26.4 第1课时最大高度与最大面积问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十六章二次函数 26.4实际问题与二次函数 第1课时 最大高度与最大面积问题 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图所示为一个长20m、宽16m的矩形花园，现要将它的长缩短xm,宽增 龙单位：m 加xm,则改造后花园的最大面积为 A.320m2 B.322m2 C.323m D.324m2 (第1题) 2.[2025巴中中考]从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的函 数解析式为h=30t一5t(0≤t≤6).有下列结论：①当小球运动时间是1s时，高度为25m; ②小球运动中高度可以是50m;③当3≤t≤6时，高度h随着时间t的增大而减小.其中，正确 结论的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 3.★如图，利用长为30m的篱笆和一面墙（墙的最大可用长度为10m),围成中间隔有一道篱笆（平 行于AB)的矩形花圃ABCD.设花圃的一边AB的长为xm,面积为ym (1)求y与x之间的函数解析式， (2)如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长是多少？ (3)试确定当x取何值时y有最大值，并求出最大面积 -10m (第3题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.舒境生活实际九年级(2)班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备 围成一边靠墙（墙足够长）的菜园.为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角 形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是 () A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2 llllllllllllllllisssiii L 方案1 方案2 方案3 (第4题) (第5题) 5.如图，菱形ABCD的边长为8，∠BAD=60°，E是AD上一动点（不与点A,D重合），F是CD 上一动点，且AE十CF=8,则△DEF的面积的最大值为 37 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 6.某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案是由四个全等的直角三角形和 一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长为m,直角三角形较短直角边的长为， 且n=2m一4，大正方形的面积为S. (1)求S关于m的函数解析式. (2)若小正方形的边长不大于3，求当大正方形的面积最大时m的值， (第6题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维◆ 7.项目式学习！ 项目主题 劳动实践基地菜地设计 某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地ABCD,如 图，墙最大可利用长度为21米.菜地中间用篱笆隔开，在BC边上设计了两个宽度为1米的 小门，方便同学们出入.AD边和两扇小门不用篱笆，一共用了46米长的篱笆. 项目情境 1米 1米 (第？题) 若设菜地的宽AB为x米，则BC= 米（用含x的代数式表示），x的取值范围是 活动任务一 活动任务二 若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽AB. 活动任务三 小辉认为菜地的最大面积可以达到192平方米，他的说法对吗？请通过计算说明理由. 38 “答案与解析”见P22得t1=2,t2=一2（舍去），∴.BC=2..题图②中的抛物线 经过点(2,6).由图象可知，题图②中的抛物线顶点为(4， 2).设抛物线对应的函数解析式为S=α(t一4)2+2.将(2， 6)代入，得6=a×(2一4)2+2，解得a=1..S=(t 4)2+2.当S=18时，18=(t-4)2+2,解得t=8或t=0 (舍去).∴.AB=(t-2)×1=(8-2)×1=6.在Rt△ABC 中，由勾股定理，得AC=√AB2-BC=√62-2=4V2, ∴.