第26章 二次函数拔尖自主测评-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

拔尖特训·数学（人教版）九年级上 第二十六章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.下列抛物线中，开口向下并且开口最大的是 () A.y=2x2 B=号 D.y=-√7x2 2.[2025攀枝花中考]关于抛物线y=一x2十6x一7，下列说法中，正确的是 () A.开口向上 B.对称轴是直线x=一3 C.与y轴的交点坐标是(0,7) D.顶点坐标是(3,2) 3.已知抛物线C1:y1=x2+2x十1经过平移后得到抛物线C2:y2=x2+2x一1.若抛物线C1上点 P的坐标是(m,n),则点P平移后的对应点Q的坐标是 () A.(m,n十2) B.(m-2,n) C.(m,n-2) D.(m-2,n-2) 4.已知A(-1,n),B(3,n)是二次函数y=ax2十bx十c(a>0)图象上的两点，C(m-2,y1),D(m, y2)是该函数图象上的两动点，且总有y1<y2,则实数m的取值范围是 () A.m>2 B.m<2 C.m>3 D.m>1 5.已知二次函数y=ax2+2ax十2a2+5(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而增大，且 当-2≤x≤1时，y的最大值为10，则a的值为 () A.1 B.-√5或5 C.2.5 D.1或-2.5 6.[2025山东中考]在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速 ↑y/(厘米/天) 度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照0.6 强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光0.3 照强度范围(x≥1O00)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象 020010003000x/勒克斯 如图所示.根据图象，下列结论中，正确的是 (第6题) A.当x≥1O00时，y随x的增大而减小 B.当x=2000时，y有最大值 C.当y≥0.6时，x≥1000 D.当y=0.4时，x=600 7.[2025南通中考]在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A(一1,5)，B(1,2),C(2,1), D(3,一1)，E(5,5).若抛物线y=a(x一2)2十k(a>0)经过上述五个点中的三个点，则下列选项 中，满足题意的a的值不可能为 () A居 c 2 8.[2025济南中考]已知二次函数y=ax2十bx十c(a,b,c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是（一1， n),且经过(1,0)，(0，m)两点，3<m<4.有下列结论：①关于x的一元二次方程ax2十bx十c n十1-0a≠0)有两个不相等的实数根：②当x>-1时，y随x的蜡大而减小：③一青<a<-1: ④4a一2b+c>0;⑤对于任意实数t,总有(t+1)(at-a+b)≤0.其中，正确的结论共有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 48 第二十六章二次函数 二、填空题（每小题4分，共20分） 9.已知抛物线y=2x2十bx十b十3的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为 10.若二次函数y=a.x2一bx十2有最大值8，则y=一a(x十1)2十b(x十1)十2的最小值为 11.一题多解如图所示为二次函数y=ax2十bx的图象，若关于x的一元二次方程a.x2十bx十m=0 有实数根，则m的最大值为 O (第11题) (第12题) 12如图，抛物线y=ar2+hz十c的顶点A的坐标为（号m,与x轴的一个交点位于(0,0）和1， 0)之间，有以下结论：①abc>0;②5b+2c<0;③若抛物线经过点(-6，y1),(5,y2),则y1> y2;④若关于x的一元二次方程ax2+bx十c=4无实数根，则n<4.其中，正确的是 (填序号). 13.对于抛物线y=a.x2+bx+c及其所在坐标平面内的点P,当过点P垂直于抛物线对称轴的直 线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点P的两侧时，我们把P称为抛物线y=αx2十 bc十c的内点.