD=∠A=90°，OD=OB..CD=3,CO=4, ..OD=√/OC2十CD2=√/42十32=5.∴.BD=OD十 OB=10. 6.BA(4,1),P(0,1),∴.PA⊥y轴，PA=4.由旋转， 得∠APB=60°，AP=PB=4.过点B作BC⊥y轴于点C, 则∠BPC=30°..BC=2..PC=2√5..B(2,1+ 2√3).设直线PB对应的函数解析式为y=kx+b,则 2k+b=1+23,,k=3, .直线PB对应的函数解 b=1, b=1. 析式为y=3x+1.当x=-1时，y=-√3+1，.点 M,(-1.-5)不在直线PB上当=号时y=-1叶 1=0点M(-号0)在直线PB上当x=1时y 3+1,∴.点M(1,W3-1)不在直线PB上.当x=2时， y=23+1,.点M1(2,23)不在直线PB上. 7.B,△ABC绕点A按逆时针方向旋转a,∴.∠BAB ∠CAC'=a,∠B=∠B'=30°，AB=AC=AB'=AC' ∴.∠C=∠C'=30°.∴.△ABF≌△AC'E.∴.BF=C'E, AF=AE..B'F=CE.∠C=∠B',∠EDC ∠FDB',.△CDE≌△B'DF.∴.CD=B'D..B'D+ DE=CD+DE=x.AC'=2,∠C'=30°，∴.△AEC边 EC上的高为1.·易得BC=23=BCy=2(23- x)×1=-x十5.选项B符合题意。 8.B:将线段AD绕点A按顺时针方向旋转90得到线 段AE,∴.AD=AE,∠DAE=90°..∠EAB+∠BAD= 90°.：∠BAC=90°，AB=AC,∴.∠BAD+∠DAC=90°， ∠C=∠ABC=45°.∴.∠EAB=∠DAC.∴.△EAB≌ △DAC.,.∠ABE=∠C=45°，BE=CD.∴.∠EBC= ∠ABE+∠ABC=90°.：BC=2,BD:CD=1:3,∴.BD= 专CD=BE=多&SamE=号BD·BE=号XX 3=3 28 9.D过点B作BH⊥x轴于点H.:C(0,4),K(2,0), ∴.OC=4,OK=2.由旋转，得AC=AB,∠CAB=90°. ∴.∠AOC=∠CAB=∠AHB=90°.∴.∠CAO+∠ACO= 90°，∠BAH+∠CAO=90°.∴.∠ACO=∠BAH. ∴.△ACO≌△BAH.设点A(m,0)..OA=m.∴.BH= OA=Iml,AH=OC=4...B(m+4,m)..'.BK2=(m+ 4-2)2+(m-0)2=2m2+4m+4=2(m+1)2+2.当m= 一1时，BK2最小，即BK的长最小.此时B(3,一1). 10.A如图，将△ABD绕点B按顺时针方向旋转60°得 △CBE,连接DE,过点C作CF⊥BE,交BE的延长线于 点F.由旋转的性质，可知BD=BE=3,∠DBE=60°，AD= CE=4.∴.△BDE是等边三角形.∴.∠BED=60°，DE= BD=3.在△CDE中，DE=3,CE=4,CD=5,∴.DE2+ CE2=CD2.∴.∠DEC=90°..∠BEC=∠BED+ ∠DEC=150.∴∠CEF=302.:∠F=90,.CF=2E- 2.∴.EF=√CE-CF=25.在Rt△BCF中，BC=CF2+ BF2=22+(3+23)2=25十123.∴.易得等边三角形 Ax的面积为C-9×(25+12)-25,+0 4 4 B -F (第10题) 11.(4,一1)：□ABCD的对称中心是坐标原点，∴.顶 点C与顶点A关于坐标原点对称.A(一1,1)，∴.C(1, 一1).将□ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，∴.顶 点C的对应点的坐标是(1十3，一1)，即(4，一1). 12.(1,一3)如图，过点A'作AH⊥x轴于点H.由旋 转的性质，可知OA=OA'=2,∠AOA'=105°.，∠AOH= 45∠H0M=60.