△ABC的周长=AB+BC+AC=6+2+4√2=8十 4√2 26.4实际问题与二次函数 第1课时最大高度与最大面积问题 1.D设改造后的花园的面积为Sm2.长20m、宽16m 的矩形花园，现要将它的长缩短xm,宽增加xm,∴，S= (20-x)(16+x)=-x2+4x+320=-(x-2)2+324. 一1<0，∴当x=2时，改造后的花园面积达到最大，为 324m. 2.C①当t=1时，h=30-5=25,故①正确.②h 30t-5t2=-5(t2-6t)=-5(t-3)2+45,-5<0,∴.当 t=3时，h有最大值，最大值为45，故②错误.③由②可知， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线t=3,∴.当3≤ t≤6时，高度h随着时间t的增大而减小，故③正确.∴.正 确结论的个数是2. 3.(1)由题意，得y=x(30-3x)=-3x2+30x.∴.y与x 之间的函数解析式为y=一3x2十30x.(2)当y=63时， -3x2+30x=63,解得x1=7,x2=3.当x=7时，30 3x=9<10,符合题意；当x=3时，30-3x=21>10,不合 题意，舍去.∴.AB的长是7m(3)y=-3x2+30x= -36-5)+75.由题意，得0<30-3x<10,解得9< x<10.:一3<0，∴.当x>5时，y随x的增大而减小 :当x=9时y有最大值，为-3×（份-）°+5= 2%,即受大面积为9m, 方法归纳 利用二次函数的性质求实际问题中最值的方法 在实际问题中，利用二次函数求最值的一般步骤 如下： (1)列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意 义，确定自变量的取值范围 (2)求出函数图象的顶，点坐标，再结合自变量的取 值范围，确定函数的最值 4.C方案1：如图，设菜园面积为S,平方米，AD=x米， 则AB=(8一2x)米.∴.S1=x(8一2x)=一2x2十8x= 一2(x一2)2十8.∴.当x=2时，此时菜园面积最大，为8平 方米.方案2：如图，过点A作AD⊥BC于点D.设菜园面 积为S2平方米，CD=x米，AD=y米，则易得x2+y2= 16S,=2BC4D=32xy=(-y9 x2+y2-2xy≥0，.16-2xy≥0..xy≤8.∴.当且仅当 x=y=22时，菜园面积最大，为8平方米.方案3：由题 意，得半圆的半径为米，“此时菜园面积= x(8) π 2 兴（平方米).：号>8“方案3蛋成的来园面积最大 π B D 方案1 方案2 (第4题) 5.4W3过点F作FG⊥AD,交AD的延长线于点G. :菱形ABCD的边长为8，∠BAD=60°，∴.AD=CD= 8,AB∥CD.∴.∠FDG=∠BAD=60°.设AE=x,则 DE=AD-AE=8-x.'AE+CF=8,..CF=8-x. ∴.DF=CD-CF=8-(8-x)=x.在Rt△DFG中， ”∠FDG=60,·∠DFG-30:·易得FG=5x 2. sm-DEG-2×8-x号=-+ 2-9(-+4.当r-4时，△DF的面 积最大，最大值为43. 6.(1).'小正方形的边长为m,直角三角形较短直角边的 长为n,∴.直角三角形较长直角边的长为m十n.∴.由勾股 定理，得S=(m+n)2+n2.n=2m-4,.S=(m十 2m-4)2+(2m-4)2=13m2-40m+32.:'n=2m-4> 0,∴.m>2..S关于m的函数解析式为S=13m2一 40m+32(m>2).(2):S=13m2-40m+32= 13(m-)'+2<m3当m≥器时.s随m的 增大而增大.∴.当大正方形的面积最大时，m=3 7活动任务-：(48-3)，9<<华活动任务二：由题 意，得x(48-3x)=180,解得x1=6,x2=10.当x=6时， 48-3x=30>21,不合题意，舍去；当x=10时，48一3x= 18<21,符合题意，∴.此时的宽AB为10米.活动任务 三：小辉的说法不对.理由：设菜地的面积为S平方米，则 S=x(48-3x)=-3x2+48x=-3(x-8)2+192 :一3<0，抛物线的对称轴为直线x=8.在取值范围 内，y随x的增大而减小.∴当x=9时，S取得最大值，最 大值为189..189<192，∴.小辉的说法不对. 第2课时最大利润问题 1.B销售量=原销量十多经销的销量，故销售量可以表 示为500+17×500=(-500z+7000)件，故A正 确，不符合题意.销售额可以表示为x(一5000x十70000) 元，故B错误，符合题意.