现有抛物线L1:y=-r2十2x十2和Ly-}2+圣x-,如果M既是抛物 线L1的内点，又是抛物线L2的内点，那么点M的纵坐标yM的取值范围是 三、解答题（共48分） 14.(10分)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=x2一bx十c的对称轴是直线x=2, 与y轴交于点C(0,-5).过点C作CD∥x轴，交抛物线y=x2-bx十c于另一点D,连接OD. (1)求抛物线对应的函数解析式. (2)将抛物线向上平移m个单位长度，使平移后的抛物线的顶点落在△OCD的内部（不包括 △OCD的边界)，请直接写出m的取值范围. (第14题) 15.(12分)汇2025准安中考已知二次函数y=22-mx+m-1m为常数). (1)若点(2，一1)在该函数图象上，则m= (2)求证：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点. 49 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 (3)若该函数图象上有两点A(m十1，y1),B(m十p,y2),当y1<y2时，请直接写出p的取值范围. 16.(12分)材料一：某种旅游纪念品的进价为每件15元，销售单价不低于20元. 材料二：当销售单价定为20元时，每天可以销售100件，市场调查反映，销售单价每提高1元， 日销量将会减少10件. 材料三：物价部门规定销售单价不能超过28元，且为正整数.商店按规定适当涨价销售. (1)设该纪念品的销售单价为x元，日销量为y件，日销售利润为W元，请分别写出y与x,W 与x的函数解析式，并写出x的取值范围. (2)若日销售利润为540元，则销售单价应定为多少元？ (3)当销售单价定为多少元时，销售该纪念品所获的日销售利润最大？日销售利润最大是多少？ 17.(14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2a.x一3a(a<0)与x轴交于A,B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,抛物线的顶点为D. (1)求点A和点B的坐标. (2)若点E与点C关于抛物线的对称轴对称，连接AE,AC,若AC平分∠EAO,求抛物线对应 的函数解析式 (3)若P是抛物线第四象限上一动点，连接AD,AC,DP,CP,线段DP与线段AC交于点F, 与r轴交于点G.当Sw=Sar时，求的值 D 0 B (第17题) 50 >“答案与解析”见P29(2)由题意，设y与x的函数解析式为y=ax2十bx.把 900a+30b=7.8, (30,7.8)和(60,19.2)代入，得 3600a+60b=19.2, a500 1 1 八y与x的函数解新式为y=02十号x b≠5 8》由题意：令y=40,则40一动2+号，解得x=10 1 或x=一200（舍去），∴.该款汽车某次测试的刹车距离为 40m,估计该车的速度为100km/h. 第二十六章拔尖自主测评 1.BB,D中函数的二次项系数为负数，对应抛物线开口 向下.由于a|越小，抛物线开口越大，故选B 2.D抛物线y=一x2十6x一7=一(x一3)2十2..一1< 0,∴开口向下，故选项A错误，不符合题意.对称轴为直线 x=3,故选项B错误，不符合题意.与y轴的交点坐标为 (0,一7)，故选项C错误，不符合题意.顶点坐标为(3,2)， 故选项D正确，符合题意 3.C由题意，可知抛物线C,向下平移2个单位长度后得 到抛物线C2.∴.抛物线C,上点P的坐标是(m,n),则点 P平移后的对应点Q的坐标是(m,n一2). 4A由条件可知抛物线的对称轴为直线=一1)十3-1， 2 抛物线开口向上，∴.点离对称轴越远，对应函数值越大 C(m一2，y1),D(m,y2)是该函数图象上的两动点，且 总有y,<y2,∴.点D离对称轴的距离大于点C离对称轴 的距离，即|m-1>m-2-1,解得m>2. 5.A抛物线y=a.x2+2a.x十2a2+5的对称轴是直线 三一a=一1，且当x≥2时，y随x的增大而增大，，a 0.当-2≤x≤1时，y的最大值为10，∴.当x=1时， y=a.x2+2a.x+2a2+5=10..a+2a+2a2+5=10..a 1或a=一号（合去.a=引 6.B当x≥1000时，y随x的增大先增大，后减小，故A 选项错误，不符合题意.抛物线过点(1000,0.6)， (300.,0.6)抛物线的对称轴为直线x=1000+3000 2 2000.抛物线的开口向下，∴.当x=2000时，y有最大 值.故B选项正确，符合题意.由图象可得，当y=0.6 时，x1=1000,x2=3000,∴.当y≥0.6时，1000≤x≤ 3000.