27.1反比例函数的概念&27.2 第1课时反比例函数的图象和性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十七章 反比例函数 27.1反比例函数的概念 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是 () 2 A.y-3.x By=1+1 C.y= 3x D.y=1 2.反比例函数y= 3的比例系数是 A 3,已知正比例函数y1=b1x和反比例函数y2=二的比例系数k1和k2互为倒数，且正比例函数的 图象经过点(2,1).如果y=y1一y2,那么当x=一1时，y的值是 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4,易错题已知反比例函数y=(m十1)xm-2,则(m一2)226的值为 5.若反比例函数y=(m-1Dx2的函数值为3，则自变量x的值是 6.如图，某校科技小组计划利用已有的一堵长6m的墙，用篱笆围成一个面积为30的矩形科技 园ABCD,设AB的长为xm,BC的长为ym. (1)求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围 (2)已知边AD和DC的长都是整数，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过20m, 求出满足条件的所有围建方案 (第6题) 7.已知y=y1十y2,且y1与x成正比例，y2与x十1成反比例.当x=1时，y=4;当x=2时，y= (1)求y与x的函数解析式. (2)当x=5时，求y的值. “答案与解析”见P31 51 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 27.2反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.在同一平面直角坐标系中，函数y=(k≠0)与y=一红十1(k≠0)的图象可能是 () D 2.在平面直角坐标系中，反比例函数y=二(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是 () A.-2 B.1 C.2 D.6 5 A(3,3) 3 B-2,-2) 4320 (第2题) (第4题) 3.在平面直角坐标系中，点A(一2,1)，B(3,2),C(一4，m)分别在三个不同的象限.若反比例函数 y=(≠0)的图象经过其中两点，则m的值为 4如图，点A(一2,1)，B(-4,5),反比例函数y-≠0)图象的一支与线段AB有交点，请写出 一个符合条件的k的值：一· 5.已知反比例函数y=(k≠0)的图象过点（一2,3）. (1)反比例函数的解析式为 ,请在如图所示的平面直角坐标系中画出图象， (2)当一1<x<2且x≠0时，y的取值范围是 (3)当一2<y<4且y≠0时，x的取值范围是 -5 -4 3 --2 654321.0123456x =1 2 3 5 -6 (第5题) 52 第二十七章反比例函数 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.体思恩在平面直角坐标系中，函数y=一6（<0)与y=一2x十3的图象交于点P(a,b),则 代数式。+号的值为 A.一2 1 B.2 C.-2 D.2 7.若点Ax1一.Bxt十1在反比例函数y冬(<0)的图象上则 A.若t=0,则x1<x2 B.若t<1,则x1>x2 C.若t<-1,则x1<x2 D.若t>1,则x1>x2 8位于第一象限的点A在直线y=2x上，过点A作AB红轴，交双曲线y=一8于点B.若点A 与点B关于y轴对称，则点A的坐标为 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx十b的图象与反比例函数y=”位于第一象限 的图象交于点A(1,6),B(,2),与x轴、y轴分别交于C,D两点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式 (2)若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标， 《3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴y轴分别交于E,F两点，当EF=AB时，求 a的值. D A (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点A,B的坐标分别为(1.5,3)，(6.5,3)，动点C在双 曲线y=上，且满足∠ACB=90°，当OC长度最小时，求k的值， (第10题) ●“答案与解析”见P32 5315.(①2.