所获利润可以表示为(x一10)· (-5000x+70000)=-5000x2+120000x-700000= [一5000(x一12)2十20000]元，故C正确，不符合题意.所 获利润可以表示为[-5000(x-一12)2+20000]元，则当批 发价为12元/件时，所获利润有最大值20000元，故D正 确，不符合题意！ 2.121当10x20时，设y=kx+b.把(10,20)，(20， 10k+b=20, k=一1， 10)代入，得 。解得 ∴.每天的销售量 20k+b=10, {b=30. y(个)与销售价格x(元/个)的函数解析式为y=一x十30. 设该食品零售店每天销售这款冷饮的利润为w元，则 (x-8)y=(x-8)(-x+30)=-x2+38x-240= 一(x一19)2+121..1<0，∴.当x=19时，有最大值 为121. 3.(1)由题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪 念品的成本为y元.∴ 2r十3y=15,=25·:每 {4x+y=135. (y=35. 个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为 35元.(2)由题意，每套的成本为25+35=60（元），售价 为a元，.每套的利润为(a-60)元.当售价为72元 时，销量为80套，每降价1元销量相应增加10套，∴.销量 为80+10(72一a)=(800一10a)套.∴.W=(a一60)(800 10a)=-10a2+1400a-48000=-10(a-70)2+1000. 一10<0,65≤a≤72且a为整数，∴.当a=70时，每天 的利润最大 4.1264设每份A种快餐降价a元，则每天卖出(40十 2a)份，每份B种快餐涨价b元，则每天卖出(80一2b)份， 总利润为W元.由题意可得，40+2a+80一2b=40+80,解 得a=b,∴.W=(12一a)(40+2a)+(8+a)(80一2a)= -4a2+48a+1120=-4(a-6)2+1264.-4<0, ∴.当a=6时，W取得最大值1264，即两种快餐一天的总 利润最多为1264元. 5.0<a<6设每天缴纳摊位管理费用后的利润为y元. 根据题意，得y=(110一t一40一a)(20十4t),整理，得y= -4t2+4(65-a)t+1400-20a.-4<0,当1≤t≤30(t 为正整数时y随：的谐大而增大5>2”解 得a<6.又a>0,∴.a的取值范围是0<a<6. 6.(1)设y1=.函数y1=kx的图象过点(1,2)，∴k= 2.∴利润y1关于投资量x的函数解析式为y1=2x(x≥ 0).该抛物线的顶点是原点，∴.设y2=ax2.:函数 1 y2=ax2的图象过点(2,2)，2=a·2,解得a=2 利润y关于投资量x的函数解析式为y=2x(x之 0).(2):投人种植花卉m万元(0≤m≤8)，∴.投人种 植树木8-m)万元如=28-m)十号m=号m 1 1 21+16=7(m-2)2+14.，≥0,0≤m8,.当m日 2时，的最小值是14，当m=8时，e的最大值是32. ∴.他能获取的最小利润是14万元，最大利润是32万元. (3)根据题意，当w=22时，(m一2)2+14=2，解得 m=-2(舍去)或m=6,∴.6≤m≤8. 7.(1)设一次函数解析式为y=kx十b.根据题意，得 (40k+b=300, k=一10， 解得 ∴.y与x的函数解析式为 45k+b=250, b=700, y=一10x+700.(2)由表中数据知，每件商品进价为 40X30-3000=30(元)w=(x-30)y=(x-30)· 300 (-10x+700)=一10x2+1000x-21000=-10(x- 50)2十4000.一10<0，∴.当x=50时，最大，最大值 为4000.∴.当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最 大，最大利润为4000元.(3)根据题意，得心=(x一30一 m)(-10x+700)=-10x2+(1000+10m)x-21000-700m, 对轴为直线x一-0+号m:一10< 1 0心当x≤50+2m时，w随x的增大而增大.”当x≤ 52时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增 大.且x为整数50+号m>5152.m>a.0< 1 2 m6,.∴.m的取值范围是3<m6. 第3课时抛物线形问题 1.B建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线对应的 函数解析式为y=a.x2十c.由题意，得c=2,点A(2,0),将 3