故C选项错误，不符合题意.由图象可得当y= 0.4时，x对应的值有2个.故D选项错误，不符合题意 7.C抛物线y=a(x一2)2+k(a>0),开口向上，对称轴 -1+5=2.点 为直线x=2.:A(-1,5),E(5,5),且2 A,E同时在抛物线上或同时不在抛物线上.当抛物线过点 a十k=2, A,E,B时，把A(-1,5),B(1,2)代人，得 {9a+k=5, 3 a= 8 解得 经检验，点C,D不在该抛物线上，符合题意， 13 k一8 当抛物线过点A,E,C时，把A(一1,5)，C(2,1)代入，得 4 19a+k=5, 解得 =9'经检验，点B,D不在该抛物线 k=1, k=1, 上，符合题意.当抛物线过点A,E,D时，把A(一1,5)， 3 (9a+k=5, \a4 D(3,-1)代人，得 解得 经检验，点 a+k=-1, 7 k=一4 B,C不在抛物线上，符合题意.当抛物线过点B,C,D时， :2D=2,ym≠n,小.B,C,D三点不能同时在抛物 2 线上结合选项可知的直可能为，专，号，不可能为号。 8.A:二次函数y=a.x2+ba十c(a,b,c为常数，a≠0) 图象的顶点坐标是（一1，n),且经过(1,0），(0，m)两点，3< m<4,∴.抛物线开口向下，对称轴为直线x=一1.∴.a< 0,抛物线与x轴的交点为(1,0)和（一3,0），大致图象如图 所示.令y=1一1，即把y=n向下平移1个单位长度，再 结合函数图象可知a.x2十bx十c=n一1(a≠0)有两个不相 等的实数根，故ax2+br十c一n+1=0(a≠0)有两个不相 等的实数根.故①正确，符合题意.抛物线开口向下，对 称轴为直线x=一1，∴.当x>一1时，y随x的增大而减 小.故②正确，符合题意.：抛物线与x轴的交点为(1,0) 和(-3,0)，∴.二次函数为y=a(x-1)(x十3)=a(x2十 2x-3)=a.x2+2a.x-3a..m=-3a..3<m<4, 3K-3a<4,解得一号<a<-1故③正确，符合题意 结合函数图象可知，当x=一2时，y=4a一2b十c>0.故④ 正确符合题意：x=名=-16=2a,+D… (at-a+b)=(t+1)(at-a+2a)=a(t+1)(t+1)= a(t十1)2..a<0,(t+1)2≥0，.∴.a(t+1)20.故⑤正 确，符合题意.综上所述，正确的结论共有5个 Y v-n X-- (第8题) 9.(0,3)抛物线y=2x2+br十b+3的对称轴是 b 轴名8=—220.·6=0.抛物线为y=22十 3,顶点坐标为(0,3). 10.一4作二次函数y=a.x2一bx十2的图象关于x轴的 对称变换，所得图象对应的函数解析式为y=一ax2十 bx一2，再向左平移1个单位长度，向上平移4个单位长度 为y=一a(x十1)2+b(x+1)十2.：二次函数y=a.x2 bx+2有最大值8，∴.y=一a(x十1)2十b(x十1)+2的最 小值为一4. 11.3解法一：，一元二次方程a.x2十bx十m=0有实数 根，∴.△=b2-4am≥0.由函数y=ax2+bx的图象可知， 顶点的纵坐标为-3,0-b=-3.62=12a.△ b2-4am=12a-4am≥0.a>0,.m≤3.∴.m的最大 值为3.解法二：一元二次方程ax2十bx十m=0,移项，得 ax2十bx=一m,此等式可以看作是联立y=a.x2十bx和 y=一m后的求解过程，即在讨论抛物线y=a.x2十bx和直 线y=一m的交点问题.根据一元二次方程ax2十bx十 m=0有实数根，可以得到函数y=ax2十bx与函数y= 一m的图象有交点.由题图可知，一m≥一3，即m3, .m的最大值为3. 12.①②④：抛物线y=ax2+ba十c的顶点A的坐标 为了小一品-分u=6:抛物线开日 向下，即a<0,∴.b<0.当x=0时，y=c>0,∴.abc>0.故 ①正确.由图象，可知当x=1时，y=a十b十c<0,∴.5b十 2<0,故②正确.：直线x=一号是抛物线的对称轴， ∴.点（一6，y1)到对称轴的距离大于点(5，y2)到对称轴的 距离..y,<y2.故③错误.关于x的一元二次方程 ar+hc十c=4无实数根顶点A(一弓n)在直线y 4的下方.∴.n<4.故④正确.故正确的有①②④ 13.-1<yM<3L1:y=-x2+2x+2=-(x-1)2+ 3,.抛物线L1的对称轴为直线x=1,顶点为(1,3). :Ly十一抛物线L的对称销为直 3 线x=一 =-是令-+2t2=+是- 2整莲，得-一2=0，解得x=-1或工=2两西 数图象的交点的横坐标为一1和2，画出大致图象如图所 示.把x=-1代人y=-x2十2x十2，得y=-1,把x=2 代入y=一x2+2x十2，得y=2,∴.两函数图象的交点为 (-1,一1)和(2,2)..