(2)由题意，得4=(-m)-4×2×(m 1)=m2-2m+2=(m-1)2+1.(m-1)2≥0，.(m- 1)2十10..△>0.∴.该二次函数的图象与x轴有两个 不同的公共点。（3)抛物线y一子2-mx十m一1的对 称轴为直线=-阳=m:二次项系数号>0小二 2X2 次函数图象开口向上.·y1<y2,∴.点A(m十1，y1)到对 称轴的距离小于点B(m十p,y2)到对称轴的距离。∴.|m十 1-m<m+p-m,即p>1..p>1或p<一1. 16.(1)由题意，得y=100-10(x-20)=-10x+300,x的 取值范围为20≤x≤28，且x为正整数.∴.W=(x一15)y= (x-15)(-10x+300)=-10x2+450x-4500.∴.y关于 x的函数解析式为y=一10x十300(20≤x≤28，且x为正 整数)，W关于x的函数解析式为W=一10x2+450x 4500(20x28,且x为正整数).(2)由题意，当W= 540时，即-10x2+450.x-4500=540,解得x,=21,x2 24,20≤x≤28，∴.销售单价应定为21元或24元. (3)W=-10x2+450x-4500=-10(x-22.5)2+562.5, 20≤x≤28，且x为正整数，.当x=22或x=23时，W 最大.当x=22时，W=-10×222+450×22-4500= 560,当x=23时，W=-10×232+450×23-4500=560, .日销售利润最大为560元.∴.当销售单价定为22元或 23元时，销售该纪念品所获的日销售利润最大，日销售利 润最大是560元. 17.(1)在y=a.z2+2ax一3a(a<0)中，令y=0,得0= ax2十2ax-3a,解得x=-3或x=1,∴.A(-3,0),B(1, 0).(2),y=ax2+2a.x-3a=a(x+1)2-4a,.抛物 线y=a.x2+2ax一3a的对称轴为直线x=一1.在y= a.x2+2ax一3a中，令x=0得y=一3a,∴.C(0,一3a). 第二十七章 27.1反比例函数的概念 1.CA中函数是正比例函数；B,D均不符合反比例函数 形式，只有C中函数是反比例函数 3 2 3.号把点(2,1D代入正比例函数=k1x,得1=2k, :点E与点C关于抛物线的对称轴直线x=一1对称， ∴.E(-2,-3a),EC∥x轴.∴.∠ECA=∠CAO.:'AC 平分∠EAO,∴.∠EAC=∠CAO..∠ECA=∠EAC ∴.AE=CE.A(-3,0),C(0,-3a),E(一2，一3a), 或a-3 六.√-3+2)+(0+3a)-2,解得a=5 3 :a<0a=怎抛物线对应的弱数解析式为y 停-2+反、（3)如图造接AP.(m.:y a.x2+2ax-3a=a(x+1)2-4a,∴.D(-1,-4a).'C(0, -3a),∴.易得直线CD对应的函数解析式为y=ax-3a. :SAAr=S△CFp∴.S△Ar=S△p..AP∥CD.设直线 AP对应的函数解析式为y=ax十m,把A(一3,0)代人，得 0=一3a十m,∴.m=3a.∴.直线AP对应的函数解析式为 y=ax+3a, x=-3, y=ax+3a,联立 解得 或 v=ax2+2ax-3a, {y=0 x=2, ∴.P(2,5a).由D(-1,-4a),P(2,5a)易得直线 y=5a. DP对应的函数解析式为y=3ax一a.在y=3a.x一a中， 令y=0,得x= 3G(号）：D-1,-4a.P2. 5aG=/-1-）+1a-4a,GP= 3 √2-3）+2-5中 DG 4 3 GP=5· (第17题) 反比例函数 解得=之“，和互为阁致k:=2正比例西 数解析式为y,一了x,反比例函数解析式为一是.“)一 x-2.当x=-1时y=2×(-1) y一y2y=2 x m2-2=-1, 4.1由题意，得 解得m=1.当m=1时， m+1≠0. (m-2)2025=(-1)2026=1. 易错警示 根据反比例函数的概念求值的易错点 根据反比例函数的概念求值时易忽略比例系数不 能为0这一条件致错 m-2=-1, 5.-6由题意，得 .m=1..∴.y= m-1≠0， -当)=日时，得x=-6 6（1①由题意得y=0y=9又：墙长为6m… 96≥5y关于：的西数解折式为y-贸 可 (x≥5).(2)xy均为整数，x≥5，且y=30, 以取5,6,10,15,30.又2x+y≤20，即2x+30≤20. ∴.x可以为5,6..共有2种围建方案，方案1：AB的长 为5m,BC的长为6m:方案2：AB的长为6m,BC的长为 5m. 7.(1D设y=ax(a≠0)，y2-x十6≠0).