∠A'=30.0H=20M=1 ∴.A'H=3..A'(1,-3) 14 (第12题) 13273 2 :△ABC是等边三角形，O为BC的中点， AB=6,.B0=C0=2BC=3,A0LBC,在Rt△AB0 中，AO=√62-3=35.'△BPQ与△BAO关于点B 中心对称，∴.BQ=BO=3,PQ=AO=33,∠Q=∠AOB= 90CQ=9.△QCP的面积为2×9X35-27, 2 14.√37过点A作AH⊥BC于点H,则∠AHB=90° :四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=5,AB= CD.:BE=3,∴.CE=BC-BE=5-3=2.由旋转，得 AE=AC,EF=CD=2√I3.∴.EH=CH=7CE=1, AB=2√13..BH=BE+EH=3+1=4.∴.AH= √AB2-BΠ=√(2√13)2-42=6.∴.AE= √AH+EH=√62+1=√37. 15.120°AB=AC,∠ACB=30°，∴.∠BAC=120°.如 图，将△ABP绕点A按逆时针方向旋转120°得到△ACQ, 连接PQ,过点A作ADLPQ,垂足为D.由旋转的性质， 得PB=CQ=√2I,∠BAC=∠PAQ=120°，PA=AQ= 2..∠APQ=∠AQP=号(180°-∠PAQ)=30,PQ 2DQ.在R△ADQ中，AQ=2,.AD=号AQ=1..DQ √5.∴.PQ=2DQ=25.PQ+PC2=(25)2+32= 21,CQ=(√21)2=21，.PQ2+PC2=CQ.∴.△PCQ 是直角三角形，且∠QPC=90°.∴.∠APC=∠APQ+ ∠QP℃=30°+90°=120°. 0 B< C (第15题) 16.2√7+2√3如图，连接BD交AC于点O.取OD的中 点T,连接TM,TC.:直线EF平分菱形ABCD的面积， ∴.直线EF经过点O.四边形ABCD是菱形，∴.AB= BC=CD=AD=8,∠ADC=∠ABC=60°，AC⊥BD, OA=OC,OB=OD.∴.△ABC,△ADC都是等边三角形 ∴.AC=AB=8,OA=OC=4,OB=OD=4√5.T是 OD的中点，∴.OT=TD=23..CT=√OT?+OC= √(2√3)2+42=2√7.：DM⊥EF,∴.∠DMO=90°. OT-TD,TM-20D-23.CM<CT+TM- 2√7+23.∴.CM长的最大值为27+23. (第16题) 5 17.(1)如图，△A2B,O2即为所求.(2)（一3，一3）（答 案不唯一).(3)(2,2)：90. Y (第17题) 18.(1)如图①，△EDC即为所求.(2)如图②，将 △BAE绕点B按顺时针方向旋转，得到△BCF. ∴.△BAE≌△BCF.∴.BE=BF,AE=CF,∠BCF= ∠A=90°.∴.∠BCD十∠BCF=180°.∴点D,C,F在同 一条直线上.AE+CD=DE,.CF+CD=DE,即 DF=DE.·BD=BD,BF=BE,∴.△BDF≌△BDE ∴.∠BDF=∠BDE,即DB平分∠CDE. ① ② (第18题) 19.(1)由旋转，知CE=CD,∠DCE=a=20°，∴.∠E= 18020°=80.：∠BCD=60°，.∠BE=60+20°= 2 80.:CF平分∠CE,∠FCE=7∠BCE=40. ∴.∠CFE=180°-80°-40°=60°.(2)不变.CD= CE,∠ECD=a,∠E=∠CDE=号(180-a)=90° za.”∠BD=60,∠BCE=60+a.:CF平分 1 ∠E,∠FCE=2∠BCE=0+2a.∠CFE 180-∠r0E-∠E=180°-(30+2） (90°-2a)=60·∠CFE的度数不变，且∠CFE= 60°.(3)在DE上取一点T,使得CT=CF.由(2)知 ∠CFE=60°，∴.△CFT是等边三角形..∠CFT= ∠CTF=60°，FT=CF=CT.∴.∠CFD=∠CTE=120°. :CD=CE,∴∠CDF=∠E.∴.△CDF≌△CET. ∴.DF=ET..EF一DF=EF一ET=FT=CF