在一1<x<2范围内，内点M的纵 坐标yM的取值范围是-1<yM<3. YA 5 4F 3 2 5-42012345x -2F 1-3 -4上 -5 (第13题) 141:抛物线的对称轴是直线x=2--2,解 得b=4.抛物线与y轴交于点C(0,一5)，∴.c=-5.∴.抛 物线对应的函数解析式为y=x2-4一5.(2)CD∥ x轴，.yn=yc=-5.将y=-5代人y=x2-4x一5，得 x2-4x-5=-5,解得x1=0,x2=4..点D的坐标为 (4,一5)..易知直线OD对应的函数解析式为y= 4.”y=x2-4x-5=(x-2)2-9抛物线的顶点 5 坐标为(2，一9).如图，过点(2，一9)作y轴的平行线，与 CD和OD分别交于点M,N,则点M的坐标为(2，-5).将 1=2代人y=-号，得y=-号×2=-号则点N的 坐标为(2，）-5-(-9=4，--(-9- “n的取值范国是4<m<号 (第14题) 15.(①2.(2)由题意，得4=(-m)-4×2×(m 1)=m2-2m+2=(m-1)2+1.(m-1)2≥0，.(m- 1)2十10..△>0.∴.该二次函数的图象与x轴有两个 不同的公共点。（3)抛物线y一子2-mx十m一1的对 称轴为直线=-阳=m:二次项系数号>0小二 2X2 次函数图象开口向上.·y1<y2,∴.点A(m十1，y1)到对 称轴的距离小于点B(m十p,y2)到对称轴的距离。∴.|m十 1-m<m+p-m,即p>1..p>1或p<一1. 16.(1)由题意，得y=100-10(x-20)=-10x+300,x的 取值范围为20≤x≤28，且x为正整数.∴.W=(x一15)y= (x-15)(-10x+300)=-10x2+450x-4500.∴.y关于 x的函数解析式为y=一10x十300(20≤x≤28，且x为正 整数)，W关于x的函数解析式为W=一10x2+450x 4500(20x28,且x为正整数).(2)由题意，当W= 540时，即-10x2+450.x-4500=540,解得x,=21,x2 24,20≤x≤28，∴.销售单价应定为21元或24元. (3)W=-10x2+450x-4500=-10(x-22.5)2+562.5, 20≤x≤28，且x为正整数，.当x=22或x=23时，W 最大.当x=22时，W=-10×222+450×22-4500= 560,当x=23时，W=-10×232+450×23-4500=560, .日销售利润最大为560元.∴.当销售单价定为22元或 23元时，销售该纪念品所获的日销售利润最大，日销售利 润最大是560元. 17.(1)在y=a.z2+2ax一3a(a<0)中，令y=0,得0= ax2十2ax-3a,解得x=-3或x=1,∴.A(-3,0),B(1, 0).(2),y=ax2+2a.x-3a=a(x+1)2-4a,.抛物 线y=a.x2+2ax一3a的对称轴为直线x=一1.在y= a.x2+2ax一3a中，令x=0得y=一3a,∴.C(0,一3a). 第二十七章 27.1反比例函数的概念 1.CA中函数是正比例函数；B,D均不符合反比例函数 形式，只有C中函数是反比例函数 3 2 3.号把点(2,1D代入正比例函数=k1x,得1=2k, :点E与点C关于抛物线的对称轴直线x=一1对称， ∴.E(-2,-3a),EC∥x轴.∴.∠ECA=∠CAO.:'AC 平分∠EAO,∴.∠EAC=∠CAO..∠ECA=∠EAC ∴.AE=CE.A(-3,0),C(0,-3a),E(一2，一3a), 或a-3 六.√-3+2)+(0+3a)-2,解得a=5 3 :a<0a=怎抛物线对应的弱数解析式为y 停-2+反、（3)如图造接AP.(m.:y a.x2+2ax-3a=a(x+1)2-4a,∴.D(-1,-4a).'C(0, -3a),∴.易得直线CD对应的函数解析式为y=ax-3a. :SAAr=S△CFp∴.S△Ar=S△p..AP∥CD.设直线 AP对应的函数解析式为y=ax十m,把A(一3,0)代人，得 0=一3a十m,∴.m=3a.∴.直线AP对应的函数解析式为 y=ax+3a, x=-3, y=ax+3a,联立 解得 或 v=ax2+2ax-3a, {y=0 x=2, ∴.P(2,5a).由D(-1,-4a),P(2,5a)易得直线 y=5a. DP对应的函数解析式为y=3ax一a.在y=3a.x一a中， 令y=0,得x= 3G(号）：D-1,-4a.P2. 5aG=/-1-）+1a-4a,GP= 3 √2-3）+2-5中 DG 4 3 GP=5· (第17题) 反比例函数 解得=之“，和互为阁致k:=2正比例西 数解析式为y,一了x,反比例函数解析式为一是.“)一 x-2.当x=-1时y=2×(-1) y一y2y=2 x