：y=y十 为…y=ax十千7把x=1y=4x=2,y=6号代入. 24, a十 袋 解得 /2a+6 y=3x+2 a=3, 2 b=2. Fx+1·(2)当 =63, =5时y=3x+异=15+号=15号 27.2反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 1.B由k的符号推图象的位置找矛盾， ~ y=-kx+1 结论 x 选项B符合， 图象位于第 图象经过第 k>0 选项A,C,D 一、第三象限 第二、第四象限 不符合 图象位于第 图象经过第一、 选项A,B,C, k<0 二、第四象限 第二、第三象限D均不符合 3 2.D(一2)X(一2)<k<3×3,即4k9,.选项中 只有6符合题意 a- 。:点A(-2,1),B(3,2),C(-4,m)分别在三个 不同的象限，点A(一2,1)在第二象限，∴.点C(一4，m)一 定在第三象限.：B(3,2)在第一象限，反比例函数y= (k≠0)的图象经过其中两点，反比例函数y=(k≠0) 的图象经过B(3,2),C(-4,m).∴.3×2=-4.∴.m= 4.一4（答案不唯一）由图可知k<0.,反比例函数y= 的图象与线段AB有交点，且点A(-2,1),B(-4,5), 把A(-2.1)代人y=冬，得=-2：把B(-4,5)代入 y=冬，得=一20.满足条件的值的范西是一20≤ k—2 5Dy=-.图象如图所示。2)y<-3或y>6 3 (3x>3或x<- 6 -5 -4 3 -2 1 6543210123456x 1 2 4 5 6十 (第5题)》 6.A:函数y=一 6(<0)与y=一2z+3的图象交 6 于点P(a,b),∴.b=- ,b=-2a+3.∴.ab=-6,2a十 b=3.. 1+2_2a+b31 a b ab -6--2· C“k<0,“·反比例函数y《（k<0)的图象在第 二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大若t= 0,则A(x1,一1)，B(x2,1),.点A在第四象限，点B在 第二象限.∴.x1>x2.故A不合题意.若一1<t<1,则t 1<0,t十1>0，∴.点A在第四象限，点B在第二象限，则 x1>x2.若t<-1,则t-1<t+1<0,∴.点A,B在第四 象限，则x1<x2.故B不合题意，C符合题意.若t>1,则 0t一1t十1，.点A,B在第二象限..'.x1<x2.故D 不合题意 8.(2,4)点A在直线y=2x上，∴.设A(a,2a)(a> 0)..点A关于y轴对称的点B(一a,2a)..点B在双 曲线y=二8上，心-2a2=一8，解得a=2(负值舍去2 .A(2,4). 9(1①由题意将A1,6代人y=只，得m=6反比例 函数的解析式为y一兰2一-丹 元.n=3.B(3,2) (k十b=6, k=一2， 解得 .一次函数的解析式为y= (3k+b=2, b=8. 一2x十8.(2)如图，作点A关于y轴的对称点E,连接 EB交y轴于点P,则此时△PAB的周长最小.·点A的 坐标为(1,6)，∴.E(一1,6).设直线BE对应的函数解析式 -m+c=6, m=-1, 为y=mx十c,∴. 解得 .直线BE (3m+c=2, c=5. 对应的函数解析式为y=一x十5.当x=0时，y=5,∴.点 P的坐标为(0,5).(3)由题意，得直线EF对应的函数 解折式为y=-2x+8-aE(22.0)小，F(0,8-a). EF AB,√22）+8-a)= √(1-3)+(6-2)2，解得a=6或a=10. (第9题) 10.如图，取AB的中点D,连接OD,CD,OC.线段AB 的端点A,B的坐标分别为(1.5,3)，(6.5,3)，∴.AB=5, 点D的坐标为(4,3.：∠ACB=90,CD=号AB=2. 5.当O,C,D三点共线时，OC取得最小值.设直线OD对 应的函数解析式为y=ax(a≠0)，代入点(4,3)，得4a=3, 解得a=号“直线OD对应的函数解析式为y=子设 点C的坐标为(m,子m)C=√om-+(m-3)= 2.5,解得m=2或m=6(舍去).点C的坐标为(2，号） 将C(2,号)代入y=冬，得=3. (第10题) 第2课时反比例函数图象和性质的应用 1.A如图，由当-4≤x≤-1时，一4≤y≤-1可知反比 例丽数图象经过点(-4，-1)-1=名·及=4 六反比例国数的解新式为y一兰2m=4“m=2 (第1题) 2B:反比例函数)y=二-1，一W-1<0函数图 x 象在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大 又'x1<0<x2<xg,.y1>0,y2<y3<0..y2<y3< 0y1· 3一6：反比例函数y一冬使为常数且长≠0，当 一3≤x≤一1时，y的最大值是6，∴.k<0.∴.在每一个象 限内，y随x增大而增大.∴.当x=一1时，y取得最大值 6此时6=-1X6=-6.y=-9当x=1时y 一6.∴.当1≤x≤3时，y的最小值为-6. 28 4. 由已知，得点A,B的横坐标分别为一4，一2， -4(k-3)+b=-4 一4 解得6-2恐 91 -2k-3)+6=6-4 -21